第一章(简谐振动)(3-4)

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第一章 简谐振动与频谱分析

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1.1简谐振动简谐振动 ——最简单最基本的一种振动形式 周期性振动借助富里叶级数表示成一系列 简谐振动的叠加，该过程称为谐波分析 非周期性振动借助富里叶积分表示成一系列 简谐振动的叠加

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1.1简谐振动1.1、简谐振动 定义：简谐运动是最简单的周期运动，它 是时间的单一正弦或余弦函数 。

x(t ) A sin( t )

x(t ) B cos( t )

其中:A为振幅、ω 为圆(角)频率、Φ 为初相位 单位分别是弧度(rad/s)、赫兹(Hz)秒(s), 简谐振动三要素

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频率和周期： 2 T速度和加速度：

1 f T 2

x A sin( t )

A cos( t ) A cos( t / 2) x 2 2 A sin( t ) A sin( t ) x速度相位超前位移90度，加速度相位又超前速度90度

x x2即加速度大小与位移与正比，但方向总与位移相反

写成微分的形式:

d x 2 x 0 2 dt

2

这个微分方程的解是圆频率为w的正弦或余弦函数

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1.4.2 常用的简谐振动表示方法1.简谐振动的旋转矢量表示方法 用大小不变而绕固定始点旋转的旋转向量表示 简谐振动能形象地说明简谐振动的物理概念。

OP是一个长度为A,以Φ 角开始以等ω 逆时

针原点O旋转的矢量，任一时在纵轴上的投 影ON即为x=Asin(wt+Φ )

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1.简谐振动的向量表示方法位移、速度和加速度之间的关系Aw w Ø 0 Aw2 w

0

Ø

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2.简谐振动的复数表示方法

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振动中几个简谐振动的合成 分以下三种情况：

1、两个相同频率的简谐振动的 合成仍然是简谐振动，并且保持 原来的频率

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补充知识：

z

x iy A(cos t i sin t ) i t Ae

z A x y t arctg ( y / x)2 2

2

2

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2、频率不同的两个简谐振动的 合成不再是简谐振动，振动比为 有理数时，合成为周期振动；频 率比为无理数时，合成为非周期 振动。

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1、证明：

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1、证明：

设T=mT1=nT2,记x=x1+x2,则： x(t+T)=x1(t+T)+x2(t+T) = x1(t+mT1)+x2(t+nT2) =x1(t)+x2(t) =x(t)

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3、频率很接近的两个简谐振动 的合成会出现“拍”的现象

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补充知识：

和差化积 sin α+sinβ=2cos[(α-β)/2]· sin[(α+β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]· sin[(α-β)/2] cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]· cos[(α-β)/2] cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]· sin[(α-β)/2]

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