2011年高考数学解答题后两题训练试题9

解答题后两题训练（九）

20.(本小题满分13分)

x2y2 椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l与椭圆交于A、B两

ab点.

教育博客教育博客教育博客

（1）若点A在圆x2?y2?c2（c为椭圆的半焦距）上，且|F1A|=c，求椭圆的离心率；

教育博客教育博客（2）若函数y?2?logmx(m?0且m?1)的图象，无论m为何值时恒过定点(b,a)，求

F2A?F2B的取值范围。

教育博客21.(本小题满分14分) 已知数列{an}中，a1?cos?2(0????2)，an?1?教育博客1?an(n?N*). 2教育博客 (1)求a2,a3;(2)求{an} 的通项公式;

教育博客 (3)设Sn为数列{?2?an}的前n项和,证明:Sn??. 220.解:1）∵点A在圆x2?y2?c2上,??AF， 1F2为一直角三角形

?|F1A|?c,|F1F2|?2c?|F2A|?|F1F2|2?|AF1|2?3c

由椭圆的定义知：|AF1|+|AF2|=2a，?c?3c?2a

e?c2??3?1………………………………5分 a1?32）∵函数y?2?logmx的图象恒过点(1,2)

∴a?2,b?1,c?1, 点F1（－1，0），F2（1，0），

①若AB?x轴,则A(?1,22),B(?1,?)， 22

????????????2????2????17),F2B?(?2,?),F2A?F2B?4?? …………7分 ∴F2A?(?2,2222第 1 页 共 3 页

②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则AB的方程为y=k（x+1）

?y?k(x?1)消去y得(1?2k2)x2?4k2x?2(k2?1)?0…………（*） 由?22?x?2y?2?0

???8k2?8?0,?方程（*）有两个不同的实根.

设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（*）的两个根

4k22(k2?1)x1?x2??,x1x2? ………………9分

1?2k21?2k2

F2A?(x1?1,y1),F2B?(x2?1,y2),

F2A?F2B?(x1?1)(x2?1)?y1y2?(1?k2)x1x2?(k2?1)(x1?x2)?1?k2 2(k2?1)4k27k2?17922 ?(1?k)?(k?1)(?)?1?k???222222(1?2k)1?2k1?2k1?2k2

?1?2k2?1,?0?

199?1,0??1?2k22(1?2k2)2………………11分

797?1?F2A?F2B???,22(1?2k2)27 ………………………………13分 2

由①②知?1?F2A?F2B?21.解: 1)由an?1???1?an??(n?N*),a1?cos(0???),得:a2?cos,a3?cos.…2分

482222)由(1)可归纳猜想:an?cos?2n(n?N*)……………………3分，

现用数学归纳法证明：①当n=1时，显然成立； ②假设n=k(k∈N*)时成立，即an?cos?2k，则：

n=k+1时：ak?11?ak??21?cos?2k?cos2??cos?(0????)； 222k?12k?1 所以，n=k+1时，猜想也成立。

故：由①②可知，对任意n∈N*,猜想均成立。……………………………………8分;

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