课标版数学中考第二轮专题复习-15分类讨论型试题(含 ...(1.55M)_

分类讨论型问题探究

分类思想是解题的一种常用思想方法，它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题，学生只有掌握了分类的思想方法，在解题中才不会出现漏解的情况.

例1（2005年黑龙江） 王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计)，请你计算这块等腰三角形菜地的面积．

分析：本题是无附图的几何试题，在此情况下一般要考虑多种情况的出现，需要对题目进行分情况讨论。分类思想在中考解题中有着广泛的应用，我们在解题中应仔细分析题意，挖掘题目的题设，结论中可能出现的不同的情况，然后采用分类的思想加以解决. 解：（1)当等腰三角形为锐角三角形时(如图1)，由勾股定理得AE＝25（m）

1AEED?由DE∥FC得，，得FC＝24（m） S△ABC= 340324=480（m2）

2ACFC12

(2)当等腰三角形为钝角三角形时(如图2)同理可得，S△ABC=364324=768（m）

2

A

图1

图2

说明：本题主要考查勾股定理、相似三角形的判定及性质等内容。

练习一 1、（2005年资阳市）若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（ ）

A.

a?b2 B.

a?b2 C.

a?b2或

a?b2 D. a+b或a-b

2．（2005年杭州）在右图的几何体中, 上下底面都是平行四边形, 各个侧面都是梯形, 那么图中和下底面平行的直线有( )

(A) 1条 (B) 2条 (C) 4条 (D) 8条

3（2005年潍坊市）已知圆A和圆B相切，两圆的圆心距为8cm，圆A的 半径为3cm，则圆B的半径是（ ）．

A．5cm B．11cm C．3cm D．5cm或11cm

4.（2005年北京） 在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2?BD2DC，则∠BCA的度数为____________。 5、（2005年金华）直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y＝x2－x－6与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于2

点C.如果点M在y轴右侧的抛物线上， S△AMO＝S△COB，那么点

3M的坐标是 .

例题2（2005年金华）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，点E是AB边上的一点，AE＝22. 过D，E两点作直线PQ，与BC边所在的直线MN相交于点F.

MCAOBxyAGDPEHN（1）求tan∠ADE的值； FCBOQ（2）点G是线段AD上的一个动

点，GH⊥DE，垂足为H. 设DG为x，四边形AEHG的面积为y，试写出y与x之间的函数关

系式；

（3）如果AE＝2EB，点O是直线MN上的一个动点，以O为圆心作圆，使⊙O与直线 PQ相切，同时又与矩形ABCD的某一边相切. 问满足条件的⊙O有几个？并求出其中一个圆的半径.

分析：分类讨论的思考方法广泛存在于初中数学的各知识点当中，数学中的许多问题由于题设交代笼统，要进行分类讨论；由于题情复杂，包含的内容太多，也要进行讨论。

解：（1）∵ 矩形ABCD中，∠A＝90°，AD＝8，AE＝22， ∴ tan∠ADE＝

AE222

＝＝. AD84

（2）∵ DE＝AD2＋AE2＝82＋(22)2＝62，

AE221AD822＝＝，cos∠ADE＝＝＝. ED623ED623

∴ sin∠ADE＝

在Rt△DGH中，∵ GD＝x， ∴ DH＝DG2cos∠ADE＝

22

x， 3

112212∴ S△DGH＝DG2DH2sin∠ADE＝2x2x2＝x2.

22339

11

∵ S△AED＝AD2AE＝38322＝82，

22∴ y＝S△AED－S△DGH＝82－

22

x， 9

22

x＋82. 9

（3）满足条件的⊙O有4个.

即y与x之间的函数关系式是y＝－以⊙O在AB的左侧与AB相切为例，求⊙O半径如下： ∵ AD∥FN， ∴ △AED∽△BEF. ∴ ∠PFN＝∠ADE.

1

∴ sin∠PFN＝sin∠ADE＝. 3∵ AE＝2BE，

∴ △AED与△BEF的相似比为2∶1， ∴

AD1

＝，FB＝4. FB2

OIr1＝＝， FO4－r3

过点O作OI⊥FP，垂足为I，设⊙O的半径为r，那么FO＝4－r. ∵ sin∠PFN＝

∴ r＝1.

（满足条件的⊙O还有：⊙O在AB的右侧与AB相切，这时r＝2；⊙O在CD的左侧与CD相切，这时r＝3；⊙O在CD的右侧与CD相切，这时r＝6）

说明：本题考查了三角函数、相似三角形的判定及性质，以及二次函数的有关知识，是一道涉及面较广，体现分类思想较明显的综合性题目。

练习二

1、（2005年河南）如图1，Rt?ABC中，?C?90?,AC?12,BC?5,点M在边AB上，且AM?6.

(1)动点D在边AC上运动，且与点A，C均不重合，设CD?x

①设?ABC与?ADM的面积之比为y，求y与x之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）；

②当x取何值时， ?ADM是等腰三角形？写出你的理由。

（2）如图2，以图1中的为一组邻边的矩形中，动点在矩形边上运动一周，能使是以为顶角的等腰三角形共有多少个（直接写结果，不要求说明理由）？

2．（2005年河南课改）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝2，DC＝22，点P在边BC上运动(与B、C不重合)，设PC＝x，四边形ABPD的面积为y。 ⑴求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

1

⑵若以D为圆心、为半径作⊙D，以P为圆心、以PC的长为半径作⊙P，当x为何值

2

时，⊙D与⊙P相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积。

DA

BPC

3、（2005年常州）已知⊙O的半径为1，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形ABCD，顶点B的坐标为（?13，0），顶点A在x轴上方，顶点D在⊙O上运动．

（1）当点D运动到与点A、O在一条直线上时，CD与⊙O相切吗？如果相切，请说明理由，并求出OD所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；

（2）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求出S与x的函数关系式，并求出S的最大值和最小值．

yAD1B-13-1O1xC-1

4、（2005年安徽）在一次课题学习中活动中,老师提出了如下一个问题:

点P是正方形ABCD内的一点,过点P画直线l分别交正方形的两边于点M、N,使点P是线段MN的三等分点,这样的直线能够画几条?

经过思考,甲同学给出如下画法:

如图1,过点P画PE⊥AB于E,在EB上取点M,使EM=2EA,画直线MP交AD于N,则直线MN就是符合条件的直线l.

根据以上信息,解决下列问题:

(1)甲同学的画法是否正确?请说明理由.

(2)在图1中,能否画出符合题目条件的直线?如果能,请直接在图1中画出. (3)如图2,A1、C1分别是正方形ABCD的边AB、CD上的三等分点,且A1C1∥AD.当点P在线段A1C1上时,能否画出符合题目条件的直线?如果能,可以画出几条?

(4)如图3,正方形ABCD边界上的A1、A2、B1、B2、C1、C2、D1、D2都是所在边的三等分点.当点P在正方形ABCD内的不同位置时,试讨论,符合题目条件的直线l的条数的情况.

5、（2005年上海）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F。

(1)如图8，求证：△ADE∽△AEP；

(2)设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； (3)当BF＝1时，求线段AP的长.

FBPBDC图8EOAC图9（备用图）A

能力训练

1、（2005年河北课改）图15―1至15―7中的网格图均是20320的等距网格图（每个小方格的边长均为1个单位长）。侦察兵王凯在P点观察区域MNCD内的活动情况。当5个单位长的列车（图中的）以每秒1个单位长的速度在铁路线MN上通过时，列车将阻挡王凯的部分视线，在区域MNCD内形成盲区（不考虑列车的宽度和车厢间的缝隙）。设列车车头运行到M点的时刻为0，列车从M点向N点方向运行的时间为t（秒）。

⑴在区域MNCD内，请你针对图15―1，图15―2，图15―3，图15―4中列车位于不同位置的情形分别画出相应的盲区，并在盲区内涂上阴影。

⑵只考虑在区域ABCD内形成的盲区。设在这个区域内的盲区面积是y（平方单位）。

①如图15―5，当5≤t≤10时，请你求出用t表示y的函数关系式； ②如图15―6，当10≤t≤15时，请你求出用t表示y的函数关系式； ③如图15―7，当15≤t≤20时，请你求出用t表示y的函数关系式；

④根据①~③中得到的结论，请你简单概括y随t的变化而变化的情况。

⑶根据上述研究过程，请你按不同的时段，就列车行驶过程中在区域MNCD内所形成盲区的面积大小的变化情况提出一个综合的猜想（问题⑶是额外加分，加分幅度为1~4分）。

2、（2005年锦州）如图，在平面直角坐标系中有一直角梯形OABC，∠AOC=90°，AB∥OC，OC在x轴上，过A、B、C三点的抛物线表达式为 (1)求A、B、C三点的坐标；

(2)如果在梯形OABC内有一矩形MNPO，使M在y轴上，N在BC边上，P在OC边上，当MN为多少时，矩形MNPO的面积最大？最大面积是多少？

(3)若用一条直线将梯形OABC分为面积相等的两部分，试说明你的分法. 注：基总结出一般规律得满分，若用特例说明，有四种正确得满分.

.

3．（2005年徐州）有一根直尺的短边长2㎝，长边长10㎝，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm..如图12，将直尺的短边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合.将直尺沿AB方向平移(如图13)，设平移的长度为xcm(0≤x≤10)，直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为S㎝2. (1)当x=0时(如图12)，S=_____________；当x = 10时，S =______________. (2) 当0＜x≤4时(如图13)，求S关于x的函数关系式；

(3)当4＜x＜10时，求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值(同学可在图14、

不妨用直尺和三角板C 做一做模拟实验，问题就容易解决了！ F (D) A E (图12)

B C A (图14)

B

图15中画草图).

F C G A x D E B

(图13) C A (图15)

B

∴y?300?15t

④当5≤t≤10时，由一次函数y?15t?75的性质可知，盲区的面积由0逐渐增大到75； 当10≤t≤15时，盲区的面积y为定值75；

当15≤t≤20时，由一次函数y?300?15t的性质可知，盲区的面积由75逐渐减小到0

⑶通过上述研究可知，列车从M点向N点方向运行的过程中，在区域MNCD内盲区面积大小的变化是：

①在0≤t≤10时段内，盲区面积从0逐渐增大到75； ②在10≤t≤15时段内，盲区的面积为定值75； ③在15≤t≤20时段内，盲区面积从75逐渐减小到0

2、(1)由图形得，点A横坐标为0，将x=0代入 得y=10，∴A(0,10)

∵AB∥OC，∴B点纵坐标为10，将y=10代入

，∴x1=0, x2=8.

得， ，

∵B点在第一象限，∴B点坐标为(8,10) ∵C点在x轴上，∴C点纵坐标为0，将y=0代入

解得∴x1=-10，x2=18.

得，

∵C在原点的右侧，∴C点坐标为(18,0). (2)法一：过B作BQ⊥OC，交MN于H，交OC于Q，

则Rt△BNH∽Rt△BCQ， ∴

.

.∴y=18-x.

设MN=x，NP=y，则有 ∴S

矩形MNOP

=xy=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.

∴当x=9时，有最大值81.

即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81.

法二：过B作BQ⊥x轴于Q，则Rt△CPN∽Rt△CQB，∴ 设MN=x，NP=y，则有

.∴y=18-x.

.

∴S矩形MNOP=xy=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81. ∴当x=9时，有最大值81.

即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81. 法三：利用Rt△BHN∽Rt△NPC也能解答，评分标准同上. 法四：过B点作BQ⊥x轴于Q，则Rt△BQC∽Rt△NPC， QC=OC-OQ=18-8=10，又QB=OA=10，

∴△BQC为等腰直角三角形，∴△NPC为等腰直角三角形. 设MN=x时矩形MNPO的面积最大. ∴PN=PC=OC-OP=18-x.

∴S矩形MNOP=MN2PN=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.

∴当x=9时，有最大值81.

即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81.

(3)评价要求：此处体现分类思想，但分类方法不惟一，给出的答案仅供参考.

①对于任意一条直线，将直线从直角梯形的一侧向另一侧平移的过程中，总有一个位置使得直线将该梯形面积分割成相等的两部分.

②过上、下底作一条直线交AB于E，交OC于F，且满足于梯形AEFO或梯形BEFC的上底与下底的和为13即可.

③构造一个三角形，使其面积等于整个梯形面积的一半，因此有： ……

不要求写出P点的坐标. ④平行于两底的直线，一定会有其中的一条将原梯形分成面积相等的两部分；

2．(1)由图形得，点A横坐标为0，将x=0代入 得y=10，∴A(0,10)

∵AB∥OC，∴B点纵坐标为10，将y=10代入

，∴x1=0, x2=8.

得， ，

，，

；；

，，

；

；

∵B点在第一象限，∴B点坐标为(8,10) ∵C点在x轴上，∴C点纵坐标为0，将y=0代入

解得∴x1=-10，x2=18.

得，

∵C在原点的右侧，∴C点坐标为(18,0).

(2)法一：过B作BQ⊥OC，交MN于H，交OC于Q，则Rt△BNH∽Rt△BCQ， ∴

.

.∴y=18-x.

设MN=x，NP=y，则有 ∴S

矩形MNOP

=xy=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.

∴当x=9时，有最大值81.

即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81.

法二：过B作BQ⊥x轴于Q，则Rt△CPN∽Rt△CQB，∴ 设MN=x，NP=y，则有

.∴y=18-x.

.

∴S矩形MNOP=xy=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81. ∴当x=9时，有最大值81.

即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81. 法三：利用Rt△BHN∽Rt△NPC也能解答，评分标准同上. 法四：过B点作BQ⊥x轴于Q，则Rt△BQC∽Rt△NPC， QC=OC-OQ=18-8=10，又QB=OA=10，

∴△BQC为等腰直角三角形，∴△NPC为等腰直角三角形. 设MN=x时矩形MNPO的面积最大. ∴PN=PC=OC-OP=18-x.

∴S矩形MNOP=MN2PN=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.

∴当x=9时，有最大值81.

即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81.

(3)评价要求：此处体现分类思想，但分类方法不惟一，给出的答案仅供参考.

①对于任意一条直线，将直线从直角梯形的一侧向另一侧平移的过程中，总有一个位置使得直线将该梯形面积分割成相等的两部分.

②过上、下底作一条直线交AB于E，交OC于F，且满足于梯形AEFO或梯形BEFC的上底与下底的和为13即可.

③构造一个三角形，使其面积等于整个梯形面积的一半，因此有：

……

，，

；；

，，

；

；

不要求写出P点的坐标.

④平行于两底的直线，一定会有其中的一条将原梯形分成面积相等的两部分；

3、

4、

5、解：（1）将C(0,?3)代入y?ax2?bx?c，

得 c??3．

将c??3，B(3,0)代入y?ax2?bx?c， 得 9a?3b?c?0．……….(1)

∵x?1是对称轴， ∴?b2a?1． (2)

将（2）代入（1）得

a?1， b??2．

2所以，二次函数得解析式是y?x?2x?3．

（2）AC与对称轴的交点P即为到B、C的距离之差最大的点． ∵C点的坐标为(0,?3)，A点的坐标为(?1,0)， ∴ 直线AC的解析式是y??3x?3，

又对称轴为x?1，

∴ 点P的坐标(1,?6)．

（3）设M(x1,y)、N(x2,y)，所求圆的半径为r， 则 x2?x1?2r，…………….(1)

∵ 对称轴为x?1，

∴ x2?x1?2． …………….(2) 由（1）、（2）得：x2?r?1．……….(3) 将N(r?1,y)代入解析式y?x2?2x?3， 得 y?(r?1)2?2(r?1)?3，………….(4) 整理得： y?r2?4． 由于 r=±y， 当y?0时，r2?r?4?0，

1?2171?217解得，r1? ， r2?（舍去），

当y?0时，r2?r?4?0，

?1?21?217?1?21717解得，r1? ， r2?（舍去）．

所以圆的半径是

17或

?1?2．

6、

7、解：存在。

方法一：当x＝t时，y＝x＝t、当x＝t时，y??∴E点的坐标为（t，?1212x?2??12t?2。

，D点坐标为（t，t）。 t?2）

12t?2?t??32t?2，且t＜

43∵E在D的上方，∴DE??。

∵△PDE为等腰直角三角形，∴PE＝DE或PD=DE或PE=PD。 若t＞0，PE=DE时，?∴t?45,?12t?2?8532t?2?t。

85。∴P点坐标为（0，

32t?2?t，

45）。

若t＞0，PD=DE时，?∴t?45。∴P点坐标为（0，）。

32t?2?2t。

若t＞0，PE=PD时，即DE为斜边，∴?∴t?47，∴DE的中点的坐标为（t，

8714t?1），

32t?2??t，

∴P点坐标为（0，）。若t＜0，PE=PD时，由已知得DE=－t，?t＝4＞0（不符合题意，舍去），此时直线x＝t不存在。若t＜0，PE=PD时，即DE

为斜边时，由已知得DE=－2t，

?32t?2??2t，∴t??4,4514t?1?0。∴P点坐标为（0，0）

85综上所述：当t＝

（0，

45时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，

87）或

）；当t?47时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，）；当t＝－4

时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）。 方法二：设直线y??12x?2交y轴于点A，交直线y＝x于点B，过B做BM垂直于y轴，

垂足为M，交DE于点N。∵x＝t平行于y轴，∴MN＝t。

4?x??y?x?444??3∵? 解得? ∴B点坐标为（，），∴BM＝ 1333?y??x?2?y?4?2?3?当x＝0时，y??12，∴OA=2。 x?2?2，∴A点坐标为（0，2）

∵△PDE为等腰直角三角形，∴PE＝DE或PD=DE或PE=PD。

如图4，若t＞0，PE=DE和PD=DE时，∴PE＝t，PD＝t，∵DE∥OA， ∴△BDE∽△BOA，∴

4?t43DEOA45?BNBM

y A E B y=x y=－2 x＋2

x

1∴

t2?3 ∴t＝。

M N 85,y?x?4545当t＝

45时，y??1285x?2?。

O D ∴P点坐标为（0，）或（0，）。…6分

若t＞0，PD=PE时，即DE为斜边，∴DE=2MN=2t。 ∵DE∥OA，∴△BDE∽△BOA∴

4DEOA?BNBM

y 图4 E A N O D B M y=x y=－2 x＋2

x

1∴

2MN2?3?MN43,∴MN＝t＝

14878747，

DE的中点的纵坐标为∴P点的坐标为（0，

t?1?。

）

如图5，若t＜0，PE=DE或PD=DE时， ∵DE∥OA， ∴△BDE∽△BOA∴

DE＝－4（不符合题意，舍去），此时直线x＝t不存在。 若t＜0，PE=PD时，即DE为斜边，∴DE=2MN=－2t。

DEOA?BNBM

图5

∵DE∥OA，∴△BDE∽△BOA∴

4DEOA?BNBM

∴

2MN2?3?MN43，∴MN＝4，∴t＝－4，

14t?1?0。

∴P点坐标为（0，0）

综上所述：当t＝

（0，

4545时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，

8785）或

）；当t?47时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，）；当t＝－4

时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）。

8、解：（1）设抛物线的解析式y?a?x?1??x?2?,??2?a?1???2?.?a?1，

?y?x?x?2,

2F A B D 5 6 1 3 M 4 2 C N G E 图6

其顶点M的坐标是?1,?9?；

??2?4?（2）设线段BM所在的直线的解析式为y?kx?b,点N的坐标为N?t,h?, 则

0?2k?b,?94?12k?b解它们组成的方程组得k?32x?3.?h?3232,b??3.

所以线段BM所在的直线的解析式为y?1212t?3,

其中?t?2.?s?12?1?2?1?22?t??2?312321??t?t?1.?s与t间的函数关系3t?42?为s?

34t?2t?1,自变量的取值围?t?2;

(3)存在符合条件的点P,且坐标是

5??57??3p1?,?,p2?,??.

4??24??22设点P的坐标为P?m,n?，则n?m2?m?2.PA2??m?1??n2, PC2=m2??n?2?,AC2?5.分以下几种情况讨论：

（ⅰ）若?ABC?90?,则PC=PA+AC。可得n?m2?m?2,

2

2

2

2m??n?2???m?1??n?5，解之得m1?22225。所以点p?5,7?。 ,m2??1（舍去）

1??2?24?（ⅱ）若?PAC?90?,则PA2?PC2?AC2,?n?m2?m?2

?m?1?2?n?m??n?2??5.解得：m3?22232,m4?0（舍去）。所以点p?3,?5?。 2???24?（ⅲ）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，PA>AC，所以边AC的对角?APC不可能

直角

（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的个顶点，第三个点落在矩形这一边OA（或OC）的对边上，如图2，此时未知顶点坐标D（-1，-2），以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图3，此时未知顶点坐标是E??1,2?,F?4,?8?。

???55???5?5?

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