线代复习重点解析之 - 向量和线性方程组

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线代复习重点解析之——向量和线性方程组

一、考情分析篇

通过对最近几年考研数学真题以及学生考研分数的分析和总结，跨考教育数学教研室李老师发现：首先，线性代数的得分率总体要比高等数学和概率论高5%左右;其次，在对考研学生的调查中，70%以上的学生认为线性代数试题难度低，容易取得高分;再次，线性代数侧重的是方法的考查，考点比较明确，系统性更强。

考研数学线性代数相比较高等数学和概率论而言，呈现明显不同的学科特点——概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容纵横交错以及知识点前后紧密联系。如果说高等数学的知识点算“条”的话，那么概率论就应该算“块”，而线性代数就是“网”!具体来看，线性代数这整张网，又是由行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值与特征向量以及二次型这6张小网相互交叉联结而成。而其中向量和线性方程组这两张网又在其中起着承前启后、上下衔接的关键作用。

由以上的分析，大家不难发现——向量和线性方程组是线性代数的重难点内容，也是考研的重点和难点之一。而这点也可以从历年真题的出题规律上得到验证。

关于第三章向量，无论是大题还是小题都特别容易出考题，06年以来每年都有一道考题，不是考察向量组的线性表示就是向量组的线性相关性的判断，10年还考了一道向量组秩的问题。

关于第四章线性方程组，06年以来只有11年没有出大题，其他几年的考题均是含参方程的求解或者是解的判定问题。 二、重点分析篇

考研数学线性代数暑期强化复习阶段重点应放在充分理解概念，掌握定理的条件、结论、应用，熟悉符号意义，掌握各种运算规律、计算方法上，并及时进行总结，抓联系，使所学知识能融会贯通，举一反三。为了让大家在暑期复习中能将线性代数提高到“心中有剑，手中亦有剑”的层次，跨考数学教研室名师在这里总结了向量和线性方程组的几种核心题型与解决方法，供同学们参照复习。

1、向量——理解相关无关概念，灵活进行判定。

向量组的线性相关问题是向量部分的重中之重，也是考研线性代数每年必出的考点。如何掌握这部分内容呢?首先在于对定义、性质和定理的理解，然后就是分析判定的关键在于：看是否存在一组不全为零的实数。

这部分题型有如下几种：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题(数一)。

人生也许就是要学会愚忠。选我所爱，爱我所选。

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要判断(证明)向量组的线性相关性(无关性)，首先会考虑用定义法来做，其次会用向量组的线性相关性(无关性)的一些重要性质和定理结合反证法来做。同时会考虑用向量组的线性相关性(无关性)与齐次线性方程组有非零解(只有零解)之间的联系和用矩阵的秩与向量组的秩之间的联系来做。

2、线性方程组——解的结构和(不)含参量线性方程组的求解。

要解决线性方程组解的结构和求法的问题，首先应考虑线性方程组的基础解系，然后再利用基础解系的线性无关性、与矩阵的秩之间的联系等一些重要性质来解决线性方程组解的结构和含参量的线性方程组解的讨论问题，同时用线性方程组解结构的几个重要性质求解(不)含参量线性方程组的解。

具体来看，线性方程组的题型主要有如下几种：齐次线性方程组有非零解、非齐次线性方程组解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明以及带参数的线性方程组的解的情况。相应题型的处理方法可参照下图。 3、向量和线性方程组的联系

??当A为方阵时?Ax??有无穷多解Ax??有非零解??????A?0?????n???1,?2,?,?n线性相关 ???当A为方阵时??Ax??有唯一组解Ax??只有零解??????A?0??可由?1,?2,?,?n线性表示?Ax??有解?r(A)?r(A??)??????n???1,?2,?,?n线性无关 ??当A为方阵时???????克莱姆法则 ????r(A)?r(A??) ??不可由?1,?2,?,?n线性表示?Ax??无解??r(A)?r(A??) ??r(A)?1?r(A??)?

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