2014-2015学年山东省青岛市胶州市高二（下）期中数学试卷（理科

2014-2015学年山东省青岛市胶州市高二（下）期中数学试卷（理科）

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分；在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．（5分）（2015春?胶州市期中）甲、乙两人从4门课程中各选修1门，则甲、乙所选的课程不相同的选法共有（ ）

A． 6种 B． 12种 C． 30种 D． 36种

考点： 排列、组合及简单计数问题． 专题： 计算题；排列组合．

分析： 直接利用乘法原理，可得结论．

解答： 解：∵甲、乙两人从4门课程中各选修1门，

∴由乘法原理，可得甲、乙所选的课程不相同的选法有4×3=12种． 故选：B．

点评： 本题考查排列组合知识，正确分步是解题的关键．

2．（5分）（2005?广东）函数f（x）=x﹣3x+1是减函数的区间为（ ） A． （2，+∞） B． （﹣∞，2） C． （﹣∞，0） D． （0，2）

考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 计算题．

分析： 求出f′（x）令其小于0即可得到函数是减函数的区间．

2

解答： 解：由f′（x）=3x﹣6x＜0，得0＜x＜2

32

∴函数f（x）=x﹣3x+1是减函数的区间为（0，2）． 故答案为D．

点评： 考查学生利用导数研究函数的单调性的能力．

3．（5分）（2013秋?黄州区校级期末）已知函数f（x）=（x﹣3）e，则f′（0）=（ ） A． 2 B． ﹣2 C． 3 D． 4

考点： 导数的运算． 专题： 导数的综合应用．

分析： 根据函数的导数公式直接进行求导，然后即可求f'（0）的值．

x

解答： 解：∵f（x）=（x﹣3）e，

xxx

∴f'（x）=e+（x﹣3）e=（x﹣2）e，

0

∴f'（0）=（0﹣2）e=﹣2， 故选：B．

点评： 本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式以及导数的运算法则，比较基础． 4．（5分）（2014春?城关区校级期末）在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（ ） A．

B．

﹣

x

3

2

C． D． ﹣

考点： 计数原理的应用． 专题： 排列组合．

分析： 在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的对立事件是没有次品，

没有次品的事件有C94，得到至少有1件次品的不同取法用所有减去不合题意的． 解答： 解：在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，

3

共有C100种结果，

至少有1件次品的对立事件是没有次品，

没有次品的事件有C94，

33

∴至少有1件次品的不同取法有C100﹣C94， 故选：B．

点评： 本题考查分步计数原理，是一个基础题，解题时可以从正面来考虑，至少有一件次品包括有一件次品，有两件次品，有三件次品，分别写出结果再相加．

5．（5分）（2014?金州区校级模拟）设a为实数，函数f（x）=x+ax+（a﹣3）x的导函数为f′（x），且f′（x）是偶函数，则曲线：y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为（ ） A． 9x﹣y﹣16=0 B． 9x+y﹣16=0 C． 6x﹣y﹣12=0 D． 6x+y﹣12=0

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的概念及应用．

分析： 先由求导公式求出f′（x），根据偶函数的性质，可得f′（﹣x）=f′（x），从而求出a的值，然后利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而写出切线方程．

解答： 解：f′（x）=3x+2ax+（a﹣3）， ∵f′（x）是偶函数，

22

∴3（﹣x）+2a（﹣x）+（a﹣3）=3x+2ax+（a﹣3）， 解得a=0，

32

∴f（x）=x﹣3x，f′（x）=3x﹣3，则f（2）=2，k=f′（2）=9， 即切点为（2，2），切线的斜率为9， ∴切线方程为y﹣2=9（x﹣2），即9x﹣y﹣16=0． 故选：A．

点评： 本题主要考查求导公式，偶函数的性质以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于中档题． 6．（5分）（2013秋?临淄区校级期末）下列函数中x=0是极值点的函数是（ ） A． f（x）=﹣x B． f（x）=﹣cosx C． f（x）=sinx﹣x D． f（x）=

考点： 函数在某点取得极值的条件． 专题： 导数的概念及应用．

分析： 结合极值的定义，分别判断各个函数是否满足（﹣∞，0）与（0，+∞）有单调性的改变，若满足则正确，否则结论不正确．

3

2

3

2

33

解答： 解：A、y′=﹣3x≤0恒成立，所以函数在R上递减，无极值点

B、y′=sinx，当﹣π＜x＜0时函数单调递增；当0＜x＜π时函数单调递减且y′|x=0=0，故B符合

C、y′=cosx﹣1≤0恒成立，所以函数在R上递减，无极值点 D、y=在（﹣∞，0）与（0，+∞）上递减，无极值点 故选B

点评： 本题主要考查了极值的定义，函数在x0处取得极值?f′（x0）=0且在的x0两侧发生单调性的改变．

7．（5分）（2013春?内江期末）如图为函数f（x）=ax+bx+cx+d的图象，f′（x）为函数f（x）的导函数，则不等式x?f′（x）＜0的解集为（ ）

3

2

2

A． （﹣∞，） B． （0，） C． （，+∞） D． （﹣∞，）∪（0，）

考点： 导数的运算；函数的图象． 专题： 数形结合法．

分析： 先从原函数的极值点处得出导数的零点，再利用导函数是二次函数的特点，结合二次函数的图象，即可解出不等式x?f′（x）＜0的解集 解答： 解：由图可知：

±是函数f（x）=ax+bx+cx+d的两个极值点，且a＞0 即±是导函数f′（x）的两个零点， 导函数的图象如图， 当x∈同理

故选D．

时，f'（x）＞0，则x＜0，故

也是解集的一部分．

是解集的一部分；

3

2

点评： 本小题主要考查函数的图象、一元二次不等式的解法、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

8．（5分）（2011?福建）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x﹣ax﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（ ） A． 2 B． 3 C． 6 D． 9

考点： 函数在某点取得极值的条件；基本不等式． 专题： 计算题．

分析： 求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．

2

解答： 解：∵f′（x）=12x﹣2ax﹣2b， 又因为在x=1处有极值， ∴a+b=6，

∵a＞0，b＞0， ∴

，

32

当且仅当a=b=3时取等号， 所以ab的最大值等于9． 故选：D．

点评： 本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等． 9．（5分）（2013?西城区一模）从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A工作，则不同的工作分配方案共有（ ）

A． 60种 B． 72种 C． 84种 D． 96种

考点： 排列、组合及简单计数问题． 专题： 概率与统计．

分析： 根据题意中“甲、乙只能从事后三项工作，其余三人均能从事这四项工作”这一条件，分两种情况讨论：

①甲、乙中只有1人被选中，②、甲、乙两人都被选中，由分步计数原理可得每种情况的选派方案的数目，

进而由分类计数原理，即可得答案．

解答： 解：根据题意，分两种情况讨论：

①、甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，担任后三项工作中的1种，由其他三人担任剩余的

三项工作，有C2?C3?A3=36种选派方案．

②、甲、乙两人都被选中，则在后三项工作中选出2项，由甲、乙担任，从其他三人中选出2人，担任剩余的

2222

两项工作，有C3?A2?C3?A2=36种选派方案， 综上可得，共有36+36=72中不同的选派方案， 故选B．

点评： 本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，注意根据题意中“甲、乙只能从事前三项工作，

其余三人均能从事这四项工作”这一条件，进行分类讨论，属于中档题．

1

1

3

10．（5分）（2015?郴州模拟）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，

xx

则不等式ef（x）＞e+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）

A． （0，+∞） B． （﹣∞，0）∪（3，+∞） C． （﹣∞，0）∪（0，+∞） D． （3，+∞）

考点： 利用导数研究函数的单调性；导数的运算． 专题： 导数的综合应用．

xx

分析： 构造函数g（x）=ef（x）﹣e，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解

xx

解答： 解：设g（x）=ef（x）﹣e，（x∈R），

xxxx

则g′（x）=ef（x）+ef′（x）﹣e=e[f（x）+f′（x）﹣1]， ∵f（x）+f′（x）＞1， ∴f（x）+f′（x）﹣1＞0， ∴g′（x）＞0，

∴y=g（x）在定义域上单调递增， xx

∵ef（x）＞e+3， ∴g（x）＞3，

00

又∵g（0）═ef（0）﹣e=4﹣1=3， ∴g（x）＞g（0）， ∴x＞0 故选：A．

点评： 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．

二、填空题（共5小题，每小题5，满分25分） 11．（5分）（2013?广宁县校级模拟）函数

考点： 导数的运算．

分析： 根据导数的运算法则可得答案． 解答： 解：∵

∴y'=

=

的导数为 ．

故答案为：

点评： 本题主要考查导数的运算法则．属基础题．求导公式一定要熟练掌握．

12．（5分）（2015春?胶州市期中）若

考点： 定积分．

（2x+k）dx=2，则k的值为 1 ．

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