黑龙江省哈三中四校联考2011届高三一模考试（数学文）

黑龙江省哈三中四校联考2011届高三一模考试（数学文）

数学试卷（文史类）

考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间

120分钟．

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；

（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔

书写, 字体工整, 字迹清楚；

（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，

在草稿纸、试题卷上答题无效；

（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 参考公式：球的表面积：S?4?R 球的体积：V?432?R3www.k@s@5@u.com 高考资源网

第I卷 （选择题, 共60分）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．) 1． 复数z?3?i2?i的虚部为

A．1 B．?1 C． i D． ?i 2． sin15??cos165?的值为

A．

22 B．?22 C．

62 D． ?62

3． 已知等差数列?an?满足a2?3，an?1?17,(n?2)，Sn?100，则n的值为

A．8 B．9 C．10 D．11

4． 在边长为3的正方形ABCD内任取一点P，则P到正方形四边的距离均不小于1的概率

为

A．

19 B．

13 C．

49 D．

89

5． 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 1 www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 1 - 1 1 黑龙江省哈三中四校联考2011届高三一模考试（数学文）

A．C．

1232 B．1 D．2

6． 已知命题P：有的三角形是等边三角形，则

A．?P：有的三角形不是等边三角形 B．?P：有的三角形是不等边三角形 C．?P：所有的三角形都是等边三角形 D．?P：所有的三角形都不是等边三角形 7． 阅读右面的程序框图，若输入p?5,q?6，

则输出a,i的值分别为 A．a?5,i?1

输入p,q B．a?5,i?2 C．a?15,i?3 D．a?30,i?6 8． 函数f(x)?3cos?x2?logx的零点的个数是

开始 i?1 a?p?i i?i?1 q整除a? 2否 是 输出a,i 结束 A．2 B．3 C．4 D．5

9． 在?ABC中，AD为BC边上的中线，

AC?2AB?2AD?4，则BD?

A．3 B．2 C．6 D．3

10．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且x?(?f(x)?log1232,0)时，

?1?x?，则

f(2010)?f(2011)?

A．1 B．2 C．?1 D．?2

11．已知二面角??l??的平面角为?，点P在二面角内，PA??，PB??，A,B为垂

足，且PA?4,PB?5,设A,B到棱l的距离分别为x,y，当?变化时，点(x,y)的轨迹是

A．x?y?9(x?0) B．x?y?9(x?0,y?0) C．y?x?9(y?0) D．y?x?9(x?0,y?0)

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22222222黑龙江省哈三中四校联考2011届高三一模考试（数学文）

?y?x?12．设不等式组?y??x表示的平面区域为A，不等式y?ax2?b（b?0,b为常数）表示

?y?1?q：的平面区域为B，P(x,y)为平面上任意一点，p：点P(x,y)在区域A内，点P(x,y)在区域B内，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是

A．0?a?1?b B．0?a?1?b C．0?a?1?b D．a?1?b

2011年四校联考第一次高考模拟考试

数学试卷（文史类）

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第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上．） 13. 某市有三类医院，甲类医院有4000病人，乙类医院有2000病人，丙类医院有3000 人，

为调查三类医院的服务态度，利用分层抽样的方法抽取900人进行调查，则从乙类医院抽取的人数为_____________人． 14. 已知三棱锥O?ABC，?BOC?90?，OA?平面BOC，其中OA?1,OB?2,

OC?3，O,A,B,C四点均在球S的表面上，则球S的表面积为____________．

15. 已知不等式x?6x?a(6?a)?0的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围为

___________．

216. 若f(x)?h(x)?ax?b?g(x)，则定义h(x)为曲线f(x),g(x)的?线．已知

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f(x)?tanx,x?[0,?2)，g(x)?sinx,x?[0,?2则f(x),g(x)的?线为________． )，

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）

323234已知函数f(x)?sinxcosx?sin2x?．

（Ⅰ） 求函数f(x)的单调递增区间；

（Ⅱ）已知?ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，若f(A)?0，

a?3,b?2，求?ABC的面积S．

18．（本小题满分12分）

箱中有6张卡片，分别标有1,2,3,?,6．

（Ⅰ）抽取一张记下号码后不放回，再抽取一张记下号码，求两次之和为偶数的概率； （Ⅱ）抽取一次记下号码后放回，再抽取一次记下号码，求两个号码至少一个偶数

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的概率．

19．（本小题满分12分）

已知三棱柱ABC?A1B1C1，底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA1?底面ABC，AB?2,AA1?4，E为AA1的中点，F为BC中点．

(Ⅰ)求证：直线AF//平面BEC1； （Ⅱ）求点C到平面BEC1的距离．

A A1 C1

B1

E C F B

20．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?mx?mx,g(x)?2lnx．

（Ⅰ）当m?2时，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）当m?1时，证明方程f(x)?g(x)有且仅有一个实数根；

（Ⅲ）若x??1,e?时，不等式f(x)?g(x)?2恒成立，求实数m的取值范围.

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21.（本小题满分12分）

xa22已知椭圆C：?yb22?1，F1,F2分别为左，右焦点，离心率为

12，点A在椭圆C上

且满足：AF1?2，AF2F1A??2AF2?F1A ，过右焦点F2与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）在线段OF2上是否存在点M(m,0)使得以线段MP,MQ为邻边的四边形是菱 形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

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请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA?OB,CA?CB,⊙O交直线OB于E，D，连接EC,CD．

（Ⅰ）求证：直线AB是⊙O的切线； （Ⅱ）若tan?CED?

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

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E O D A C B 12,⊙O的半径为3，求OA的长． 黑龙江省哈三中四校联考2011届高三一模考试（数学文）

已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为??x?2cos??y?3sin?（?为参数），定点

A(0,?3)，F1,F2是圆锥曲线C的左，右焦点．

（Ⅰ）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F1且平行于直线 AF2的直线l的极坐标方程；

（Ⅱ）在（I）的条件下，设直线l与圆锥曲线C交于E,F两点，求弦EF的长．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数f(x)?2x?1?x?2． （Ⅰ）求不等式f(x)?2的解集； （Ⅱ）?x?R，使f(x)?t?

2112t，求实数t的取值范围．

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2011年四校联考第一次高考模拟考试 数学试卷（文史类）标准答案及评分标准

一、选择题：（每小题5分，共计60分） 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 A 5 A 6 D 7 D 8 C 9 C 10 A 11 B 12 D 二、填空题：（每小题5分，共计20分）

13. 200 14. 14? 15. [1,2)?(4,5] 16. y?x 三、解答题：

17．（本小题满分12分） （Ⅰ）f(x)?3432sin2x?34cos2x

?sin(2x??3)…………………………………………………………2分

则2k???2?2x??3?2k???2,k?Z……………………………………4分

则函数f(x)的单调递增区间为?k???32?5?12,k??,k?Z………………6分

12????（Ⅱ） 因为f(A)?0，所以

?3563sin(2A??3)?0，

解得A?或A???，

又a?b，故A?由

asinA?bsinB……………………………………………………8分

?2，得sinB?1,则B?32,C??6,………………………10分

所以S?12absinC?……………………………………………………12分

18．（本小题满分12分）

（Ⅰ）设两次之和为偶数的事件为A

www.k@s@5@u.com 高考资源网 则P(A)?12302736?2534………………………………………………………………6分

（Ⅱ）设两个号码至少一个偶数的事件为B 则P(B)??………………………………………………………………12分

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19．（本小题满分12分）

（Ⅰ）取BC1的中点为R，连接RE,RF，

则RF//CC1，AE//CC1，且AE?RF， 所以四边形AFRE为平行四边形，

则AF//RE，即AF//平面REC1．…………………………………………6分 （Ⅱ）由等体积法得 VC?BEC?VE?BCC，则

1113S?BEC1?h?13S?BCC1?RE，

得h?455．……………………………………………………………………12分

20．（本小题满分12分） （Ⅰ）m?2时，f?x??2x?2x，f'?x??2?2x2,f'?1??4，切点坐标为?1,0?，

?切线方程为y?4x?4 …………………………… 2分 （Ⅱ）m?1时，令h?x??f?x??g?x??x?1x21x?2lnx，

h'(x)?1??2x??x?1?2x2?0，?h?x?在?0,???上为增函数。…………4分

又h?e??h????(?e?2)?0，

2?1??e?1e

?y?h?x?在?0,???内有且仅有一个零点

?在?0,???内f(x)?g(x)有且仅有一个实数根 …………………………6分

（或说明h(1)?0也可以） （Ⅲ）mx?2mx?2lnx?2恒成立， 即mx?1?2x?2xlnx恒成立，

2x?2xlnxx?12?2? 又x?1?0，则当x??1,e?时，m? 令G?x??G'?x??恒成立，

2x?2xlnxx?122，只需m小于G?x?的最小值，

，

?2(xlnx?lnx?2)?x2?1?2 ?1?x?e，?lnx?0 ，? 当x??1,e?时G'?x??0，

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?G?x?在?1,e?上单调递减，?G?x?在?1,e?的最小值为G?e????4e4ee?12，

则m的取值范围是???, 21．（本小题满分12分） 解：（1）由已知e?12?? ． ………………………… 12分 2e?1?，所以2c?a，AF1?2，AF2?2a?2

122又因为AF2F1A??2AF2?F1A，所以cos?F1AF2?由余弦定理a?4?(2a?2)?2?2(2a?2)?22，--------------------------------2分

12?a?4a?4?0?a?2，----4分

2所以c?1，b?a?c?3，所以椭圆方程为

222x4?y23?1-------------------------------5分

（2）假设存在点M(m,0)满足条件，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直线l的方程为y?k(x?1)，

?y?k(x?1)2222联立：?2?(3?4k)x?8kx?4k?12?0，则 2?3x?4y?12x1?x2?8k222

x1x2?3?4k?122，----------------------------------------------------------------------------7分

4k3?4kMP?(x1?m,y1),MQ?(x2?m,y2),PQ?(x2?x1,y2?y1), MP?MQ?(x2?x1?2m,y2?y1),

由题知(MP?MQ)?PQ?(x2?x1?2m)(x2?x1)?(y2?y1)(y2?y1)?0， 因为x2?x1?0，

所以x2?x1?2m?k(y2?y1)?0，即x2?x1?2m?k(x2?x1?2)?0， 则

8k22223?4k?2m?k(8k223?4k?2)?0 ，

所以 m?k223?4k ，---------------------------------------------------------------------10分

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k2?3m1?4m?0?0?m?114 ，又M(m,0)在线段OF2上，则0?m?1，

故存在m?(0,)满足题意．-----------------12分

422．（本小题满分10分）

证明：（1）如图，连接OC,?OA?OB,CA?CB,?OC?AB

?OC是圆的半径， ?AB是圆的切线．-------------------------------3分 （2）ED是直径，??ECD?90?,??E??EDC?90?

又?BCD??OCD?90?,?OCD??ODC,??BCD??E,又?CBD??EBC， ??BCD∽?BEC，?tan?CED?CDEC?1BCBE?BDBC?BC2?BD?BE，-----------5分

?BCD∽?BEC，

2BDBC，

?CDEC2?12-----------------------7分

2设BD?x,则BC?2x,?BC?BD?BE?(2x)?x(x?6)?BD?2--------9分

?OA?OB?BD?OD?2?3?5------------------------10分

23．（本小题满分10分） 解：（1）圆锥曲线C的参数方程为

?x?2cos?（?为参数）， ??y?3sin?y2所以普通方程为C：

x24?3?1----------------------------------------------2分

A(0,?3),F2(1,0),F1(?1,0)?k??直线l极坐标方程为：?sin??3,l:y?3(x?1)

3?cos??3?2?sin(???3)?3---5分

（2）???x24y???12?5x?8x?0， 33(x?1)2y2MN?1?k(x1?x2)?4x1x2?2165---------------------------------------------------10分

24．（本小题满分10分）

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1??x?3,x???2?1?解：（1）f(x)??3x?1,??x?2，----------------------------------------------------------2分

2?x?3,x?2???当x??当?1212,?x?3?2,x??5,?x??5

?x?2,3x?1?2,x?1,?1?x?2

当x?2,x?3?2,x??1,?x?2

综上所述 ?x|x?1或x??5? ----------------------5分 （2）易得f(x)min??52，若?x?R，f(x)?t?52?t?22112t恒成立，

12?t?5，

则只需f(x)min??综上所述

12112t?2t?11t?5?0?2?t?5------------------------------10分

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