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练习1-2

1．一个基金公司为其客户提供几种不同的基金：一个货币市场基金，三种债券基金(短 期债券、中期债券和长期债券)，两种股票基金(适度风险股票和高风险股票)，以及一个平衡基金．在所有只持有一种基金的客户中，持有各基金的客户比例分别为 货币市场 20％ 高风险股票 18％ 短期债券 15％ 适度风险股票 25％ 中期债券 10％ 平衡基金 7％ 长期债券 5％

在持有一种基金的客户中随机选取一位客户，求 (1)他持有平衡基金的概率； (2)他持有债券基金的概率； (3)他不持有股票基金的概率．

【解】由于持有各种基金的客户集合互不相容，且各比例之和为100%，可知

(1)他持有平衡基金的概率为7％；

(2)他持有债券基金的概率为15%+10%+5%=30%； (3)他不持有股票基金的概率为1－（18%+25%）=57%。

2．考虑一家商场某日5位顾客购买洗衣机的类型(直筒或滚筒)．

(1)如果最多一位顾客购买滚筒洗衣机的概率为0.087，那么至少两位顾客购买滚筒洗 衣机的概率是多大?

(2)设P(5位顾客全部购买滚筒洗衣机)=0.0768，P(5位顾客全部购买直筒洗衣机)=0.0102，那么两类洗衣机都至少卖出一台的概率是多大?

【解】(1)设事件A为“最多一位顾客购买滚筒洗衣机”，则P(A)?0.087，

设事件B为“至少两位顾客购买滚筒洗衣机”，

5位顾客购买滚筒洗衣机的基本事件为：

无人买，恰1人买，恰2人买，恰3人买，恰4人买，恰5人买，

????????? ?????????????????

A:至多1人买B:至少2人买由于B?A，即得P(B)?1?P(A)?1?0.087?0.913。

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(2) 设事件C为“5位顾客全部购买滚筒洗衣机”，则P(C)?0.0768， 设事件D为“5位顾客全部购买直筒洗衣机”，则P(D)?0.0102， 设事件E为“两类洗衣机都至少卖出一台”，

由于事件E很复杂：直1滚1，直1滚2，......，直1滚5，

直2滚1，直2滚2，......，直2滚5，

.......................

直5滚1，直5滚2，......，直5滚5。

故转而考虑E的情况，

由已知E为“两类洗衣机都至少卖出一台”，知事件E为“至少有一类洗衣机没

卖出”，亦即E=C?D，

从而得 P(E)?1?P(E)?1?P(C?D)?1?[P(C)?P(D)]

?1?(0.0768?0.0102)?0.913。

3．由概率的公理化定义推导概率测度的其他性质；性质3～性质6以及性质6的推论． 【解】性质3：P(A)?1?P(A)

【证明】由于事件A与A对立，有A?A??，

由公理3得P(A?A)?P(A)?P(A)，

即由公理1P(?)?1得P(A)?P(A)?P(A?A)?P(?)?1， 即得P(A)?1?P(A)。

性质4：P(A?B)?P(A)?P(AB) 【证明】由于A?B?A?AB，

而事件A与AB互不相容，

由公理3得P(A?AB)?P(A)?P(AB) 于是有P(A?B)?P(A)?P(AB)；

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若A?B，则AB?B，得P(AB)?P(B) 由上得P(A?B)?P(A)?P(AB)?P(A)?P(B)；

性质5：0?P(A)?1

【证明】由公理2得P(A)?0，P(A)?0

由性质3得P(A)?P(A)?P(?)?1， 即有P(A)?1， 综上得0?P(A)?1。

性质6：P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

n【证明】由性质2：两两不相容事件A1，A2，.....，An，有P(?Ai)?i?1?P(A)

ii?1n

而A?B?AB?AB?AB，且AB，AB，AB两两不相容， 即得P(A?B)?P(AB)?P(AB)?P(AB)， 又A?AB?AB，且AB，AB两两不相容，

可得P(A)?P(AB)?P(AB)，有P(AB)?P(A)?P(AB) 同理得P(AB)?P(B)?P(AB)，

综上得，P(A?B)?P(AB)?P(AB)?P(AB)

?[P(A)?P(AB)]?[P(B)?P(AB)]?P(AB) ?P(A)?P(B)?P(AB)。

4．已知P(A)=0.4，P(B)=0.25，P(A一B)=0.25，求P(AB)，P(A?B)，P(B一A)，

P(AB)．

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【解】(1)由性质4：P(A?B)?P(A)?P(AB)

得P(AB)?P(A)?P(A?B)?0.4?0.25?0.15； (2)由性质6：P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)， 得P(A?B)?0.4?0.25?0.15?0.5；

(3)由性质4得：P(B?A)?P(B)?P(AB)?0.25?0.15?0.1； (4)由性质6：P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB) 得P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)

?[1?P(A)]?[1?P(B)]?P(AB)

?[1?P(A)]?[1?P(B)]?[1?P(AB)] ?1?P(A)?P(B)?P(AB) ?1?0.4?0.25?0.15?0.5。

5．已知P(A)=0.4，P(BA)?0.2，P(CAB)?0.1，求P(A+B+C)． 【解】由于BA?A=A?B且BA与A互不相容，

得P(A?B)=P(BA)?P(A)?0.2?0.4?0.6，

由于CAB为图中的湖蓝色部份，

可见CAB?(A?B)=A?B?C且CAB与A?B互不相容， 得P(A?B?C)=P(CAB)?P(A?B)=0.1?0.6?0.7。

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6．某国经济可能面临三个问题：A1=“高通胀”，A2=“高失业”，A3=“低增长”，假设 P(A1)?0.1，2P(A2)?0.07，P(A3)?0.05，

P(A1?A2)?0.13，P(A1?A3)?0.14，P(A2?A3)?0.10， P(A．)?0.01 1?A2?A3 求

(1)该国不出现高通胀的概率；

(2)该国同时面临高通胀、高失业的概率；

(3)该国出现滞胀(即低增长且高通胀)的概率； (4)该国出现高通胀、高失业但却高增长的概率； (5)该国至少出现两个问题的概率； (6)该国最多出现两个问题的概率．

【解】(1)该国不出现高通胀的概率为P(A1)?1?0.12?0.88。 1)?1?P(A(2)该国同时面临高通胀、高失业的概率为P(A1?A2)，

由于P(A1?A2)=P(A1)?P(A2)?P(A1?A2)， 得P(A1?A2)=P(A1)?P(A2)?P(A1?A2)

=0.12?0.07?0.13=0.06。

(3)该国出现滞胀(即低增长且高通胀)的概率为P(A1?A3)，

由于P(A1?A3)=P(A1)?P(A3)?P(A1?A3)， 得P(A1?A3)=P(A1)?P(A3)?P(A1?A3)

=0.12?0.05?0.14=0.03。

(4)该国出现高通胀、高失业但却高增长的概率为P(A1?A2?A3)，

由于A1?A2?A3为上图中橙色部份，

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有A1?A2)?(A1?A2?A3) 1?A2?A3=(A1?A2)?(A1?A2?A3)且(A于是P(A1?A2?A3)=P(A1?A2)?P(A1?A2?A3)

=0.06?0.01=0.05。

(5)该国至少出现两个问题的概率为P((A1?A2)?(A1?A3)?(A2?A3))

由于P(A2?A3)=P(A2)?P(A3)?P(A2?A3)， 得P(A2?A3)=P(A2)?P(A3)?P(A2?A3)

=0.07?0.05?0.10=0.02，

于是P((A1?A2)?(A1?A3)?(A2?A3))

?P(A1?A2)?P(A1?A3)?P(A2?A3)?2P(A1?A2?A3)

?0.06?0.03?0.02?2?0.01 ?0.09。

(6)由于事件“该国最多出现两个问题”与事件“该国出现三个问题”相互对立，

可知该国最多出现两个问题的概率为

P(A1?A2?A3)?1?P(A1?A2?A3)?1?0.01?0.99。

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有A1?A2)?(A1?A2?A3) 1?A2?A3=(A1?A2)?(A1?A2?A3)且(A于是P(A1?A2?A3)=P(A1?A2)?P(A1?A2?A3)

=0.06?0.01=0.05。

(5)该国至少出现两个问题的概率为P((A1?A2)?(A1?A3)?(A2?A3))

由于P(A2?A3)=P(A2)?P(A3)?P(A2?A3)， 得P(A2?A3)=P(A2)?P(A3)?P(A2?A3)

=0.07?0.05?0.10=0.02，

于是P((A1?A2)?(A1?A3)?(A2?A3))

?P(A1?A2)?P(A1?A3)?P(A2?A3)?2P(A1?A2?A3)

?0.06?0.03?0.02?2?0.01 ?0.09。

(6)由于事件“该国最多出现两个问题”与事件“该国出现三个问题”相互对立，

可知该国最多出现两个问题的概率为

P(A1?A2?A3)?1?P(A1?A2?A3)?1?0.01?0.99。

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