矩阵迹的性质与应用

安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文

矩阵迹的若干个性质与应用

姓名：某某 指导老师：某某

摘 要：根据矩阵迹的定义,首先给出了矩阵迹的性质,然后依据方阵的F?范数定义Cauchy —Schwarz

不等式,给出了零矩阵,不相似矩阵,数幂矩阵,列矩阵,幂等矩阵及矩阵不等式的证法。矩阵的迹在解题中的应用给出了实例。

关键词：迹 矩阵 范数 特征值

1 引言

矩阵的迹及其应用是高等数学的重要内容，也是工程理论研究中的重要工具。本文在前人研究的基础上，首先介绍了矩阵迹的相关性质，然后给出了零矩阵，不相似矩阵，数幂矩阵，列矩阵，幂等矩阵及矩阵不等式的证法，最后对矩阵的应用给出实例。

2 预备知识

定义1 设

A?(aij)?Cn?n,则trA??aii称为A 的迹。

i?1n定义2 设

nnA?(aij)?Cn?n,记与向量范数AX2相容的A 的F 一范数为: 212AF?(??aij)

i?1j?1(1)A?0?AF?0

(2) KAF?K?AF,?K?C(3) A?B(4) AB(5) AXF

?AF?BF,?A,B?Cn

F?AF?BF,?A,B?Cn?n ?AF2?X2

引理：矩阵迹的性质: 1 tr(A?B)?trA?trB 证明：设

A?(aij)n?n,B?(bij)n?n则tr(A)??aii,tr(B)??bii,tr(A?B)??(aii?bii)

i?1i?1i?1i?ni?ni?n 第 1 页

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又tr(A)?tr(B)??a??b??(aiiiii?1i?1i?1i?ni?ni?nii?bii)

所以tr(A?B)?tr(A)?tr(B)得证 2 tr(kA)?k?trA(k为任意常数) 证明：设A?(aij)n?n则

tr(A)??aii?k?tr(A)?k?aii?tr(kA)??(k?aii)?k?aii ?tr(kA)?k?tr(A)由（1）与（2）知tr(mA?nB)?m?tr(A)?n?tr(B),m,n?C 3 tr(AB)?tr(BA)

证明：设 A?(aij)n?n,B?(bij)n?n 则AB?(cij)n?n，其中cij?k?nk?1?ak?1k?nik?bkj所以有tr(AB)???aij?bji

BA?(dij)n?n其中dij??bik?akj，所以有tr(AB)???aij?bji

?tr(AB)?tr(BA)得证

4 trA?trA?

证明：矩阵取转置运算主对角线上的元素不变，所以等式很显然成立。 5 tr(A)?2??ai?1j?1nnnnijaji

证明：令（3）中B?A即可得证。 6 tr(AA?)???ai?1j?12ij

证明：令（3）中B?A'即可得证。 7 trA???i?1ni（?i是A的特征值）

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??10???证明：由若当定理知A?J?????

???0??n?因为相似矩阵迹相等，所以trA?n??i?1ni

8 tr(A)?2??i?12i

证明：设矩阵A的特征值为?1,.......,?n 则矩阵A的特征值为?1,.......,?n

222则由（7）即可得证

9 若A~B,则trA?trB;特别，tr(T（下面定理有证明）

10 若A?0，||A||>0，则 trA?0

有了上面关于矩阵的迹定义及性质的介绍，下面我们通过举例来看其在解题中的应用。

?1AT)?trA

3 解题中的应用

例1 设A,B为同阶实对称矩阵，若A?B正定，则A和B不相似。 证：假设A,B相似,则由性质9 知, trA?trB 再由性质1 得tr(A?B)?trA?trB?0

故由性质10 知A?B 不是正定阵,与已知矛盾!从而, A和B不相似。

例2 设n阶矩阵A的对角线上元素全是1，且其特征值为复数，求证|A|?1 证：设?i(i?1,2,...n)为A的全部特征值，且?i?0,i?1,2,...n,则有

|?1?2...?ntr,A(??)1????n... |A? 2又A的主对角线上的元素全是1，知tr(A)?n 则n?1?2...?n?所以

?1??2...??nn?tr(A)?1 n|A|??1?2...?n?1。

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例3 已知n 阶方阵A，若对所有的n阶方阵X 有 tr(AX)?0,则A?0。

xij?0。证： 设A?0，则有某akm?0。作矩阵X?(xij)，使xmk?1,(i,j)?(m,k)时，

则矩阵AX主对角线上的元素

n C?akm,l?ll??alsxsl??ks?1?0,l?k

tr(AX)??nCll?akm?0。与已知矛盾!故A?0

l?1

例4 设A?(aij)n?n，A的特征多项式为 ?E?A??n?bn?1n?1????b1??b0，则bn?1??trA。

证 因为

????a11?a12??a1n??E?A???a21??a22??a?2n??????????? ??an1?an2???a?nn???n?(a11?a22???a?1nn)?n???(?1)ndetA

所以

bn?1??(a11?a22???ann)??trA。

例5 设A , B , C 都是n?n 矩阵,且AC?CA , BC?CB ,则存在不大于n的自然数m ,使得Cm?0。 证：

先证trCk?0. (k为任意自然数) Ck?Ck?1(AB?BA)?A(Ck?1B)?(Ck?1B)A (1)

由(1) 和性质1、3 得：trCk?tr?A?Ck?1B???tr??Ck?1B?A??0

再证C 的特证值都等于0。

设C 的特征值为?1,?2?,?n.则存在可逆矩阵T ,使

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C?AB?BA, 安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文

????1?T

C?T?1??????n??0?k??1?所以Ck?T?1??0?k?????T,(k?0,1,2,?)

??kn?kkk从而 0?trC??1??2????n(k?1,2,?) （2）

不失一般性,设C 的互异的非零特征值为?1,?2?,?s,且重数分别为r1,r2?,rs。 则(2) 式变为: 0?r1?1?r2?2???rs?skkk(k?1,2,?)

??1???2?1取前S 个等式,因为范德蒙行列式?????s??1?特征值都是0 重,故C 的特征全为0 。

再证Cm????ss??s???2s??0，因此r1?r2???rs?0。即非零

?0。 由于C 的每个若当块都形如

?01??0???i?1,2,?,t. Ji????1???0??ni?ni因此

?J1??T

C?T?1?????Jk????J1m???令: m?max?n1,n2,?nt?，则Cm?T?1???T?0

m??Jt??例6 满足P?P 的矩阵P叫做幂等阵,试证：幂等矩阵的迹与秩相等。 证:设n 阶阵P为幂阵,且P的秩R?P??r,则P的特征值是0 或1 ,且P具有

2n个线性无关的特证向量,因而, P与对角阵相似。

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?1???故必有满秩阵T 存在，使P?T??????上式右端的对角阵的秩等于

?10??????1 ?T???0??p的秩r ,即该矩阵中的对角元素(P特征值)有r个为1 ，

n?r个为0 。故由性质7 知

trP?1???1?0??0?r

例7 设有n阶实对称矩阵A ,若A?0，则有trA?0。 证：因为A?0 ,所以A半正定,故存在n阶矩阵

u 其中ai?(qi1,?,qin)是第i个行向量?i?1,2,?,n?，使得A?Q?Q

QF?0。

n于是trA?tr?Q?Q??2又因为?n 维列向量X?(x1,?,xn)??R,有

2?X?AX?X?Q?QX??QX??QX??QX2

?q11x1???q1nxn???a1,X????????

????于是 QX????????qn1x1???qnnxn?????an,X???由Cauchy - Schwarz不等式知，?ai,X??ai所以QX222X2F2

222?n2????ai,X????ai2?Xi?1?i?1?2Fn22?QX2

即QX?QX22??trA?X22??trA?X?X AX??trA?X?X?X??trA?EX 从而X?故有?trA?E?A

例7 设A为一个n阶矩阵，A的主对角线上所有元素的和称为A的迹，记作trA.证明：如果对任意的n阶方阵X，都有tr(AX)?0，则A?0 证：

设A?(aij)，取X?A?,则

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tr(A?A?)???aik?aik???|aik|2?0

i?1k?1i?1k?1nnnn所以aik?0,i,k?1,2,?,n. 即

A?0

例8 证明：不可能有n阶方阵A,B满足

AB?BA?E

证：设

?a11?a1n??b11?b1n?????A??????，B??????

?a?a??b?b?nn?nn??n1?n1为任二n阶方阵，则AB主对角线上的元素为

nnn?ab,?a1ii1i?1i?12ii2b,?,?anibin

i?1它们的和为

??ai?1j?1nnjiijb

同样，BA的主对角线上元素的和为

?bj?1nn1jaj1??b2jaj2????bnjajnj?1j?1nnnnn???bijaji???ajibiji?1j?1i?1j?1

亦即AB与BA的主对角线上元素的和相等，从而AB?BA的主对角线上元素的和为零.但是，单位方阵E的主对角线上元素的和为n?0,因此

AB?BA?E

4 下面介绍一些有关矩阵迹的定理

定理1 Cauchy-Schwarz公式： 设A,B都是n阶矩阵，则有

证明：设a?[a1,a2,......,an],b?[b1,b2,......,bn]

则由向量的内积定义式?a,b??abcos?，其中?为a与b的夹角

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即

?ab?[?aiii?1n21/2i][?bi2]1/2。

TT1/2T1/2推广到矩阵的迹的形式，即为tr(AB)?[tr(AA)][tr(BB)] 定理2 schur不等式

设设A是n阶矩阵，则有tr(A)?tr(AA)

TTT2TTT2证明：因为??(A?A)???(A?A)(A?A)?A?AA?AA?(A)

22T又因为A?AT是反对称矩阵，故有

tr(A?AT)2?0?tr(A)?tr(AA)2T

定理3 设A,B为n阶对称矩阵，则有tr(AB)?证明：由Cauchy-Schwarz公式可知

21tr(A2?B2) 2 tr(AB)?[tr(A)][tr(B)]又[tr(A)][tr(B)]即得

21/221/21/221/2

?1?tr(A2?B2)??? 21tr(AB)?tr(A2?B2)

2

定理4 设A,B,C都是n阶实对称矩阵，则有

tr(ABC)?tr(ACB)?tr(BAC)?tr(BCA)?tr(CAB)?tr(CBA)

证明：

?A,B,C都是n阶实对称矩阵，又由引理2可得

tr(ABC)?tr(ABC)T?tr(CTBTAT)?tr(CBA)

又由引理3可得

tr(ABC)?tr(BAC)?tr(CAB)

同时有

tr(CBA)?tr(BAC)?tr(ACB)

即可得结论。

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定理5 设n阶矩阵A的所有特征值都是实数，且trA?0，若A恰有k个特征值，则

2(trA)2?k 2trA证明：设A的n个特征值为?1,?2,?,?n。因为trA?0，由引理1 知k?0

2A2的特征值为?12,?22,?,?n2不为零，而其余的特征值?k2?1??k2?2????n2?0

考察以下平方和

?) M??(?i?ai?1k2??其中a由于

1? trA，显然M?0,且M?0??1??2????k??k??trA2?k(trA)2?0 M???i?k?ki?1k2于是，有

(trA)2?k trA2

定理6 设A,B都是n阶实对称矩阵，则有

tr(AB)2?tr(A2B2)

证明：由于A,B都是n阶实对称矩阵，且由Schur不等式和引理3，可得

TTT222tr(AB)2?tr??(AB)(AB)???tr(BAAB)?tr(BAB)?tr(AB)

定理7 设A,B都是n阶实对称矩阵，且正定或半正定，则有

tr(AB)?|tr(A)tr(B)|

证明：由cauchy-schwarz公式，且A,B都是n阶实对称矩阵，使得

tr(AB)?[tr(A2)]1/2[tr(B2)]1/2

设A的特征值为?1,?2?,?n.B的特征值为?1,?2,.....,?n显然A,B的特征值均大于0

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??1?0??又由定理4知，对A存在n阶正交矩阵p使得??P?1AP????

??n??0?所以tr(A)?tr(P?PP?P)?tr(P?P)?tr(?)?122?1?12?12??i?1n2i?(??i)2?tr(?2)

i?1n由此得 ??tr(A)???|tr(A)|，|tr(B)|?|tr(B)| 故有

12122212tr(AB)???tr(A)????tr(B)???|tr(A)|?|tr(B)|

即

22tr(AB)?|tr(A)?tr(B)|

参考文献

[1]丁学仁. 工程中的矩阵理论[M].天津：天津大学出版社,1988 [2]党诵诗. 矩阵论及其在测绘中的应用[M].北京：测绘出版社,1980 [3]陈公宁. 矩阵理论与应用[M].北京：高等教育出版社，1990

[4]牛华伟，张厚超.关于矩阵迹的性质与应用[J].宁波职业技术学院学报，2009年4月 [5]宋占奎.矩阵的迹在解题中的应用[J].陕西工学院学报，2001年3月

Matrix trace of several properties and application

Author：Cao min Supervisor:Dai linsong

Abstract : On the basis of the definition of matrix traces ,this paper discusses their characteristics at first and then according to the norm of the F of square matrix and Cauchy - Schwarz

Inequality gives how to prove the zero matrix, unsimilar matrix，number cloth matrix , column matrix idempotent matrix and non - equality matrix. The application examples of the matrixt races in solving problems was given..

Key words : traces；matrix；norm；characteristic value

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/iplr.html