北京交通大学2008 - -2009第二学期随机数学期末试题答案48A

北 京 交 通 大 学

2008---2009学年第二学期《概率论与数理统计》期末考试试卷(A)

学院_____________ 专业________ 班级____________

学号_______________ 姓名____________

注意:本试卷共有十三道题,如有不对,请与监考教师调换!

题号 得分 阅卷人 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三 总分 一.（满分6分）已知P?A??12，P?B??，在下列情况下，分别求概率P?AB?和P?A?B?。 45（1）A与B互斥；（2）A与B独立。 解：（1）PAB=P?B????2 53 ----3分 4P?A?B??P(A)?1?P(A)?（2）PAB=PAP?B??????3 1017 ----3分 20P?A?B??P(A)?P(B)?P(AB)?

1

二. （满分8分）某人衣袋中有两枚硬币,一枚是均匀的，另一枚两面都是正面。 (1)他随机取出一枚抛出，结果出现正面，求该枚硬币是均匀的概率;

(2)如果他将这枚硬币又抛一次，又出现正面，求该枚硬币是均匀的概率。

解:设B={取出的硬币是均匀的}，Ai={第i次抛出的结果是正面}，i=1，2 ----2分

则有：

（1）P(BAP(B)P?A1B?0.51)?P(B)P?A1B??P(B)P?A1B??0.5?0.5?0.5+0.5?1?13 ----3分

（2）P(BAP(B)P?A1A2B??0.2511A2)?P(B)P?A1A2B??P(B)P?A1A2B??0.50.5?0.25+0.5?1?5

2

----3分

三. （满分8分） 设二维随机变量(X,Y)具有分布律：

X Y 1 2 3 ?1 0 511 1212121 1 24? 12(1)求常数?；（2）求两个边缘分布律；（3）说明X与Y是否独立; (4)求3X?4Y的分布律；（5）求P(X?Y?1)。 解：（1）1???pij?ij717。 ----2分 ??，??2424

(2) X ?1 0 75 P 1212 Y 1 P 112 3 2491 246----2分

(3) X与Y不独立。 ----1分 (4) 3X+4Y 1 4 5 8 9 12 P 511711 122412241212----1分

(5) X+Y 0 P 51 2 3 12 131 8812----1分

3111P(X?Y?1)??? - ---1分

81224

3

四(满分8分) 设随机变量X与Y相互独立，其概率密度分别为

?1,fX?x????0,?e?yf(x,y)?fX(x)fY?y????00?x?1，?e?y,fY?y???其他，?0,0?x?1,y?0其它y?0,其他.

求Z?2X?Y的分布函数和概率密度。

解：

----2分

由分布函数的定义有FZ?z??P?Z?z??P?2X?Y?z??2x?y?z??f?x,y?dxdy

----2分

当z?0，FZ?z??0; ----1分

当0?z?2，

FZ?z???dx?

z20z?2x0e?ydy?111z?e?z? ----1分 2221e?ydy?1?(e2?1)e?z ----1分

2当z?2，FZ?z??

?10dx?z?2x0??0z?0??1fZ?z???(1?e?z)0?z?2?2?1?z?2?z(e?e)z?2??2----1分

4

五(满分8分) 设二维随机变量?X，Y?的概率密度为

?f?x，y???1?y2?x2?1

???0其它 试验证X与Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的。

解：（1）

???y2EX???????xf(x,y)dxdy?x2???x11y2?1?dxdy???1?x?1?y2?dxdy?0

??EY?yf(x,y)dxdy?0

????????1?y2EXY???????xyf(x,y)dxdy?x2???xy1y2?1?dxdy???1?xy0?1?y2?dxdy?EXY?EXEY X与Y是不相关的。

X的边缘概率密度为

??1?x2fX?x??f?x,y?dy=???1dy=21?x2,?1?x<1, ?????1?x2?? ?0, 其它Y的边缘概率密度为

??2fY?y??f?x,y?dx=???1?y2,?1?y<1,

?????0, 其它易见f?x,y??fX?x?? fY?y?，所以X, Y不独立。

5

???3分

???1分

???2分 ???2分

六（满分8分）设随机变量Z?11X?Y,其中X?N(1,32)，Y?N(0,42), 32?XY?? 求(1) 求Z的数学期望E(Z)和方差D(Z)；(2)?XZ.

解：E(Z)?14111EX?EY? ----2分 323

D(Z)?19DX?14DY?2Cov(13X,12Y)?19?9?14?16?2?11?1?3?2????4???3?4 ?4

Cov(X,Z)?113DX?2Cov(X,Y)?3?1 2???1?3??4???3?4?2

?X,Z)XZ?Cov(DXDZ?14 ----2分 ----2分

----2分

6

七．（满分8分）设某商品每周的需求量X?U?10,30?，而经销商店进货量为区间[10，30]中的某个整数，商店每销售一单位商品可获利500元。若供大于求则削价处理，每处理一个单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每单位商品仅获利300元。为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量。 解：设进货量a。相应利润H(a).

500a?300(X?a),a?X?30? ----2分 H?a???500X?100(a?X),10?X?a?

?1?,x??10,30? ----2分 fX?x???20?其他?0,

3011dx??(300x+200a)dx10a2020 ----2分

=?7.5a2?350a?5250?9280,E[H?a?]???600x?100a?a

7.5a2?350a?4030?0,

220?a?26 3最少进货量为21单位。 ----2分

7

八．（满分7分）设X1,X2,?，X16为总体X?N(0,4)的样本。 （1）求a使得P(X?a)?0.05；

（2）求b使得P(X?bS)?0.75。（其中的X,S分别是样本均值和样本标准差）

（已知??1.645??0.95,t0.25(15)?0.6912,t0.25(16)?0.6901）

解：（1）X?N(0,4)，2X?N(0,1)，P(X?a)?0.05=1?P(X?a)?1?P(2X?2a) 160.95?P(2X?2a)???2a?，2a?1.645，a?0.8225。-----4分

（2）

4X4X?t(15)，P(X?bS)?0.75=P(?4b)，4b?0.6912,b?0.1728-----3分 SS

8

九(满分8分) 有100道单项选择题，每个题中有4个备选答案，且其中只有一个答案是正确的。规定选择正确得1分，选择错误得0分。假设无知者对于每一个题都是从4个备选答案中随机地选答，并且没有不选的情况，计算他能够超过35分的概率。 （已知???4???0.9896，其中??x?是正态分布N?0，1?的分布函数) ?3?解：设X={100道题中答对的题数}，则X~B（100，14）

由中心极限定理，有

P(X?35)?1?P(X?35)?1?P(X?2575/4?35?2575/4) ?1??(43)?1??(2.3094)?0.0104

9

----2分 ---4分 ----2分

十(满分8分) 设某种元件的使用寿命X的密度函数为

?2e?2(x??),x??, f?x,????x??.?0,其中??0为未知参数。又设x1,x2,?xn是X的一组样本观测值,求参数?的最大似然估计值。

解： 似然函数为

L???=?i?1nn??2?(xi??)?n，xi??(i?1,2,?,n)??2ei?1?0,其他?

?n?2(x??)??2ei,xi??(i?1,2,?,n)f(xi,?)??1?0,其他?

----3分

xi??(i?1,2,?,n)

两边取对数

?n?2?(xi??)?n??nln2?2?(xi??)lnL???=ln?2ei?1??i?1 ???nln2?2n??2?xii?1nn----3分

dlnL????2n?0，L(?)是?的单调增加函数，由于必须满足??xi,i?1,2,?,n d???min(x,x,?x) 于是最大似然估计值为?12n----2分

10

十一.（满分8分）用切比雪夫不等式估计：当掷一枚均匀硬币时，需掷多少次，才能保证 使得正面出现的频率在0.4到0.6之间的概率不小于90%。 解：设需掷n次，用Xn表示正面出现的次数，Xn?B(n,0.5)

EXn?0.5nDXn?0.25n

-----4分 切比雪夫不等式

?X?D?n?X?X?n???P?0.4?n?0.6??P?n?0.5?0.1??1??n0.01 ???n?0.25n25?1??1??0.900.01n2n-----3分

n?250

-----1分

11

十二（满分10分）.设X1,X2,?Xn为取自总体X?U?0,1?的样本，令：X?1?=min(X1,X2,?Xn),

X?n?=max(X1,X2,?Xn),求 E[X?1?]+E[X?n?]。

解：因为X1,X2,?Xn独立同分布，故X?n?=max(X1,X2,?Xn),的分布函数为

F?x??PX?n??x?P?X1?x,X2?x,?Xn?x???FXi?x?i?1??nx<0?0,???xn,0?x<1?1,x?1?

?nxn?1,0

其他?0,

X?1?=min(X1,X2,?Xn),的分布函数为

G?x??PX?1??x?1?P?X1?x,X2?x,?Xn?x??1??[1?FXi?x?]i?1??n0,x<0??n??1??1?x?,0?x<1?1,x?1?

n?1??n?1?x?,0

其他??0,

E[X?n?]??E[X?1?]????????xf?x?dx??nxndx=0101n n+1n?1??xg?x?dx??nx?1?x?dx=1 n+1E[X?1?]+E[X?n?]?1 ----2分

12

十三. （满分5分）设总体X?N(?,?2)，X1,X2,?,Xn是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值，S是样本方差，求（1）E(X2?S2)（2）D(X?S2)

22解：（1）E(X2?S2)=E(X2)+E(S2)=DX?(EX)+E(S2)=??2??n?12? n(2)由于X和S2相互独立，D(X?S2)?D(X)?D?S2??22?4?n?n?1 （因为

(n?1)S22?2???n?1?D(?n?1?S2?2)?2(n?1)）

13

-----3分

-----2分

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