相似三角形的判定及有关性质

选修4－1

几何证明选讲

第1讲 相似三角形的判定及有关性质

对应学生203

考点梳理

1．平行线等分线段定理及其推论

(1)定理：那么在其他直线上截得的线段也相等．

(2)推论：②经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． 2．平行线分线段成比例定理及推论

(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)段成比例．

3．相似三角形的判定

(1)定义：如果在两个三角形中，对应角相等、对应边成比例，则这两个三角形叫做相似三角形．

(2)判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似．

(3)判定定理2 (4)判定定理3 4．相似三角形的性质

(1)性质定理1：相似三角形对应边上的高、(2)性质定理25．直角三角形的射影定理

直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项． 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高， 则有CD2＝AD·BD， AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.

考点自测

1.如图，已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A′，B′，3

C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝B′C′＝________.

2解析 由平行线等分线段定理可直接得到答案． 3答案 2

2.如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE交于F，写出图中所有与△ACE相似的三角形________．

解析 由Rt△ACE与Rt△FCD和Rt△ABD各共一个锐角，因而它们均相似，又易知∠BFE＝∠A，故Rt△ACE∽Rt△FBE. 答案 △FCD、△FBE、△ABD

3. (2013·西安模拟)如图，在△ABC中，M，N分别是AB，BC的中点，AN，CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是________． 1

解析 ∵M，N分别是AB、BC中点，故MN綉2， ∴△MON∽△COA答案 1∶4

S△MON MN21

＝ ＝. S△AOC AC 4

4. (2011·陕西)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________.

ABAE解析 由于∠ACD＝∠AEB＝90°，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴ADAC. AB·AC6×4

又AC＝4，AD＝12，AB＝6，∴AE＝AD122. 答案

2

5. (2010·广东)如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，a

CD＝2，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.

a

解析 连接DE和BD，依题知，EB∥DC，EB＝DC＝2，∴EBCD为矩形，∴DE⊥AB，又E是AB的中点，所以△ABD为等腰三角形．故AD＝DB＝a，∵11

E，F分别是AD，AB的中点，∴EF＝2＝2. a答案 2

对应学生204

考向一 平行线等分线段成比例定理的应用

【例1】 如图，F为 ABCD边AB上一点，连DF交AC于G，延长DF交CB的延长线于E. 求证：DG·DE＝DF·EG.

证明 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥DC，AD＝BC， DGAD∵AD∥BCEGEC

DFBCADDGDF

又∵AB∥DCDEECECEGDE 即DG·DE＝DF·EG

.

利用平行截割定理解决问题，特别注意被平行线所截的直线，找准

成比例的线段，得到相应的比例式，有时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果．

【训练1】如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，则AB的长为________．

解析

DE∥BC，

由 EF∥CD， BC＝3，DE＝2

AEAFDE2 ACADBC3又DF＝1，故可解得AF＝2，

∴AD＝3，

AD29AB3AB＝29答案 2

考向二 相似三角形的判定

【例2】 如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AB上任意点，△EFM∽△CDM，求证：△AEF∽△ABD.

证明 ∵△EFM∽△CDM，∴∠1＝∠2，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABD

.

判定三角形相似的思路大致有以下几条：

(1)已知条件，判定思路；

(2)一对等角，再找一对等角或找夹边成比例； (3)两边成比例，找夹角相等；

(4)含有等腰三角形，找顶角相等或找一对底角相等或找腰对应成比例． 【训练2】 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．

△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F

.

(1)求证：△ACB∽△DCE； (2)求证：EF⊥AB.

DCCEDE2

证明 (1)因为AC＝BC＝AB＝3，所以△ACB∽△DCE. (2)由△ACB∽△DCE，知∠B＝∠E. 又∠BDF＝∠CDE，

在Rt△CDE中，∠E＋∠CDE＝90°，

所以∠BDF＋∠B＝90°， 所以∠EFB＝90°，即EF⊥AB.

考向三 相似三角形的性质

【例3】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，E为AC的中点，ED、CB延长线交于一点F. 求证：FD2＝FB·FC.

证明 ∵E是Rt△ACD斜边中点， ∴ED＝EA，∴∠A＝∠1， ∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A，

∵∠FDC＝∠CDB＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A， ∴∠FBD＝∠FDC，

∵∠F是公共角，∴△FBD∽△FDC， FBFD

FDFCFD2＝FB·FC

.

运用相似三角形的性质解决问题，主要考虑相似三角形的对应边、

对应角、周长、面积之间的关系，多用于求某条线段的长度、求证比例式的存在、求证等积式的成立等，在做题时应注意认真观察图形特点，确定好对应边、对应角等．

【训练3】如图，△ABC中，AB＝AC，AD是边BC的中线，P为AD上一点，CF∥AB，BP的延长线分别交AC，CF于点E，F，求证：BP2＝PE·PF. 证明 连接CP，

∵△ABC为等腰三角形，AD为中线，

∴BP＝CP，∠ABP＝∠ACP， ∵AB∥CF，∴∠ABP＝∠F，

∴∠F＝∠ACP.∵∠EPC为公共角，∴△PCE∽△PFC， PCPE

∴PF＝PC，∴PC2＝PF·PE. 又∵BP＝PC，∴BP2＝PF·PE.

考向四 直角三角形射影定理的应用

【例4】 已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD＞BD)，若CD＝6，则AD＝

________.

解析 如图，连接AC，CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. 设AD＝x，∵CD⊥AB于D， ∴由射影定理得CD2＝AD·DB， 即62＝x(13－x)，

∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9. ∵AD＞BD，∴AD＝9. 答案

9

利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影，再

就是要善于将有关比例式进行适当的变形转化，有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式，并且注意射影定理的其他变式．

【训练4】 在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3.则△ACD与△CBD的相似比为________．

解析 如图所示，在Rt△ACB中， CD⊥AB，由射影定理得：

CD2＝AD·BD，

又∵AD∶BD＝2∶3，令AD＝2x， BD＝3x(x＞0)，

∴CD2＝6x2，∴CD6x.

又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∠A＝∠BCD. ∴△ACD∽△CBD.

AD2x6易知△ACD与△CBDCD＝3.

6x6∶3.

答案

6∶3

对应学生355

(时间：30分钟 满分：60分)

一、填空题(每小题5分，共40分)

一、填空题(每小题5分，共40分)

1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，4

AD＝4，sin∠ACD＝5，则CD＝________，BC＝________.

AD4

解析 在Rt△ADC中，AD＝4，sin∠ACD＝AC＝5，得 AC＝5，CDAC－AD＝3，

AC225

又由射影定理AC＝AD·AB，得AB＝AD＝4.

2

259∴BD＝AB－AD＝4－4＝4，

92515

由射影定理BC2＝BD·AB＝4×4，∴BC＝4. 15答案

3 4

2. (2013·揭阳模拟)如图，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则EC＝________. 解析 在Rt△ADB中， DB＝AB－AD7， 依题意得，△ADB∽△ACE， DBADDB·AC

ECACEC＝AD27. 答案 7

3. (2013·茂名模拟)如图，已知AB∥EF∥CD，若AB＝4，CD＝12，则EF＝________. 解析 ∵AB∥CD∥EF， ABBCBCCD∴EFCF，BF＝EF， 4∴EFBCBC12

BF＝EF，

BC－BF

∴4(BC－BF)＝12BF，∴BC＝4BF， BC112

∴BF＝4＝EF，∴EF＝3. 答案 3

4. (2013·湛江模拟)如图，在△ABC中，D是AC的中BF点，E是BD的中点，AE交于BC于F，则FC＝________.

解析 如图，过点D作DG∥AF，交BC于点G，易得FG＝GC，又在三角形BDG中，BE＝DE，即BF

EF为三角形BDG的中位线，故BF＝FGFC1＝2. 1答案 2

5. 如图，∠C＝90°，∠A＝30°，E是AB中点，DE⊥AB于E，则△ADE与△ABC的相似比是________．

AE11

解析 ∵E为AB中点，∴AB＝2，即AE＝2， 3

在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝2AB， AE1又∵Rt△AED∽Rt△ACBAC.

3故△ADE与△ABC的相似比为1∶3. 答案 13

1

6.如图，AE∥BF∥CG∥DH，AB＝2＝CD，AE＝12，DH＝16，AH交BF于M，则BM＝________，CG＝________. 1

解析 ∵AE∥BF∥CG∥DH，AB＝2BC＝CD，AE＝12，AB1BMABBM1

DH＝16，∴AD4DHAD∴16＝4，∴BM＝4. 取BC的中点P，作PQ∥DH交EH于Q，如图，则PQ是梯形ADHE的中位线，

11

∴PQ＝2AE＋DH)＝2(12＋16)＝14. 11

同理：CG＝2(PQ＋DH)＝2＋16)＝15. 答案 4 15

7. 在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F，S△FCD＝5，BC＝10，则DE＝________.

解析 过点A作AM⊥BC于M，由于∠B＝∠ECD，且∠ADC＝∠ACD，得△ABC与△FCD相似，S△ABC BC2

＝ ＝4又S△FCD CD

S△FCD＝5，那么S△ABC＝20，由于S△ABC＝1

AM，由BC＝10

，得

AM

＝

4，又因2BC·

DEBD15DE58

为DE∥AM，得AMBM，∵DM＝2＝2，因此4＝DE＝

535＋28答案 3

8. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M.若DB＝9，则BM＝________. 解析 ∵E是AB的中点， ∴AB＝2EB.

∵AB＝2CD，∴CD＝EB.

又AB∥CD，∴四边形CBED是平行四边形． ∠DEM＝∠BFM，

∴CB∥DE，∴

∠EDM＝∠FBM，DMDE

∴△EDM∽△FBM.∴BM＝BF∵F是BC的中点，∴DE＝2BF. 1

∴DM＝2BM.∴BM＝3DB＝3. 答案 3

二、解答题(共20分)

9．(10分)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E，求证： (1)△ABC≌△DCB； (2)DE·DC＝AE·BD.

证明 (1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD. ∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB. (2)∵△ABC≌△DCB.

∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB.

∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC. ∴∠DAC＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB

.

∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC. ∴∠EDA＝∠DBC，∴△ADE∽△CBD. ∴DE∶BD＝AE∶CD. ∴DE·DC＝AE·BD.

10．(10分)如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，111AE＝3，BD＝3，点F在BC上，且CF＝3.求证： (1)EF⊥BC； (2)∠ADE＝∠EBC.

证明 设AB＝AC＝3a，则AE＝BD＝a，CF2a. CE2a2CF2a2(1)CB＝＝3，CA3a＝3.

2a

又∠C为公共角，故△BAC∽△EFC，由∠BAC＝90°. ∴∠EFC＝90°，∴EF⊥BC. (2)由(1)得EF＝2a，

AEa2AD2a2故EF2BF2

2a22aAEAD

∴EFFB∵∠DAE＝∠BFE＝90°， ∴△ADE∽△FBE， ∴∠ADE＝∠EBC.

第2讲 直线与圆的位置关系

对应学生206

考点梳理

1．圆周角定理 (1)圆周角定理及其推论

①定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． ②推论

(i)推论1的弧也相等．

(ii)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． (2) 2．圆内接四边形的性质与判定定理 (1)圆内接四边形的性质定理

①定理1：圆内接四边形的对角互补．

②定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)圆内接四边形的判定定理及推论

①判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． ②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．

3．圆的切线的性质及判定定理 切线的性质定理及推论

(1) (2)推论：

①推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ②推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 4．弦切角的性质

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．

5．与圆有关的比例线段 圆中的比例线段

1.如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的点，已知∠BAC＝80°， 那么∠BDC＝________.

解析 连接OB、OC，则OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°， 1

∴∠BDC＝2∠BOC＝50°. 答案 50°

2．(2012·湖北)如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB＝4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为________．

解析 当OD的值最小时，DC最大，易知D为AB的中点时，DB＝DC＝2最大． 答案

2

3．(2012·北京)如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则( )． A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·AB C．AD·AB＝CD2 D．CE·EB＝CD2

解析 在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB. 答案

A

4. (2012·湖南)如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．

解析 设圆的半径为r，则(3－r)(3＋r)＝1×3，即r2＝6，解得r＝6. 答案

6

5. (2012·天津)如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点3

F，AF＝3，FB＝1，EF＝2，则线段CD的长为________．

328

解析 因为AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，所以4＝BD，即BD＝3设CD＝x，644AD＝4x，所以4x2＝9，所以x＝34

答案 3

对应学生207

考向一 圆的切线的性质与判定

【例1】 如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB，AD⊥CD. (1)求证：OC∥AD；

(2)若AD＝2，AC＝5，求AB的长． (1)证明 ∵直线CD与⊙O相切于点C， ∴∠DCO＝∠DCA＋∠ACO＝90°， ∵AO＝CO，∴∠OAC＝∠ACO， ∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，

∴∠DAC＝∠ACO，∴OC∥AD. (2)解 连接BC，∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB，

ADAC又∵∠DAC＝∠BAC，∴△ADC∽△ACB，∴AC＝AB， 5

∵AD＝2，AC5，∴AB＝2

利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算，有时需添加辅助线，

其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．

【训练1】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，过点A作AP∥BC，交BO的延长线于点P. (1)求证：AP是⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径R＝5，BC＝8，求线段AP的长．

(1)证明 过点A作AE⊥BC，交BC于点E， ∵AB＝AC，∴AE平分BC， ∴点O在AE上． 又∵AP∥BC，∴AE⊥AP， ∴AP为圆O的切线．

1

(2)解 BE＝2BC＝4，∴OEOB－BE＝3， 又∵∠AOP＝∠BOE，∴△OBE∽△OPA， BEOE4320∴APOAAP5AP＝3

考向二 弦切角定理及推论的应用

【例2】 如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为________． 解析 ∵BE切⊙O于B， ∴∠ABE＝∠ACB.

又∵AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC， BEAB∴△EAB∽△ABCAC＝BC. EFBEABEF

又∵AE∥BC，∴AFAC，∴BC＝AF. 又∵AD∥BC，∴AB＝CD， CDEF5EF

∴AB＝CD，∴BC＝AF，∴86， 3015

∴EF＝84. 15答案 4

(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关

系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．

(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．

【训练2】如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明： (1)∠ACE＝∠BCD；

(2)BC2＝BE·CD.

证明 (1)因为AC＝BD， 所以∠BCD＝∠ABC.

又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC， 所以∠ACE＝∠BCD.

(2)因为∠ECB＝∠BDC，∠EBC＝∠BCD， BCCD所以△BDC∽△ECB，故BE＝BC， 即BC2＝BE·CD.

考向三 圆内接四边形性质的应用

【例3】 (2013·辽宁三校联考)已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR＝90°，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K. (1)求证：Q、H、K、P四点共圆； (2)求证：QT＝TS.

证明 (1)∵∠PHQ＝∠PKQ＝90°，∴Q、H、K、P四点共圆． (2)∵Q、H、K、P四点共圆，∴∠HKS＝∠HQP，① ∵∠PSR＝90°，∴PR为圆的直径， ∴∠PQR＝90°，∠QRH＝∠HQP，② 而∠QSP＝∠QRH，③

由①②③得，∠QSP＝∠HKS，TS＝TK，

又∵∠SKQ＝90°，∵∠SQK＝∠TKQ，∴QT＝TK，∴QT＝TS

.

(1)四边形ABCD的对角线交于点P，若PA·PC＝PB·PD，则它的四个

顶点共圆．

(2)四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线交于点P，若PA·PB＝PC·PD，

则它的四个顶点共圆．

以上两个命题的逆命题也成立．该组性质用于处理四边形与圆的关系问题时比较有效．

【训练3】如图，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切点为H. 求证：(1)C，D，F，E四点共圆； (2)GH2＝GE·GF

.

证明 (1)如图，连接BC.

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵AG⊥FG，∴∠AGE＝90°. 又∵∠EAG＝∠BAC， ∴∠ABC＝∠AEG. 又∵∠FDC＝∠ABC， ∴∠FDC＝∠AEG.

∴∠FDC＋∠CEF＝180°.∴C，D，F，E四点共圆． (2)∵GH为⊙O的切线，GCD为割线， ∴GH2＝GC·GD.

由C，D，F，E四点共圆，

得∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF. GCGE∴△GCE∽△GFD.∴GFGD 即GC·GD＝GE·GF.∴GH2＝GE·GF.

对应学生356

(时间：30分钟 满分：60分)

一、填空题(每小题5分，共40分)

1. 如图，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC1

＝2BC，则sin∠MCA＝________.

解析 由弦切角定理得，∠MCA＝∠ABC， AC

sin ∠ABC＝AB＝5

答案 52. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点．AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，∠DAB＝80°，则∠ACO＝________.

解析 ∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD， 又∵AD⊥CD，∴OC∥AD. 由此得，∠ACO＝∠CAD， ∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，

∴∠CAD＝∠CAO，故AC平分∠DAB.∴∠CAO＝40°， 又∵∠ACO＝∠CAO，∴∠ACO＝40°. 答案 40°

3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC＝5－1，则AC＝________.

解析 由题易知，∠C＝∠ABC＝72°，∠A＝∠DBC＝36°，所以△BCD∽△ACB，

又易知BD＝AD＝BC，所以BC2＝CD·AC＝(AC

－

BC

)·AC，解得AC＝2. 答案 2

ACAC5

＝. 55ACAC＋BC

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