高三物理 弹簧类问题专题学案

高三物理综合复习与能力训练专题

弹簧类问题

弹簧与其相连接的物体相互作用时，运动过程中涉及到的物理概念和理规律较多，有很强的综

合性和隐蔽性，因此探讨弹簧问题能增强我们分析物理过程，建立物理图景的能力，同时对培养同学们知识综合能力和知识迁移能力、提高物理思维品质具有积极意义。

一、平衡类问题：以弹簧遵循的胡克定律为分析问题的思维起点

与弹簧有关的物理问题的表现形式，存在基于弹簧特性的思维起点，即弹力的大小遵循胡克定律F=kx。弹簧的长度发生变化的时候，弹力也发生变化。在力的平衡类问题中常用弹力的这一特点。 【针对训练】

1．如图所示，轻弹簧的一端固定在天花板上，另一端系一小球。当小球处于静止时，弹簧的长度为L1，若对小球施加一个水平力的作用，使得小球再次静止时，弹簧与竖直方向的夹角为60°，此时弹簧的长度变为L2，比较L1和L2，有 ( )

A．L1＝L2 B．L1＜L2 C．L1＞L2 D．无法比较

2．如图所示，用细线将A物体悬挂在顶板上。B物体放在水平地面上。A、B间有一根处于压缩状态的轻弹簧，此时弹簧的弹力为2N。已知A、B两物体的质量分别是0.3kg和0.4kg。取g＝10m/s。则细线的拉力及B对地面的压力的值分别是( )

A．7N和0N B．5N和2N C．1N和6N D．2N和5N

3. 图中，a、b、c为三物块，M、N为两个轻质弹簧，R为跨过光滑定滑轮的轻绳，它们连接如图，并处于平衡状态( )

A．有可能N处于拉伸状态而M处于压缩状态 B. 有可能N处于压缩状态而M处于拉伸状态 C. 有可能N处于不伸不缩状态而M处于拉伸状态 D. 有可能N处于拉伸状态而M处于不伸不缩状态

B 2

A

4．木块A、B分别重50N和60N，它们与水平地面之间的动摩擦因数均为0.25，夹在A、B之间

的轻弹簧被压缩了2cm，弹簧的劲度系数为400N/m．系统置于水平地面上静止不动．现用F=1N的水平拉力作用在木块B上，如图所示，力F作用后（ ）

A．木块A所受摩擦力大小为12.5N； B．木块A所受摩擦力大小为11.5N C．木块B所受摩擦力大小为9N； D．木块B所受摩擦力大小为7N

1

5．(2013东城二模19)如图所示(a)，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端放置一物体(物体与弹簧不连接)，初始时物体处于静止状态．现用竖直向上的拉力F作用在物体上，使物体开始向上做匀加速运动，拉力F与物体位移s的关系如图(b)所示(g＝10 m/s2)，则下列结论正确的是

A．物体与弹簧分离时，弹簧处于压缩状态 B．弹簧的劲度系数为7.5 N/cm C．物体的质量为3 kg D．物体的加速度大小为5 m/s2

二、突变类问题：以弹簧特有的惰性特性为分析问题的思维起点

由于弹簧的特殊结构，在两端都有约束时弹簧的弹力是渐变的而不是突变的，弹力的变化需要一定的“时间”。有时充分利用弹簧的这一“惰性”是解决问题的先决条件，在用牛顿运动定律求瞬时加速度和变加速度问题中常见。分析弹簧问题时利用弹簧的惰性自然成了分析弹簧问题的思维起点。

【例1】如图4所示，木块A和B的质量均为m，连接在劲度系数为k的一根轻弹簧的两端，B放在水平桌面上时，弹簧处于直立位置。压下木块A后突然放开，(1)当A上升并达到最大速度时，B对桌面的压力为多少？(2)假如B对桌面的压力能够减小到时A的加速度为多少？

mg，则此3A k B 图4

分析与解：(1)求A上升达最大速度时B对桌面的压力，那么A什么时候达到最大速度呢？首先要对A、B进行受力分析。

木块A受力分析如图5（甲）所示，撤掉对A的压力后，A受到竖直向下的重力mg和竖直向上的弹簧的弹力TA的作用。由于开始时弹力大于重力，所以向上加速运动。又由于弹力随A的上升而不断减小，故木块A先做加速度减小的加速运动，后做为加速度增大的减速运动，当弹力等于重力时，加速度为零，速度达到最大。因此A上升达最大速度时：TA= mg 。

木块B受力分析如图5（乙）所示，B受到竖直向下的重力mg、竖直向下的弹簧的弹力TB和桌面的支持力N的作用。静止在桌面上，因此有：N = mg + TB 。

因轻弹簧，故有：TA= TB 。 则桌面的支持力：N = 2mg 。

根据牛顿第三定律，B对桌面的压力：N′ = N =2mg 。 (2)如果B对桌面的压力为的弹力：TA=

mg2mg，根据B受力平衡可知：TB= ，方向竖直向上。则弹簧对A33A

mg （甲）

TAv

(乙)

B TB mg

N

图5

2mg，方向竖直向下。 3 2

根据牛顿第二定律，TA+ mg = ma ，此时A的加速度为：a =g ，方向竖直向下。

说明：①在分析木块与弹簧相互作用的问题时，特别要注意弹簧形变的几个特殊位置。如弹簧的原长位置，弹力为零；木块速度最大位置，既是加速度为零的位置也是合力为零的位置；木块速度为零的位置，既是加速度最大的位置也是合力最大的位置。

②对物体进行受力分析一般有三种途径：(ⅰ)从力的概念出发，根据力产生的条件，判断是否有力的作用，及力的方向等；(ⅱ)根据物体的相互作用——牛顿第三定律来判断，如本题第一问中求B对桌面的压力，是通过求桌面对B支持力求解的；(ⅲ)根据物体的运动状态（加速度）来判断物体的受力情况，如本题第一问中A的加速度为零，速度最大，A受到的弹簧的弹力TA= mg，方向竖直向上。

【例2】如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A、B，它们的质量分别为mA、mB，弹簧的劲度系数为k，C为一固定挡板．系统处于静止状态．现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动，求物块B刚要离开C时物块A的加速度a和从开始到此时物块A的位移d．（重力加速度为g）

【解】系统静止时，弹簧处于压缩状态，分析A物体受力可知： F1 = mAgsinθ，F1为此时弹簧弹力，设此时弹簧压缩量为x1，则 F1 = kx1，得x1 =

mAgsin?k53

在恒力作用下，A向上加速运动，弹簧由压缩状态逐渐变为伸长状态．当B刚要离开C时，弹簧的伸长量设为x2，分析B的受力有：

kx2 = mBgsinθ，得x2 =

mBgsinθ

k

F-(mA+mB)gsinθ

mA

设此时A的加速度为a，由牛顿第二定律有：F-mAgsinθ-kx2 = mAa，得a =

A与弹簧是连在一起的，弹簧长度的改变量即A上移的位移，故有d = x1+x2，即： d =

【针对训练】

5．如图，物体P以一定的初速度沿光滑水平面向右运动，与一个右端固定的轻质弹簧相撞，并被弹簧反向弹回。若弹簧在被压缩过程中始终遵守胡克定律（弹力与弹簧的形变量成正比），那么P与弹簧发生相互作用的整个过程中 ( ) A．P做匀变速直线运动

B． P的加速度大小不变，但方向改变一次

C． P的加速度大小不断改变，当加速度数值最大时，速度最小 D． 有一段过程，P的加速度逐渐增大，速度也逐渐增大

v P (mA+mB)gsinθ

k

3

6．如图所示，A、B、C三个物块质量相等，在剪断连接A、B的细绳的瞬间，A的加速度大小为________，方向为_________；B的加速度大小为_______，方向_________；C的加速度大小为_________。

7.如图所示，A、B、C三个的质量之比为1∶2∶3，所有接触面都光滑，当沿水平方向迅速抽出物块C的瞬间，则A物体的加速度为__________；B的加速度大小为___________，方向为______________。

8．如图所示，一个质量为m的小球被两根位于竖直方向的弹簧L1、L2连接处于静止状态，弹簧L1的上端和弹簧L2的下端均被固定，两根弹簧均处于伸长状态。若在弹簧L1连接小球的A点将弹簧剪断，在刚剪断的瞬间小球的加速度为3g（g为重力加速度），则在剪断前弹簧L1的弹力大小为___________。若不从A点剪断弹簧，而从弹簧L2连接小球的B点将弹簧剪断，则剪断瞬间小球的加速度大小为___________。

9．两木块质量分别为m、M，用劲度系数为k的轻弹簧连一起，放在水平地面上，将木块1压下一段距离后释放，它就上下做简谐运动，如图7所示。在振动过程中，木块2刚好不离开地面。则木块1的最大加速度的大小是 ；木块2对地面的最大压力的大小是 。

10．如图所示，质量为M的木箱放在水平地面上，一轻质弹簧上端固定在木箱的顶板上，下端栓一质量为m的小球，今使小球上下振动，振动过程中木箱始终未离开地面，但某时刻木箱对地面的压力恰好为零。求小球的加速度为多少时木箱对地面的压力恰好为零？

2 M 图7 1 m 乙 B

C A

A B C

L1 A B L2

11．如图所示，B、C两物体叠放在一起，C与轻质弹簧相连，在光滑的水平面上构成一弹簧振子，当振子以振幅A振动时，B、C间始终没有相对滑动，当C从最大位置向平衡位置滑动的过程中，B、C间的摩擦力将：（ ）

A．由小变大 B． 由大变小 C．不变 D． 不能确定．

B C

4

12．如图所示，竖直放置在水平面上的轻弹簧上叠放着两个物块A、B，它们的质量

都是2kg，都处于静止状态。若突然将一个大小为10N的竖直向下的压力加在A上，在此瞬间，A对B的压力大小为 ( )

A.35N B.25N C.15N D. 5N

13．如图所示，两个木块A、B叠放在一起，B与轻弹簧相连，弹簧下端固定在水平面上，用竖直向下的力F压A，使弹簧压缩量足够大后，停止压缩，系统保持静止。这时，若突然撤去压力F，A、B将被弹出且分离。下列判断正确的是( ) A．木块A、B分离时，弹簧的长度恰等于原长

B．木块A．B分离时，弹簧处于压缩状态，弹力大小等于B的重力 C．木块A、B分离时，弹簧处于压缩状态，弹力大小等于A、B的总重力 D．木块A、B分离时，弹簧的长度可能大于原长

A B 14．如图所示，轻弹簧左端固定在竖直墙上，右端与木块B相连，木块A紧靠木块B放置，A、B与水平面间的动摩擦因数均为μ。用水平力F向左压A，使弹簧被压缩一定程度后，系统保持静止。若突然撤去水平力F，A、B向右运动，下列判断正确的是( ) A．A、B一定会在向右运动过程的某时刻分开

B．若A、B在向右运动过程的某时刻分开了，当时弹簧一定是原长 C．若A、B在向右运动过程的某时刻分开了，当时弹簧一定比原长短 D．若A、B在向右运动过程的某时刻分开了，当时弹簧一定比原长长

(总结：仅靠弹簧弹力将两物体弹出，那么这两个物体必然是在弹簧原长时分开的)

三、机械能守恒类问题：以弹簧的弹力做功、存储的弹性势能为分析问题的思维起点 弹簧发生变形时，具有一定的弹性势能。通过弹簧弹力做功，弹性势能要发生变化。弹簧存储或释放的弹性势能要转化为其他形式的能，反过来其他形式的能也可转化为弹性势能。追究弹性势能释放和存储过程成了解决弹簧问题的思维起点。

【例3】如图14所示，一劲度系数为k=800N/m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m=12kg的物体A、B。物体A、B和轻弹簧竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F在上面物体A上，使物体A开始向上做匀加速运动，经0.4s物体B刚要离开地面，设整个过程中弹簧都处于弹性限度内，取g=10m/s2 ，求：

（1）此过程中所加外力F的最大值和最小值。 （2）此过程中外力F所做的功。

解：(1)A原来静止时：kx1=mg ①

当物体A开始做匀加速运动时，拉力F最小，设为F1，对物体A有： F1＋kx1－mg=ma ②

当物体B刚要离开地面时，拉力F最大，设为F2，对物体A有： F2－kx2－mg=ma ③ 对物体B有：kx2=mg ④

5

F A B 图14

对物体A有：x1＋x2＝

12at ⑤ 2由①、④两式解得 a=3.75m/s2 ，分别由②、③得F1＝45N，F2＝285N (2)在力F作用的0.4s内，初末状态的弹性势能相等，由功能关系得： WF=mg(x1＋x2)+【针对训练】

11. 如图所示，放在光滑水平面上的弹簧振子，振子的质量 为m，振子以O为平衡位置，在B和C之间振动，设振 子经平衡位置时的速率为v，则它在O B O C的 整个运动过程中，弹簧弹力对振子所做功的大小为 ( )

C O B 1m(at)2?49.5J 212322A. 2mv B. mv C. 3mv D. mv

22212．如图所示，一个质量为m的小球从竖直地面上的轻弹簧正上方某处自由下落，接触弹簧后将弹簧压缩，在压缩全过程中，弹簧均为弹性形变，那么：( )

A. 当小球的动能最大时，弹性势能为零 B. 当小球的动能减为零时，重力势能最小

C. 当小球的动能减为零时，小球的加速度最大，但不一定大于重力加速度的值 D. 当小球的动能减为零，球所受弹力最大，且一定大于2mg

13．如图所示，一轻质弹簧竖直固定在水平地面上。弹簧的正上方有一质量为m的小球，小球与弹簧上端的距离为L0。现使小球自由下落并压缩弹簧，若已知小球下落的总距离为L时，它的速度是整个向下运动过程中速度的最大值，则弹簧的劲度系数等于 （ ）

A．

mgmgmgmg B． C． D．

LL?L0L?L0L0L0

四、碰撞类问题：以弹簧的弹力做功、存储的弹性势能为分析问题的思维起点

14.( 2013海淀二模)如图6所示，在光滑的水平面上静止放一质量为m的木板B，木板表面光滑，左端固定一轻质弹簧。质量为2m的木块A以速度v0从板的右端水平向左滑上木板B。在木块A与弹簧相互作用的过程中，下列判断正确的是

A. 弹簧压缩量最大时，B板运动速率最大

B板的加速度一直增大 B.

C. 弹簧给木块A的冲量大小为2mv0/3 D. 弹簧的最大弹性势能为mv02/3

a

6

b F 15．木块a与木块b用一根轻弹簧连接起来，放在光滑水平面上，a紧靠在墙壁上，在b上施加向左的水平力使弹簧压缩，如图所示，当撤去外力后，下列说法中正确的是（ ） A．a尚未离开墙壁前，a和b系统的动量守恒 B．a尚未离开墙壁前，a和b系统的动量不守恒 C．a离开墙壁后，a和b系统的动量守恒 D．a离开墙壁后，a和b系统的动量不守恒

16． 如图甲所示，物体A、B的质量分别是4kg和8kg，用轻弹簧相连接放在光滑的水平面上，物体B左侧与竖直墙壁相接触，另有一物体C从t=0时刻起水平向左运动，在t=5s时与物体A相碰，并立即与A有相同的速度一起向左运动。物块C的速度—时间图像如图乙所示。 （1）求物块C的质量；

（2）弹簧压缩过程中具有的最大弹性势能；

（3）在5s到10s的时间内墙壁对物体B的作用力的功；

（4）在5s到15s的时间内墙壁对物体B的作用力的冲量的大小和方向。

甲

B A C 6 4 2 O -2 乙 5 10 15 t/s

v/(m?s) -1六、综合类问题：动量守恒、功能关系综合。

17.一同学利用手边的两个完全相同的质量为m的物块和两个完全相同、劲度系数未知的轻质弹簧，做了如下的探究活动。已知重力加速度为g，不计空气阻力。

取一个轻质弹簧，弹簧的下端固定在地面上，弹簧的上端与物块A连接，物块B叠放在A上，A、B处于静止状态，如图所示。若A、B粘连在一起，用一竖直向上的拉力缓慢提升B，当拉力的大小为

0.5mg时，A物块上升的高度为L；若A、B不粘连，用一竖直向上的恒力F作用在B上，当A物块

上升的高度也为L时，A、B恰好分离。求： （1）弹簧的劲度系数k； （2）恒力F的大小；

B A 7

解析：（1）设弹簧自然长度为L0，没有作用力F时，物块A、B压在弹簧上，弹簧的长度为 L1?L0?2mg k用力F1向上缓慢提起物块B，当力F1?0.5mg时，弹簧的长度为 L2?L0?2mg?F11.5mg ?L0?kk0.5mg k物块上升的高度 L?L2?L1? 解得 k?mg 2L （2） 在恒力F和弹簧的弹力作用下，A、B一起向上做加速运动，随弹簧压缩量减小，弹簧的弹力减小，一起向上的加速度逐渐减小。在此过程中A、B间的压力也减小，一直到 A、B刚分离时，A、B间相互作用的弹力恰为0。A物块受重力和弹簧的弹力，它的加速度为

aA?k(L0?L2)?mg?0.5g

m 此时B受重力和恒力F其加速度为

aB?F?mg m且刚分离时应有 aA?aB 由以上方程解得 F?1.5mg

18．（2009西城二模）如图所示，质量均为m的两物体b、c分别与轻质弹簧的两端相连接，将它

们静止放在地面上。弹簧的劲度系数为k。一质量也为m的小物体a从距b物体h高处由静止开始下落。a与b相碰后立即粘在一起向下运动，以后不再分开。

已知重力加速度为g，不计空气阻力，弹簧始终处于弹性限度内。 在a与b一起向下运动的过程中，下列判断正确的是 A．一起开始向下运动时的速度大小为2gh B．达到最大速度时，物体c对地面的压力大小为mg C．达到最大速度时，弹簧的压缩量大小为

h

m b m a

m c 2mg kD．达到最低点时，弹簧的弹力大小为2mg

利用形变量相同时弹性势能相同

8

19．如图所示，质量均为m的木块A、B用轻弹簧相连，竖直放置在水平面上，静止时弹簧的压缩量为l。现用竖直向下的力F缓慢将弹簧再向下压缩一段距离后，系统再次处于静止。此时突然撤去压力F，当A上升到最高点时，B对水平面的压力恰好为零。求：

⑴F向下压缩弹簧的距离x； ⑵压力F在压缩弹簧过程中做的功W。

分析与解：⑴如图①、②、③、④分别表示未放A，弹簧处于原长的状态、弹簧和A相连后的静止状态、撤去压力F前的静止状态和撤去压力后A上升到最高点的状态。撤去F后，A做简谐运动，②状态A处于平衡位置。

②状态弹簧被压缩，弹力等于A的重力；④状态弹簧被拉长，弹力等于B的重力；由于A、B质量相等，因此②、④状态弹簧的形变量都是l。

由简谐运动的对称性，③、④状态A到平衡位置的距离都等于振幅，因此x=2l

⑵②到③过程压力做的功W等于系统机械能的增加，由于是“缓慢”压缩，机械能中的动能不变，重力势能减少，因此该过程弹性势能的增加量ΔE1=W+2mgl；③到④过程系统机械能守恒，初、末状态动能都为零，因此弹性势能减少量等于重力势能增加量，即ΔE2=4mgl。由于②、④状态弹簧的形变量相同，系统的弹性势能相同，即ΔE1=ΔE2，因此W=2mgl。

20．(20分）如图所示，质量均为m的两物体A．B分别与轻质弹簧的两端相连接，将它们静止放在地面上。一质量也为m的小物体C从距A物体h高处由静止开始下落。C与A相碰后立即粘在一起向下运动，以后不再分开。当A与C运动到最高点时，物体B对地面刚好无压力。 不计空气阻力。弹簧始终处于弹性限度内。已知重力加速度为g。求：（1）A与C一起开始向下运动时的速度大小； （2）A与C一起运动的最大加速度大小；

（3）弹簧的劲度系数。

20. （1）设小物体C从静止开始运动到A点时速度为v，由机械能守恒定律

1 mgh?mv2

2 设C与A碰撞粘在一起时速度为v?，由动量守恒定律

m C

h

m A m B 12gh 2（2） A与C一起将在竖直方向作简谐运动。当A与C运动到最高点时，回复力最大，加速度最大。

A、C

A．C受力图，B受力图如右图

B受力平衡有 F = mg F 对A．C应用牛顿第二定律 F + 2mg = 2ma 2mg F 求出 a = 1．5g

mv?(m?m)v? 求出 v??mg

9

（3） 设弹簧的劲度系数为k

开始时A处于平衡状态，设弹簧的压缩形变量为△x 对A有 k?x?mg

当A与C运动到最高时，设弹簧的拉伸形变量为△x′

C A △x′ △x 最高点 弹簧原长位置 原平衡位置 新平衡位置

v′ 对B有 kΔx??mg

由以上两式得 Δx?Δx?

因此，在这两个位置时弹簧的弹性势能相等：E弹＝E弹′ 对A．C，从原平衡位置到最高点，根据机械能守恒定律

E弹＋12(m?m)v?2?2mg(?x??x?)＋ E弹′ 解得

10

B k?8mgh

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