平面向量的练习题及答案

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平面向量的练习题及答案

典例精析

题型一 向量的有关概念

下列命题： ①向量AB的长度与BA的长度相等； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同； ④向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上.

其中真命题的序号是.

①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB与CD是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.

正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可. 下列各式： ①|a|＝a?a；

② ?c＝a? ； ③OA－OB＝BA；

④在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则AB＋＝2；

⑤a＝，b＝，且a与b不共线，则⊥. 其中正确的个数为

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A.1 B. C. D.4

选D.| a|＝a?a正确； ?c≠a? ； OA－OB＝BA正确；如下图所示，

MN=++且MN=++，

两式相加可得2MN＝AB＋DC，即命题④正确； 因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线， 即得⊥.

所以命题①③④⑤正确.

题型二 与向量线性运算有关的问题

如图，ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，点M在线段 DO

上，且=，点N在线段OC上,且=,设=a, =b,试用a、b表示，，1 313 .

在?ABCD中，AC，BD交于点O， 111所以＝＝a－b)，22

＝2＝2＝2. 11又＝， ＝，3 1所以＝AD＋＝b＋

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1115＝b＝a，266111

＝＋＝＋4412＝＝a＋b). 323 所以＝－1511＝－＋)＝a.6626

向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.

O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足OP＝

1OA＋λ，若λ＝2时，则PA?的值为 . 由已知得－＝λ，

11即AP＝λ，当λ＝时，得AP＝，2所以2AP＝AB＋AC，即AP－AB＝AC－AP， 所以BP＝PC， 所以PB＋PC＝PB＋BP＝0，

所以? ＝?0＝0，故填0. 题型三 向量共线问题

设两个非零向量a与b不共线. 若＝a＋b， ＝2a＋8b， ＝3， 求证：A，B，D三点共线；

试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 1

证明：因为＝a＋b， ＝2a＋8b， ＝3， 所以BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3＝5＝5AB， 所以AB， BD共线.又因为它

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们有公共点B，

所以A，B，D三点共线. 因为ka＋b和a＋kb共线， 所以存在实数λ，使ka＋b＝λ， 所以a＝b.

因为a与b是不共线的两个非零向量，

所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，所以k＝±1. 向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.

证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.

已知O是正三角形BAC内部一点，+2+3=0，则△ OAC的面积与△OAB的面积之比是

如图，在三角形ABC中， OA＋2OB＋3OC＝0，整理可得OA＋OC＋2＝0.

1令三角形ABC中AC边的中点为E，BC边的中点为F，则点O在点F与点E连线的处，即OE＝2OF.

1hh1设三角形ABC中AB边上的高为h，则S△OAC＝S△OAE＋S△OEC?OE? 的情形，而向量平行则包括共线的情形.

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2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.

3.当向量a与b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|； 当向量a与b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||； 当向量a与b不共线时，|a＋b|＜|a|＋|b|. 典例精析

题型一 平面向量基本定理的应用

如图?ABCD中,M,N分别是DC，BC中点.已知AM=a,=b,试用a，b表示，AD与AC 易知AM＝AD＋DM 1＝＋，

1AN＝AB＋BN＝AB2AD， 1???a,??2即? ??1?b.?2? 22所以＝b－a)， ＝2a－b).3 2所以＝＋＝a＋b).

运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟. 已知D为△ABC的边BC上的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足＋＋＝0等于 1B.C.1 D.1A.

由于D为BC边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知PB＋PC＝2PD，因此结合PA＋BP＋CP＝0即得PA＝2PD，因此易得P，A，D三点共线且D是PA＝1，即选C.

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A. B. C. D.

6. 如图,在正六边形ABCDEF中, ????????????

已知AC?c,AD?d,则AE? . 巩固练习

???????????????????? 1. 若

e1,e2

是夹角为的单位向量，且

a?2e1?e2,b??3e1?2e2，则a?b? 3 77

A.1 B. ?4C. ? D. 22

2. 设a?,b?,c?则?c? A. B.0C.?3D.?11 答案 C 3. 在?ABC中,已知向量AB?,BC?,则?ABC的 面积等于 A． 22 B． 24 C． 32 D．2

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答案A

4. 在?ABC中,a?5,b?8,C?60?,则BC?CA的值为 A．10 B．20C．－10D．20 5. 已知下列命题中： ????

若k?R，且kb?0，则k?0或b?0， ??????

若a?b?0，则a?0或b?0

若不平行的两个非零向量a,b，满足|a|?|b|，则??0 ??

若a与b平行，则a?b?|a|?|b| p2?q2?2

其中真命题的个数是A．0B．1C．2D．3 ????????????

6. 已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA?OB?CO?0,则△ABC的内角A等于 A.30?B.60? C.90?D.120?. 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE ????????????

线与CD交于点F．若AC?a，BD?b，则AF? 的延长 b

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D．a? 31 23b A． 14 a? 12 b B． 23 a? 13 b C． 12 a? 14 答案 B

8. 已知a?1,b?6,a??2，则向量 A． ? 6 B． ?

2016全新精品资料a与向量b的夹角是-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创 13 / 28

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4 C． ? 3 D． ? 2 答案 C

????????????????

9. 在平行四边形ABCD中，若BC?BA?BC?AB，则必有 A.ABCD是菱形 B.ABCD是矩形 C.ABCD是正方形 D.以上皆错

10.已知向量a?,向量b?则|2a?b|的最大值，最小值分别是

A．42,0B．4,42C．16,0D．4,0 二.填空题

11. 已知Rt△ABC的斜边BC=5，则AB?BC?BC?CA?CA?AB的值等于 . 答案 －25

12. 设p = ，q = ，若p与q的夹角??[0, ? 2

)，则x的取值范围是 13. 若平面向量a，b

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满足??1，a?b平行于x轴，b?，则a?答案-= 解析 a?b?或，则a??? 或a???.

14. 在?ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则OA?的最小值是________。 答案 －2 ??

15.已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m?， ??? n?，p? . ???

若m//n，求证：ΔABC为等腰三角形； ???? 若m⊥p，边长c =，角 ΔABC的面积 . uvv

证明：Qm//n,?asinA?bsinB, 即a?三角形 a2R ?b? b2R

，其中R是三角形ABC外接圆半径，a?b ??ABC为等腰 uvuv

解由题意可知m//p?0,即a?b?0

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?a?b?ab

由余弦定理可知，?a2?b2?ab?2?3ab 即?3ab?4?0 2 ?ab?4 ?S? 12 absinC? 12?4?sin ? 3 ? 课后练习 ??? ? ???????

1、已知ABCD为矩形，b，则BE＝ ? ?1 2 ??12

2016全新精品资料E是DC的中点，且-全新公文范文-全程指导写作AB=a，AD＝ –独家原创 16 / 28

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??12 ??12

b+a b－a a＋b a－b

2、设非零向量a与b的方向相反，那么下面给出的命题中，正确的个数是 a＋b＝0 a－b的方向与a的方向一致 a＋b的方向与a的方向一致 若a＋b的方向与b一致，则|a| 11

A． B. ?C. D. －2 22

4、下列各组向量中，可以作为基底的是 A．e1?,e2? B. e1?,e2? C．e1?,e2? D. e1?,e2?

5、已知向量a,b的夹角为120?，且|a|=2,|b|=5,则2a= A．3B.C . 12D. 16、已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|= A． D．4 ???????? ?

7、若向量a与b的夹角为60，|b|?4,.??72,则向量a的模为 A．2 B．4C．6 D．12

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7 B． C．

8、已知AB?,BC?,CD?,且BC∥DA，则x+2y的值为 A．0 B.C. 12 D. －2

9、P是△ABC所在平面上一点，若PA?PB?PB?PC?PC?PA，则P是△ABC的 A.外心B. 内心 C. 重心 D. 垂心

10、直线3x?4y?12?0的方向向量可以是

A. B. C.D. 11、点到直线5x?12y?4?0的距离为 A. 50 13

12、下列命题中： B. 2213 C. 2613 D. 4613

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①a∥b?存在唯一的实数??R，使得b??a；②e为单位向量，且a∥e，则a=±|a|2e；③|a?a?a|?|a|；④a与b共线，b与c共线，则a与c共线；⑤若a?b?b?c则b?c,当且仅当a?0时成立其中正确命题的序号是 3

A．①⑤ B．②③④ C．②③ D．①④⑤ 一、 填空题 →

13、与向量a =平行的单位向量为 ????????????

14、已知向量OA?,OB?,OC?，且A、B、C三点共线，则k的值

为 _______

15、已知|a|=5,|b|=5, |c|=25,且a?b?c?0,则a?b?b?c?c?a=_______

16、?ABC中，有命题①AB?AC?BC；②AB?BC?CA?0；③若 ? ? ?

??????????

平面向量高考经典试题

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一、选择题 1．已知向量?a?，? b?，则?a与b?

A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向D．平行且反向

2、已知向量a?，b?，若2a?b与b垂直，则 A．1 B C．2 D．4

3、若向量?a,?b满足|?a|?|? b|?1，?a,?b的夹角为60°，则?a??a ??ab??=______； 答案：3 2 ；

4、 设两个向量?a?和?b?,其中?,m,?为 实数.若?a?2?b,则? m

的取值范围是 A.[?6,1] B.[4,8]

2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作a? –独家原创 20 / 28

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C.?) AB 2

6、在?ABC中，已知D是AB边上一点，若=2， =1 3 ??,则?= 23 13 - 13 - 23

7、设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、上三点，若

??=0，则|FA|+|FB|+|FC|= 9

8、在△ABC中，已知D是AB边上一点，若 高一数学三角变换试题第 1 页 平移，得到y?f的图像，则f? A．e?2 x B．e?2

2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作C为该抛物线 –独家原创 21 / 28

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x C．e x?2 D．e x?2

10、已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且

????????????

2OA?OB?OC?0，那么 ????????Ａ．AO?OD ????????Ｃ．AO?3OD

????????Ｂ．AO?2OD ????????Ｄ．2AO?OD ??

11、在直角坐标系xOy中，i,j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，????????????

若直角三角形ABC中，AB?2i?j，AC?3i?kj，则k的可能值有

A、1个 B、2个C、3个D、4个 12、对于向量，a 、b、c和实数错误！未找到引用源。，下列命题中真命题是 A 若错误！未找到引用源。，则a＝0或b＝0B 若错误！未找到引用源。，则λ＝0或a＝0

C 若错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。，则a＝b或a＝－b D 若错误！未找到引用源。，则b＝c

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的图象是一条13、设a，b是非零向量，若函数f?? 直线，则必有 A．a⊥b B．a∥b C．|a|?|b| D．|a|?|b|

14、若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是

???????????????????????? A．EF?OF?OE B. EF?OF?OE ????????????????????????C. EF??OF?OE D. EF??OF?OE

高一数学三角变换试题第 页 ?xπ??π?

?2?平移，则平移后所15、将y?2cos???的图象按向量a???， ?36??4?

得图象的解析式为 ?xπ??xπ?

Ａ．y?2cos???? Ｂ．y?2cos????2 ?34??34??xπ??xπ?

Ｃ．y?2cos???? Ｄ．y?2cos????2 ?312??312?

16、设a=,a在b上的投影为为 A. 答案：选B

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B.7 2) C.

17、若非零向量a，b满足a?b?b，则 Ａ．2a??a?b Ｃ．2b?a??b

Ｂ．2a?2a?b Ｄ．b?a?2b

18、 若非零向量a，b满足a?b?b，则 Ａ．2b?a?2b Ｃ．2a?a??b

Ｂ．2b?a?2b Ｄ．2a?a??b

，，b?，则向量19、已知平面向量a??1) Ａ． Ｃ．，2) Ｄ．?AC的值为 A.B.C.4D.42 ???

高一数学三角变换试题第 页 ????????????????????????????

21、已知向量OA?,OB?,且OC?OA,AC//OB,则向量OC 等于 ?32? ??,? ?77? ?24? ??,?

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?721? ?32??,?? ?77? 4??2 ?,?? ?721?

b?0，且c=a-?22、若向量a与b不共线，a? a??a?

?b，则向量a与a?b?? c的夹角为 π A．0 B． 6 C． π D． π

23、若函数y?f的图象按向量a平移后，得到函数y?f?2的图象，则向量a=

，?2) A． B． C． D．的图象按向量a平移后，得到函数y?f?2的图象，则向量a=

，?2) A． B． C． D．，B，C为坐标平面上三点，O

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为坐标原点，25、设A平移，得到y=f的图象，则f= ex-3+2 二、填空题 ex+3－2 ex-2+3 ex+2－3

1、 如图，在?ABC中，?BAC?120?,AB?2,AC?1,D是边BC上一 ????????

点，DC?2BD,则AD?BC?__________. . B A C

???????????????

2、 在四面体O-ABC中，OA?a,OB?b,OC?c,D为BC的中点，E

高一数学三角变换试题第 页 为AD的中点，则=

4?b=?11，?．若向量b?，则实数?的值3、已知向量a=?2，， 是 ． ?????

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4、若向量a，b的夹角为60，a?b?1，则 ??? a?a?b? ??

5、如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直 ?????????线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB?mAM，???????? AC?nAN，则m?n的值为 ．

6、在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两?a href=“http:///fanwen/shuoshuodaquan/” target=“_blank” 说?/p> ????????

0)，B，，则AB?AC?分别为O(0， 三、解答题： 1、 ．

如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与

D．现测得?BCD??，?BDC??，CD?s，并在点C测得塔顶A的仰角为?， 求塔高AB．

class=“keylink”>

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．

2、 在△ABC中，tanA?求角C的大小； 若△

ABC，求最小边的边长．

本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分． 13

，tanB?．5

高一数学三角变换试题第 页

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