十、（二）圆锥曲线的几何性质 胡曙彪

圆锥曲线的几何性质

【目录】

2. 圆锥曲线的基本性质

2.1 圆锥曲线的顶点和轴 2.2圆锥曲线的准线 2.3圆锥曲线的焦点

2.4双曲线的渐近线

2.5圆锥曲线上点的坐标的取值范围 2.6圆锥曲线的通径 2.7 圆锥曲线的对称性 2.8 焦点三角形

2.9求圆锥曲线的离心率与范围 2.10借助圆锥曲线的定义求离心率

2.11代点法构造关于a、c的齐二次式方程求离心率 2．12 利用圆锥曲线的常见的几何性质建立不等关系

2.13 利用条件中已知的等量关系建立齐次方程求离心率 2.14利用焦点三角形的外接圆的圆周角判断离心率取值范围

2.圆锥曲线的基本性质 2.1 圆锥曲线的顶点和轴

【例1】中心在原点的双曲线，一个焦点为F(0，3)，一个焦点到最近顶点的距离是3?1，则双曲线的方程是（ ）

x2y2y2x2222?1 B．x??1 C．x?A．y??1 D．y??12222

2A【解析】双曲线的焦点到最近顶点的距离为c-a，又c=3 ，故a=1，且焦点在y轴上.

【变式1】由圆锥曲线的特征量a,b,c的关系列方程

已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是____________________.

x2y2??1【解析】由题意，知a=3，且2c:2b=5:4，结合a2+b2=c2，解得a=3,b=4. 916【变式2】根据几何图形的性质列方程

x2y2

（2014四川）已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正

ab三角形，则椭圆C的标准方程为

3x2y2

?2b＋＝1【解析】由题意知，a=622

3b ,又2c=4,且a-b=c，解得a2222=6,b2=2

1

【变式3】已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．

x2y2??1 【解析】c=23，且2a=4b，又a2-b2=c2，则a2=16,b2=4 164【变式4】利用图形的对称性

1x2y2若椭圆2?2?1的焦点在x轴上，过点(1,)作圆x2?y2?1的切线，切点分别为A，B，直

2ab线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 .

1x2y2o，且点(1,)与圆心的连线和OA所成的角为30，由圆+=1 【解析】显然切点A为（1，0）

243的切线性质知，OB与x轴正方向所成的为60，故B(,2o132)，所以直线AB的方程为y=-3(x-1)，因

此，b=3,c=1，a2=b2+c2=4.

2.2圆锥曲线的准线

1

【例2】（2014安徽）抛物线y＝x2的准线方程是( )

4A．y＝－1 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x＝－2

1

【解析】因为抛物线y＝x2的标准方程为x2＝4y，所以其准线方程为y＝－1.故选A.

4

【变式1】利用圆锥曲线的标准方程求相关的特征量或特征线方程

（2014辽宁）已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF 的斜率为( )

431A．－ B．－1 C．－ D．－ 342

C【解析】由点A(－2，3)在准线x=-p3上知p=4，则焦点为F(2,0)，故kAF=-.

24x2y2【变式2】设F1,F2 分别为双曲线2-2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，若双曲线上存在一点P，

ab22使得(|PF1|-|PF1|)=b-3ab ，则此双曲线的离心率为 .

17【解析】由双曲线的定义，得4a2=b2-3ab，解得b=4a，则c=17a，故e=17 .

【变式3】（2015天津）已知双曲线2?2?1?a?0,b?0? 的一条渐近线过点2,3 ，且双曲线

ab的一个焦点在抛物线y2?47x 的准线上，则双曲线的方程为（ ）

x2y2?? 2

x2y2x2y2x2y2x2y2（A）?1 （C）???1 （B）??1 （D）??1

28212128344343x2y2D【解析】点2,3满足2?2?0，即2?2；又由c=ababa2=4,b2=3.

??7且c2=a2+b2，解得

2.3圆锥曲线的焦点

【例3】（2014全国卷Ⅰ）已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )

A.3 B．3 C.3m D．3m

xyb

【解析】易知双曲线2－2＝1的渐近线方程是y＝±x，则焦点到渐近线的距离为

abax2y2

x－my＝3m(m>0)即为－＝1,故选A.

3m3

2

2

2

2

bca2?b?＋1?a?＝b,而C：

x2y2

【点评】双曲线2－2＝1的焦点到渐近线的距离为b，在解答选择填空题时可以直接利用该结论，提

ab高解题速度.

【变式1】双曲线的特征量a,b,c满足a+b=c

222x2y22已知双曲线2?2?1的一个焦点与抛物线y?4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该ab双曲线的方程为 ．

2?1.

5y25x??1【解析】a2+b2=1，且c=425a，故a=215,b=245，即双曲线方程为5x?25y4【变式2】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2,y0)。若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|?（ ）

A、22 B、23 C、4 D、25 B 【解析】设抛物线方程为y?2px，则点M(2,?2p)得p?2，所以OM?4?4?2?23.

2Q MF?3，?

p(2?)2?4P?9， 解

2x2y2【变式3】椭圆2?2?1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，

ab|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为__________.

3

5【解析】由椭圆的性质可知：AF1?a?c，F1F2?2c，F1B?a?c.又已知AF1，F1F2，F1B5成等比数列，故(a?c)(a?c)?(2c)2，即a2?c2?4c2，则a2?5c2.故e?c5.即椭圆的离心率为?a55. 5x2y2

【变式4】(2014全国卷)双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，

ab则C的焦距等于( )

A．2 B．2 2 C．4 D．4 2

c

C 【解析】易知b＝3.又离心率e＝＝2，c2＝a2＋b2，所以c＝2，故双曲线C的焦距等于4.

a2.4双曲线的渐近线

x2?y2?1的渐近线方程是 ． 【例4】（2015浙江）双曲线2【解析】a?2，b?1，c?a2?b2?2?1?3，∴焦距为2c?23，

渐近线方程为y??2x.

2【点评】双曲线2-2=m(m?0)的渐近线?ababx2y2xy0.即焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是

bbb，即x??y. y??x；焦点在y轴上双曲线的渐近线方程是y??x，其实从变换角度看方程则“一致”

aaax2y2【变式2】若双曲线2?2?1的离心率为3，则其渐近线方程为

aby=?2x【解析】由c=3a,a2+b2=c2得b2=2a2，故所求渐近线方程为y=?2x.

【变式3】利用圆锥曲线的特征线的对应性

x2（2015年北京理）已知双曲线2?y2?1?a?0?的一条渐近线为3x?y?0，则a? a ．

3x2211 【解析】双曲线又知一条渐近线为3x＋y＝0，所以2－y＝1(a>0)的渐近线方程是y＝±x，3aaa＝3，3

解得a＝3.

【变式4】渐近线求法一：双曲线

xa22-yb22=m(m?0)的渐近线

xa?yb0

（2015·安徽卷理）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( )

2

y2x22y222xA．x－＝1 B.－y＝1 C.－x＝1 D．y－＝1 4444

2

4

C 【解析】逐项验证或由渐近线方程，设双曲线方程为(y+2x)(y-2x)=m(m>0) ，知m=4时，符合.

x2y2x2y2

【例5】（2014山东）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为2＋2＝1，双曲线C2的方程为2－2＝1，C1

abab与C2的离心率之积为

3

，则C2的渐近线方程为( ) 2

A. x±2y＝0 B. 2x±y＝0 C. x±2y＝0 D. 2x±y＝0

a2－b2a2＋b2a2－b2a2＋b2【解析】椭圆C1的离心率e1＝，双曲线C2的离心率e2＝.由e1e2＝·＝aaaab?

1－??a?×A.

【变式1】渐近线求法二：定焦点位置，确定a,b的关系

x2y2

（2015重庆）设双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2

ab的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为( )

12

A．± B．± C．±1 D．±2

22

b2

C 【解析】由题意，得A1(－a，0)，A2(a，0)，F(c，0)．将x＝c代入双曲线方程，解得y＝±.不妨

ab2b2b2b2

－－

aaaab2b2b

设Bc，，Cc，－，则kA1B＝，kA2C＝，根据题意，有·＝－1，整理得＝1，所以

aaac＋ac－ac＋ac－a该双曲线的渐近线的斜率为±1，故选C.

【例6】设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60的直线A1B1和A2B2，使A1B1?A2B2，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 ( ) A.(2

b?3?b?＝1，所以b＝2，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±2x.故选1＋?＝，解得?a??a?22a22

2

2

23,2] 3B. [232323,2) C. (,??) D. [,??) 333x2y2【解析】设双曲线的方程为2?2?1(a?0,b?0)，由双曲线的对称性知，

abA1B1?2|O1A|,A2?B22|，O2A|OA?故|2，|即直线1|OAA1B1与A2B2关于坐标轴对称，易得

tan30?b13b23≤tan60，即?≤3，平方得?e2?1≤3，解得?e≤2，故选A. a33a3【评注】渐近线所成角的度数有两个，不同于夹角 【变式1】用渐近线代替双曲线描述位置关系

x2y2已知过双曲线c：2?2?1(a?0,b?0)的右焦点且斜率为1的直线与双曲线c的左右两支各有一

ab个交点，则双曲线离心率的取值范围是 。

5

e>2【解析】由题意只需双曲线的渐近线y?bx的斜率满足abc2?a2?1??1?e2?2?e?2。 2aax2y2【变式2】已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F，若过F且倾斜角为600的直线与双曲

ab线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是__________.

[2,??) 【解析】双曲线的渐近线的斜率

2.5圆锥曲线上点的坐标的取值范围

b?tan60?3，即c2?a2?3a2，从而e?2. ax2

【例7】（2014福建）设P，Q分别为圆x＋(y－6)＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的

10

2

2

最大距离是( )

A．52 B.46＋2 C．7＋2 D．62

【解析】设圆心为点C，则圆x2＋(y－6)2＝2的圆心为C(0，6)，半径r＝2.设点Q(x0，y0)是椭圆上x2022

任意一点，则＋y20＝1，即x0＝10－10y0， 10

∴|CQ|＝210－10y20＋（y0－6）＝

－9y20－12y0＋46＝

2

y0＋?＋50， －9?3??

2

2

当y0＝－时，|CQ|有最大值52，

3

则P，Q两点间的最大距离为52＋r＝62.故选D.

x2y2

【评注】在设椭圆2＋2＝1 (a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，要注意椭圆的范围应满足|x|≤a，在求与

ab点P有关的最值问题中特别有用，造成定义域扩大而导致最值求解错误.

x2y2??1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则【变式1】若点O和点F分别为椭圆43OPFP的最大值为( )

A．2

B．3 C．6 D．8

C 【解析】设P(x，y)，则-2＃xuuuruur2 ，OP?FPx21x(x-1)+y=x-x+3(1-)=x2-x+3 4422uuuruur在区间[-2,2]上递减，故OP祝FP26.

y2【变式2 】已知双曲线x??1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1?PF23最小值为 ．

设P(x,y)，则x?1，且PA1?PF2?(?1?x)(2?x)?(?y)2?4x2?x?5递增，故PA1?PF2??2. ?2 【解析】

6

【变式3】设点M是抛物线x2?4y上一动点，则点M到直线x?y?3?0的距离的最小值为 ．

|x-y-3||x2-4x+12|(x-2)2+82 【解析】设M(x,y)，则距离d===?242422 .

x2【变式4】若点O和点F分别为椭圆?y2?1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则

2OP?PF的最小值为 .

222x22 【解析】设P?x,y?，又 y?1?，可得OP?PF??x?1??2．因为?2?x?2，2222所以当x??1时，OP?PF有最小值为2．

2.6圆锥曲线的通径

【例8】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）

A．

223223 B． C． D． 3322b2【解析】（法一：）由条件易知AF1?，F1F2?2c，又△ABF2是正三角形，故有

ab223?2c，即3?a2?c2??2ac，所以有3c2?2ac?3a2?0，故有3e?2e?3?0，a解得e?3，故选A. 314AF2?2a, AF2?a.23（法二：）由椭圆定义易知△ABF2的周长为4a，又△ABF2是正三角形， AF2?所以有F1F2?334a23ac3，所以选择A AF2????2c，e??2233a3【点评】通过圆锥曲线的焦点与焦点所在的轴垂直的弦称为圆锥曲线的通径，对于椭圆和双曲线而言，

2b2通径长都是.若题目条件与通径相关，可以通过通径构建关系求离心率.

ax2y2【变式1】已知抛物线y=2px(p>0)的焦点F与双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一焦点重合，

ab2且两曲线交点的连线过点F，则此双曲线的离心率为 .

p2b22+1【解析】由题意知，两曲线的通径长相等，即2p=，又=c=2a

a2+b2，化简得，

7

c4-6a2c2+a4=0，即e4-6e2+1=0，解得e=3+22=2+1.

【变式2】通径被焦点所在的轴垂直平分

x2y2

（2014江西）设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于

ab

A，B两点，F1B与y轴相交于点D.若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．

3

【提示】由条件先判定?ABF1为等边三角形，再求离心率. 3

【变式3】过椭圆的一个焦点F2作垂直于长轴的弦PQ，F1是另一焦点， 若?PF1Q?的离心率e等于（ ）

A．2?1 B．?2，则椭圆

2 C．2?2 D．2?1 22b2D【解析】由题意知，通径长=2?2c，故c2-a2=2ac，e=aA．4条 B．3条 C．2条 D．1条

2-1.

【例9】过双曲线2x2－y2=2的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，则这样的直线有( )

【解析】过双曲线右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若l⊥x轴，则AB为通径，其长为|AB|＝4，此时只有一条；若l经过顶点，此时|AB|＝2，因此当l与双曲线两支各交于一点A、B时，满足|AB|＝4的直线有两条，故选B.

【评注】椭圆与抛物线的通径是过焦点的最短弦；双曲线过焦点的最短弦为通径或实轴.

x2y2【例10】已知椭圆??1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三

94角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为

【解析】本题可能的情况有：

1b24（1）P是直角三角形的直角顶点。btan??2c?d, d? tan45=5；22c52?94a29（2）F1或F2是直角三角形的一个顶点。半通径d??。则点P到x轴的距离为或5.

25b2【评注】本题一般是利用椭圆和双曲线的定义以及正、余弦定理，分P是直角三角形的直角顶点和F1或F2是直角三角形的一个顶点两种情况处理。但是，P是直角三角形的直角顶点时，因为?F1PF2?90，点P在以O为圆心，C为半径的圆上，当圆与椭圆不相交，在椭圆上也就找不到P，因此该种情况不存在。因此要比较圆饿半径C和短轴b的大小。本题c?5?b?2，在椭圆上存在两个符合条件的P，因此答

x2y2??1，c?1?b?22，上述解法就应该调整了，答案就不是两案是两个。如果将方程改为椭圆98个了。类似地，双曲线也应该具有同样的性质。

8

x2y2 【变式1】若直线y?2x与椭圆2?2?1?a?b?0?的一个交点P在x轴上的射影恰好为此椭圆

ab的右焦点,则此椭圆的离心率为（ ）

A. 2?1 B.3?1 C.12 D.

22b2A 【提示】PF1是通径的一半，?2c，a2?c2?2ac，解得e?a2?1.

x2y2【变式2】已知点F1，F2分别是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点，过F1且垂直于x 轴

ab的直线与双曲线交于A，B两点，若?ABF2是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A．(2?1,??) B．(3?1,??) C．(1?2,??) D．(1,1?2)

b2?2c，即C 【提示】由题设条件可知?ABF2为等腰三角形，只要∠AF2B为钝角即可，∴有 ab2?2ac，∴c2?a2?2ac，解得e?1?2，选C.

x2y2【变式3】已知F1、F2分别是双曲线2?2?1(a＞0,b＞0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直

ab线与双曲线交于A、B两点，若?ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）

???2?21,1?1?,+?A．? B．? C．1,1?2 D．1+2,+? ??????2?2???????C 【解析】?ABF2是锐角三角形，且为等腰三角形，故?AF2O2.7 圆锥曲线的对称性

b245，即<2c，即e

x2y2【例11】（2015福建）已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F．短轴的一个端点为M，

ab直线l:3x?4y?0交椭圆E于A,B两点．若AF?BF?4，点M到直线l的距离不小于的离心率的取值范围是（ ） A． (0,4，则椭圆E53333,1) D．[,1) ] B．(0,] C．[4422【解析】 因为直线l过原点，不妨设A在第一象限，左焦点为F′，由对称性可知四边形AF′BF为平|0－4b|4

行四边形，所以|AF|＋|BF|＝|AF′|＋|AF|＝2a＝4，所以a＝2，点M(0，b)到直线l的距离d＝≥且b

55a2－b24－b23c

]. 所以1≤b<2，所以椭圆的离心率e＝＝＝∈(0,aa22

9

【评注】椭圆和双曲线既具有对称轴又具有对称中心，在解答相关问题时要注意对称性的应用，利用对称性对相关的长度、点的坐标、角度等进行转化，这样可以起到简化运算的作用.

x2y2【变式1】已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接

abAF,BF. 若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=

4,则C的离心率为 ( ) 53546A. B. C. D. 57571|AB|?5.2设椭圆右焦点为F?，由对称性，BF??AF?6，∴2a?BF?BF??14. 故a?7，

B 【解析】可以判定三角形ABF是直角三角形，AF⊥BF，故有c?|OF|?因此离心率e?c5?.故选B. a7x2?y2?1的左右顶点分别为A1，A2，直线l:x?8与x轴交于点T0，T为【变式2】已知椭圆C:4l上异于T0的任意一点，直线TA1，TA2分别与椭圆C交于M，N两点，则直线MN恒过定点 2.8焦点三角形

x2y2【例12】已知椭圆右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，则S?FPF? ??1的左、?F1PF2?60，

1294222【解析】（方法一）设PF1?m,PF2?n，根据定义，m?n?2a (2c)?m?n?2mncos60，

得到mn?16143. . S?FPF=mnsin60=123232222b2（方法二） m?n?2a，4c?m?n?2mncos?，解得，mn?，

1?cos?12S?F1PF2=mnsin?=

12bsin?=

21?cos?2b22sin?242=b2tan?.故S?4?tan30?3. ?F1PF2?322cos22cos?x2y2 【点评】设点P是2?2?1(a?b?0)上一点，F1,F2为其左右焦点，设?F1PF2??，

ab2则：S?PF1F2?btan?22。双曲线有S?PF1F2?bcot?2

y2x2

【变式1】F1、F2是双曲线－＝1的两个焦点，M是双曲线上一点，且|MF1|·|MF2|＝32，则△F1MF2

916

的面积为 __________

16 【提示】先由条件判断△F1MF2为直角三角形，再求解面积.

x2y2【变式2】设F1,F2是双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点，P是C上一点，若

ab

10

PF1?PF2?6a,且?PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为___ .

不妨设PF则PF3 【提示】1?PF2，1?PF2?2a,PF1?PF2?6a,得PF1?4a，PF2?2a，

02220F1F2?2c，从而得到?PF1F2?30由余弦定理得(2a)?(4a)?(2c)?2(4a)(2c)cos30，整理得

(e?3)2?0，所以e?3.

x2y2【例13】已知椭圆右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，?F求S?FPF. ??1的左、1PF2?60。1294解析：设PF1?m,PF2?n，根据定义，m?n?2a，平方得m?n?2mn?36①；在?F1PF2中，根据余弦定理，得(2c)2?m2?n2?2mncos60，即m?n?mn?20②。①-②，得mn?面积公式，得S?FPF=

12222216。根据314mnsin60=3。 23【评注】我们可以利用椭圆和双曲线的定义以及正、余弦定理，上述问题可以一般化，即m?n?2a，

12b22b212b2sin??。S?FPF=mnsin?== 4c?m?n?2mncos?，解得，mn?1221?cos?2cos2?21?cos?2222b22sincos22??xy2222=btan。因此，椭圆?btan焦点三角形面积：，?1(a?b?0)S??F1PF222?22ab2cos22??b2tan高h?22?22；类似地，双曲线x?y?1(a,b?0)焦点三角形面积：Sbcot，高??F1PF2222cab?b2coth??2。其中，F,F是焦点，P是曲线上的动点，?FPF??，高h是FF边上的高。

121212y2x2=1上的一点，F1和F2是焦点，且 ?54c【变式1】如图所示，点P是椭圆

∠F1PF2=30°,则△F1PF2的面积为（ ）

A．8?43 B．8?43 C．6?23 D． 6?23 B【解析】在椭圆

y2x2=1中，a=5,b=2．∴c=a2?b2=1． ?54又∵点P在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=2a=25．①

由余弦定理知：|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos30°=|F1F2|2=(2c)2=4． ② ① 式两边平方得：|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=20， ③ ③-②得（2+3）|PF1|·|PF2|=16，∴|PF1|·|PF2|=16（2-3），

11

∴S?PF1F2=|PF1|·|PF2|sin30°=8?43．故选B. 【变式2】利用双曲线的定义求焦点三角形的面积

x2y2F1、F2是双曲线－＝1的两个焦点，M是双曲线上一点，且|MF1|·|MF2|＝32，则△F1MF2的面积为______．

1691216【解析】由题意可得双曲线的两个焦点是F1(0，－5)、F2(0,5)，由双曲线定义得：||MF1|－|MF2||＝6，联立|MF1|·|MF2|＝32得|MF1|2＋|MF2|2＝100＝|F1F2|2，所以△F1MF2是直角三角形，从而其面积为S＝1|MF1|·|MF2|＝16.. 2【变式3】 （2013新课标Ⅰ文8）O为坐标原点,F为抛物线C:y2?42x的焦点,P为C上一点,若|PF|?42,则?POF的面积为（ ）

A．2 B．22 C．23 D．4

＝42，

C【解析】由y2?42x知：焦点F(2，0)，准线x＝－2.设P点坐标为(x0，y0)，则x0＋21∴x0＝32，∴|y0|＝26，∴S△POF＝×2×26＝23.故选C.

2x2y2【变式4】双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左右焦点为F1，F2,P是双曲线右支上一点，满足条件PF2?F1F2,

ab直线PF1与圆x2+y2?a2相切，则双曲线的离心率为（ ）

2255A. B.3 C. D.

343D【解析】在焦点三角形PF1F2中，由定义，PF2=F2F1=2c,PF1?2a?2c, 由O到直线PF1的距离为a,故?PF1F2

5底边上的高为2a,由勾股定理有(a?c)2?4a2?4c2，解得：e?.

3x2y2【例14】椭圆2?2?1焦点三角形的周长2a?2c

abx2y2已知椭圆??1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，求三角形F1PF2 的周长。

94【解析】根据椭圆定义，三角形F1PF2 的周长等于2a?2c?6?25。

x2y2【点评】椭圆2?2?1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，根据定义，PF1?PF2?2a

abF1F2?2c，所以三角形F1PF2 的周长等于2a?2c，显然椭圆的“焦点三角形”的周长是定值。

x2y2??1的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P,F1,F2是一个【变式1】（2001上海）设F1,F2为椭圆94直角三角形的三个顶点，且|PF1|?|PF2|，求

|PF1|的值. |PF2| 12

【解析】当PF1为斜边时，此时|PF1|?PF2?F1F2，

144|PF|7若F1F2为斜边时，PF1?PF2，,|PF2|?，1?；

|PF|2332此时|PF1|?4,|PF2|?2，

|PF1|?2. |PF2|x2y2【变式2】（2004湖北）已知椭圆??1的左、右焦点分别为F1,F2，点P在椭圆上，若P、F1、

169F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为

（A）

9 52（B）3 （C）

2297 7（D）

9 4【解析】c?7，c?b，以F1F2为直径的圆x2?y2?c2内含于椭圆，?F1PF2小于直角，只能

b29?. 有PF1?F1F2或PF2?F1F2，此时点P到x轴距离为

a42.9求圆锥曲线的离心率与范围

x2y2

【例15】（2015湖南）若双曲线2－2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )

ab

7545A. B. C. D. 3433

bb4

【解析】由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，点(3，－4)在渐近线上，故＝，又a2＋b2＝c2，

aa3

1625c5

∴c2＝a2＋a2＝a2，∴e＝＝，选D.

99a3

【评注】圆锥曲线的离心率的定义式有四种变化：e?c2cPF;e?;e?cos?BFO，e?（其中da2ad表示P到F对应准线的距离），结合圆锥曲线的第一定义和统一定义，就会生出许多变化，解题时要根据题目的条件灵活选择．

【变式1】用离心率的定义求离心率

y2?1的离心率是 若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x?m2( )

A．3 2B．5 C．3或5 2D．35 或222y2?1，C【解析】∵m是2和8的等比中项，∴m?16，∴m??4，当m?4时，圆锥曲线为椭圆x?42y232?1，离心率为5，∴综上选C． 离心率为，当m??4时，圆锥曲线为双曲线x?42【变式2】(2014北京理19(1))已知椭圆C：x?2y?4.求椭圆C的离心率.

13

222x2y22【提示】将方程化为标准式：＋＝1，求出e＝. 2422

x2y2【变式3】(2014福建理19（1）)已知双曲线E:2?2?1(a?0,b?0)的两条渐近线分别为

abl1:y?2x,l2:y??2x. 求双曲线E的离心率.

b

5【提示】依题意得=2，求得e＝5.

a

2.10借助圆锥曲线的定义求离心率

x2y2【例16】如图，F1和F2分别是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，

ab以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） （A）3

（B）5

（C）

5 2（D）1?3

x2r2【解析】如图，F1和F2分别是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点，A和

abB是以O为圆心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边

三角形，连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=3c，∴ 2a?(3?1)c，双曲线的离心率为1?3，选D。

【点评】当题目条件与圆锥曲线的定义有关时，应该充分利用圆锥曲线的定义寻找a与c的关系，进而寻找离心率.

【变式1】以椭圆的两个焦点连线所成的线段为直径的圆，交椭圆于四个不同的点，若连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为（ ）

A．23 B． C．3?1 D．1?3 22C 【提示】由正六边形的几何性质，知点(北,c23c)在该椭圆上. 2x2y2

【变式2】设P为椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)上一点，F1、F2为其左右焦点，如果∠PF1F2＝15°，∠PF2F1

ab

＝75°，则椭圆的离心率为 ( )

2326 B． C． D． 2233D【解析】由题意得2a?PF1?PF2?2c(sin75??sin15?)?22csin60?，∴椭圆的离心率

A．e?

6．选D． 314

【评注】运用第一定义本质上求2a，在焦点三角形PF2F1(特别是直角三角形)中，联系椭圆的第一定义，由正弦定理很易联系a与c的关系，进而求得离心率

x2y21→→【变式3】已知P是以F1,F2为焦点的椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)上一点，且PF1· PF2=0,tan∠PF1F2＝，

ab2

则该椭圆的离心率为_________．

355【提示】由题意得2a?PF1?PF2?2c． ,∴椭圆的离心率e?335x2y2【变式4】已知点P是双曲线C1:2?2?1(a?0,b?0)和圆C2:x2?y2?a2?b2的一个交点，且

ab2?PF1F2??PF2F1，其中F1,F2是双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率为______．

3?1【提示】显然圆C2过双曲线的两个焦点，故?F1PF2?90?，又2?PF1F2??PF2F1，∴

?PF1F2?30?，∴2a?PF1?PF2?2c(cos30??sin30?)，∴双曲线的离心率e?3?1．

x2y2【变式5】椭圆Γ: 2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=3?x?c?ab与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于 .

3?1 【提示】∠MF1F2是直线的倾斜角,所以∠MF1F2=60°,∠MF2F1=30°,所以△MF2F1是直角三

角形,在Rt△MF2F1中,|F2F1|=2c,|MF1|=c,|MF2|=3c, e?2c2c2???3?1. 2a|MF1|?|MF2|3?1x2y2

【变式6】（2015重庆） 如图所示，椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为

abF1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1，若|PF1|＝|PQ|，则椭圆的离心率e为

6－3 【提示】如图，由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，得|QF1|＝4a－2|PF1|.

又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝2|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝2|PF1|，得|PF1|＝2(2－2)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－2)a＝2(2－1)a.

由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此

|PF1|2＋|PF2|2c

e＝＝＝（2－2）2＋（2－1）2＝9－62＝6－3. a2a2.11代点法构造关于a、c的齐二次式方程求离心率

x2y2【例17】（2015年湖南）设F是双曲线C：2?2?1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PFab的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为 .

【解析】由已知，令F(－c，0)，虚轴的一个端点B(0，b)，B恰为线段PF的中点，故P(c，2b)．又c24b2c

P在双曲线上，代人双曲线方程得2－2＝1，即e＝＝5.

aba

【点评】在求解圆锥曲线的离心率时，若已知曲线上点的坐标，可以将点的坐标代入方程，得到关于

15

【评注】椭圆上的张角?F1PF2有最大值，当时P在短轴的顶点处时，张角最大，利用该条件可以求解与椭圆张角有关的离心率范围问题.

x2y2【变式1】已知P是椭圆2?2?1(a?b?0)上的一点，椭圆长轴的两个端点为A、B，若

ab?APB?120?，则该椭圆的离心率的取值范围是_________.

[6,1) 【提示】设Q是椭圆的短轴的一个端点，则?AQB??APB?120?，于是?AQO?60?，36,1). 3∴a?3b，即a2?3(a2?c2)，∴椭圆的离心率e?[x2y2【变式2】已知椭圆2?2?1(a?b?0)的焦点分别为F1,F2，若椭圆上存在一点P，使得

ab?F1PF2?60,则椭圆离心率的取值范围是 【解析】当P为椭圆短轴的顶点B时，?F1PF2最大。根据条件可得?F1PF2?60，易得故

c1?，a21?e?1。 2x2y2【评注】若点P为椭圆2?2?1(a?b?0)上任一点，F1,F2为椭圆的左，右焦点，点B为椭圆

ab短轴的一个顶点，则有0??F1PF2??F1BF2。

证明：在PF1F2中，由余弦定理得cos?F1PF2?PF1?PF2?F1F22PF1PF2222?

1(PF1?PF2)2?F1F221(PF1?PF2)22顶点重合时?F1PF2最大。

2a2?2c2，当且仅当PF等号成立，即当P与椭圆的短轴?1?PF2时，2a【变式3】构造辅助圆，直观判断特征量关系

M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1?MF2?0的点

围是（ ）

A．(0,1) B．(0,] C．(0,1222) D．[,1) 22C 【提示】由已知得以线段F1F2为直径的圆在椭圆的内部，从而

21

12 b?c?b2?c2,a2?c2?c2?a2?2c2,e2??0?e?22x2y2【变式4】已知P是以F1,F2为焦点的椭圆2?2?1(a?b?0)上一点，若?F1PF2为钝角，则该

ab椭圆的离心率的取值范围是_________.

[

2,1) 【提示】构造以F1F2为直径的圆，则由题意知，上下顶点必在圆内，即b

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