2019届河北省武邑中学高三下学期第一次质检数学(理)试题(解析版)

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2019届河北省武邑中学高三下学期第一次质检数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合,.若,则实数的值是（）

A ．B．或

C ．

D ．或或

【答案】B

【解析】试题分析：由于，所以，又因为，以及集合中元素的互异性知或，故选B.

【考点】集合的子集.

2．已知，则复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D ．第四象限

【答案】D

【解析】由复数的除法运算得到z，再由共轭复数的概念得到结果.

【详解】

已知,,共轭复数为：，对应的点为（2，-1）在第四象限.

故答案为：D.

【点睛】

这个题目考查了复数的几何意义，z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量

都可建立一一对应的关系(其中O 是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．

3．A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：

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K12高考数学模拟 K12高考数学模拟 402 978 191 925 273 842 812 479 569 683

231 357 394 027 506 588 730 113 537 779

则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D 【解析】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有可以通过列举得到共54随机数，根据概率公式，得到结果．

【详解】

由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数， 在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有，

可以通过列举得到共5组随机数：978，479、588、779，共4组随机数，

所求概率为

，

故选：D ．

【点睛】 本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．

4．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

【解析】分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值得变化情况，可得答案.

详解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量

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K12高考数学模拟的值，

由于

.

故选：A.

点睛：程序框图的应用技巧

(1)条件结构的应用：利用条件结构解决算法问题时，要引入判断框，根据题目的要求引入一个或多个判断框，而判断框内的条件不同，对应的下一个程序框中的内容和操作要相应地进行变化，故要逐个分析判断框内的条件．

(2)在解决一些有规律的科学计算问题，尤其是累加、累乘等问题时，往往可以利用循环结构来解决．在循环结构中，需要恰当设置累加、累乘变量和计数变量；执行循环结构首先要分清是先执行循环体，再判断条件，还是先判断条件，再执行循环体．其次注意控制循环的变量是什么，何时退出循环．最后要清楚循环体内的程序是什么，是如何变化的．

5

．执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（）

A ．

B ．

C ．D．

【答案】A

【解析】S＝0，k＝1，k＝2，S＝2，否；k＝3，S＝7，否；k＝4，S＝18，否；k＝5，S＝41，否；k＝6，S＝88，是．所以条件为k＞5，故选B.

6．已知双曲线,四点，中恰有三点在双曲线

K12高考数学模拟 K12高考数学模拟 上,则该双曲线的离心率为（ ） A ． B ． C ．

D ． 【答案】C

【解析】分析：先判断，在双曲线上，则一定不在双曲线上，则在双曲线上，则可得

，求出 ，再根据离心率公式计算即可． 详解：根据双曲线的性质可得，在双曲线上，则一定不在双曲线上，则在双曲线上，解得

故选C ．

点睛：本题考查了双曲线的简单性质和离心率的求法，属于基础题

7．已知()00,M x y 是双曲线C ： 2

212

x y -=上的一点， 1F ， 2F 是C 的两个焦点，若120MF MF ?

A ．33,?

?- ? ??? B ．33,??- ? ??? C ．2222,??- ? ??? D ．2323,??- ? ??

? 【答案】A

【解析】由题知()(

)123,0,3,0F F -， 220012

x y -=，所以12MF MF ?u u u u r u u u u r =

()()00003,3,x y x y ---?--=2220003310x y y +-=-<，解得03333

y -<<，故选A. 【考点】双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.

8．已知函数

的图象的一个对称中心为,则函数的单调递减区间是( )

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A ．B．

C．D ．

【答案】D

【解析】根据函数的对称中心为可求得，故得到，然后可得函数的单调递减区间．

【详解】

∵函数的图象的一个对称中心为，

∴，

∴，

又，

∴，

∴．

由，

得，

∴函数的单调递减区间是．

故选D ．

【点睛】

解答本题的关键有两个：一是把函数的对称中心与函数的零点结合在一起考虑；二是在研究函数的性质时，要将作为一个整体，再结合正弦函数的相关性质进行求解，解题时需要注意参数对结果的影响．

9．如图1，已知正方体ABCD－A1B1ClD1的棱长为a，动点M、N、Q分别在线段

上，当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN的正视图面积等于（）

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A ．B．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】试题分析：由三棱锥的俯视图分析可知,此时为的中点,与点重合,与

点重合．．所以正视图面积等于．故B正确．

【考点】三视图．

10．已知三棱锥P-ABC中，，且，则该三棱锥的外接球的体积等于( )

A ．

B ．C．D ．

【答案】A

【解析】由正弦定理可求出外接圆的半径，设外接圆的圆心为，根据题意可得三棱锥的外接球的球心在过且与平面垂直的直线上，结合勾股定理可求得

球的半径，于是可得外接球的体积．

【详解】

如图，设外接圆的圆心为，半径为，则，．

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由题意得球心在过且与平面垂直的直线上，

令，则，

设球半径为，

则在中有，①

在中有，②

由①②两式得，

所以，，

所以该三棱锥的外接球的体积为．

故选A．

【点睛】

解答几何体的外接球的问题时，关键在于如何确定外接球球心的位置和半径，其中球心在过底面多边形的外接圆的圆心且与底面垂直的直线上，且球心到几何体各顶点的距离相等，再在直角三角形中结合勾股定理求解可得球的半径．

11．已知双曲线的离心率为2，分别是双曲线的左、右焦点，点，，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面

积分别为，则（）

A．4 B ．8 C ．D．4

【答案】A

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【解析】根据离心率公式和双曲线方程的a，b，c 的关系，可知，根据题意表示出点p和m 的取值范围，利用平面向量数量积的坐标表示得关于m的一元二次函数，问题转化为求在给定区间内二次函数的最大值与最小值，进而问题得解.

【详解】

由，得，故线段所在直线的方程为，又点在线段上，可设，其中，由于，即，得

，所以

．由于，可知当时，取得最小值，此时，

当时，取得最大值，此时，则．故选A.

【点睛】

本题考查了平面向量在解析几何中应用，涉及了双曲线的简单性质，平面向量的数量积表示，二次函数在给定区间的最值问题；关键是利用向量作为工具，通过运算脱去“向量外衣”，将曲线上的点的坐标之间的关系转化为函数问题，进而解决距离、夹角、最值等问题. 12．已知函数的导函数为，若，则不等式的解集为（）

A．B ．C．D ．

【答案】D

【解析】结合题意构造函数，求导后可得函数在上为增函数，且．然后将不等式变形为，进而根据函数的单调性得到不等式的解集．

【详解】

设，

则，

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K12高考数学模拟 所以函数在上为增函数． 又

， 所以

． 又不等式

等价于，

即，解得， 所以不等式的解集为

．

故选D ．

【点睛】 对于含有导函数的不等式的问题，在求解过程中一般要通过构造函数来解决，构造时要结合题中的条件进行，然后再判断出所构造的函数的单调性，进而达到解题的目的．考查观察、分析和解决问题的能力，属于中档题．

二、填空题 13．已知实数，满足条件

，则的最大值为__________．

【答案】3 【解析】

作出题中所给的约束条件对应的可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数求得答案.

【详解】

根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域如图所示：

令，得，

从而上下移动直线，可知当直线过点A 时，取得最大值，

由解得，此时，

故答案是：3.

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【点睛】

该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，需要准确地画出约束条件对应的可行域，找出最优解，将最优解代入目标函数，求得结果.

14．已知为常数，且，则的二项展开式中的常数项为__________．

【答案】

【解析】由题意可得：，

展开式的通项公式：，

展开式为常数项时：，

据此可得展开式中的常数项为.

15．现将6张连号的门票分给甲、乙等六人，每人1张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有__________种不同的分法（用数字作答）.

【答案】240

【解析】先求出甲、乙连号的情况，然后再将剩余的4张票分给其余4个人即可．

【详解】

甲、乙分得的门票连号，共有种情况，其余四人没人分得1张门票，共有种情况，

所以共有种．

故答案为：240．

【点睛】

本题考查两个原理的应用和排列数的计算，考查应用所学知识解决问题的能力，属于基础题．16．已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为______．

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【答案】

【解析】过P 作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合，可得，设PA的倾斜角为，则当m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P 的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率．

【详解】

过P 作准线的垂线，垂足为N，

则由抛物线的定义可得，

，，则，

设PA 的倾斜角为，则，

当m 取得最大值时，最小，此时直线PA 与抛物线相切，

设直线PA 的方程为，代入，可得，

即，

，，

，

双曲线的实轴长为，

双曲线的离心率为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等K12高考数学模拟

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K12高考数学模拟 式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围). 三、解答题

17．已知等差数列的前项的和为，. (1)求数列的通项公式；

(2)设，求； (3)设

，表示不超过的最大整数，求的前1000项的和. 【答案】（1）； （2）； （3）

. 【解析】（1）根据题意求出等差数列的首项和公差后可得其通项公式；（2）由题意得

，然后根据裂项相消法可求出数列的和；（3）根据分组求和法可得

的前1000项的和．

【详解】 （1）由题意得

， ∴． 设等差数列

的公差为， 则

， ∴

， ∴．

（2

）由（1）得

，

∴

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K12高考数学模拟 ． （3）由（1）得，

当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以．

∴， ∴数列

的前1000项的和为．

【点睛】 （1）对于等差数列的运算，在解题时可转换为基本量（首项和公差）的运算来处理．求数列的和时，可根据通项公式的特点，选择合适的方法求解．

（2）解答数列中的新概念问题时，要读懂给出的信息，从中找到解题的思路和方法，然后再进行求解．

18．

质检部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别随机抽取100桶检测 某項质量指标，由检测结果得到如图的頻率分布直方图：

(I)写出頻率分布直方图(甲）中的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的貭量指标的方差分别为，试比较的大小（只要求写出答案）；

(Ⅱ)佑计在甲、乙两种食用油中各随机抽取1桶，恰有一个桶的质量指标大于20，且另—个桶的质量指标不大于20的概率；

(Ⅲ)由頻率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值服从正态分布.其中近

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似为样本平均数，近似为样本方差，设表示从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于（14.55，38.45)的桶数，求的数学期望.

注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得：

②若，则，.

【答案】(1);(2)0.42;(3)6.826.

【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图的矩形面积和为1可得再由分布的离散程度即可比较方差大小；

（Ⅱ）设事件A，事件B，事件C，求出P（A），P（B），P（C）即可；

（Ⅲ）求出从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于（14.55，38.45）的概率是0.6826，得到X～B（10，0.6826），求出EX即可．

【详解】

(Ⅰ) ；

(Ⅱ)设事件：在甲公司产品中随机抽取1颗，其质量指标不大于20，

事件：在乙公司产品中随机抽取1颗，其质量指标不大于20，

事件：在甲、乙公司产品中随机抽各取1颗，恰有一颗糖果的质量指标大于20，且另一个不大于20，则，，

；

（Ⅲ）计算得: ，由条件得

从而，

从乙公司产品中随机抽取10颗，其质量指标值位于(14.55，38.45)的概率是0.6826，依题意得，

.

【点睛】

本题考查离散型随机变量的期望的求法，独立重复试验概率的求法，考查计算能力，属于中档题．

19．在四棱锥中，，.

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(Ⅰ)若点为的中点，求证：∥平面；

(Ⅱ)当平面平面时，求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】(I)结合平面与平面平行判定,得到平面BEM平行平面PAD,结合平面与平面性质,证明结论.(II)建立空间坐标系,分别计算平面PCD和平面PDB的法向量,结合向量数量积公式,计算余弦值,即可.

【详解】

(Ⅰ)取的中点为，连结，.

由已知得，为等边三角形，.

∵，，

∴，

∴，∴.

又∵平面，平面，

∴∥平面.

∵为的中点，为的中点，∴∥.

又∵平面，平面，

∴∥平面.

∵，∴平面∥平面.

∵平面，∴∥平面.

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(Ⅱ)连结，交于点，连结，由对称性知，为的中点，且，. ∵平面平面，，

∴平面，，.

以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.

则(0，，0)，(3，0，0)，(0，0，1).

易知平面的一个法向量为.

设平面的法向量为，

则，，∴，

∵，，∴.

令，得，∴，

∴.

设二面角的大小为，则.

【点睛】

本道题考查了平面与平面平行判定和性质,考查了空间向量数量积公式,关键建立空间坐标系,难度偏难.

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20．已知平面直角坐标系内的动点P到直线的距离与到点的距离比为．（1）求动点P 所在曲线E的方程；

（2）设点Q为曲线E 与轴正半轴的交点，过坐标原点O作直线，与曲线E相交于异于点的不同两点，点C满足，直线和分别与以C为圆心，为半径的圆相交于点A和点B，求△QAC 与△QBC 的面积之比的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】(1)设动点P的坐标为, 由题意可得,整理可得曲线E的方程；

(2) 解法一：可得圆C 方程为，设直线MQ 的方程为，设直线NQ

的方程为，分别与圆联立，可得，，可得

，可得，代入可得答案；

解法二：可得圆C 方程为，设直线MQ 的方程为，则点C 到MQ的距离为，，，设直线NQ的方程为，

同理可得：，，可得，代入可得答案.

【详解】

解：（1）设动点P的坐标为，由题意可得，

整理，得：，即为所求曲线E的方程；

（2）（解法一）由已知得：，，，即圆C方程为

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由题意可得直线MQ，NQ的斜率存在且不为0

设直线MQ 的方程为，与联立得：

所以，

同理，设直线NQ 的方程为，与联立得：

所以

因此

由于直线过坐标原点，所以点与点关于坐标原点对称

设，，所以，

又在曲线上，所以，即

故，

由于，所以，

（解法二）由已知得：，，，即圆C 方程为由题意可得直线MQ ，NQ的斜率存在且不为0

设直线MQ的方程为，则点C到MQ的距离为

所以

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于是，

设直线NQ 的方程为，同理可得：

所以

由于直线l过坐标原点，所以点M与点N关于坐标原点对称

设，，所以，

又在曲线上，所以，即

故，

由于，所以，

【点睛】

本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式的应用，向量数量积的应用，考查计算能力，转化思想.

21．已知函数（其中）

（1）求的单调减区间；

（2）当时，恒成立，求的取值范围；

（3）设只有两个零点（），求的值.

【答案】（1）单调减区间为（－∞，0）和（0,1）；（2）；（3）.

【解析】（1）先求得函数的定义域，然后求导，利用导数求得函数的单调减区间.（2）构K12高考数学模拟

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造函数，利用其二阶导数研究它的单调性，由此求得的取值范围.（3）化

简，利用导数，研究零点分布的情况，由此求得的值.

【详解】

（1）的定义域为｛x｜x≠0｝，

＝＜0，解得：x＜1，

所以，的单调减区间为（－∞，0）和（0,1）

(2)“当时，恒成立”等价于“当时，恒成立”，其中.构造函数，则.记，则.

（i ）若，则在上恒成立，在上单调递增，因此当时，有，即，所以在上单调递增，因此当时，有，即，故恒成立，符合题意.

（ii ）若，则在上恒成立，所以在上单调递减，因此当时，有，即，所以在上单调递减，因此时，有，即.故不对任意恒成立，不符合题意.综上所述，的取值范围是.

(3)，所以，依题意知关于的方程

只有两个实数根，即关于的方程只有两个非零实根，其中.故，或或

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K12高考数学模拟.

（i）若，则，不符合题意；

（ii ）若，比较对应项系数，得，解得

.不满足，故不符合题意；

（iii）若，同理可得，符合题意，此时.

综上所述，的值为.

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查利用导数求解函数零点比值的问题.综合性很强，属于难题.要研究一个函数的单调性和最值，首先求函数的定义域，要在定义域的范围内研究函数的单调性，然后求导，用导数的知识来解决单调性的问题.

22．在平面直角坐标系xOy中，圆O 的方程为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．

求圆O的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

已知M，N是曲线C 与x轴的两个交点，点P为圆O上的任意一点，证明：

为定值．

【答案】（1）圆O的参数方程为，为参数，；（2）曲线的直角坐标方程为. 【解析】首先利用转换关系把参数方程和极坐标方程和直角坐标方程进行转换．利用三角函数关系式的恒等变换求出定值．

【详解】

圆O的参数方程为，为参数，