自控原理习题解答汇总-2012

第一章

1_1 图1-1是液位自动控制系统原理的示意图。在任意情况下，希望液面高度C维持不变，是说明系统工作原理并画出系统方块图。

图1-1 液位自动控制系统

解答：系统被控对象是水箱，被控量（系统的输出量）是水箱的液位高度。当电位器电刷位于中点位置时，电动机保持不动，控制阀门有一定的开度，使水箱中留入水量与留出水量相等，从而液面保持在希望高度C上，一旦留入水量或留出水量发生变化，水箱的液面高度便相应的发生变化。例如，当液面升高时，浮子位置就相应的升高，通过杠杆作用使电位器电刷从中点位置下移，从而给发电机提供一定的控制电压，驱动电动机通过减速器减小阀门开度，使进入水箱的流量减少。此时，水箱液面下降，浮子位置也相应的下降，直到电位器电刷回到中点位置，系统重新处于平衡状态，液面恢复给定高度。反之，若水箱液位下降，则系统会自动增大阀们开度，加大流入水量，使液位回到给定高度C。

液位自动控制系统的原理方框图如图1－2所示。

图 1－2 液位自动控制系统的原理方框图

1－10 下列各式是描述系统的微分方程，其中 c(t)为输出量， r(t)为输入量，试判断哪些试线性定常系统或时变系统，哪些是非线性系统？

1

d2r(t)(1)c(t)?5?r(t)?t;dt2d3c(t)d2c(t)dc(t)(2)?3?6?8c(t)?r(t);32dtdtdtdc(t)dr(t)(3)t?c(t)?r(t)?3;dtdt (4)c(t)?r(t)cos?t?5;

2(5)c(t)?3r(t)?6(6)c(t)?r2(t);tdr(t)?5?r(?)d?;??dt?0,t?6(7)c(t)???r(t),t?6

解答： （1）非线性系统 （2）线性定常系统 （3）线性时变系统 （4）非线性系统 （5）线性定常系统 （6）非线性系统 （7）非线性系统

第二章

2-5 设初始条件为零，试用拉氏变换法求解下列微分方程式，并概略绘制 x(t)曲线，指出各方程的模态。

?(t)?x(t)?t;(1)2x?(t)?x(t)??(t);(2)??x(t)?x?(t)?x(t)?1(t)(3)??x(t)?2x

解答：

（1）将等式两边作拉氏变换可得 X(s)?

对上式作拉氏反变换可得 x(t)?t?2?2e?0.5t1111???

s2(2s?1)s2ss?0.5

x(t)的曲线如图2-4(a)所示。

2

由x(t)的表达式易得系统的特征根为 ?＝－0.5 故该方程的运动模态为e?0.5t. （2）将等式两边作拉氏变换可得

312 X(s)?2s2?s?1?3?2 2??s?1?2????32?对上式作拉氏反变换可得 x(t)?23e?0.5tsin32t

x(t)的曲线如图2－4(b)所示。

由x(t)的表达式易得系统的特征根为

?1,2??12?j32

故该方程的运动模态为

e?0.5tsin32t （3）将等式两边作拉氏变换可得 X(s)?111s(s2?2s?1)?s?s?1?2?s?1?s?1?2?1s?1对上式作拉氏反变换可得 x(t)?1?te?t?e?t

x(t)的曲线如图2-4(c)所示。

由x(t)的表达式易得系统的特征根为 ?1,2??1

故该方程的运动模态为 te?t,e?t。

3

图2-4 x(t)的曲线图

-2t?t2-9 若某系统在阶跃输入r(t)?1(t)时，零初始条件下的输出响应c(t)?1?e?e,试求

系统的传递函数和脉冲响应。 解答：

r(t)?1(t)，则 R(s)?1 s对c(t)表达式取拉式变换，得到系统的输出量为

111s2?4s?2?? C(s)??

ss?2s?1s(s?1)(s?2)根据传递函数定义

C(s)s2?4s?2? G(s)? G(s)(s?1)(s?2)系统的脉冲响应为

12???t?2tk(t)?L?1[G(s)]?L?1?1????(t)?e?2e ??s?1s?2?2－10设系统传递函数为C(s)?R(s)2s2?3s?2?(0)=0,试求阶跃输初始条件c(0)=-1,c入r(t)=1(t)时，系统的输出响应c(t)。

解答：该题有两种解法

方法（一）:时域求解

4

由传递函数可得系统的特征方程为：

s2?3s?2=0,则s1??1,s2??2

所以，零输入响应可表示为

czs(t)?Ae?Be?t?2t?t?2t

?(0)=0代入得A=-2，B=1 把c(0)=-1,cczs(t)??2e?e而零状态响应

czt(t)?L?1[c(s)]?L?1[1s(s?3s?2)2]

?21?11=L[??]

ss?1s?2=1?2e?e?t?t?2t

c(t)?czs?czt?1?4e?2e?2t方法(二) :S域求解 根据

C(s)?R(s)?32s2?3s?2，得到相应的微分方程为

d22c(t)2dtdc(t)?2c(t)?2r(t) dt考虑初始条件，两边取拉氏变换得

s2?(0)?3[sc(s)?c(0)]?2c(s)? c(s)?sc(0)?cs2?(0)?sc(0)?3c(0)?c c(s)?s2s?3s?2再做反拉氏变换，得到c(t)=1?4e?2e

2－17 已知控制系统结构图如图2-18所示。试通过结构图等效变换求系统传递函数

?t?2tC(s)R(s)。

5

图2－18 系统结构图 解题过程：(a)

GRG1(s)G2(s)_G3(s) 6

R(s)C(s)G1(s)G2(s)_G2(s)G3(s)

R(s)C(s)G1(s)+G2(s)_G2(s)G3(s)

C(s)G1?G2R(s)?1?G2G3 (b)

R(s)C(s)G1(s)G2(S)H1(s)_H2(s)

RG1(s)G2(s)CCH11?H1H2

C(s)G1G2R(s)? 1?G1H11?H1H2 7

?G1G2?G1H1G2H21?H1H2?G1H1

(c)

G3(s)RCG1(s)G2(s)__H1(s)H2(s)

G3(s)RCG1(s)G2_1?G2H1H2(s)

G3G1RCG1G2C_1?G2H1H2 8

RG31?G1G1_G2C1?G2H1H2C G1G2C(s)G3?(1?)?1?G2H1 R(s)G11?G1G2H21?G2H1G2G3?G1G2 ?1?G2H1?G1G2H2(d)

H2(s)RG1(s)__G2(s)_CG3(s)CH1(s)H3(s)

H2G3RG1(s)__G2(s)_CG3(s)CH1(s)H3(s)

9

H2G3_RCG1(s)G2(s)G3_1?G3H3H1(s)H2G3_RCG1(s)G2G3_1?G3H3H1(1?G3H3)G2G3 RCG1(s)G2G3_1?G3H3?H2G2H1(1?G3H3)G2G3 C(s)G1G2R(s)?G31?G3H3?H2G2?G1H1?G1H1G3H3 C10

(e)

H2(s)R_G1(s)_G2(s)G3(s)CH1(s)G4(s)

H2(s)G3(s)R_G1(s)_G2(s)G3(s)CH1(s)G4(s)

H2(s)G3(s)+H1(s)R_G1(s)G2(s)G3(s)CH1(s)G4(s)

11

RG1(s)G2G3(s)1?G2G3H2?G2H1H1(s)G4(s)

RG1G2C1?G2G3H2?G2H1?G1G2H1G3(s)G4(s) C(s)GR(s)?1G2G31?G2G3H2?G2H1?G1G2H1?G4 (f)

H1(s)R_CG1(s)G2(s)G3(s)

H1(s)_RCG1(s)G2(s)G3G1

C12

RG31?G1G1G21?G1G2H1C

C(s)G3G1G2?(1?)R(s)G11?G1G2H1

G1G2?G2G3?1?G1G2H1

2-20．画出如图2-20系统结构图对应的信号流图，并用梅逊增益公式求各系统信号流图的传递函数C(s)/R(s)和C(s)/N(s)。

N(s)G3(s)R(s)G1(s)_CG2(s)_C(s)H1(s) 图2-20 系统结构图

解答：由结构图画出系统信号流程图如下：

N(s)G3-H1R(s)1G1G21-1C(s)-1

不考虑N(s)时， 有两个单独回路即

?La=-G1G2H1-G1G2，无不接触回路。

?La=1+G1G2H1+G1G2

13

因此信号流程图特征式?=1-

从源节点R(s)到节点C(s)的前向通路增益为 G1G2, 所以

C(s)G1G2 ?R(s)1?G1G2H1?G1G2不考虑R(s)时， 有两个单独回路即

?La=-G1G2H1-G1G2，无不接触回路。

?La=1+G1G2H1+G1G2

因此信号流程图特征式?=1-

从源节点R(s)到节点C(s)的前向通路有两条，其前向通路总增益及余子式分别为

p1??1，?1=1+G1G2H1 ?G2G3, ?2=1

p2N(s)p1?1?p2?2G2G3?G1G2H1?1 ??R(s)?1?G1G2H1?G1G22-22用梅逊增益公式求各系统信号流图的传递函数C(s)/R(s) (b).

G8G7R(s)C(s)G1G2-H1G3G4-H2-H4-H5G5G6-H31

解：

单独回路有即

?La=-G2H1-G4H2-G6H3-G3G4G5H4-G1G2G3G4G5G7H5-G7G3G4G6H5-G7H1G8G6

H5+G8H4H1-G1G8G6H5 两个互不接触回路有即

?LLbc=G2H1G4H2+G4H2G6H3+G2H1G6H3+G1G8G6H5G4H2+G7H1G8H5G4H2

-G8H4H1G4H2

三个互不接触回路有即

?LLLdef=-G2H1G4H2G6H3

因此信号流程图特征式?=1-

?La+?LL-?LLLbcdef

14

=1+G2H1+G4H2+G6H3+G3G4G5H4+G1G2G3G4G5G7H5+G7G3G4G6H5+G7H1G8G6H5-G8H4H1+G1G8G6H5+G2H1G4H2+G4H2G6H3+G2H1G6H3+G1G8G6H5G4H2+G7H1G8H5G4H2-G8H4H1G4H2+G2H1G4H2G6H3

源节点R(s)到节点C(s)的前向通路有四条，其前向通路总增益及余子式分别为

pppp

1?G1G2G3G4G5G6，?1=1， ?G7G3G4G5G6， ?2=1，

?G1G8G6, ?3=1+G4H2 ??G7H1G8G6， ?4=1+G4H2

234N(s)p1?1?p2?2?p3?3?p4?4?R(s)?G1G2G3G4G5G6?G7G3G4G5G6?G1G8G6?G1G8G6G4H2?G7H1G8G6?G7H1G8G6G4H2??

15

1R3(s)(f). a h deR1(s)b C(s) fj cg i 1 R4(s) 解： 单独回路有即

?La=fg+defg，无不接触回路。

因此信号流程图特征式?=1-

?La=1-fg-defg。

源节点R1(s)到节点C(s)的前向通路有12条，其前向通路总增益及余子式分别为

p1?ah，?1=1-fg， p2?aej，?2=1， p3?aegi, ?3=1

p1R3(s)4?bj， ?4=1 pa5?bdh ，?5=1 hdep?bgi，?6=1 R1(s)bC(s)6fjp?bdej，?7=1 cg7ip?bdegi，?8=1 18R4(s)p9?ci，?9=1， p10?cfj，?10=1， p11?cfdej，?11=1， p12?cfdh，?12=1，

C(s)?12p?ii?1iR1(s)??

16

?ah?ahfg?aej?aegi?bdh?bdej?bdegi?bj?bgi?ci?cfj?cfdh?cfdej1?defg?fg

源节点R2(s)到节点C(s)的前向通路有两条，其前向通路总增益及余子式分别为

p1?i，?1=1， p2?fj，?2=1， p3?fdej, ?3=1 p4?fdh， ?4=1

4C(s)?p?ii?1iR2(s)??

?i?fj?fdej?fdh1?defg?fg

源节点R3(s)到节点C(s)的前向通路有两条，其前向通路总增益及余子式分别为

p1?h，?1=1-fg， p2?ej，?2=1， p3?egi, ?3=1

3C(s)?p?ii?1iR2(s)??

?h?fgh?ej?egi1?defg?fg

17

第三章

3－3 已知各系统的脉冲响应，试求系统的闭环传递函数?(s)：

(1)k(t)?0.0125e?1.25t;

(2)k(t)?5t?10sin?4t?45??;(3)k(t)?0.1?1?e?t3?

解答：

（1） ?(s)?L?k(t)??（2）

0.0125

s?1.2510???(s)?L?k(t)??L?5t??sin4t?cos4t??2??5s??4?2?52?2?222??s?4s?4? s

?231?422?5?s?s?1?1616???2?2?ss??1??16?（3）

???11?1?(s)?Lk(t)?0.1????? 1?10s?3s?1? s?s??3??3-4 已知二阶系统的单位阶跃响应为h(t)?10?12.5e试求系统的超调量?%，峰值时间tp 和调节时间

解答：因为0

阻尼比?=cos(自然频率

?1.2tsin(1.6t?53.1)

?ts。

53.1)=0.6，

?wn?1.2/0.6?2，

18

阻尼振荡频率1． 峰值时间

w?=dwd?wn1???2?1?0.6?1.6

2t?p的计算

tp??wd1.6?1.96

2． 调节时间

ts的计算

ts?3.5?wn?3.5?2.9

0.6?23． 超调量?%的计算

?%?e???/1???100%????0.6/1?0.6?100%?9.48%

e223-5设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?位阶跃输入下的动态性能。

解答：

0.4s?1，试求系统在单

s(s?0.6)方法一：根据比例-微分一节推导出的公式

G(s)?s(s/2?wn?1)2K(Tds?1)?0.4s?1

50.6?s(?s?1)3G(s)s?z?(s)??wn(2)1?G(S)zs?2?ws?w2nnd0.4s?10.4s?10.4(s?2.5)s(s?0.6)??2?20.4s?1s?s?1s?s?11?s(s?0.6)

h(t)?1?re?dwnsin(wn1??t??)?t2dr?z2?2?dwn?wnz1??2d2

?????arctg[

wn1??2d)]?arctg((z??wdn1??2d?)d19

把z=1/

Td=2.5,

wn?1,?d?0.5代入可得

h(t)?1?1.05e?0.5tsin(32t?96.7?)

?1?1.05e?0.5tsin(3t?83.3?2)峰值时间的计算

??2dd?arctg(1??)?1.0472，??-1.6877

d

t?d??p?158

wn1??2?3.d超调量得计算

?%?r1??2e??dtpd?100%?21.65%

1??2d调节时间得计算

3?1ln(tz2?2?dw212n?wn)?lnz?ln(1??d)s?2?2?6.29dwn

方法二：根据基本定义来求解

闭环传递函数为

0.4s?1?(s)?G(s)s(s?0.6)0.4s?11?G(S)? 1?0.4s?1?2s?0.6)s?s?1s(当输入为单位阶跃函数时

20

C(s)?0.4s?1s(s?s?1)2?1?s?0.6?2ss?s?11 ?(s?)1?0.12???222s11233(s?)?()(s?)?()2222得单位阶跃响应

1?t2133?cos(t)?0.1?e2sin(t)

22h(t)?1?e?1?e1． 峰值时间

1?t2sin(3t?84.3?) (t?0) 2tp的计算

对h(t)求导并令其等于零得 -0.5

e?12133??t?tpsin(3?2pcos()??)??0

2tp84.3e2tp84.32tan(3??)?3 t84.3p2tp=2.9

2. 超调量?%的计算

?%?h(tp)?h(?)h(?)?100%?17.49%

3. 调节时间

ts得计算

e?12ts?sin(3?84.5?)?0.05

2tsts?5.33

3-6.已知控制系统的单位阶跃响应为

h(t)?1?0.2e?60t?1.2e?10t ，试确定系统的阻尼比?和自然频率

?n。

解答：系统的单位脉冲响应为

21

?(t)??12e k(t)?h系统的闭环传递函数为

?60t?12e?10t

?(s)?L?k(t)??12?自然频率

?n?1?600?1 ???2s?10s?60s?10s?600??600?24.5

阻尼比 ??70?1.429

2?6003-7 设图3－7是简化的飞行控制系统结构图，试选择参数K1和K2，使系统的

?n?6,??1。

图3－7飞行控制系统结构图

解答：通过简化3－7中所示的结构图，得到系统的闭环传递函数为 ?(s)?25K1 2s??0.8?25K1Kt?s?25K1将上式与二阶系统的传递函数的标准形式

?n2 ?(s)?2 2s?2??ns??n相比较可得

2??25K1??n ?

0.8?25KK?2???1tn?将?n?6,??7代入上述方程组并解之可得

22

?K1?1.44 ?

?Kt?0.31

3-8分别求出图3-8中各系统的自然频率和阻尼比，并列表比较其动态性能。

图3－8 控制系统

解答： （1）由图3－8（a）可得系统的闭环传递函数为 ?1(s)?1 2s?1由上式易得，此系统的动态性能指标为 自然频率

?n?1

阻尼比

??0 超调量

?%?e调节时间

ts?? （2）由图3－8（b）可得系统闭环传递函数为 ?2(s)????1??2?100%

s?1

s2?s?1显然，这是一个比例－微分控制二阶系统，因此有 ?n?1,??0.5,z?1

23

r?z2?2?d?n??2nz1??2d?1.155?1??d2????arctan???????1.047 ??d33???1??2d?????arctan?n?z??d?d??d?arctan1??d2?d??3?1.047此系统的动态性能指标为 峰值时间

tp?超调量

2 ?%?r1??de??dtp?d???n1??2d?2.418

1??d2?35.1%

调节时间

1123?ln?z2?2?d?n??n?lnz?ln?1??d2??22 ts??6.29

?d?n（3） 由图3－8（c）可得系统闭环传递函数为 ?3(s)?1 2s?s?1由上式易得，此系统的动态性能指标为 自然频率 ?n?1

阻尼比 ??0.5，所以为欠阻尼二阶系统 超调量

?%?e 调节时间

ts????1??2?16.3%

3.5??n?7

动态性能的比较表如下表3－1所示。

表3－1 动态性能的比较表 (a) (b) (c) wn?1 wn?1 wn?1 ??0 ??0.5 ??0.5 24

h(t)?1?cos(t)

h(t)?1?2?0.5t32?0.5t3??sin(t?)h(t)?1?sin(t?) e120e602233ttr?0.9s ?2.42s ttr?2.42s ?3.63s ppts?6.29s ts?7s ?%?24.7% ?%?16.3% 3-9设控制系统如图3-9所示。要求：

（1） 取?1?0,?2?0.1,计算测速反馈校正系统的超调量，调节时间

和速度误差；

（2） 取?1?0.1,?2?0,计算比例-微分校正系统的超调量，调节时间

和速度误差；

图3－9 控制系统

解答：（1）取?1?0,?2?0.1时，系统的传递函数为

G(s)?

10s?s?2?10s2?2s?10

?(s)?由开还传递函数可知，此系统是一个I型系统，其速度系数为Kv?5，由静态误差系数法可得系统的速度误差为

25

ess?1?0.2 Kv由闭环传递函数可知，?n?10?3.16,??1?0.316，故 3.16???1??2 超调量 ?%?e 调节时间 ts?

(2)取?1?0.1,?2?0时，系统的传递函数为

?35.09%

3.5??n?3.5

G(s)?

10?0.1s?1?s?s?1?s?10s2?2s?10

?(s)?由开还传递函数可知，此系统是一个I型系统，其速度系数为 Kv?10，由静态误差系数法可得系统的速度误差为

ess? 由比例微分校正系统的闭环函数可知

1?0.1 Kv?n?10?3.16,??r?2z2?2?d?n??n1?0.316,z?103.16?1.095z1??2d?n1??d21??d2?????arctan?arctan????0.322?1.249??1.57

z??d?n?d?d?arctantp?1??d2?d2d?1.249?d???n1???0.94超调量

?%?r1??e调节时间

2d??dtp21??d?76%

26

1123?ln?z2?2?d?n??n?lnz?ln(1??d2)?22 ts??3.09

?d?n3-11已知系统特征方程为

4323s?10s?5s?s?2?0

试用劳思判据和赫尔维茨判据确定系统的稳定性。

解答：首先用劳思判据来判定系统的稳定性，列出劳思表如下：

s4 3 5 2s3 10 1 s 47 2 10153s1 ?47s0 22

显然，由于表中第一列元素的符号有两次改变，所以该系统在s右半平面有两个闭环极点。因此，该系统不稳定。

再用赫尔维茨稳定判据来判定系统的稳定性。显然，特征方程的各项系数均为正，则

?2?a1a2?a0a3?10?5?3?1?47?0

a12a4102?2 ??200??2a31显然，系统不稳定。

3－13 已知单位负反馈系统的开环传递函数为

G(s)?K?0.5s?1?s?s?1?(0.5s2?s?1)

试确定系统稳定时的K值范围。

解答： 由题意可知系统的特征方程为

D(s)?s?3s?4s?(2?K)s?2K?0 列劳思表如下

432 27

s4 1 4 2Ks3 3 2+K s 10?K 2K 3?10?K??2?K??6K3s1 10?K3s0 2K2由劳思稳定判据可得

?10?K?3?0???10?K??2?K??6K?3 ??0

10?K?3??2K?0??解上述方程组可得

0?K?1.705

3－15 已知单位反馈系统的开环传递函数：

(1) G(s)? (2) G(s)?100?0.1s?1??s?5?50

s?0.1s?1??s?5?s2?s2?6s?100?2(3) G(s)?10?2s?1?试求输入分别是r(t)?2t和r(t)?2?2t?t时，系统的稳态误差。 解答：（1）G(s)?10020?

0.1s?1s?50.1s?1s?5????????由上式可知，该系统是0型系统，且K?20.

0型系统在1(t),t,t信号作用下的稳态误差分别为：

1221,?,?。该系统在输入为1?Kr(t)?2t时的稳态误差为

ess1??

根据线性叠加原理，该系统在输入为r(t)?2?2t?t时的稳态误差为

28

2

ess2?2.（2）G(s)?1?2.????? 1?K5010=

s?0.1s?1??s?5?s?0.1s?1??0.2s?1?由上式可知，该系统式1型系统，且K?10。 1型系统在1(t),t,t2信号作用下的稳态误差分别为：0,的稳态误差为

ess1?2.121该系统在输入为r(t)?2t时,?。

K1?0.2 K2根据线性叠加原理，该系统在输入为r(t)?2?2t?t时的稳态误差为 ess2?2?0?2.1??

K??（3） 首先需要判定此系统的稳定性，对于单位负反馈系统有H(s)?1，所以系统的闭环特性方程为

D(s)?s2?s2?6s?100??10?2s?1?=s4?6s3?100s2?20s?10?0

用劳思稳定判据来确定此系统的稳定性，列劳思表如下

s4 1 100 10s3 6 20 s2 5806 10

s1 11240280 s0 10显然，劳思表中的第一列元素均大于零。由劳思稳定判据可知系统是稳定的。 用终值定理来求系统的稳态误差，有

ess1?limsE(s)?limss?0s?01.R(s)1?G(s)H(s)

?lims.R(s).s?0s2?s2?6s?100?s2?s2?6s?100??10?2s?1?2，则 2s当输入为r(t)?2t时，R(s)?s2?s2?6s?100?2 ess1?lims.2.22?0

s?0ss?s?6s?100??10?2s?1?22222?s?s?1?当输入为r(t)?2?2t?t时，R(s)?2??3?，则 3ssss2 29

e?s2?s?1?2s2?6s?100?ss2?lims.2s?0s3.s?s2?s2?6s?100??10?2s?1??20

3－16 已知单位反馈系统的开环传递函数：

(1) G(s)?50?0.1s?1??2s?1?; (2) G(s)?Ks?s2?4s?200?; (3) G(s)?10?2s?1??4s?1??s2s2?2s?10?试求位置误差系数Kp，速度误差系数Kv，加速度误差系数Ka。 解答：（1）此系统时一个0型系统，且 K?50。故查表可得

Kp?K?50 Ka?0

Kv?0(2)根据误差系数的定义式可得

KKp?lims?0G(s)H(s)?lims?0s?s2?4s?200??? KKKv?limsG(s)H(s)?lim?4s?200?200 s?0s?0s2??KKa?lims?0s2G(s)H(s)?lims?0?s4?4s?200??0（3）根据误差系数的定义式可得

K10?2s?1p?lims?0G(s)H(s)?lims?02???4s?1?ss2?2s?10??? K10?2s?1??4s?1v?lims?0sG(s)H(s)?lims?0??ss2?2s?10??? K10?2s?1??4s?1a?lims?0s2G(s)H(s)?lims?0??s2?2s?10??1

补充题： 1. 某单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)?Ks?0.1s?1??0.25s?1?

30

试求：（1）使系统稳定的K值范围；

（2）要求闭环系统全部特征根都位于Res＝－1直线之左，确定K的取值范围。 解答： （1）特征方程1?G(s)?0，即 0.025s?0.35s?s?K?0 要使系统稳定，根据赫尔维茨判据，应有

32?K?0? ?0.35?0.025K

即 0?K?14（2）令 s?z?1代入系统特征方程，得

0.025z?0.275z?0.375z?K?0.675?0

要使闭环系统全部特征根都位于s平面Res＝－1直线之左，即位于z平面左平面，应有

32??K?0.675?0 ?

0.375?0.275?0.025K?0.675????即

0.675?K?4.8

2.系统结构图如图3－12所示。试判别系统闭环稳定性，并确定系统的稳态误差

essr及essn。

图3－12

解答：

1010?5s?1?G(s)???0.5??2?s?s?0.25s?1?s?0.25s?1??(s)?G(s)10?5s?1?G(s)0.25s3?s2?5s?10

31

即系统特征多项式为0.25s劳斯表为

3?s2?5s?10＝0

s3 0.25 5s2 1 10 s1 2.5

s0 1010?5s有两

s2?0.25s?1? 由于表中第一列元素全为正，所以系统闭环稳定，又因为G(s)?个积分环节，为2型系统，输入r(t)?1?t，2型系统可无静差踪，所以essr=0。 对扰动输入，稳态误差取决于扰动点以前的传递函数G1(s)，由于本系统中，

10.5s?1，有一个积分环节，且n(t)?0.1为阶跃输入，故可无静差跟踪，G1(s)??0.5?ss所以essn＝0。

3.设系统如图3－14所示，要求：

（1） 当a?0时，确定系统的阻尼比?，无阻尼自然振荡频率?n和r(t)?t作用

下系统的稳态误差；

（2） 当??0.7时，确定参数a值及r(t)?t作用下系统的稳态误差； （3） 在保证??0.7和essr?0.25的条件下，确定参数a及前向通道增益K

图3-14 解答： （1）当a?0时，

32

8s?s?2?8?e(s)?1?8?s2?2s?8s?s?2?????2?2n?8? 即 ????0.354?2???4n?2???n?22?2.828

?1?s2?2se(s)?1?8s2?2s?8s?s?2?所以 es2?2s11ssr=lims?0s?e(s)R(s)?lims?0s.s2?2s?8.s2=4 或由开环传递函数 G(s)?8s?s?2?,得

K11v?lims?0sG(s)?4,ess?K?v48（1） 因为G(s)?s?s?2?1?8?8s2?(2?8a)s

s?s?2?.as8 ?(s)? G(s)1? G(s)?s2??2?8a?s?81?8s2?(2?8a)s?8

s2??2?8a?s所以 ?2n?8 即?n?22 2??n?2?8a a?118?2??n?2??4?0.7?22?1??0.245 此时，

33

8s?s?2?8 G(s)??8ass?s?3.96?1?

s?s?2? Kv?limsG(s)?s?0

8?2.023.96当r(t)?1时，ess?1?0.495 Kv（2） 设前向通路增益为K，则

Ks?s?2?KG(s)??Kass?s?2?aK?1?s?s?2? Kv?limsG(s)?K s?02?aKK ?(s)?2s?(2?aK)s?K2???n?K ???2??n?2?aK 由 essr=12?aK==0.25及?=0.7,可解得KVK

a?0.186,K?31.16 4. 已知单位反馈系统的开环传递函数G(s)?10。试分析：

s(0.01s?0.2)（1）系统是否满足超调量?%?5%的要求？

（2）若不满足要求，可采用速度反馈进行改进，画出改进后的系统的结构图，并确定速度反馈的参数。

（3）求出改进后系统在输入信号r(t)=2t作用下的稳态误差。（华中理工大学2000年考题）

解答： （1）由开环传递函数可得系统的闭环传递函数为

?(s)?2G(s)1?G(s)?1000

s2?20s?1000由上式可得?n?1000,2??n?20，即 ?n?31.6，?＝0.3

34

此时?%?e???1??2?100%?5%，不满足超调量?%?5%的要求。

（2）采用速对反馈进行改进后的系统的结构图如图3－28所示。

图3－28

此时系统的开环传递函数为

G(s)?1000

s(s?1000??20)系统的闭环传递函数为

?(s)?G(s)1?G(s)2?1000

s2(1000??20)s?1000由上式可得?n?1000,2??n?1000??20。 当?%?e

???1??2?100%＝5％时，?＝0.69,所以

2?0.69?1000?1000??20??0.0241000

1000??20（3）系统改进后，由其开环传递函数可知，此系统为I型系统。系统的开环增益为 K?当输入信号为r(t)=2t时，由静态误差系数法可得 ess?

222(1000??20)???0.088 KvK10005.系统动态结构图如图3－29所示。试确定阻尼比?＝0.6时的Kf值，并求出此时系统阶跃响应的调节时间ts和超调量?%。（北京航空航天大学2000年考题）

35

图3－29

解答： 由图3－29可得系统的闭环传递函数为

?(s)?9 2s?(Kf?2)s?92显然，?n?9,2??n?Kf?2。又由?＝0.6可得 Kf?2??n?2?2?0.6?3?2?1.6 系统超调量为

?%?e???1??2?100%＝9.5％

系统的调节时间为 ts?3.5??n?1.94s

第四章

1.已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为：

G?s??K

s?s?6??s?3?（1） 绘制系统的根轨迹图?0?K???；

（2） 求系统临界稳定时的K值与系统的闭环极点。（上海交通大学2002

年考题）

解答：（1）绘制系统的根轨迹。

①系统有3个开环极点p1?1,p2??3,p3??6,没有开环零点；

②根轨迹有3条分支。这三条根轨迹分支分别起始与开环极点

p1?1,p2??3,p3??6,终止于无穷远处；

③实轴上的根轨迹为 ???,?6?,??3,0?;

36

④渐近线如下

?3?6??3 n?m3?2k?1????2k?1????160?,180??a?n?m3?a??p??zii?1j?1nmj?⑤分离点如下

111???0 dd?3d?6解之得 d1??1.27,d2??4.72（舍去）

⑥与虚轴的交点：将s?j?代入系统闭环特征方程，令其实部，虚部都为零，可得

2??18????0 ? 2??K?9??0解之得 ??4.24,K?162

根据以上分析，绘制系统的根轨迹图，如图4－5所示。

图4－5 根轨迹

（2） 系统临界稳定即为根轨迹与虚轴的交点处，由以上分析可知

临界稳定时的K值为K＝162

临界稳定时的闭环极点 s??j???j4.24

2.已知负反馈控制系统的闭环特征方程为：

K*??s?14??s2?2s?2??0

（1） （2）

绘制系统的根轨迹 (0?K*??)；

确定使复数闭环主导极点的阻尼系数??0.5的K*值（上海交

37

通大学2000年考题）

解答： （1）系统的闭环特征方程为

K*??s?14??s2?2s?2??0

K*1??0 2?s?14??s?2s?2?因此系统的等效开环传递函数为

K*G?s?H?s?? 2s?14s?2s?2????①系统有3个开环极点p1,2??1?j,p3??14,没有开环零点；

②根轨迹有3条分支，这三条根轨迹分支分别起始于开环极点p1,2??1?j,p3??14,，终止于无穷远处；

③实轴上的根轨迹为???,?14?; ④渐近线如下

?a??a??p??zii?1j?1nmjn?m?2k?1??n?m??163?2k?1???3

??160?,180?⑤分离点如下

111???0 d?14d?1?jd?1?j解之得 d1??9.63（舍去），d2??1.04（舍去）

⑥与虚轴的交点：将s?j?代入系统闭环极点方程，令其实部，虚部都为零，可得

3??30????0 ?*228?K?16??0??解之得 ??5.48,K?452

根据以上分析，绘制系统的根轨迹图，如图4－6所示。

* 38

图4－6 根轨迹

（3） 设闭环主导极点为

s1,2????n?j?n1??2?0.5?n?j?n0.75 由根之和可得

p1?p2?p3?s1?s2?s3

即 s3??n?16

由s1,s2,s3可得系统的闭环传递特征方程为

D?s???s?s1??s?s2??s?s3??s???n?s3?s????s3?n?s?s3?322n32*2n

又由题目可得系统的闭环特征方程为

D?s??s?16s?30s?K?28

比较上述两个式子可得 ?n?15113*,s3??,K?21.48 88*即使复数闭环主导极点的阻尼系数??0.5,的K值为 K?21.48

*3.单位负反馈系统的开环传递函数为：

G?s??K?s?5?s?s?4.8?

画出K>0,时，闭环系统的根轨迹，并确定使闭环系统稳定时K的取值范围。（北

京航空航天大学2001年考题）

39

解答： 由题目可知，系统的开环传递函数为 G?s??K?s?5?s?s?4.8?

①系统有2个开环极点 p1?0,p2?4.8，1个开环零点z1??5;

②根轨迹有2条分支，这两条根轨迹分支分别起始与开环极点p1?0,p2?4.8，其中一条终止与无穷远处，另一条终止与开环零点z1??5; ③实轴上的根轨迹为???,?5?,?0,4.8? ， ④渐近线如下

?nmpi??zj?i?1j?14.8?5a?n?m?1?9.8 ??2k?1????2k?1??a?n?m1?180?⑤分离点如下

1d?11d?4.8?d?5

解之得

d1?2,d2??12

⑥与虚轴的交点如下：系统的闭环特征方程为

D?s??s2??K?4.8?s?5K?0

由上式可得，在根轨迹与虚轴的交点处： s??5Kj??4.9j

K?4.8

根据以上分析，绘制系统的根轨迹，如图4－14所示。

由以上分析，结合系统的根轨迹图4－14易得：当K?4.8时系统稳定。

40

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