数字信号处理 程佩青 课后习题答案 第五章习题与答案

1. 用直接I型及典范型结构实现以下系统函数

3 4.2z 1 0.8z 2

H(z)

2 0.6z 1 0.4z 2

分析：①注意系统函数H(z)分母的 z项的系数应该化简为1。

②分母z i (i 1 , 2 ,

)的系数取负号，即为反馈链的系数。

1.5 2.1z 1 0.4z 21.5 2.1z 1 0.4z 2

解：H(z) 1 2 1 2

1 0.3z 0.2z1 ( 0.3z 0.2z)

∵H(z)

1 anz n

n 1

m 0

N

bz

n

M

m

Y(z)

X(z)

∴a1 0.3 ，a2 0.2

b0 1.5 ，b1 2.1 ，b2 0.4

4(z 1)(z2 1.4z 1)

2.用级联型结构实现以下系统函数H(z) 2

(z 0.5)(z 0.9z 0.8) 试问一共能构成几种级联型网络。

分析：用二阶基本节的级联来表达（某些节可能是一阶的）。

1 1kz 1 2kz 2解： H(z) A 1 2

2kzk1 1kz

4(1 z 1)(1 1.4z 1 z 2)

1 1 2

(1 0.5z)(1 0.9z 0.8z)

∴ A 4 11 1, 21 0 , 12 1.4 , 22 1

11 0.5 , 21 0 , 12 0.9 , 22 0.8

由此可得：采用二阶节实现，还考虑分子分母组合成二阶（一阶）基本节的方式，则有四种实现形式。

3. 给出以下系统函数的并联型实现。

5.2 1.58z 1 1.41z 2 1.6z 3

H(z) 1 1 2

(1 0.5z)(1 0.9z 0.8z)

分析：注意并联的基本二阶节和级联的基本二阶节是不一样的，这是因为系统函数化为部分分式之和，分子的z 1的最高阶数比分母z 1的最高阶数要低一阶，如果分子、分母多项式的z 1的最高阶数相同，则必然会分解出一个常数项的相加（并联）因子。

解：对此系统函数进行因式分解并展成部分分式得：

5.2 1.58z 1 1.41z 2 1.6z 3

H(z)

(1 0.5z 1)(1 0.9z 1 0.8z 2)

0.21 0.3z 1

4 1 1 2

1 0.5z1 0.9z 0.8z

G0 4

11 0.5 , 21 0 ， 12 0.9 , 22 0.8

01 0.2 , 11 0 ， 02 1 , 12 0.3

4．用横截型结构实现以下系统函数：

1 1

H(z) 1 z 1 1 6z 1 1 2z 1 1 z 1 1 z 1

2 6

分析：FIR滤波器的横截型又称横向型，也就是直接型。

解：

11

H(z) (1 z 1)(1 6z 1)(1 2z 1)(1 z 1)(1 z 1)

26

11 1 1 2

2 (1 z 1 2z 1 z )(1z 6z z)(1 z)

26

1

5 1 237 1

(1 z z)( z z

26

2

)(z1 1)

8205 22058

zz 3z 4 z 5 1z 1312123

5．已知FIR滤波器的单位冲击响应为

0. 3n ( h(n) (n) 1) 0.n7 2( 2 )n0. 11 ( 3n) 0

试画出其级联型结构实现。

分析：级联型是用二阶节的因式乘积表示。 解： 根据H(z)

N 1n 0

h(n)z n得：

220. z7

0.z31 1

4

1 z3 H(z) 1 0. z 0.12

(1 0.2z 1 0.3z 2)(1 0.1z 1 0.4z 2) 而FIR级联型结构的模型公式为：

H(z) ( 0k 1kz 1 2kz 2)

k 1

N 2

对照上式可得此题的参数为：

01 1 , 02 1,

11 0.2 , 12 0.1

21 0.3 , 22 0.4

6．用频率抽样结构实现以下系统函数：

5 2z 3 3z 6

H(z)

1 z 1

抽样点数N = 6，修正半径r 0.9。 分析：FIR滤波器的修正的频率抽样结构

nH()

H(0), H0(z) , HN/2(z) 11 r z1 r z 1Hk(z)

1 z 12rcos(

0k 1kz 1

2N

k) r2z 2

k 1 , 2 ,

k 1 , 2 ,

N-1

, N 奇数2 N 1， N 偶数 2

k

其中 0k 2Re[H(k)] , 1k 2rRe[H(k)WN]

解； 因为N=6，所以根据公式可得：

H(z)

21 6 6 (1 rz) H0(z) H3(z) Hk(z) 6k 1

(5 3z 3)(1 z 3)H(z)

1 z 1

(5 3z 3)(1 z 1 z 2)故 H(k) H(Z)Z 2 k/N (5 3e因而

H(0) 24,H(1) 2 23j,H(2) 0 H(3) 2,H(4) 0,H(5) 2 23j

j k

)(1 e

j

3

k

e

j

2

k3

)

则 H0(z)

H(0)24

1 rz 11 0.9z 1

H(3)2

H3(z) 1

1 rz1 0.9z 1

01 11z 1

2 1

求 ： Hk(z)k 1 时 ：H1(z)

2 2

1 2zrcos rz

N

01 2Re H(1) 2Re[2 2j] 4 11 ( 2) (0.9) ReH(1)W61 3.6 4 3.6z 1

H1(z)

1 0.9z 1 0.81z 2

k 2 时 ： 02 12 0 ， H2(z) 07．设某FIR数字滤波器的系统函数为：

1

H(z) (1 3z 1 5z 2 3z 3 z 4)

5

试画出此滤波器的线性相位结构。

分析：FIR线性相位滤波器满足h(n) h(N 1 n)，即对n (N 1)/2呈现偶对称或奇对称，因而可简化结构。 解：由题中所给条件可知：

1331

h(n) (n) (n 1) (n 2) (n 3) (n 4)

5555

则 h(0) h(4) 1

0.253

h(1) h(3) 0.6

5

h(2) 1

N 1

2 2

即h(n)偶对称，对称中心在 n 处 ， N 为奇数(N 5) 。

8．设滤波器差分方程为：y(n) x(n) x(n 1)

11

y(n 1) y(n 2) 34

⑴试用直接I型、典范型及一阶节的级联型、一阶节的并联型结构实现此差分方

程。

⑵求系统的频率响应（幅度及相位）。

⑶设抽样频率为10kHz，输入正弦波幅度为5，频率为1kHz，试求稳态输出。 分析： (1)此题分子z 1的阶次低于分母z的阶次，故一阶节的并联结构没有常数项

1

(2) 由 H(z) H(ej ) ， 且要用模和相角表示，

H(ej ) H(ej )ejarg[H(ej )]

(3) 正弦输入 x(t) 情况下要先化成 x(n) x(t)t nT 输出信号幅度等于输入信号 幅度与 H(ej ) 的乘积 ， 频率即为输入的数字频率 0 ，相角为输入相角加 上系统频率响应在 0处的相角arg[H(e

j 0

)]

解：

(1)直接Ⅰ型及直接Ⅱ：

根据 y(n)

a

k 1

N

k

y(n k)

bx(n k) 可得：

kk 0

M

11a1 , a2

34 ； b0 1 , b1 1

一阶节级联型：

1 z 1

H(z)

1 z 1 z 2

34

1 z 1

1 11 1

(1 z)(1 z)

66

1

1 z

1 1

(1 0.7z)(1 0.36z)

一阶节并联型：

1 z 1

H(z)

1 11 1(1 z)(1 z)

66 1717 1 11 11 z1 z

66 1.60.6 1

1 0.36z 1 1 0.7z

1 z 1

（2）由题意可知 H(z)

111 z 1 z 2

34

j

1 e

H(ej )

j 2j 1 e e34

(1 co s) jsin

111 1 1 co s co2s j sin sin2 344 3

幅度为：

H(ej )

(1 cos )2 sin2

1111

(1 cos cos2 )2 (sin sin2 )2

3434 相位为：

sin

argH(ej ) ar gtg()

1 co s

11 sin sin2

ar gtg() 1 1 1co s co2s

34

（3） 输入正弦波为 ： x(t) 5sin(2 t 103)

3

由 T 2 10T1 2 可得：

又抽样频率为10kHz，即抽样周期为

1 3

T 0.1 10 0.1ms3

10 10

周期为：T1

1

10 3s 1ms1000

∴在x(t)的一个周期内，采样点数为10个，且在下一周期内的采样值与(0,2 )间

的采样值完全一样。所以我们可以将输入看为

5sin 10

x(n) 5sin2 103 nT

3

2 10 4

n

1

5sin n (n 0 ,1 ,

5

由此看出 0 0.2

根据公式可得此稳态输出为： y(n) 5H(ej 0)cos 0n argH(ej 0)

,9)

12.13cos0.2 n 51.6

9．写出右图所示结构的系统函数及差分方程。 对此题的分析：

(a) 第一题图结构的左边是一个典范型结构的转置，右边是一个并联型结构。 所以此结构是两者的级联。

可遵循并联相加，级联相乘的原则求得此结构 的系统函数。

(b) 第二题图结构的求解，可通过对各结点的求解来获 得：将输入结点和

输出结点分别用中间结点表 示，然后将中间结点消去，即可得到输入结点 与输出结点之间的关系，从而求得此结构的系 统函数 解：

(1)根据图中结构，可直接写出此结构的系统函数为：

H(z)

1 0.5z 1 2z 2 24 z 1 2z 2 1 2 11 1.5z 0.5z1 0.2z 1 0.8z 2 1 0.2z

6 4.4z 1 16.5z 2 5.1z 3 7.8z 4 0.8z 5 1 2 3 4 5 1 1.5z 0.26z 0.98z 0.62z 0.08z 由此可得此系统的差分方程为：

y(n) 6x(n) 4.4x(n 1) 16.5x(n 2)

5.1x(n 3) 7.8x(n 4) 0.8x(n 5) 1.5y(n 1) 0.26y(n 2) 0.98y(n 3) 0.62y(n 4) 0.08y(n 5)

(2)根据图中所设结点可得：

1 1

X(z) X(z) rzY(z)sin rzX1(z)cos 1

X(z) rz 1Y(z)sin

X1(z)

1 rz 1cos 1 1

而 Y(z) rzX1(z)sin rzY(z)cos Y(z)(1 rz 1cos )

X(z) rz 1Y(z)sin

rzsin

1 rz 1cos 12 2

Y(z) [1 2rzcos rz]

1

1

rzX(z)sin 所以此结构的系统函数为：

Y(z)rz 1sin

H(z)

X(z)1 2rz 1cos r2z 2

其差分方程为：

y(n) rsin x(n 1) 2rcos y(n 1) r2y(n 2)

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