概率论与数理统计徐雅静版课后题答案1--7章

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习题答案

第1章 三、解答题

1．设P(AB) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A和B不相容； (2) A和B相容； (3) AB是不可能事件； (4) AB不一定是不可能事件； (5) P(A) = 0或P(B) = 0 (6) P(A – B) = P(A) 解：(4) (6)正确.

2．设A，B是两事件，且P(A) = 0.6，P(B) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：因为P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)， 又因为P(B)?P(A?B)即P(B)?P(A?B)?0. 所以

(1) 当P(B)?P(A?B)时P(AB)取到最大值，最大值是P(AB)?P(A)=0.6.

(2) P(A?B)?1时P(AB)取到最小值，最小值是P(AB)=0.6+0.7-1=0.3. 3．已知事件A，B满足P(AB)?P(AB)，记P(A) = p，试求P(B)． 解：因为P(AB)?P(AB)，

即P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)， 所以 P(B)?1?P(A)?1?p.

4．已知P(A) = 0.7，P(A – B) = 0.3，试求P(AB)．

解：因为P(A – B) = 0.3，所以P(A )– P(AB) = 0.3, P(AB) = P(A )– 0.3, 又因为P(A) = 0.7，所以P(AB) =0.7– 0.3=0.4，P(AB)?1?P(AB)?0.6.

5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：显然总取法有n?C410种，以下求至少有两只配成一双的取法k： 法一：分两种情况考虑：k?C121225C4(C2)+C5 其中：C12125C4(C2)为恰有1双配对的方法数

法二：分两种情况考虑：k?C1C118?C5?62!+C25

其中：C1C115?8?C62!为恰有1双配对的方法数

1

2

11法三：分两种情况考虑：k?C5(C82?C4)+C52 11 其中：C5(C82?C4)为恰有1双配对的方法数 12法四：先满足有1双配对再除去重复部分：k?C5C8-C52 1444法五：考虑对立事件：k?C10-C5(C2) 144 其中：C5(C2)为没有一双配对的方法数 1111C10?C8?C6?C4法六：考虑对立事件：k?C?

4!4101111C10?C8?C6?C4 其中：为没有一双配对的方法数

4!k13所求概率为p?4?.

21C10 6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求： (1) 求最小号码为5的概率； (2) 求最大号码为5的概率．

12C3A5C5211 解：(1) 法一：p?3?，法二：p? ?3C101212A10122C3A4C411 (2) 法二：p?3?，法二：p? ?3A1020C1020 7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率． 解：设M1, M2, M3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则

231C32?A4A4C4139P(M)??P(M1)?3?, P(M2)??, 33341616844 8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？

解：设M2, M1, M0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则

112C32C3C2C2 P(M2)?2?0.3,P(M1)??0.6,P(M1)?2?0.1

C52C5C5

9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．

解：设M1=“取到两个球颜色相同”，M1=“取到两个球均为白球”，M2=“取到两个球均为黑球”，则

M?M1?M2且M1?M2??.

22C5C313所以P(M)?P(M1?M2)?P(M1)?P(M2)?2?2?.

C8C828 10． 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率．

解：这是一个几何概型问题．以x和y表示任取两个数，在平面上建立xOy直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间? = {(x，y)：0 ? x，y ? 1} 事件A =“两数之和小于6/5”= {(x，y) ? ? ： x + y ? 6/5} 因此 2

3

1?4?1????A的面积17． 2?5?P(A)????的面积125图？

11．随机地向半圆0?y?22ax?x2（a为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面

积成正比，求原点和该点的连线与x轴的夹角小于

?的概率． 4 解：这是一个几何概型问题．以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，?表示原点和该点的连线与x轴的夹角，在平面上建立xOy直角坐标系，如图. 随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 ?={(x，y)：0?x?2a,0?y? 事件A =“原点和该点的连线与x轴的夹角小于 ={(x，y)：0?x?2a,0?y?因此

2ax?x2}

?” 42ax?x2,0????4}

1212a??aA的面积2114P(A)????．

12?的面积?2?a2 12．已知P(A)?111,P(BA)?,P(AB)?，求P(A?B)． 432111P(AB)111??,P(B)????, 4312P(A|B)12261111???. 46123 解：P(AB)?P(A)P(BA)? P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)? 13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？

解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。 设A=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”；

22C6C422P(A)?1?P(A)?1?2?，P(B)?2?，

C1015C103P(B|A)?P(AB)P(B)221??/? P(A)P(A)1535 14．有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？

解：设A=“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则

3

4

1C232P(A)?1?,P(A)?，由全概率公式得

5C55113C52C423P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)??1??1?,

5C95C945由贝叶斯公式得

1P(A)P(B|A)3C52315P(A|B)???1/?.

P(B)5C94523 15．将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度为2：1，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？

解：设M=“原发信息是A”，N=“接收到的信息是A”， 已知

2P(N|M)?0.02,P(N|M)?0.01,P(M)?.

3所以

1P(N|M)?0.98,P(N|M)?0.99,P(M)?,

3由贝叶斯公式得

P(M|N)?P(M)P(N|M)221196??0.98?(?0.98??0.01)?.

P(M)P(N|M)?P(M)P(N|M)333197

16．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为,,码译出的概率是多少？

解：设Ai=“第i个人能破译密码”，i=1,2,3. 已知P(A1)?111，问三人中至少有一人能将此密

534111423,P(A2)?,P(A3)?,所以P(A1)?,P(A2)?,P(A3)?, 534534至少有一人能将此密码译出的概率为

42331?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A2)?1????.

5345 17．设事件A与B相互独立，已知P(A) = 0.4，P(A∪B) = 0.7，求P(BA). 解：由于A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B),且

P(A∪B)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B)

将P(A) = 0.4，P(A∪B) = 0.7代入上式解得 P(B) = 0.5，所以

P(BA)?1?P(BA)?1?P(AB)P(A)P(B)?1??1?P(B)?1?0.5?0.5. P(A)P(A)或者,由于A与B相互独立,所以A与B相互独立，所以

P(BA)?P(B)?1?P(B)?1?0.5?0.5.

18．甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射 4

5

中的概率是多少？

解：设A=“甲射击目标”，B=“乙射击目标”，M=“命中目标”， 已知P(A)=P(B)=1,P(MA)?0.6,P(MB)?0.5,所以

P(M)?P(AB?AB?AB)?P(AB)?P(AB)?P(AB).

由于甲乙两人是独立射击目标，所以

P(M)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?0.6?0.5?0.4?0.5?0.6?0.5?0.8.

P(A|M)?P(AM)P(A)P(M|A)1?0.6???0.75

P(M)P(M)0.8 19．某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，试问： (1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？

(2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？

解：设Ai=“第1种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2,3； Bi=“第2种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2.

（1）根据题意，P(A1)=0.7，P(A2)=0.8，P(A3)=0.9，P(B1)=0.7,P(B2)=0.8, 第一种工艺加工得到合格品的概率为

P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)=0.7?0.8?0.9?0.504,

第二种工艺加工得到合格品的概率为

P(B1B2)= P(B1)P(B2)=0.7?0.8?0.56,

可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。

（2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504，而P(B1)=P(B2)=0.7, 第二种工艺加工得到合格品的概率为

P(B1B2)= P(B1)P(B2)=0.7?0.7?0.49.

可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。

1．设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件ABC = ?，P(A)?P(B)?P(C)?1,且已知2P(A?B?C)?9，求P(A)． 16 解：因为ABC = ?，所以P(ABC) =0,

因为A，B，C两两相互独立，P(A)?P(B)?P(C),所以

P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(A)P(B)?P(B)P(C)?P(A)P(C)?3[P(A)]2

由加法公式P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)得

3P(A)?3[P(A)]2?考虑到P(A)?9 即 [4P(A)?3][4P(A)?1]?0 1611,得P(A)?. 241，且P(ABC)?P(ABC)，证明： 2 2．设事件A，B，C的概率都是

5

6

2P(ABC)?P(AB)?P(AC)?P(BC)? 证明：因为P(ABC)?P(ABC)，所以

1． 2将

P(ABC)?1?P(A?B?C)?1?[P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)]P(A)?P(B)?P(C)?1代入上式得到 23P(ABC)?1?[?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)]

2整理得

12P(ABC)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?.

2 3．设0 < P(A) < 1，0 < P(B) < 1，P(A|B) +P(A|B)?1，试证A与B独立． 证明：因为P(A|B) +P(A|B)?1，所以

P(AB)P(AB)P(AB)1?P(A?B)????1, P(B)P(B)P(B)1?P(B)将P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)代入上式得

P(AB)1?P(A)?P(B)?P(AB)??1, P(B)1?P(B)两边同乘非零的P(B)[1-P(B)]并整理得到

P(AB)?P(A)P(B),

所以A与B独立.

4．设A，B是任意两事件，其中A的概率不等于0和1，证明P(B|A)?P(B|A)是事件A与B独立的充分必要条件．

证明：充分性，由于P(B|A)?P(B|A)，所以

P(AB)P(AB)?,即

P(A)P(A)P(AB)P(B)?P(AB)?,

P(A)1?P(A)两边同乘非零的P(A)[1-P(A)]并整理得到P(AB)?P(A)P(B),所以A与B独立. 必要性：由于A与B独立，即P(AB)?P(A)P(B),且P(A)?0,P(A)?0,所以 一方面

P(B|A)?另一方面

P(AB)P(A)P(B)??P(B),

P(A)P(A)P(B|A)?所以P(B|A)?P(B|A).

P(AB)P(B)?P(AB)P(B)?P(A)P(B)???P(B),

P(A)P(A)P(A) 5．一学生接连参加同一课程的两次考试．第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也

6

7

为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为

p. 2 (1) 若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率． (2) 若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率．

解：设Ai=“第i次及格”，i=1，2.已知P(A1)?p,P(A2|A1)?p,P(A2|A1)?由全概率公式得

p, 2P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?p2?(1?p)(1) 他取得该资格的概率为

p 2P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1)P(A2|A1),p3p?p22?p?p?(1?p)?p?.222

(2) 若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率为

P(A1|A2)?P(A1A2)P(A1)P(A2|A1)p?p2p???.

pP(A2)P(A2)p?1p2?(1?p)2 6．每箱产品有10件，其中次品从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品为不合格而拒收．由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被误判为正品的概率为10%．求检验一箱产品能通过验收的概率．

解：设Ai=“一箱产品有i件次品”，i=0，1，2.设M=“一件产品为正品”，N=“一件产品被检验为正品”. 已知P(A0)?P(A1)?P(A2)?由全概率公式

1,P(N|M)?0.02,P(N|M)?0.1, 31989(1??)?, 3101010P(M)?P(A0)P(M|A0)?P(A1)P(M|A1)?P(A2)P(M|A2)?P(M)?1?P(M)?1?91?,又P(N|M)?1?P(N|M)?1?0.02?0.98, 101091?0.98??0.1?0.892. 1010由全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为

P(N)?P(M)P(N|M)?P(M)P(N|M)? 7．用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下．若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为0.9；据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4和0.6．今独立地对一产品进行三次检验，结果是两次检验认为含有杂质，而有一次认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率．

解：A=“一产品真含有杂质”，Bi=“对一产品进行第i次检验认为含有杂质”，i=1,2,3.

已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质，一次认为不含有杂质，不妨假设前两次检验认为含有杂质，第三次认为检验不含有杂质，即B1，B2发生了，而B3未发生. 又知P(Bi|A)?0.8,P(Bi|A)?0.9,P(A)?0.4,所以

P(Bi|A)?0.2,P(Bi|A)?0.1,P(A)?0.4,P(A)?0.6,

7

8

所求概率为P(A|B1B2B3)?P(AB1B2B3)P(A)P(B1B2B3|A)?,

P(B1B2B3)P(A)P(B1B2B3|A)?P(A)P(B1B2B3|A)由于三次检验是独立进行的，所以

P(A|B1B2B3)??P(A)P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)P(A)P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)?P(A)P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)0.4?0.8?0.8?0.2?0.905.0.4?0.8?0.8?0.2?0.6?0.1?0.1?0.9

8．火炮与坦克对战，假设坦克与火炮依次发射，且由火炮先射击，并允许火炮与坦克各发射2发，已知火炮与坦克每次发射的命中概率不变，它们分别等于0.3和0.35.我们规定只要命中就被击毁．试问 (1) 火炮与坦克被击毁的概率各等于多少？ (2) 都不被击毁的概率等于多少？

解：设Ai=“第i次射击目标被击毁”，i=1,2,3,4. 已知P(A1)?P(A3)?0.3,P(A2)?P(A4)?0.35,所以

P(A1)?P(A3)?0.7,P(A2)?P(A4)?0.65,

(1) 火炮被击毁的概率为

P(A1A2?A1A2A3A4)?P(A1A2)?P(A1A2A3A4)?P(A1)P(A2)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?0.7?0.35?0.7?0.65?0.7?0.35?0.356475 坦克被击毁的概率为

P(A1?A1A2A3)?P(A1)?P(A1A2A3)?P(A1)?P(A1)P(A2)P(A3)?0.3?0.7?0.65?0.3?0.4365 (2) 都不被击毁的概率为

P(A1A2A3A4)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?0.7?0.65?0.7?0.65?0.207025.

9．甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军，而每次比赛双方取胜的概率都是

1，现假定甲乙两人先比，试求各人得冠军的概率． 2 解：Ai=“甲第i局获胜”， Bi=“乙第i局获胜”，Bi=“丙第i局获胜”，i=1,2,….， 已知P(Ai)?P(Bi)?P(Ci)?1,i?1,2,...，由于各局比赛具有独立性，所以 2369在甲乙先比赛，且甲先胜第一局时，丙获胜的概率为

1?1??1??1?P(A1C2C3?A1C2B3A4C5C6?A1C2B3A4C5B6A7C8C9?...)??????????...?,7同样，在甲乙?2??2??2?1, 7先比赛，且乙先胜第一局时，丙获胜的概率也为丙得冠军的概率为2?12125?,甲、乙得冠军的概率均为(1?)?.

271477第二章

2

一、填空题： 8

1. P?X?x?，F(x2)?F(x1)

kk2. P{X?k}?Cnp(1?p)n?k，k = 0，1，…，n

9

3. P{X?k}?4.

?kk!e??,??0为参数，k = 0，1，…

1 1???1, a?x?b 5. f(x)???b?a? 其它?0, 6. f(x)?12??e?(x??)22?2,???x???

1?27. ?(x)?e,???x???

2?b??a??)??() 8. ?(??9.

X -1 1 2 pi 0.4 0.4 0.2 分析：由题意，该随机变量为离散型随机变量，根据离散型随机变量的分布函数求法，可观察出随机变量的取值及概率。 10.

x29 64分析：每次观察下基本结果“X≤1/2”出现的概率为的观察可看作是3重伯努利实验，所以

?12-?f(x)dx??22xdx?011，而本题对随机变量X取值4119P?Y?2??C32()2(1?)3?2?

446411. P?X ?2.2??P?2.2?1?X?12.2?1????()?0.7257, ?222??5.8?1?1.6?1??1.6?1X?15.8?1?P??1.6?X ?5.8??P?????()??()? 22222????(2.4)??(?1.3)??(2.4)??(1.3)?1?0.8950,同理，P{| X | ? 3.5} =0.8822. 12. G(y)?P?Y?3X?1?y??P?X?13.

??y?1?y?1?F(). ?3?313，利用全概率公式来求解： 48 9

P?Y?2??P?Y?2X?1?P?X?1??P?Y?2X?2?P?X?2? ?P?Y?2X?3?P?X?3??P?Y?2X?4?P?X?4? ?0?二、单项选择题：

1. B，由概率密度是偶函数即关于纵轴对称，容易推导

F(-a)=

?a00a101-?f(x)dx???f(x)dx 2-a2010

111111113???????.424344448???f(x)dx????f(x)dx-?f(x)dx?-ax???2. B，只有B的结果满足F(??)?limF(x)?1 3. C，根据分布函数和概率密度的性质容易验证 4. D，Y???2,X?2，可以看出Y不超过2，所以

?X,X?21, y?2?1, y?2 y?2??1, ???x?yFY(y)?P?Y?y?????y1???,??0，

?edx,y?2??PX?y,y?2????1?e,y?2??0?可以看出，分布函数只有一个间断点.

5. C, 事件的概率可看作为事件A（前三次独立重复射击命中一次）与事件B（第四次命中）同时发生的概率，即

1 p?P(AB)?P(A)P(B)?C3p(1?p)3?2?p.

三、解答题

（A）

1．(1)

X pi

分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数

1为1，其余一个1至6点均可，共有C2?6-1（这里C2指任选某次点数为1，6为另一次有6种结果

11 2 3 4 5 6 11 369 367 365 363 361 36均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为C2?6多算了一次）或C2?5?1种，故

11C2?6-1C2?5?111P?X?1????,其他结果类似可得.

36363611(2)

10

11

?? 0 ， x?1?P{X?1}，1?x?2?P{X?1}?P{X?2}，2?x?3F(x)???P{X?1}?P{X?2}?P{X?3}， 3?x?4 ??P{X?1}?P{X?2}?P{X?3}?P{X?4}， 4?x?5??P{X?1}?P{X?2}?P{X?3}?P{X?4}?P{X?5}，5?x?6?1 ， x?6?? 0 ， x?1?11??36，1?x?2?20，?362?x?3 ???2736， 3?x?4 ???32 4?x?5?36，?35?，5?x?6?36?1 ， x?62．

X-91 9 p1251i 126126 注意，这里X指的是赢钱数，X取0-1或100-1，显然P?X?99??2C5?1. 10126?3．

?a?k???k!?ae?1，所以a?e?.

k?0???0，x?-1?0，x?-14．(1) f(x)???P{X??1}，?1?x?2?1?，?1?x?2?P{X??1}?P{X?2}，2?x?3??4，

??3，x?3，2?x?3?1??4?1，x?3(2) P???X?1?2???p?X??1??14、 P??3?2?X?5?2???P?X?2??12、 P?2?X?3??P??X?2???X?3???P?X?2??P?X?3??34；

11

12

?1?1?2?1?2i111225．(1) P?X?偶数??2?4???2i???lim??i???12221??22?(2) P?X?5??1?P?X?4??1????????1， ?3??151?， 1616(3) P?X?3的倍数???i?1?1?lim23ii??123??1?i??1??3????2???1??.

171?326．(1) X~P?0.5t??P?1.5? P?X?0??e?1.5. (2) 0.5t?2.5 P?x?1??1?P?x?0??1?e?2.5. 7．解：设射击的次数为X，由题意知X~B?400，0.2?

kP?X?2??1?P?X?1??1??k?0C4000.02k0.98400?k18K?8?1??k?0e?1?0.28?0.9972，其中8=400×0.02.

k!18．解：设X为事件A在5次独立重复实验中出现的次数，X~B?5，0.3? 则指示灯发出信号的概率

012p?P?X?3??1?P?X?3??1?(C50.300.75?C50.310.74?C50.320.73)

?1?0.8369?0.1631；

9. 解：因为X服从参数为5的指数分布，则F(x)?1?e?x5，P?X?10??1?F(10)?e，Y~B5，e?2??2?

k则P{Y?k}?C5(e?2)k(1?e?2)5?k,k?0,1,?5 5P{Y?1}?1-P{Y?0}?1?（1?e?2）?0.5167

10. (1)、由归一性知：1???????f(x)dx??2?acosxdx?2a，所以a??21. 21124?(2)、P{0?X?}??4cosxdx?sinx|0.

0242411. 解 （1）由F(x)在x=1的连续性可得limF(x)?limF(x)?F(1)，即A=1.

x?1?x?1????（2）P?0.3?X?0.7??F(0.7)?F(0.3)?0.4.

?2x,0?x?1.

?0, （3）X的概率密度f(x)?F?(x)???1?0?x?512. 解 因为X服从（0，5）上的均匀分布，所以f(x)??5

?0其他?2 若方程4x?4Xx?X?2?0有实根，则??(4X)?16X?32?0，即

22 12

13

X?2 X??1 ，所以有实根的概率为 p?P?X?2??P?X??1???515dx???12??0dx?135x52?5 13. 解: (1) 因为X~N(3，4) 所以

P{2?X?5}?F(5)?F(2)

??(1)??(0.5)?1?0.8413?0.6915?1?0.5328

P??4?X?10??F(10)?F(?4) ??(3.5)??(?3.5)?1?2?(3.5)?1?2?0.998?1?0.996

P?X?2??1?P?X?2??1?P??2?X?2?

?1??F(2)?F(?2)??1???(?0.5)??(?2.5)? ?1???(2.5)??(0.5)??1?0.302?30.697 7P?X?3??1?P?X?3??1?F(3)?1??(0)?1?0.5?0.5

(2)

P?X?c??1?P?X?c?，则P?X?c??12?F(c)??(c?32)?12，经查表得?(0)?1c?32，即

2?0，得c?3；由概率密度关于x=3对称也容易看出。 (3) P?X?d??1?P?X?d??1?F(d)?1??(d?32)?0.9， 则?(d?32)?0.1，即?(-d?32)?0.9，经查表知?(1.28)?0.8997， 故-d?32?1.28，即d?0.44； 14. 解：P?X?k??1?P?X?k??1?P??k?X?k??1??(kk?)??(??)

?2?2?(k?)?0.1

所以 ?(k?)?0.95，p?X?k??F(k)??(k?)?0.95；由对称性更容易解出；

15. 解 X~N(?,?2)则 P?X??????P?????X?????

?F(???)?F(???) ??(??????)??(??????) ??(1)??(?1) ?2?(1)?1?0.6826

上面结果与?无关，即无论?怎样改变，P?X?????都不会改变； 16. 解：由X的分布律知

13

14 p x X2 111111 5651530-2 4 2 -1 1 1 0 0 0 1 1 1 3 9 3 X 所以 Y的分布律是

Z的分布律为

Y 0 p 1 2 3 Y 0 p 1 4 9 71111 53053071111 53053017. 解 因为服从正态分布N(?,?2)，所以f(x)?12??e?(x??)22?2，

则 F(x)?12???x??e?(x??)22?2dx，FY(y)?pex?y，

??当y?0时，FY(y)?0，则fY(y)?0

x当y?0时，FY(y)?pe?y?p?x?lny?

??fY(y)?FY(y)?(F(lny))??'1y12??12??e?(lny??)22?2

?1?所以Y的概率密度为fY(y)??y??018. 解X~U(0,1)，f(x)??e?(lny??)22?2y?0y?0；

?1?00?x?1， FY(y)?p?Y?y??p?1?x?y??1?F(1?y)，

所以fY(y)?fX(1?y)???1,0?1?y?1?1,0?y?1 ???0,其他?0,其他 14

15

19. 解：X~U(1,2)，则f(x)???11?x?2?0其他

FY(y)?P?Y?y??P?e2X?y?

当y?0时，F2XY(y)?P?e?y??0，

当y?0时，

FY(y)?P??1?X?2lny????F1X(2lny)，

f'1??1f(1Y(y)?FY(y)?(F(Xlny)e2?x?e42lny))????22?0其他?1

????2ye2?x?e4?0其他20. 解: (1) FY(y)?P?Y1?y??P?3X?y??P??X111??3y????FX(3y)

fy)?F'111Y1(Y1(y)?(F(3y))??3fX(3y)

?因为f?3x2?1?x?1X(x)???2?0其他

所以f(y)?11??1y2,?1?1y?1??1y2,?3Y13fX(3y)????18?0,其3他??18?y?3?0,其他 (2) FY2(y)?P?Y2?y??P?3?X?y??P?X?3?y??1?FX(3?y)，

fY2(y)?F'Y2(x)?[1?FX(3?y)]'?fX(3?y) ?因为f)??3?x2?1?x?1X(x?2?0其他，

? 所以f?3(3?y)2,?1?3?y?1?3Y2(y)?fX(3?y)?????2??0,其他?2(3?y)2,2?y?4?0,其他（3）FY3(y)?P?Y3?y??P?X2?y?

当y?0时，FY3(y)?P?X2?y??0，fY(y)?F'Y?0

当y?0时，FY3(y)?P??y?X??3?3(x)y?FXy??FX(?y)， fY3(y)?F'Y3(x)?[F?y??F(?y)]'?12y[fX?y??fX(?y)]

15

16

?1[fX?所以 fY3(y)??2y???y??f0X(?y)],,y?0， y?0?3x2?因为fX(x)??2??0?1?x?1，

其他?3,0?y?1?y所以fY3(y)??2 ,其他??0四．应用题

1．解：设X为同时打电话的用户数，由题意知X~B?10 ,0.2?

设至少要有k条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为0.99，则

kkP{X?k}??C0.20.8i10ii?010?i??i?0?ii!e???0.99，其中??2,

查表得k=5.

2．解：该问题可以看作为10重伯努利试验，每次试验下经过5个小时后组件不能正常工作这一基本结果的概

率为1-e?0.4，记X为10块组件中不能正常工作的个数，则

X~B(10,1?e?0.4)，

5小时后系统不能正常工作，即?X?2?，其概率为

P?X?2??1?P?X?1?01 ?1?C10(1?e?0.4)0(e?0.4)10?C10(1?e?0.4)1(e?0.4)10?1

?0.8916.3．解：因为X~N(20,402)，所以

P{X?30}?P{?30?X?30}?F(30)?F(?30)

30?20?30?20)??()4040 ??(0.25)??(1.25)?1

?0.5187?0.8944?1??(?0.4931)， 设Y表示三次测量中误差绝对值不超过30米的次数，则X~B(3,0.4931003(1) P{Y?1}?1?P{Y?0}?1?C30.4931(1?0.4931)3?1-0.5069?0.8698. 11(2) P{Y?1}?C30.4931?0.50692?0.3801.

4．解：

当y?0时，{Y?y}是不可能事件，知F(y)?0，

当0?y?2时，Y和X同分布,服从参数为5的指数分布错误！未找到引用源。，知

1?F(y)??e5dx?1?e5，

05 当y?2时，{Y?y}为必然事件,知F(y)?1，

yx?y 16

17

因此，Y的分布函数为

?0 , y?0?y?? F(y)??1-e5，0?y?2；

?1,y?2??5．解：(1) 挑选成功的概率p?11； ?470C8(2) 设10随机挑选成功的次数为X，则该X~B?10，?， 设10随机挑选成功三次的概率为：

3P{X?3}?C10(??1?70?1k1)(1?)7?0.00036， 7070以上概率为随机挑选下的概率，远远小于该人成功的概率3/10=0.3，因此，可以断定他确有区分能力。

（B）

?0,x?0?1?x,0?x?1?3?11. 解：由概率密度可得分布函数F(x)??,1?x?3

?3?1?2(x?3),3?x?6?39??1,x?6由于P?X?k??21，即F(k)?，易知1?k?3； 33?1，X?0,?1，??1?x?2（?1,2）2. 解： X服从的均匀分布，f(x)??3，又Y??

，其他?1，X?0,???021??PY?1?P{X?0}?f(x)dx?x则?0320?2， 3P{Y??1}?P{X?0}?1-P{X?0}?所以Y的分布律为

1 3Y2 P -1 1 1 32 33. 解：FY(y)?P[1?3X?y]?P{X?(1?y)3}?1?FX[(1?y)3]，

17

18

'??fY(y)??FY(y)??1?F[(1?y)3]??fX(1?y)3(1?y)3?3(1?y)2fX(1?y)3????????3(1?y)2?,y?R； 6?1?(1?y)??4. 证明：因fx(x)是偶函数，故fx(?x)?fx(x)，

FY(y)?P{Y?y}?P{?X?y}?P{X??y}?1?P{X??y}?1?Fx(?y)所以

fY(y)?FY(y)?fx(?y)?fx(y).

5. 解：随机变量X的分布函数为

'?0 , x?1? F(x)??3x-1, 1?x?8，显然F(x)?[0,1]，

?1, x?8? FY(y)?P{Y?y}?P{F(X)?y}，

当y?0时，{F(X)?y}是不可能事件，知FY(y)?0，

当0?y?1时，FY(y)?P{3X?1?y}?P{X?(1?y)3}?y， 当y?1时，{F(X)?y}是必然事件，知FY(y)?1，

?0 , y?0? 0?y?1。 即 FY(y)??y, ?1, y?1?6. （1）FY1(y)?P{Y1?y}?P{2X?1?y}?P{X?y-1} 2y?1y?1y-1?0时，即y?1时，FY1(y)?P{X?}??20dx?0， 当

-?22y?1y?1y-1?0时，即y>1时，FY1(y)?P{X?当}??2e?xdx?1-e0221?y2，

所以

y?11?y?12，?fY1(y)??2e；

，其他??0,y?1（2）FY2(y)?P{Y2?y}?P{eX?y}，

XX 当y?0时，{e?y}为不可能事件，则FY2(y)?P{e?y}?0，

当0?y?1时，lny?0，则FY2(y)?P{eX?y}?P?X?lny???lny??0dx?0，

当y?1时，lny?0，则FY2(y)?P?X?lny??根据fY2(y)?FY?2(y)得

?lny0e?xdx?1?1， y 18

19

?0, y?1? fY2(y)??1；

,y?12??y（3）FY3(y)?P{Y3?y}?P{X2?y}，

当y?0时，FY3(y)?P{X2?y}?0， y当y?0时，F2Y3(y)?P{X?y}?P??y?X?y???0e?xdx?1?e?y，

?0, y?0所以 f??yY3(y)??e?,y?0；

?2y7. (1) 证明：由题意知f(x)???2e?2x,x?00,x?0。

?Y?e?2x，F?2X1Y（1y）?P{Y1?y}?P{e?y}， 当y?0时，FY（1y）?0即fY（1y）?0， 当0?y ?1时，F?2XY1(y)?P{e?y}?P???lny????2x?X?2?????lny2edx?y，

2当y?1时，F??lny?Y1(y)?P?X?2???????2x?02edx?1， 故有f?1,0?y?1Y1(y)??，可以看出?0, Y1服从区间（0，1）均匀分布；

（2） Yx2?e?2，FY2(y)?P{Y21?y}?P{1-e?2X?y}?P{e?2X?1-y}

当1?y?0时，F?2xY2(y)?P{e?1-y}?1，

当0?1?y?1时，

?ln(1?y)F?2X?1-y}?P???ln(1?y)?Y（22(y)）?P{e?X?2????02e?2xdx?y，

?ln(1?y) 当1?y?1时，F?2XY?1-y}?P???ln(1?y)?22(y)?P{e?X?2??????0dx?0， 由以上结果，易知f?1,0?y?1Y2(y)??，可以看出?0, Y2服从区间（0，1）均匀分布。

第三章

1解：(X,Y)取到的所有可能值为(1,1),(1,2),(2,1)由乘法公式：

P{X=1,Y=1}=P{X=1}P{Y=1|X=1|=2/3?1/2=/3 同理可求得P{X=1,Y=1}=1/3; P{X=2,Y=1}=1/3 (X,Y)的分布律用表格表示如下：

19

20 Y X 1 2 1 1/3 1/3 2 1/3 0 2 解：X，Y所有可能取到的值是0, 1, 2

(1) P{X=i, Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i|= 错误！未找到引用源。, i,j=0,1,2, i+j?2 或者用表格表示如下：

Y X 0 1 2 0 3/28 9/28 3/28 1 6/28 6/28 0 2 1/28 0 0 (2)P{(X,Y)?A}=P{X+Y?1}=P{X=0, Y=0}+P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=0}=9/14 3 解：P(A)=1/4, 由P(B|A)=源。 由P(A|B)=

P(AB)P(AB)??1/2错误！未找到引用源。得P(AB)=1/8错误！未找到引用

P(A)1/4P(AB)?1/2得错误！未找到引用源。P(B)=1/4

P(B)(X,Y)取到的所有可能数对为(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),则

P{X=0,Y=0}=错误！未找到引用源。)P(AB)=P(错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。(A)-P(B)+P(AB)=5/8 P{X=0,Y=1}=P(错误！未找到引用源。B)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8 P{X=1,Y=0}=P(A错误！未找到引用源。)=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8 P{X=1,Y=1}=P(AB)=1/8 4.解：(1)由归一性知：

1=错误！未找到引用源。, 故A=4 (2)P{X=Y}=0

(3)P{X

F(x,y)=错误！未找到引用源。 即F(x,y)=错误！未找到引用源。 20

21

5.解：P{X+Y?1}=x???f(x,y)dxdy?y?1?120?1?x(x2?xy653)dydx?72

6 解：X的所有可能取值为0,1,2,Y的所有可能取值为0,1,2, 3. P{X=0,Y=0}=0.53=0.125; 、P{X=0,Y=1}=0.53=0.125

P{X=1,Y=1}=C120.25, P{X=1,Y=2}=C120.5?0.5?20.52?0.5?0.25

P{X=2,Y=2}=0.53=0.125, P{X=2,Y=3}==0.53=0.125 X,Y 的分布律可用表格表示如下：

Y 0 1 2 3 Pi. X 0 0.120.125 5

0

0

0.25 1 0 0.25 0.25 0 0.5 2 0 0 0.120.120.25 5 5 P.0.120.370.370.12j

5

5

5

5

1

7. 解：f(x,y)???e?y,0?x?y0,

?其它?????f)dy????e?ydy,x?0?e?x,x?0X(x)???f(x,y ??x???0,x?0?0,x?0???yfy)??f(x,y)dx????e?ydx,y?0y?0Y(???ye?y,???0?0,y?0?0,y?0 8. 解：f(x,y)???cx2y,x2?y?1?0,x?0

(1)1???????f(x,y)dxdy??1?12121?x44c?????1x2cxydydx?2c?0x2dx?21

所以 c=21/4

21

22

(2) fX(x)??????2112?21x2(1?x4)??xydy,|x|?1?,|x|?1

f(x,y)dy??4?x2??8?0，其它?0,其它???5y21?????x2ydx0?y?1?7y2fY(y)??f(x,y)dx??4?y????2??00，其它??,9 解：SD?0?y?1 其它?e211e2dx?lnx|1?2 x(X,Y)在区域D上服从均匀分布，故f(x,y)的概率密度为

?1?,(x,y)?D f(x,y)??2?它?0，其1????x1dy,1?x?e2fX（x)??f(x,y)dy???02

???其它?0,?e21e2?1,??1dx?20?y?e?2?12???111fX（x)??f(x,y)dx???ydx?(?1),e?2?y?1??1 2y?2其它?0,??10 解：f(x,y)???3x,0?x?1,0?y?x

0,其它?fY|X(y|x)?f(x,y) (fX(x)?0) fX(x)2x?3x???3xdy?,0?x?1

fX(x)??f(x,y)dy???02???0,其它?当0

?3x2,0?y?x3xf(x,y)?fY|X(y|x)???

2fX(x)?其它?0, 22

23

?即，f?2,0?y?x?1Y|X(y|x)??x

??0,其它11解：f(x,y)???1,0?x?1,|y|?x?0,其它

f(y)?????1f(x,y)dx???dx?1?y,y?0Y??y??

???1ydx?1?y,y?0?1当y?0时，ff(x,y),0?x?1,?x?y?xX|Y(x|y)?f(x)???1?y

Y??0,其它?1当y>0时，f?f(x,y),0?x?1,?X|Y(x|y)f???1?yx?y?x

Y(x)??0,其它所以，f(x|y)?f(x,y)?1,0?|y|?x?1X|Yf???1?|y|

Y(x)??0,其它12 解：由ff(x,y)X|Y(x|y)?fx)得 Y(f(x,y)?ff?15yx2,0?y?1,0?x?yX|Y(x|y)Y(y)???0,其它

P{X?0.5}??????0.5???f(x,y)dydx??10.5?147x15yx2dydx?64 13解：Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的所有可能取值如下表 pi 0.05 0.15 0.2 0.07 0.11 0.22 0.04 0.07 0.09 (X,Y) (0,-1) (0,0) (0,1) (1,-1) (1,0) (1,1) (2,-1) (2,0) (2,1) max(X,Y) 0 0 1 1 1 1 2 2 2 Min(X,Y) -1 0 0 -1 0 1 -1 0 1 Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的分布律为 Z 0 1 2 Pk 0.2 0.6 0.2

23

24

W -1 0 0.53 1 0.31 Pj 0.16 xy?1???1????14 解：fX(x)???e,x?0 fY(y)???e,??x?0?0,?0,y?0 y?0由独立性得X，Y的联合概率密度为

?y?1?x??,x?0,y?0 f(x,y)???2e?其它?0,??x则P{Z=1}=P{X?Y}=

x?y??f(x,y)dxdy???100?2e?x?y?dydx?1 2P{Z=0}=1-P{Z=1}=0.5 故Z的分布律为 Z Pk 0 0.5 1 0.5 ?1?,x2?y2?115 解：f(x,y)???

?其它?0,fX(x)??????2?1?x212??dy?1?x,|x|?12f(x,y)dy???1?x2? ??0，其它??2?1?y2,|y|?1同理，fY(y)???

?0，其它?显然，fX(x)?fY(y)，所以X与Y不相互独立.

?1,0?x?1?1,0?y?116 解：(1)fX(x)?? fY(y)??

0,其它0,其它??利用卷积公式：fZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx求fZ(z)

?1,0?x?1,x?z?1?x fX(x)fY(z?x)=?其它?0, 24

25

?zdx?z,??00?z?1f??????f(z?x)dx????1Z(z)X(x)fYdx?2?z1?z?2

?z?1?0,其它?(2) f?1,0?x?1?e?y,y?0X(x)???0,其它 fY(y)???0,y?0

利用卷积公式：fZ(z)??????fX(z?y)fY(y)dy

f?e?y,?0,y?z?y?1X(z?y)fY(y)??y?0,其它

?z??0e?ydy,0?z?1?1?e?z,0?z?1f???zZ(z)????fX(z?y)fY(y)dy??????z?e?y1dy,z?1?(e?1)e?z,z?1??0,其它?0,其它??17 解：由定理3.1（p75）知，X+Y~N(1,2) 故P{X?Y?1}?P{X?Y?12?1?12}??(0)?0.5 18解：(1) f（Xx)????f(x,y)dx????1)??02(x?y)e?(x?ydy?12e?x(x?1)(x>0) 同理，fY(y)?12e?y(y?1) y>0 显然，fX(x)?fY(y)，所以X与Y不相互独立 (2).利用公式fZ(z)??????fX(x，z?x)dx

??1(x?z?x)e?(x?z?x)?1fx,z?x)??2,x?0,z?x?0??ze?z,x?0,z?xX( ??0,其它??2?0,其它fz?0??z2e?zZ(z)?????f?X(x，z?x)dx???z102ze?zdx,1????2,z?0

??0,z?0??0,z?019解：并联时，系统L的使用寿命Z=max{X,Y} 因X~E(?),Y~E(?),故

25

26

yx?1???1???e,y?0?e,x?0 fY(y)??? fX(x)????0,y?0?0,x?0??yx????????FX(x)??1?e,x?0 FY(y)??1?e,??x?0?0,?0,y?0 y?0zz??????FZ(z)?FX(z)FY(z)??(1?e)(1?e),z?0

?0,z?0??11??1?z1?z????????z11?????,z?0 fZ(z)???e??e?(???)e?0,z?0?串联时，系统L的使用寿命Z=min{X,Y}

?11???????z?1?e?????,z?0 FZ(z)?1?[1?FX(z)][1?FY(z)]???0,z?0?11???11??????????z??????e,z?0 ??fZ(z)???????0,z?0? (B)组

1 解：P{X=0}=a+0.4, P{X+Y=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=1}=a+b P{X=0,X+Y=1}=P{X=0,Y=1}=a 由于{X=0|与{X+Y=1}相互独立, 所以 P{X=0, X+Y=1}=P{X=0} P{X+Y=1}

即 a=(a+0.4)(a+b) (1) 再由归一性知：

0.4+a+b+0.1=1 (2) 解(1),(2)得 a=0.4, b=0.1 2 解: (1) P{X?2Y}?x?2y??f(x,y)dxdy??x2001?(2?x?y)dydx?7 24??(2) 利用公式fZ(z)? 26

???f(x,z?x)dx计算

27

f(x,z?x)???2?z,0?x?1,0?z?x?1?0,其它 ?z????0(2?z)dx,0?z?1（?2?z),0?z?1f(z)???f(x,z?x)dx??????1z?1(2?z)dx,1?z?2??Z?(2?z)2,1?z?2

?0,z?2??0,z?2?3.解：(1) FY(y)=P{Y?y}=P{X2?y} 当y<0时，fY(y)=0

当y?0时，FY(y)?P{?y?X?y}?FX(y)?FX(?y)

??38y,0?y?1从而，f???1Y(y)???[f(y)?f??1XX(?y)]??,1?y?4

?2y?8y????0，y?4(2) F(-1/2,4)=P{X?-1/2,Y?4}= P{X?-1/2,X2?4} =P{-2?X?-1/2}=

??12?1?2fX(x)dx??21?12dx?14 4.解：P{XY?0}=1-P{XY=0}=0 即 P{X=-1,Y=1}+P{X=1,Y=1}=0

由概率的非负性知，P{X=-1,Y=1}=0，P{X=1,Y=1}=0

由边缘分布律的定义，P{X=-1}= P{X=-1,Y=0}+ P{X=-1,Y=1}=1/4 得P{X=-1,Y=0}=1/4

再由P{X=1}= P{X=1,Y=0}+ P{X=1,Y=1}=1/4 得P{X=1,Y=0}=1/4

再由P{Y=1}=P{X=-1,Y=1}+ P{X=0,Y=1}+ P{X=1,Y=1}= P{X=0,Y=1} 知P{X=0,Y=1}=1/2

最后由归一性得：P{X=0,Y=0}=0 (X,Y)的分布律用表格表示如下：

27

28 Y X -1 0 1 P{Y=j} 0 1/4 0 1/4 1/2 1 0 1/2 0 1/2 P{X=i} 1/4 1/2 1/4 1 (2) 显然，X和Y不相互独立，因为P{X=-1,Y=0}? P{X=-1}P{Y=0}

??5 解：X与Y相互独立，利用卷积公式fZ(z)????fX(x)fY(z?x)dx计算

fX(x)?12??e?(x??)22?2?1?,y?(??,?) f(y)?,?2?Y?它?0,其2(x??)??12?e2?,???z?x??fX(x)fY(z?x)??2??2?

?它?0,其??fZ(z)?????fX(x)fY(z?x)dx??z??12??2?z??e?(x??)22?2dx?12??z??1z???2?e?(x??)22?2dx

11P{z???X?z??}?[F(z??)?F(z??)] 2?2?12???z??????z?????????????? ?????????6.解：(X,Y)～Ｕ(G)

?1?,(x,y)?G f(x,y)??2?它?0,其设F(x)和f(s)分别表示S=XY的分布函数和密度函数 F(s)=P{XY

?1,s?2?ss?0时，FS??s11 21x??0?0dydx??s?0dydx22? 28

29

??0,s?0所以，F?ss2S??2?2lns,s?2

???1,s?2于是，S=ＸY概率密度为

?1f???ln2,0?s?2S(s) ?2s?0,其它7.解：由全概率公式： FU(u)=P{U?u}={X+Y?u}

=P{X=1}P{X+Y?u|X=1}+ P{X=2}P{X+Y?u|X=2} = P{X=1}P{1+Y?u}+ P{X=2}P{2+Y?u} =0.3?FY(u-1)+0.7?FY(u-2) 所以，fU(u) =0.3?fY(u-1)+0.7?fY(u-2)

8. 解：(1) f(x,y)???1,0?x?1,0?y?x?0,其它

fX(x)?????f(x,y)dy???2x??01dy,0?x?1??2x,0?x?1? ?0,其??它?0,其它?1f???1dx,0?y?2?yY(y)????f(x,y)dx???y2??1?,0?y?2 ??2?0,其它??0,其它(2) FZ(z)?P{Z?z}?P{2X?Y?z}?2x??f(x,y)dxdy

?y?z如图所示，当z<0时，FZ(z)=0; 当z?2时，FZ(z)=1 z 当0?z<2时:FZ(z)??2?2x?12xz2001dydx?z2?2x?z1dydx?z?4综上所述，

??0.z?0F?z2Z(z)??z??4,0?z?2 ??1,z?2

29

30

它?0,其?所以Z的概率密度为：fZ(z)?? z1?,0?z?2??2?1,0?x?19.解：(1) fX(x)??

0,其它??1?,0?y?x,0?x?1 fY|X(y|x)??x?它?0,其?1?,0?y?x?1 f(x,y)?fY|X（y|x)fX(x)??x?它?0,其(2) fY(y)???????11??ydx,0?y?1??lny,0?y?1 f(x,y)dx??x??它?0,其?0,其它?(3) P{X?Y?1}?x?y?1??f(x,y)dxdy??1dydx?1?ln2

0.5?1?xx1x10.解：(1)P{Z?1/2|X=0}=P{X+Y?1/2|X=0}=P{Y?1/2}=1/2 (2) 由全概率公式：

FZ(z)=P{Z?z}=P{X+Y?z}=P{X=1}P{X+Y?z|X=1} +P{X=0}P{X+Y?z|X=0}=P{X=-1}P{X+Y?z|X=-1} = P{X=1}P{1+Y?z}+P{X=0}P{Y?z}=P{X=-1}P{-1+Y?z} =1/3?[FY(z-1)+ FY(z)+ FY(z+1)]

?1?,?1?z?2从而，fZ(z) =1/3?[fY(z-1)+ fY(z)+ fY(z+1)]=?3

?它?0,其11.解：f(x.y)???3x,0?x?1,0?y?x

它?0,其FZ(z)?P{Z?z}?P{X?Y?z}?P{Y?X?Z}?如图，当z<0时，FZ(z)=0; 当z?1时，FZ(z)=1

y?x?z??f(x,y)dxdy

3zz3? 当0?z<1时:FZ(z)???3xdydx???3xdydx?00zx?z22zx1x 30

36

所以Cov(X，Y)=0，?XY =0，即X和Y是不相关.

fX(x)?????f(x,y)dy???1?x2????21?x2?1?x21/?dy,?1?x?1?，?1?x?1? ??0，其他????0，其他f???1?y?f(x,y)dx??221?y2Y(y)???????1?y21/?dx,?1?y?1??，?1?y?1 ???0，其他???0，其他当x2 + y2

≤1时，f ( x,y)≠fX ( x) f Y(y),所以X和Y不是相互独立的

22. 设随机变量(X, Y )的概率密度为

f(x,y)???1/2,|y|?2x,0?x?1 ?0其它.验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的．

y解：由于f ( x,y)的非零区域为D: 0 < x < 1, | y |< 2x

y?2xE(X)???xf(x,y)dxdy??1?2x112D0?2x2xdydx??2x2dx?,

03E(Y)???yf(x,y)dxdy??1?2x1Oydydx?0,

xD0?2x2E(XY)???xyf(x,y)dxdy?12x10??2x2xydydx?0,所以Cov(X，

y??2xD??Cov(x,y)xy?D(x)D(y)?0，因此X与Y不相关 .

f??2x1X(x)????f(x,y)dy?????2xdy?2x,0?x?1

?2?0,其他 36

)=0，从而Y

37

f1y?11dx??,?2?y?0???y2242???1y?1(y)??f(x,y)dx???y2dx??,0?y?2 Y??24?20,其他???所以，当0

.1. 某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量，他们估计出售一件产品可获利m元，而积压一件产品导致n元的损失，再者，他们预测销售量Y（件）服从参数?的指数分布，问若要获利的数学期望最大，应该生产多少件产品？（设m,n,?均为已知）.

解：设生产x件产品时，获利Q为销售量Y的函数 y ?mY?n(x?Y),0?Y?x? 0< y

mx,Y?x? y? x ? 1 ?e?,y?0,??0Y的边缘密度函数为f(y)???Y

?0,y?0?

yy??x??11??? E(Q)??Q(Y).fY(Y)dy???my?n(x?y)?e.dy??mx.edy??0x?? yyy???xx????? ??(m?n)yde?nxde??0?0?xmxde

yyyy?????x?xx ??(m?n)ye??e??m?n?dy??nxe??mxe???0?0x0?? ??xyxx ????x??(m?n)xe???m?n??e?0?nxe??nx?mxe?

x? ???(m?n)?e??m?n??nx

xx???dE(Q)1? 令??(m?n)?e?????n?(m?n)e??n?0dx???

x?nn ?则e?,?x???lnm?nm?n

x d2E(Q)m?n??又??e?0 dx? n?当x???ln时，E(Q)取最大值m?n2. 设卖报人每日的潜在卖报数为X服从参数为?的泊松分布，如果每日卖出一份报可获报酬m元，卖不掉而退回则每日赔偿n元，若每日卖报人买进r份报，求其期望所得及最佳卖报数。 解： 设真正卖报数为Y ,则

?k????e,k?r，Y的分布为P?Y?k???k!

??k??????k!e,k?r?k?r?XY???r

X?rX?r 37

38

设卖报所得为Z ,则Z 与Y 的关系为

?my?n?r?y?Z?g?Y????mrY?rY?r

?r?1k?????k???E?g?Y??????e??km??r?k?n?????e?mr?k?0k!??i?rk!??????k?m?n???ek!r?1k?0r?2kk???nr??ek!r?1k?0r?1kk???mr??ek!r?1k?0k????k??? ?mr???e??k?0k!?????m?n????ek!k?0???nr??ek!k?0???mr当给定m,n,λ之后，求r，使得E(g(Y))达到最大.

用软件计算??100,m?10,n?0时

E?g?Y???100,此时r?150(B)组题

1. 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求： (1) 乙箱中次品件数X的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率．

解：(1) X的可能取值为0，1，2，3，X的概率分布律为

3?kC3kC3 P{X?k}?， k=0,1,2,3. 3C6即 X 0 1 2 3 pi 因此

E(X)?0?1991 2020202019913?1??2??3??. 202020202(2) 设A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于{X?0}，{X?1}，{X?2}，{X?3}构成完备事件组，因此根据全概率公式，有

P(A)?3?P{X?k}P{AX?k}

k?03k13 =?P{X?k}???kP{X?k}

66k?0k?0 =

1131E(X)???. 66240?x??，对X独立重复观察4次，用Y表示观察值大

其他x?1?cos,2. 随机变量X的概率密度为f(x)??22?0,?于

?的次数，求Y 2的数学期望 3 38

39

解：依题意，Y~B(4, p),

????1xx1p=P{X >}=?f(x)dx??cosdx?sin?

?/3?/32322?/32所以E(Y)= 4p =2，D(Y)= 4p(1-p)=1， E(Y2) = D(Y)+[E(Y)]2=1+4=5 3. 设随机变量U在区间(-2，2)上服从均匀分布，随机变量

??1,若U??1??1,若U?1X??;Y??.

若U??1若U?1?1,?1,试求：(1)X和Y的联合分布律；(2)D(X?Y)．

?1,?2?u?2 解：(1) fU(u)???4?其他?0,P{X =-1, Y =-1}= P{U ≤-1且U ≤1}= P{U ≤-1}=?P{X =-1, Y =1}= P{U ≤-1且U >1}= 0， P{X =1, Y =-1}= P{-1 -1且U >1}= P{U > 1}=?所以X和Y的联合分布律为 X -1 Y -1 1 1/4 0 1 1/2 1/4 X pi Y pi 11du?， 44(2) X和Y的边缘分布律分别为

– 1 1/4 – 1 3/4 1 3/4 1 1/4 所以E(X)= -1/4+3/4=1/2，E(Y)= -3/4+1/4=-1/2，E(XY)= 1/4-1/2+1/4=0， E(X2)= 1/4+3/4=1，E(Y2)=1，D(X)=1-1/4=3/4，D(Y)=1-1/4=3/4， Cov(X，Y)=1/4，D(X+Y)= D(X)+ D(Y)+2 Cov(X，Y)=3/4+3/4+2/4=2

4. 设随机变量X的期望E(X)与方差D(X)存在，且有E(X)?a,D(X)?b(b?0)，Y?X?ab，证明

E(Y)?0,D(Y)?1．

证明：首先证明E（Y）存在

(1) 若随机变量X为离散型随机变量，分布律为：P{X?xi}?pi,i,?1,2,? 则由E(X)存在知，E(X)??xipi绝对收敛，且E(X)?a,

i?1?记Y?X?a?xi?a?1?g(X),则?g(xi)pi????p?i??bb?bi?1i?1????xpii?1?i?ab绝对收敛，

39

40

????所以E（Y）存在，E(Y)?E?X?a??0,D(Y)?D?X?a??D(X)?1 ????b?b??b?(2) 若X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),则：

由E?X?存在知则?????????xf?x?d?x?绝对收敛。??X?a1???????f?x?d?x??xfxdx?af?x?d?x???????????bb?1????xf?x?d?x??a???????b???因为?xf?x?d?x?绝对收敛，所以??1???xf?x?d?x??a?绝对收敛???????b

?X?a?11???E?X??a??0即E?Y?存在，且E?Y??E??EX?a????bb?b??X?a?11D?Y??D?????bD?X?a??bD?X??1?b?5. 设离散型随机变量X的分布律为P{X?xk}?pk,(k?1,2,?)，且E(X)，E(X 2)，D(X)都存在，试证明：函数f(x)??(xk?x)2pk在x?E(X)时取得最小值，且最小值为D(X)．

k?1?证明：令

??df(x)??2?(xk?x)pk?0， dxk?1?则??xkpk??xpk?0，

k?1k?1??xkpk?x?pk??E(X)?x?0，所以，x?E(X)

k?1k?1?d2f(x)又，所以时，x?E(X)?1?0f(x)??(xk?x)2pk取得最小值，此时 2dxk?1??f(E(X))??(xk?E(X))2pk?D(X)

k?1? 6. 随机变量X与Y独立同分布，且X的分布律为

X pi 记U?max(X,Y),V?min(X,Y)， (1) 求(U，V)的分布律；

(2) 求U与V的协方差Cov(U，V). 解：(1) (X ,Y)的分布律 Y 1 X 1 2 (X ,Y) pij 40

4/9 2/9 2 2/9 1/9 （1，1） 4/9 （1，2） 2/9 （2，1） 2/9 （2，2） 1/9 1 2/3 2 1/3

41 U V V 1 U 1 2 4/9 4/9 1 1 2 0 1/9 2 1 2 1 2 2 (2) E(U)= 4/9+2×5/9=14/9， E(V)= (4/9+2/9+2/9)+ 2×1/9=10/9， E(UV)= 4/9+2×4/9+4×1/9=16/9, Cov(U，V)=16/9-140/81=4/81 7. 随机变量X的概率密度为

?1/2,?1?x?0?fX(x)??1/4,0?x?2

?0,其它?令Y?X2,F(x,y)为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求Cov(X，Y)．

解：

E(X)??????xfｘ(x)dx??1/2xdx??1/4xdx?1/4?102??2022???1002E(Y)?E(X)??xfｘ(x)dx??x/2dx??x2/4dx?5/6E(XY)?E(X)??3????xfｘ(x)dx??x/2dx??x3/4dx?7/8?103032

则：Cov(X,Y)?E(X3)?E(X)E(X2)?7/8?(1/4)?(5/6)?2/38. 对于任意二事件A和B，0 < P(A) < 1，0 < P(B) < 1，??P(AB)?P(A)?P(B)

P(A)P(B)P(A)P(B)称作事件A和B的相关系数．

(1) 证明事件A和B独立的充分必要条件是其相关系数等于零． (2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明??1．

证明: (1) ?0?P?A??1 0?P?B??1

?P(A)P(B)P(A)P(B)?0 ,

??0?P?AB??P?A?P?B??0?P?AB??P?A?P?B?

即??0是事件A和B独立的充分必要条件 (2) 考虑随机变量X和Y

41

42

１，A出现１，B出现?? X＝Y＝??０，　A不出现０，　B不出现??X服从0-1分布:

X pi Y服从0-1分布:

X 可见, E?X??P?A?,E?Y??P?B?

pi 0 1-P(B) 1 P(B) 0 1-P(A) 1 P(A) ??D?Y??E?Y???E?Y??2D?X??EX2??E?X???P?A?P?A?

22?P?B?P?B?

P(AB)?P(A)P(B)P(A)P(A)P(B)P(B)Cov?X,Y??E?XY??E?X?E?Y??P?AB??P?A?P?B?

随机变量Ｘ和Ｙ的相关系数?1???

由两随机变量的相关系数的基本性质有

??1

第五章

5三、解答题

1n1. 设随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，且X～P(?)，X??Xi，试利用契比谢夫不等式估计

ni?1P{|X??|?2?}的下界。

解：因为X～P(?)，E(X)?E(1n1n1X)?E(X)??n??? ??iini?1ni?1n11

n???nn21n1D(X)?D(?Xi)?2ni?1n由契比谢夫不等式可得

?D(Xi)?i?1nP{|X??|?2?}?1??/n1?1? 4?4n2. 设E(X) = – 1，E(Y) = 1，D(X) = 1，D(Y) = 9，? XY = – 0.5，试根据契比谢夫不等式估计P{|X + Y | ? 3}的上界。

解：由题知

??X?Y????X????Y?=??1??1=0

Cov?X,Y?=?xy?D?X??D?Y?=??0.5??1?9= -1.5

D?X?Y??D?X??D?Y??2Cov?X,Y??1?9?2???1.5??7

所以PX?Y?3??(X?Y)?0?3?????7 93. 据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布．现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的．求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率．

解：设i个元件寿命为Xi小时，i = 1 ,2 , ...... , 16 ， 42

43

则X1 ，X2 ，... ，X16独立同分布，且 E(Xi ) =100，D(Xi ) =10000，i = 1 ,2 , ...... , 16 ，

E(??i)?1600,D(??i)?1.6?104，

i?1i?11616由独立同分布的中心极限定理可知：

??i?116i近似服从N ( 1600 , 1.6?10000)，所以

?16?1616??1600??i????1920?1600?? i?1???i?1920?=1????i?1920??1???????i?1??i?1?1.6?10000160000?????????1???0.8?=1- 0.7881= 0.2119

4. 某商店负责供应某地区1000人商品，某种商品在一段时间内每人需要用一件的概率为0.6，假定在这一时间段各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销（假定该商品在某一时间段内每人最多可以买一件）．

解：设商店应预备n件这种商品，这一时间段内同时间购买此商品的人数为X ， 则X ~ B（1000，0.6），则E(X) = 600，D (X ) = 240， 根据题意应确定最小的n，使P{X ≤n }= 99.7%成立. 则P{X ≤n }????X?600?240?n?600?n?600??()?0.997??(2.75) ?240?240所以n?2.75?240?600?642.6，取n=643。

即商店应预备643件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销。

5. 某种难度很大的手术成功率为0.9，先对100个病人进行这种手术，用X记手术成功的人数，求P{84 < X < 95}．

解：依题意, X ~ B（100，0.9），则E(X) = 90，D (X ) = 9，

P{84?X?95)?P{84?90X?9095?90??}33355??()??(?2)??()?1??(2)?0.95254?1?0.97725?0.92979

33

6. 在一零售商店中，其结帐柜台替顾客服务的时间（以分钟计）是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1．求对100位顾客的总服务时间不多于2小时的概率．

解：设柜台替第i位顾客服务的时间为X i ，i = 1,2,3.....100. 则X i ，i = 1,2,3.....100独立同分布，且E（X i）=1.5，D(X i )=1，所以

?100?x?100?1.5?i?120?150??100??i?1?P??xi?120??P???100?1100?i?1??????? ????3??1???3??1?0.9987?0.0013

即对100位顾客的服务时间不多于两个小时的概率为0.0013.

7.已知笔记本电脑中某种配件的合格率仅为80%，某大型电脑厂商月生产笔记本电脑10000台，为了以99.7%的把握保证出厂的电脑均能装上合格的配件，问：此生产厂商每月至少应购买该种配件多少件？

解：设此生产厂商每月至少应购买n件该种配件，其中合格品数为X，则X ~ B(n，0.8),

43

44

0.997=P{X?10000}=错误！未找到引用源。P{到引用源。 ，

解得 n=12655错误！未找到引用源。

X?0.8n0.16n?10000?0.8n0.4n10000?0.8n}?1??()错误！未找

0.4n即此生产厂商每月至少应购买12655件改种配件才能满足以99.7错误！未找到引用源。的把握保证出厂的电脑均能装上合格的配件。

8. 已知一本300页的书中，每页的印刷错误的个数服从参数为0.2的泊松分布，试求整书中的印刷错误总数不多于70个的概率．

解：记每页印刷错误个数为Xi，i=1，2，3，…300，

则它们独立同服从参数为0.2的泊松分布，所以E（X i）=0.2，D(X i )=0.2 所以

?300?X-0.2?300?i??10?70-60??300??i?1? P??Xi?70??P????????????1.29??0.90147

0.2?30060??i?1??60??????9. 设车间有100台机床，假定每台机床是否开工是独立的，每台机器平均开工率为0.64，开工时需消耗电能a千瓦，问发电机只需供给该车间多少千瓦的电能就能以概率0.99保证车间正常生产？

解：设发电机只需供给该车间m千瓦的电能就能以概率0.99保证车间正常生产， 记X为100台机床中需开工的机床数，则X ~ B(100，0.64), E（aX）=64a ，D(aX ) =100×0.64×0.36a2

?aX?64am?64a?P?aX?m??P????0.99??(2.33)

4.8a??a100?0.64?0.36m?64a?2.33，所以m?64a?2.33?4.8a?75.18a

4.8a10. 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元．若老人在该年内死亡，公司付给家属1万元．设老年人死亡率为0.017，试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率．

解：设当年内投保老人的死亡数为X，则X ~ B (10000,0.017)。 保险公司在一年内的保险亏本的概率为

P?X?200??1?P?X?200?

??200?10000?0.017?? ?1????

??170?(1?0.017)??)?0.01 ?1??(2.321所以保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率是0.01

四、应用题

1. 某餐厅每天接待400名顾客，设每位顾客的消费额（单位：元）服从区间(20，100)上的均匀分布，且顾客的消费额是相互独立的，求该餐厅的日营业额在其平均营业额?760元内的概率．

解：设每位顾客的消费额为Xi ，i =1,2,…400, 且 X i ~ U (20，100)，则

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?100?20??80?80?1600， 100?20E?Xi???60,D?Xi??2121232由独立同分布的中心极限定理 所以

?400?P??Xi?400?60?760??i?1?400???P??760??Xi?24000?760?i?1??400?Xi?24000??760?i?1?P????16001600?400?400??33??Xi?1400近似i1600??~N?400?60,400??,

3??

??760??1600?400??3?????P??7603?????X400?2?7603?1??1?0.9505?2??1.6454?????i?1?7603?1600?400??3?i?240002. 设某型号电子元件的寿命（单位：小时）服从指数分布，其平均寿命为20小时，具体使用时当一元件损坏后立即更换另一新元件，已知每个元件进价为110元，试问在年计划中应为此元件作多少元的预算，才可以有95%的把握保证一年的供应（假定一年工作时间为2000小时）．

解：设应为这种元件作m元的预算，即需进m/110个元件， 记第i件的寿命为Xi小时，i =1，2，3···, m/110，且X i ~ E (20)， 所以E（X i）= 20 ，D(X i ) = 400，

?m/110?

P??Xi?2000??i?1?=

?n?=0.95 Xi?20?m/110??2000?20m/110?11000?m?i?1?P??)??1??(400?m/11020m/110110m???????(m?11000m?11000?1.645,所以m=12980 )?0.95??(1.645)，所以

110m110m即在年计划中应为此元件作12980元的预算，才可以有95%的把握保证一年的供应.

3. 据调查某村庄中一对夫妻无孩子、有1个孩子、有2个孩子的概率分别为0.05，0.8，0.15．若该村共有400对夫妻，试求：(1) 400对夫妻的孩子总数超过450的概率；(2) 只有1个孩子的夫妻数不多于340的概率．

解：(1) 设第k对夫妻 孩子数为X k ，则X k的分布律为

X k p 4004000 0.05 1 0.8 2 0.15 22则E(Xk)?0?0.05?1?0.80?2?0.15?1.1，D(Xk)?E(Xk)?E(Xk)?0.19

?Xk?1k?400?1.1??Xk?1k?440

400?0.1976 45