第1讲圆与圆锥曲线的基本问题

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第1讲 圆与圆锥曲线的基本问题

高考定位 1.圆的方程及直线与圆的位置关系是高考对本讲内容考查的重点，涉及圆的方程的求法、直线与圆的位置关系的判断、弦长问题及切线问题等；2.圆锥曲线中的基本问题一般以椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质等作为考查的重点，多为选择题或填空题.

真 题 感 悟

x2x222

1.(2016·浙江卷)已知椭圆C1：m2＋y＝1(m＞1)与双曲线C2：n2－y＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( ) A.m＞n且e1e2＞1 C.m＜n且e1e2＞1

B.m＞n且e1e2＜1 D.m＜n且e1e2＜1

解析 由题意可得：m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2， 又∵m＞0，n＞0，故m＞n.

222242

m－1n＋1n＋1n＋1n＋2n＋1122

又∵e1·e2＝m2·n2＝2·n2＝4＝1＋4＞1，∴e1·e2＞1.

n＋2n＋2n2n＋2n2

答案 A

2.(2016·全国Ⅰ卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为( ) A.2

B.4

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C.6

D.8

解析 不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，则圆的方程可设为x2＋y2＝r2(r>0)，又可?p?

设A(x0，22)，D?－2，5?，

??

点A(x0，22)在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0，①

2

点A(x0，22)在圆x2＋y2＝r2上，∴x20＋8＝r，②

?p??p?22222

点D?－2，5?在圆x＋y＝r上，∴5＋?2?＝r，③

????

联立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B. 答案 B

x2y23.(2016·全国Ⅰ卷)已知方程2－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点

m＋n3m2－n间的距离为4，则n的取值范围是( ) A.(－1，3) C.(0，3) 解析 ∵方程x2m＋n

2

B.(－1，3) D.(0，3)

－

＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得

3m－n

2

y2

－m2

y2

4.(2016·浙江卷)设双曲线x－3＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲

2

线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________. 解析 如图，由已知可得a＝1，b＝3，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设P在右支上， 设|PF2|＝m，

则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，

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由于△PF1F2为锐角三角形，

222??（m＋2）＜m＋4，

结合实际意义需满足?解得－1＋7＜m＜3，又|PF1|＋|PF2|

222??4＜（m＋2）＋m，

＝2m＋2， ∴27＜2m＋2＜8.

答案 (27，8)

考 点 整 合

1.圆的方程

(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为r. E??D

(2)圆的一般方程：x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0(D＋E－4F＞0)，圆心为?－2，－2?，

??

2

2

2

2

D2＋E2－4F

半径为r＝. 22.直线与圆相关问题的两个关键点

(1)三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理.(2)两个公式：点到直线的距离公式d＝

|Ax0＋By0＋C|22，弦长公式|AB|＝2r－d(弦心距d). 22A＋B

3.圆锥曲线的定义

(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离). 4.圆锥曲线的标准方程

x2y2y2x2

(1)椭圆：

a2＋b2＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或a2＋b2＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)；x2y2y2x2

(2)双曲线：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或a2－b2＝1(a＞0，b＞0)(焦点

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在y轴上)；

(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0). 5.圆锥曲线的几何性质 c

(1)椭圆：e＝a＝b21－a2；

b21＋a2；

c

(2)双曲线：①e＝a＝ba

②渐近线方程：y＝±x或y＝±abx；

(3)抛物线：设y2＝2px(p＞0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)为抛物线上的点，F为其焦点. p

①焦半径|CF|＝x1＋2；

②过焦点的弦长|CD|＝x1＋x2＋p； p2

③x1x2＝4，y1y2＝－p2.

热点一 直线与圆的有关问题 [命题角度1] 求圆的方程

【例1－1】 (1)(2016·天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)45

在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为5，则圆C的方程为________. x2y2

(2)(2015·全国Ⅰ卷)一个圆经过椭圆16＋4＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.

解析 (1)∵圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a>0.

|2a－0|

45

＝5，解得a＝2. 5

则圆心C到直线2x－y＝0的距离d＝∴圆C的半径r＝|CM|＝2)2＋y2＝9.

（2－0）2＋（0－5）2＝3，因此圆C的方程为(x－

(2)由题意知，椭圆上、下顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，左、右顶点的坐标为(－

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4，0)，(4，0)，由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)，设3m＝，??m＋4＝r，?2?

圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2，则有?解得?

22252??（4－m）＝r，r??＝4，2

2

?3?2225

所以圆的标准方程为?x－2?＋y＝4. ???3?2225

答案 (1)(x－2)＋y＝9 (2)?x－2?＋y＝4 ??

2

2

探究提高 求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方法.在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用. [命题角度2] 圆的切线问题

【例1－2】 (1)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线l：2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为( ) 4

A.5π C.(6－25)π

3B.4π 5D.4π

(2)若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________.

解析 (1)由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小(D为切点)，只需圆C的半径或直径最小，又圆C与直线2x＋y－4＝0相切，所以由平面几何知识，当OC所在直线与l垂直时，|OD|最小(D为切点)，即圆C的|2×0＋0－4|42直径最小，则|OD|＝＝，所以圆的半径为，圆C的面积的最小

5554

值为S＝πr2＝5π.

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(2)依题意得△OO1A是直角三角形，∴|OO1|＝1|AB|1

S△OO1A＝2·2·|OO1|＝2·|OA|·|AO1|， 因此|AB|＝

2·|OA|·|AO1|2×5×25

＝4.

|OO1|＝5

5＋20＝5， 答案 (1)A (2)4

探究提高 (1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式. (2)过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理. [命题角度3] 直线与圆的位置关系

【例1－3】 已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.

(1)求圆C1的圆心坐标；

(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；

(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由. 解 (1)由x2＋y2－6x＋5＝0，得(x－3)2＋y2＝4， 所以圆C1的圆心坐标为(3，0).

(2)设线段AB的中点M的坐标为(x，y)， ①当线段AB不在x轴上时，有C1M⊥AB， yy

则kC1M·kAB＝－1，即·＝－1，

x－3x?3?229整理得?x－2?＋y＝4，

??

5又当直线l与圆C1相切时，易求得切点的横坐标为3. ?3?229?5?

所以此时M的轨迹C的方程为?x－2?＋y＝4?3＜x＜3?.

????

?3?229

②当线段AB在x轴上时，点M的坐标为(3，0)，也满足式子?x－2?＋y＝4.

??

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?3?229?5?

综上，线段AB的中点M的轨迹C的方程为?x－2?＋y＝4?3＜x≤3?.

????3?3?

(3)由(2)知点M的轨迹是以C?2，0?为圆心，r＝2为半径的

??部分圆弧EF(如图所示，不包括两端点)， ?525?

?， 且E?，3??3?525??. F?，－

3??3

??3??

?k?2－4?－0?????

又直线L：y＝k(x－4)过定点D(4，0)，当直线L与圆C相切时，由2k＋（－1）233＝2，得k＝±4，

?25?

?0－?－

3??25

又kDE＝－kDF＝－＝－

57， 4－3结合如图可知当只有一个交点.

探究提高 此类题易失分点有两处：一是不会适时分类讨论，遇到直线问题，想用其斜率，定要注意斜率是否存在；二是数形结合求参数的取值范围时，定要注意“草图不草”，如本题，画出轨迹C时，若把端点E，F画成实心点，借形解题时求出的斜率就会出错.

【训练1】 (2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4).

?33??2525?

?时，直线k∈?－4，4?∪?－，

77????

L：y＝k(x－4)与曲线C

(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准

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方程；

(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；

→

→

→

(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得TA＋TP＝TQ，求实数t的取值范围.

解 (1)圆M的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6，7)，半径r＝5，

由题意，设圆N的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0). 则（6－6）2＋（b－7）2＝b＋5.

解得b＝1，∴圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1. (2)∵kOA＝2，∴可设l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0. 又BC＝OA＝22＋42＝25，

∴由题意，圆M的圆心M(6，7)到直线l的距离为d＝25， 即|2×6－7＋m|

＝25，解得m＝5或m＝－15.

22＋（－1）2?BC?2

5－?2?＝25－5＝

??

2

∴直线l的方程为y＝2x＋5或y＝2x－15.

→

→

→

(3)由TA＋TP＝TQ，则四边形AQPT为平行四边形， 又∵P、Q为圆M上的两点，∴|PQ|≤2r＝10. ∴|TA|＝|PQ|≤10，即（t－2）2＋42≤10， 解得2－221≤t≤2＋221.

故所求t的范围为[2－221，2＋221]. 热点二 圆锥曲线的定义、方程、性质的应用 [命题角度1] 定义与标准方程的应用

【例2－1】 (1)(2015·浙江卷)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( )

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|BF|－1A. |AF|－1

|BF|＋1C. |AF|＋1

|BF|2－1B. |AF|2－1|BF|2＋1D. |AF|2＋1

x2y2

(2)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝5x2y2

2x，且与椭圆12＋3＝1有公共焦点，则C的方程为( ) x2y2

A.8－10＝1 x2y2

C.5－4＝1 解析 (1)由图形知

x2y2

B.4－5＝1 x2y2

D.4－3＝1

S△BCF|BC|xB＝＝，由抛物线的性质知|BF|＝xB＋1，|AF|＝xA＋1，S△ACF|AC|xA

S△BCF|BF|－1

∴xB＝|BF|－1，xA＝|AF|－1，∴＝.故选A.

S△ACF|AF|－1b5

(2)由题设知a＝2，①

x2y2

又由椭圆12＋3＝1与双曲线有公共焦点， 易知a2＋b2＝c2＝9，②

x2y2

由①②解得a＝2，b＝5，则双曲线C的方程为4－5＝1. 答案 (1)A (2)B

探究提高 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式.(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定.

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[命题角度2] 几何性质与标准方程的应用

x2y2

【例2－2】 (1)已知椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)短轴的两个端点为A，B，点C为椭1

圆上异于A，B的一点，直线AC与直线BC的斜率之积为－4，则椭圆的离心率为( ) 3A.2 1C.2

B.3 3D.4

x2y2

(2)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：a2－b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________.

x2y200解析 (1)设C(x0，y0)，则a2＋b2＝1，

2222a（b－y）0y0?22?故x0＝a?1－b2?＝，

b2??

y0－by0＋b

所以kAC·kBC＝x·x

0

0

2y20－bb21＝x2＝－a2＝－4. 0

故a＝4b，所以e＝22

b21－a2＝13

1－4＝2.(也可使用特殊点法)

bb

(2)由题意，不妨设直线OA的方程为y＝ax，直线OB的方程为y＝－ax.

?y＝bbax，由?得x2＝2p ·x，

a

?x2＝2py，

2pb2pb2

∴x＝a，y＝a2， ?2pb2pb?∴A?a，a2?.

??

2

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p??

设抛物线C2的焦点为F，则F?0，2?，

??2pb2p

a2－2

∴kAF＝2pb. a∵△OAB的垂心为F， ∴AF⊥OB， ∴kAF·kOB＝－1， 2pb2p

a2－2?b??－a?＝－1， ∴2pb·??ab25∴a2＝4. 设C1的离心率为e，

222a＋bc59

则e2＝a2＝a2＝1＋4＝4. 3∴e＝2. 3

答案 (1)A (2)2 探究提高 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、图形的结构特征、点的坐标的范围等.

x2y2【训练2】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )

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1A.3 2C.3

1B.2 3D.4

x2y2

(2)(2016·北京卷)双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.

am?am???0，0，?，OE的中点为D，则D??，解析 (1)设M(－c，m)，则E?

a－c2（a－c）????又B，D，M三点共线，所以

m2（a－c）

＝

1

，a＝3c，e＝3. a＋cm

(2)取B为双曲线右焦点，如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝|OB|＝22， π

又∠AOB＝4，

bπ

∴a＝tan4＝1，即a＝b. 又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.

答案 (1)A (2)2

1.确定圆的方程时，常用到圆的几个性质：

(1)直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长，弦心距，圆半径)； (2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (3)圆心在任一弦的中垂线上；

(4)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；

(5)圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称. 2.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax2＋By2＝1，其中A，B是不等的常数，

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A＞B＞0时，表示焦点在y轴上的椭圆；B＞A＞0时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB＜0时表示双曲线.

3.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础. 4.在椭圆焦点三角形PF1F2中，∠F1PF2＝α， α则S△PF1F2＝c|y0|＝b·tan 2.

2

c

5.求双曲线、椭圆的离心率的方法：方法一：直接求出a，c，计算e＝a；方法c

二：根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求a. 6.通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、2b2

椭圆的通径长为a，过椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通径长是2p，过抛物线焦点的弦中通径最短.椭圆上点到焦点的最长距离为a＋c，最短距离为a－c.

一、选择题

1.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( ) A.53－4 C.53－3

B.52－4 D.52－3

解析 由条件可知，两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C1′C2|＝52.所以(|PM|＋|PN|)min＝52－4. 答案 B

x22

2.已知M(x0，y0)是双曲线C：2－y＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若

→

→

MF1·MF2<0，则y0的取值范围是( ) ?33?A.?－，?

3??3

?33?

B.?－，?

6??6

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?2222?? C.?－3，3???2323?? D.?－3，3??x2

解析 由题意知M在双曲线C：2－y2＝1上，又在x2＋y2＝3内部，由x22

?2－y＝1，

得y＝±3，所以－3

?x＋y＝3，答案 A

x2y2

3.(2017·杭州测试)已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的

ab直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( ) x2y2

A.＋＝1 4536x2y2

C.27＋18＝1

x2y2

B.＋＝1 3627x2y2

D.18＋9＝1

3

3

3

1

解析 因为直线AB过点F(3，0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝2(x－

2

x2y239?a?

3)，代入椭圆方程a2＋b2＝1消去y，得?4＋b2?x2－2a2x＋4a2－a2b2＝0，所以AB

??

32

2a

的中点的横坐标为a2＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，选

??2?4＋b2???D. 答案 D

4.(2016·四川卷)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( ) 3

A.3 2C.2

2B.3 D.1

2

?p??y0?

解析 如图，由题可知F?2，0?，设P点坐标为?2p，y0?，显然，当y0<0时，kOM<0；

????

→

1→

y0>0时，kOM>0，要求kOM最大值，不妨设y0>0.则OM＝OF＋FM＝OF＋3FP＝OF

→

→

→

→

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2→

py0?1→1→2→?y0222

＋3(OP－OF)＝3OP＋3OF＝?6p＋3，3?，kOM＝y2p＝y2p≤＝2，当

??0022

＋＋6p3py02

且仅当y0＝2p2时等号成立.故选C.

y0

3

答案 C

x2y2

5.如图，F1，F2分别是双曲线C：a2－b2＝1(a，b>0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是( )

23A.3 C.2

6B.2 D.3

b

解析 不妨设c＝1，则直线PQ：y＝bx＋b，两渐近线为y＝±ax，

ab?b???a－，，?，Q??，设PQ的中点为N，则点N的坐因此有交点P?a＋1a＋11－a1－a????

2

b??a

，标为?22?， 1－a1－a??

因为线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，|MF2|＝|F1F2|，所以点M的坐标为(3，0)，

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b

1－a

因此有kMN＝a21－a

2

－0

1

＝－b，所以3－4a2＝b2＝1－a2，

2

－3

26

所以a2＝3，所以e＝2. 答案 B

x2y2

6.(2017·衢州质量检测)已知双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F(－c，a2

0)(c>0)，过点F作圆x＋y＝4的一条切线交圆于点E，交双曲线右支于点P，

2

2

→

→

→

若OP＝2OE－OF，则双曲线的离心率为( ) 10A.2 7C.2

→

→

→

→

→

→

→

5B.2 D.2

→

→

解析 由OP＝2OE－OF得OP－OE＝OE－OF，即EP＝FE，所以点E为线段FP的中点.设双曲线的右焦点为F1，连接PF1，则易得OE为△PFF1的中位线，所以|PF1|＝2|OE|＝a，F1P⊥FP，又因为点P在双曲线的右支上，所以|FP|－|F1P|＝2a，所以|FP|＝3a，则在Rt△PFF1中，由勾股定理易得|FP|2＋|F1P|2＝|F1F|2，c10

即(3a)＋a＝(2c)，解得双曲线的离心率e＝a＝2，故选A.

2

2

2

答案 A 二、填空题

7.(2015·浙江卷)已知实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________.

解析 因为实数x，y满足x2＋y2≤1，则2x＋y－4＜0，6－x－3y＞0，所以|2x＋y－4|＋|6－x－3y|＝4－2x－y＋6－x－3y＝－3x－4y＋10.令z＝－3x－4y＋10，则3x＋4y－10＋z＝0.当直线3x＋4y－10＋z＝0与圆x2＋y2＝1相切时，z取最值，

《创新设计》图书

|z－10|

故5＝1，∴z＝5 或z＝15， ∴|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值为15. 答案 15

8.(2017·天津卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________. 解析 由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(－1，a)(a>0)，则A(0，a)，又

→

→

F(1，0)，所以AC＝(－1，0)，AF＝(1，－a).

→

→

由题意知AC与AF的夹角为120°，得cos 120°＝所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝1. 答案 (x＋1)2＋(y－3)2＝1

－11×

1＋a

1

＝－，解得a＝3.

22

9.(2017·浙东北教学联盟一模)已知曲线E：y＝－x2＋16x－15及点A(1，0).若曲线E上存在相异两点B，C，其到直线l：x＋1＝0的距离分别为|AB|和|AC|，则|AB|＋|AC|＝________，曲线E上的点到直线l的最大距离为________. 解析 由题意知点B，C在抛物线y2＝4x上，与y＝

－x2＋16x－15联立消去y

得x2－12x＋15＝0，则xB＋xC＝12，所以|AB|＋|AC|＝xB＋1＋xC＋1＝14.曲线E方程可化为(x－8)2＋y2＝49(y≥0)，故曲线E上点到直线l的最大距离为8＋1＋7＝16. 答案 14 16

10.(2017·绍兴仿真考试)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心C在直线l上，若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，则点M的轨迹方程是________，圆心C的横坐标的取值范围是________. 解析 设点M(x，y)，因为|MA|＝2|MO|，所以

x2＋（y－3）2＝2

x2＋y2，整

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理得x2＋(y＋1)2＝4，所以点M的轨迹是以P(0，－1)为圆心，半径为2的圆.设圆C的圆心C(t，2t－4).由题意可得圆C与圆P至少有一个公共点，所以1≤12??

t2＋[2t－4－（－1）]2≤3，解得t∈?0，5?.所以圆心C的横坐标的取值范

??

12??

围是?0，5?.

??

12??

答案 x＋(y＋1)＝4 ?0，5?

??

2

2

π

11.(2017·杭州外国语学校调研)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，且倾斜角为4的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点(0，2)，则p等于________，|AB|＝________.

p解析 由题意知直线AB的方程为y＝x－2， 垂直线平分线方程为y＝－x＋2，

pp

联立上面两直线方程得y＝1－4，x＝1＋4， pp??1＋，1－即AB的中点坐标为?. 44???

22

?y1??y2?设A?2p，y1?，B?2p，y2?

????

y2－y1y1＋y22p则y2y2＝＝1，∴2＝p，

21y1＋y2－2p2p

p?p416?

∴1－4＝p，∴p＝5.|AB|＝2?1＋4?＋p＝5. ??416

答案 5 5 三、解答题

12.(2015·全国Ⅰ卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点. (1)求k的取值范围；

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→

→

(2)若OM·ON＝12，其中O为坐标原点，求|MN|. 解 (1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1， 因为l与C交于两点，所以4－74＋7解得3

?4－74＋7?

所以k的取值范围为?，3?.

?3?(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).

将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得 (1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.

4（1＋k）7

所以x1＋x2＝，x1x2＝. 21＋k1＋k2→

→

|2k－3＋1|

2<1. 1＋k

OM·ON＝x1x2＋y1y2

4k（1＋k）

＝(1＋k)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.

1＋k22

4k（1＋k）

由题设可得＋8＝12，解得k＝1，

1＋k2所以l的方程为y＝x＋1. 故圆心C在l上，所以|MN|＝2.

x22

13.(2017·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2＋y＝1上，过M作

→

→

x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP＝2NM. (1)求点P的轨迹方程；

→

→

(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP·PQ＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

(1)解 设P(x，y)，M(x0，y0)，

→

→

则N(x0，0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)， 2由NP＝2NM得x0＝x，y0＝2y，

→

→

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x2y2因为M(x0，y0)在C上，所以2＋2＝1， 因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.

→

→

(2)证明 由题意知F(－1，0)，设Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ＝(－3，t)，PF＝

→

→

(－1－m，－n)，OQ·PF＝3＋3m－tn，

→

→

OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)， 由OP·PQ＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1， 又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.

→

→

→

→

→

→

所以OQ·PF＝0，即OQ⊥PF，

又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

14.(2017·温州九校模拟)在平面直角坐标系中，已知点A(－3，0)，B(3，0)，直线MA，MB交于点M，它们的斜率之积为常数m(m≠0)，且△MAB的面积最大值为3，设动点M的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程；

→

→

(2)过曲线E外一点Q作E的两条切线l1，l2，若它们的斜率之积为－1，那么QA·QB是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由. 解 (1)设M(x，y)，则由已知得 yy

·＝m，即y2＝m(x2－3)， x＋3x－3

x2y2

即3－3m＝1(x≠±3).(*)

①当m>0时，方程(*)表示双曲线，此时△MAB面积不存在最大值(不符合)； ②当m＝－1时，方程(*)表示圆，此时△MAB的面积最大值为3(不符合)； ③当m<0且m≠－1时，方程(*)为椭圆，此时△MAB的面积最大值为3，所以1m＝－3. x22

此时所求的方程为3＋y＝1(x≠±3).

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(2)设Q(x0，y0)，过点Q的切线l为y＝k(x－x0)＋y0， y＝k（x－x0）＋y0，??

由?x22消去y得

＋y＝1，??3

(1＋3k2)x2＋6k(y0－kx0)x＋3(y0－kx0)2－3＝0， 则Δ＝36k2(y0－kx0)2－4(1＋3k2)·3[(y－kx0)2－1]＝0，

22

化简得(3－x20)k＋2x0y0k＋1－y0＝0，

1－y20于是k1·k2＝.由已知斜率之积为－1，

3－x201－y2022

则2＝－1，则x0＋y0＝4(x0≠±3)， 3－x0

2所以QA·QB＝(－3－x0，－y0)·(3－x0，－y0)＝x0－3＋y20＝1.

→

→

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