第三篇(第7,8,9章)模型预测控制及其MATLAB实现

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第三篇 模型预测控制 及其MATLAB实现 实现 及其

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第7章 预测控制理论7.1 动态矩阵控制理论 7.2 广义预测控制理论 7.3 预测控制理论分析

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模型预测控制(Model Predictive Control:MPC) 是20世纪80年代初开始发展起来的一类新型计算机控 制算法。该算法直接产生于工业过程控制的实际应用， 并在与工业应用的紧密结合中不断完善和成熟。模型 预测控制算法由于采用了多步预测、滚动优化和反馈 校正等控制策略，因而具有控制效果好、鲁棒性强、 对模型精确性要求不高的优点。

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实际中大量的工业生产过程都具有非线性、不 确定性和时变的特点，要建立精确的解析模型十分 困难，所以经典控制方法如PID控制以及现代控制 理论都难以获得良好的控制效果。而模型预测控制 具有的优点决定了该方法能够有效地用于复杂工业 过程的控制，并且已在石油、化工、冶金、机械等 工业部门的过程控制系统中得到了成功的应用。

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目前提出的模型预测控制算法主要有基于非参数 模型的模型算法控制(MAC)和动态 矩阵控制( DMC),以及基于参数模型的广义预测控制(GPC )和广义预测极点配置控制 (GPP)等。其中，模 型算法控制采用对象的脉冲响应模型，动态矩阵控 制采用对象的阶跃响应模型，这两种模型都具有易 于获得的优点；广义预测控制和广义预测极点配置 控制是预测控制思想与自适应控制的结合，采用 CARIMA模型(受控自回归积分滑动平均模型), 具有参数数目少并能够在线估计的优点，并且广义 预测极点配置控制进一步采用极点配置技术，提高 了预测控制系统的闭环稳定性和鲁棒性。 。5

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7. 1 动态矩阵控制理论动态矩阵控制是一种基于计算机控制的技术，它 是一种增量算法，并基于系统的阶跃响应，它适用 于稳定的线性系统，系统的动态特性中具有纯滞后 或非最小相位特性都不影响该算法的直接应用。由 于它直接以对象的阶跃响应离散系数为模型, 从而避 , 免了通常的传递函数或状态空间方程模型参数的辩 识，采用多步预估技术从而能有效地解决时延过程 问题，按使预估输出与给定值偏差最小的二次性能 指标实施控制，因此是一种最优控制技术，动态矩 阵控制算法的控制结构主要由预测模型、滚动优化 和误差校正及闭环控制形式构成。6

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7.1.1 预测模型从被控对象的阶跃响应出发，对象动态特性用一系 列动态系数 a1 , a 2 ,L , a p 即单位阶跃响应在采样时刻的值 来描述，p称为模型时域长度，ap是足够接近稳态值的 系数。

图7-1 单位阶跃响应曲线

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根据线性系统的比例和叠加性质(系数不变原理),若 在某个时刻k-i(k>=i)

输入u(k-i),则 u (k i) 对输出y(k)的 1≤ i < p a u (k i) 贡献为: y (k ) = i≥ p a u (k i ) (7-1) 若在所有 k i(i = 1,2,L, k ) 时刻同时有输入,则跟据叠加原 p 1 理有 y (k ) = ∑ ai u (k i) + a p u (k p) i =1 (7-2) 利用上式容易得到y(k+j的 n步预估(n<p) 为: (7-3) y (k + j ) = ∑ a u (k + j i ) + a u (k + j p) ( j = 1,2, L , n)i p

p 1 i =1

i

p

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由于只有过去的控制输入是已知的,因此在利用动 态模型作预估时有必要把过去的输入对未来的输出贡 献分离出来,上式可写为 y (k + j ) = ∑ ai u (k + j i ) +i =1 j

(7-4) 上式右端的后二项即为过去输入对输出n步预估,记为 p 1 (7-5) y (k + j ) = a u (k + j i ) + a u (k + j p) ( j = 1,2, L , n)i = j +1 0 i = j +1

∑ ai u (k + j i) + a p u(k + j p)

p 1

( j = 1,2, L , n)

∑

i

p

将式(3-4)写成矩阵形式 y (k + 1) a1 y (k + 2) a = 2 L M y ( k + n) a n a1 M a n 1 u (k ) y 0 (k + 1) u (k + 1) y (k + 2) + 0 O M M L a1 u (k + n 1) y 0 (k + n)

(7-6)

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为增加系统的动态稳定性和控制输入的可实现性， 以及减少计算量可将 向量减少为m维(m<n),则式 u (7-6)变为 (7-7) 0 u (k ) y (k + 1) y (k + 1) a y (k + 2) a = 2 M M y ( k + n) a n 1

u (k + 1) y (k + 2) a1 + 0 M O M M a n 1 L a n m +1 u (k + m 1) y 0 (k + n)

0

记

Y = [ y ( k + 1), y ( k + 2), L , y ( k + n)]T

U = [ u (k ), u (k + 1),L, u (k + m 1)]TY0 = [ y 0 ( k + 1), y 0 ( k + 2),L , y 0 ( k + n)]T

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a1 a A= 2 M a n

a1 M a n 1

0 O L a n m +1

则(7-7)式可写为

(7-8) 式中 矩阵A为n×m维的常数矩阵,由于它完全由系统 的阶跃响应参数所决定, 反映了对象的动态特性,故称 之为动态矩阵。n,m分别称之为最大预测长度和控制 长度。

Y = A U + Y0

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7.1.2 滚动优化 系统的模型预测是根据动态响应系数和控制增量来 决定的，该算法的控制增量是通过使最优化准则 n m 2 2 J = ∑ [ y ( k + j ) w( k + j )] + ∑ λ ( j )[ u( k + j 1)] j =1 j =1 (7-9) 的值为最小来确定的, 以使系统在未来n(p>=n>=m)个时 刻的输出值尽可能接近期望值。为简单起见取控制加 权系数 λ ( j ) = λ (常数)

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W = [ w(k + 1), w(k + 2),L , w(k + n)]T 若令 则式(7-9)可表示为

(7-10) 式中 w(k+j)称为期望输出序列值,在预测控制这类算 法中,要求闭环响应沿着一条指

定的、平滑的曲线到 达新的稳定值,以提高系统的鲁棒性. 一般取 j jw(k + j ) = a y (k ) + (1 a ) y r ( j = 1,2, L , n)

J = (Y W ) T (Y W ) + λ U T U

其中 α 为柔化系数 0 < α < 1 ;y(k)为系统实测输出 值；yr 为系统的给定值。

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用Y的最优预测值 Y 中 并令

代替Y,即将式(3-8)代入式(3-10) J =0 U

得 (7-11) 式(7-11)与实际检测值无关，是DMC算法的开环 控制形式。由于模型误差,弱非线性特性等影响,开环 控制式(7-11),不能紧密跟踪期望值,若等到经过m个时 刻后,再重复式(7-11),必然造成较大的偏差,更不能抑 制系统受到的扰动。故必须采用闭环控制算式,即仅 将计算出来的m个控制增量的第一个值付诸实施,即 现时的控制增量为 u (k ) = c T ( AT A + λI ) 1 AT (W Y0 ) = d T (W Y0 ) (7-12) 式中 c T = [1 0 L 0] ; T = c T ( AT A + λI ) 1 AT d14

U = ( AT A + λI ) 1 AT (W Y0 )

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如果A,λ都已确定,d 可事先离线解出,在线计算 u(k) 只需完成两个矢量的点积即可。 可见，预测控制的控制策略是在实施了Δu(k)之后, 采集k+1时刻的输出数据，进行新的预测、校正、优化 ，从而避免在等待m拍控制输入完毕期间,由于干扰等 影响造成失控。因此优化过程不是一次离线进行，而 是反复在线进行的，其优化目标也是随时间推移的， 即在每一时刻都提出一个立足于该时刻的局部优化目 标，而不是采用不变的全局优化目标。

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7.1.3 误差校正 由于每次实施控制，只采用了第一个控制增量 u(k) ,故对未来时刻的输出可用下式预测。 Y p = a u ( k ) + Y p 0 (7-13) Y p = [ y (k + 1), y (k + 2),L, y (k + p)]T表示在t=kT时刻预测的 式中 有 u (k ) 作用时的未来p个时刻的系统输出； Y p 0 = [ y 0 (k + 1), y 0 (k + 2),L, y 0 (k + p)]T表示在t=kT时刻预测的无 T u (k )作用时的未来p个时刻的系统输出； a = [a1 , a 2 ,L, a p ] 为单位阶跃响应在采样时刻的值。

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由于对象及环境的不确定性,在k时刻实施控制作用 后,在k+1时刻的实际输出y(k+1)与预测的输出 y (k + 1) = y 0 (k + 1) + a1 u (k )

未见得相等,这就需要构成预测误差 e( k + 1) = y ( k + 1) y ( k + 1)

并用此误差加权后修正对未来其它时刻的预测 ~ Y p = Y p + he(k + 1) 即 (7-14) ~ y y y 式中 Y = [ ~ (k + 1), ~ (k + 2),L , ~ (k + p)]T 为t=(k+1)T时刻经误差 h 校正后所预测的t=(k+1)T时刻的系统输出； = [h1 , h2 , L, h p ]T h 为误差校正矢量，1 = 1 。

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经校正后的 Y p 作为下一时刻的预测初值，由于在 t=(k+1)T时刻的预测初值,应预测t=(k+2)T,…,(k+p+1)T 时刻的输出值,故令 y 0 (k + i ) = ~ (k + i + 1) y (i = 1,2, L , p 1) (7-15) 由式(3-14), 式(3-15)得下一时刻的预测初值为 y 0 (k + i ) = y (k + i +

1) + hi +1e(k + i ) (i = 1,2, L , p 1) y (k + p ) = y (k + p ) + h e(k + 1) p 0

~

(7-16) 这一修正的引入,也使系统成为一个闭环负反馈系统, 对提高系统的性能起了很大作用。 由此可见,动态矩阵控制是由预测模型,控制器和校正 器三部分组成的,模型的功能在于预测未来的输出值,控 制器则决定了系统输出的动态特性,而校正器则只有当 预测误差存在时才起作用。18

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7. 2 广义预测控制理论十多年来产生了许多自校正器, 都成功地用于实际 过程,但是对变时延,变阶次与变参数过程, 控制效果 不好。因此研制具有鲁棒性的自校正器成为人们关 注的问题。 Richalet等人提出了大范围预测概念, 在此基础上, Clarke 等 人 提 出 了 广 义 预 测 自 校 正 器 , 该 算 法 以 CARIMA模型为基础, 采用了长时段的优化性能指标, 结合辨识和自校正机制, 具有较强的鲁棒性, 模型要 求低等特点, 并有广泛的适用范围。

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这个算法可克服广义最小方差(需要试凑控制量 的加权系数) 、极点配置(对阶的不确定性十分敏感) 等自适应算法中存在的缺点, 近年来, 它在国内外控 制理论界已引起了广泛的重视,GPC法可看成是迄今 所知的自校正控制方法中最为接近具有鲁棒性的一 种。 广义预测控制是一种新的远程预测控制方法，概 括起来具有以下特点 ① 基于CARIMA模型 ② 目标函数中对控制增量加权的考虑 ③ 利用输出的远程预报 ④ 控制时域长度概念的引入 ⑤ 丢番图方程的递推求解20

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7.2.1 预测模型 在预测控制理论中，需要有一个描述系统动态行为 的基础模型，称为预测模型。它应具有预测的功能， 即能够根据系统的历史数据和未来的输入，预测系统 未来输出值。GPC采用CARIMA模型作为预测模型 ，模型CARIMA是"Contrlled Auto-Regressive Integrated Moving-Average" 的缩写，可以译为“受控自回归积分 滑动平均模型”,这个模型可以写成 A( z 1 ) y (k ) = B ( z 1 )u (k 1) + C ( z 1 )ξ (k ) / (7-17) 其中 A(z-1),B(z-1),C(z-1)分别是n,m和n阶的 z 1 的多项 式, = 1 z 1 ;y(k),u(k)和 ξ (k ) 分别表示输出、输入和 均值为零的白噪声序列，如果系统时滞大于零；B(z-1) 多项式领头的一项或几项系数等于零。21

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ioz4.html