南昌大学2008级高数(下（期中）)试题及答案

南昌大学 2008～2009学年第二学期期中考试试卷

一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)

1. 函数f(x)?ex在区间[a,b]上的平均值为.

.

??????????????2. 已知OA?i?3k,OB?j?3k,则?OAB的面积为

3. 微分方程y'tanx?ylny满足初始条件y是

.

4x?y222x??2?e的特解

4. 函数f(x,y)?ln(1?x?y)?z?x?y2的定义域是.

5. 函数z?xy, 则

?.

二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)

1. 已知函数f(u,v,w)?uw?wu?v, 则

f(x?y,x?y,xy)?( ).

(A) (x?y)xy?(xy)2x. (B) (x?y)xy?(xy)2x. (C) (x?y)2y?(xy)xy (D) (x?y)2x?(xy)2y.

??2. 设a?(?2,3,?),b?(?,?6,2)共线, 则 ( ).

(A) ??4,???1. (B) ???4,???1. (C) ??1,???1. (D) ???2,??4.

??????3. 设a?b?a?b, a?(3,?5,8),b?(?1,1,z),

则z?( ).

(A) ?1. (B) 1. (C) 3. (D) ?3.

1

4. 曲线y?ln(1?x)上 0?x?21 一段的弧长S? ( ). 212 (A) ?21??1??

0?1?x2?dx . ?1 (B) ?201???ln(1?x2?2?dx .

1(C)

?21??2x

01?x2dx 12(D)

?21?x01?x2dx .

5. 设线性无关的函数y1,y2,y3 都是二阶非齐次线性微分

方程：y''?P(x)y'?Q(x)y?f(x) 的解, C1,C2是任意常数,

则该非齐次线性微分方程的通解是 ( ). (A) C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3. (B) C1y1?C2y2?y3.

(C) C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3. (D) C1y1?C2y2?(C1?C2)y3.

三、计算题(共2小题, 每小题8分, 共16分) 1．已知两条直线的方程是：

L?2?11:x?11?y?20?z?3?1,L2:x2?y1?z1,求通过直线L1且平行于L2的平面方程. 2．求点(?1,2,0)在平面x?2y?z?1?0上的投影.

2

四、解下列各题 (共2小题, 每小题8分, 共16分): 1、设可导函数?(x)满足?(x)cosx?2??(t)sintdt?x?1,

x0求?(x)

2、求微分方程 2y''?5y'?5x2?2x?1 的通解. 五、计算下列各题 (共2小题, 每小题8分,共16分): 1、(应用题) 求曲线y?3?x2与直线y?2x

所围成图形的面积. 2、设f(x,y)?x?(y?1)arcsinxy, 求fx(x,1).

六、求下列导数（共2小题. 每小题7分, 共14分）: 1、设z?z(x,y)是由方程 2sin(x?2y?3z)?x?2y?3z 所确定的隐函数, 证明:

?z?z?x??y?1.

2、设z?f(exsiny,x2?y2), 其中f具有二阶连续偏导数

2求

?z?x?y.

七、(8分) 设f(x)为连续函数,

(1) 求初值问题 ??y'?ay?f(x),? 的解y(x)。

??yx?0?0其中a是正的常数;

(2) 若f(x)?k(k为常数),证明当x?0时,

3

有y(x)?ka(1?e?ax).

南昌大学 2008～2009学年第二学期期中考试试卷及答案 三、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 函数f(x)?ex在区间[a,b]上的平均值为

e?eb?aba.

??????????????2. 已知OA?i?3k,OB?j?3k,则?OAB的面积为

1219.

x?3. 微分方程y'tanx?ylny满足初始条件y是y?esinx. 4. 函数f(x,y)?4x?y222?2?e的特解

ln(1?x?y)22的定义域是

2?(x,y)0?x5. 函数z?xy, 则

?y?1,y?4xy?1?y?1.

lnx?z?x?y2?x?yx.

四、 单项选择题 (每小题3分,共15分)

1. 已知函数f(u,v,w)?uw?wu?v, 则

f(x?y,x?y,xy)?( B ).

(A) (x?y)xy?(xy)2x. (B) (x?y)xy?(xy)2x. (C) (x?y)2y?(xy)xy (D) (x?y)2x?(xy)2y.

??2. 设a?(?2,3,?),b?(?,?6,2)共线, 则 ( A ).

(A) ??4,???1. (B) ???4,???1.

4

(C) ??1,???1. (D) ???2,??4.

3. 设??????a?b?a?b, a?(3,?5,8),b?(?1,1,z),

则z?( B ).

(A) ?1. (B) 1. (C) 3. (D) ?3. 4. 曲线y?ln(1?x2)上 0?x?12 一段的弧长S? ( D ).

12 (A) ?21??1??01?xdx .

?2??1 (B) ?201??2?2?ln(1?x?dx .

1(C)

?21??2x01?x2dx

12(D)

?21?xdx .

01?x25. 设线性无关的函数y1,y2,y3 都是二阶非齐次线性微分

方程：y''?P(x)y'?Q(x)y?f(x) 的解, C1,C2是任意常数,

则该非齐次线性微分方程的通解是 ( C ). (A) C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3. (B) C1y1?C2y2?y3.

(C) C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3. (D) C1y1?C2y2?(C1?C2)y3.

三、计算题(共2小题, 每小题8分, 共16分)

5

1．已知两条直线的方程是：

L1:x?11?y?20?z?3?1,L2:x?22?y?11?z1,

求通过直线L1且平行于L2的平面方程.

?解: 所求平面的法向量为: n?(1,0,?1)?(2,1,1)?(1,?3,1).

点(1,2,3)在平面上,

则平面方程为: (x?1)?3(y?2)?(z?3)?0. 即 x?3y?z?2?0. 2．求点(?1,2,0)在平面x?2y?z?1?0上的投影. 解: 过点(?1,2,0)而垂直于已知平面的直线方程是

x?t?1,y?2t?2,z??t.

代入平面方程得 6t?4?0, ?t??从而 x??53,y?23,z?23.

23.

?522?故点(?1,2,0)在平面的投影是??,,?.

?333?四、解下列各题 (共2小题, 每小题8分, 共16分): 1、设可导函数?(x)满足?(x)cosx?2??(t)sintdt?x?1,

0x求?(x)

解: 方程两边对x求导, 得：

?'(x)cosx??(x)sinx?2?(x)sinx?1,

即： ?'(x)?tanx??(x)?secx.

6

??(x)?e??tanxdx???secxe?tanxdxdx?C??

?Ccosx?sinx. 又由方程知 ?(0)?1,?C? 1 故 ?(x)?cosx?sinx.

2、求微分方程 2y''?5y'?5x2?2x?1 的通解. 解: 2r2?5r?0,?r51?0,r2??2.

?Y?C1?C?52x2e. ???0为单根, ?设y*?(Ax2?Bx?C)x.

代入原方程,比较系数得: A?1373,B??5,C?25.故原方程的通解为:

5y?C2x1?C2e??1323x3?5x?725x.

五、计算下列各题 (共2小题, 每小题8分,共16分): 1、(应用题) 求曲线y?3?x2与直线y?2x

所围成图形的面积.

解: 两曲线的交点是A(1,2),B(?3,?6),

故面积 S??1(3?x2?2x)dx ?3 ?323.

2、设f(x,y)?x?(y?1)arcsinxy, 求fx(x,1).

7

解: fx(x,y)?1?(y?1)?1?11?xx?1y,

y2y?fx(x,1)?1?0?1.

六、求下列导数（共2小题. 每小题7分, 共14分）: 1、设z?z(x,y)是由方程 2sin(x?2y?3z)?x?2y?3z 所确定的隐函数, 证明:

?z?x??z?y?1.

证明: 设F(x,y,z)?2sin(x?2y?3z)?x?2y?3z.

?Fx?2cos(x?2y?3z)?1,Fy?4cos(x?2y?3z)?2,

Fz??6cos(x?2y?3z)?3

??z2cos(x?2y?3z)?1?x??FxF?z6cos(x?2y?3z)?3,

?z??Fy?yF?4cos(x?2y?3z)?2z6cos(x?2y?3z)?3.

故：

?z?x??z?y?1. 证毕.

2、设z?f(exsiny,x2?y2), 其中f具有二阶连续偏导数

2求

?z?x?y.

解:

?z'x'?x?f1?esiny?2x?f2

8

?2z'xxx''?x?y?f1?ecosy?esiny?f''11?ecosy?f12?2y?

?2x?f''x''21?ecosy?f22?2y??f'excosy?f''2x1?11?esinycosy

?2f''x''12?e?ysiny?xcosy??4xyf22

七、(8分) 设f(x)为连续函数,

(1) 求初值问题 ??y'?ay?f(x),? 的解y(x)。??yx?0?0其中a是正的常数;

(2) 若f(x)?k(k为常数),证明当x?0时,

有y(x)?kaxa(1?e?).

解: (1). 线性微分方程的通解为

y(x)?e??adx???f(x)e?adxdx?C??

?e?ax???f(x)eaxdx?C???e?ax?F(x)?C?.

其中F(x)是f(x)eax的任一原函数. 由y(0)?0, 得 C??F(0). 故

y(x)?e?ax?F(x)?F(0)??e?ax?xf(t)eatdt.

0

9

(2). 当x?0时,

x)?e?ax??f(t)eatdt

0x?e?ax?f(t)eatdt?ke?axat

0?xedt0?ke?ax?1atx??e0??ke?ax?1ax?a?a?e?1? ?k?axa?1?e?.

10

y(x

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