精选2019届高三理科数学二轮复习讲义：模块二专题六高考解答题专

专题六 概率与统计、算法、复数、推理与证明

高考解答题专讲(六) 概率与统计

一、离散型随机变量的均值与方差

在解决离散型随机变量的均值与方差的问题时，要善于将复杂事件分解为较简单事件，对照相关概率类型，如互斥事件类型、相互独立事件类型、古典概型等，然后用相关公式求解．

[思维流程] (1)

计算3类节目各抽计算事代入古典概型

→―→

取1个的事件个数件总数概率公式求解确定ξ计算ξ各取求ξ的

→→→求数学期望

的取值值的概率分布列

(2)

[解] (1)记“这3类节目各被抽到1个”为事件A，

由分步乘法计数原理可得，3类节目各抽取1个的事件数为C2C3C2＝12，事件总数为C7＝35，则P(A)＝(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3， C44P(ξ＝0)＝3＝，

C735C4C318

P(ξ＝1)＝3＝，

C735C4C312

P(ξ＝2)＝3＝，

C735C31

P(ξ＝3)＝3＝.

C735所以ξ的分布列为

ξ P 0 4 351 18 352 12 353 1 35312213

111

3

12. 35

E(ξ)＝0×

4181219＋1×＋2×＋3×＝. 353535357

求解离散型随机变量的分布列及相关问题的思路

(1)明确随机变量可能取哪些值．

(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值． (3)根据分布列和数学期望、方差公式求解．

[对点训练]

1．某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有1,2,3三个问题，每位参赛者按问题1,2,3的顺序作答，竞赛规则如下：

①每位参赛者计分器的初始分均为10分，答对问题1,2,3分别加1分，2分，3分，答错任一题减2分； ②每回答一题，积分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于12分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，累计分数仍不足12分时，答题结束，淘汰出局．

311

已知甲同学回答1,2,3三个问题正确的概率依次为，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．

423(1)求甲同学能进入下一轮的概率；

(2)用X表示甲同学本轮答题结束时的累计分数，求X的分布列和数学期望．

[解] (1)设事件A表示“甲同学问题1回答正确”，事件B表示“甲同学问题2回答正确”，事件C表示311

“甲同学问题3回答正确”，依题意得P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. 423

记“甲同学能进入下一轮”为事件D，则

－－－

－－

－

P(D)＝P(ABC＋AB＋ABC) ＝P(ABC)＋P(AB)＋P(ABC)

＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)P(C) 3113111113

＝××＋×＋××＝. 4234242324(2)X可能的取值是6,7,8,12,13. 111

P(X＝6)＝P(AB)＝×＝，

4283121

P(X＝7)＝P(ABC)＝××＝，

42341121

P(X＝8)＝P(ABC)＝××＝，

423123111

P(X＝12)＝P(ABC)＝××＝，

4238

－－－－－－－

311115

P(X＝13)＝P(AB＋ABC)＝P(AB)＋P(ABC)＝×＋××＝.

4242312所以X的分布列为

X P 6 1 87 1 48 1 1212 1 813 5 12－－

11115121X的数学期望E(X)＝6×＋7×＋8×＋12×＋13×＝. 841281212二、线性回归分析与独立性检验

1．在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．

2．独立性检验的关键是根据2×2列联表准确计算出K，再做判断．

2

[思维流程]

理解图计算公式中确定回作出→→→

表信息的相关数据归方程预测

[解] (1)记“至少有一个大于600”为事件A， C37

则P(A)＝1－2＝.

C510

555＋559＋551＋563＋552601＋605＋597＋599＋598

(2)由题中表格可知，x＝＝556，y＝＝600.

55^∴b＝

－1×1＋3×5＋－

－30

＝＝0.3， 100^

－^－

^

∴线性回归方程为y＝0.3x＋433.2.

2

2

－－

－＋－

22

＋3＋－＋7＋

2＋－

2

－

－

a＝y－bx＝600－0.3×556＝433.2，

^

当x＝570时，y＝0.3×570＋433.2＝604.2， 故特征量x为570时，特征量y的估计值为604.2.

线性回归分析与独立性检验的计算

^

(1)由回归方程分析得出的数据只是预测值不是精确值，此类问题的易错点是方程中b的计算，代入公式计算要细心．

(2)独立性检验是指利用2×2列联表，通过计算随机变量K来确定在多大程度上两个分类变量有关系的方法．

[对点训练]

2．(2017·内蒙古包头十校联考)2016年1月1日起全国统一实施全面的两孩政策，为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后80后作为调查对象，随机调查了100人并对调查结果进行统计，70后不打算生二胎的占全部调查人数的15%,80后打算生二胎的占全部被调查人数的45%,100人中共有75人打算生二胎．

(1)根据调查数据，判断是否有90%以上把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由；

(2)以这100人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市70后公民中(人数很多)随机抽取3位，记其中打算生二胎的人数为X，求随机变量X的分布列，数学期望E(X)和方差D(X)．

参考公式：

P(K≥k) k (K＝

2

22

0.15 2.072 －20.10 2.706 ＋

0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 ＋＋a＋

，其中n＝a＋b＋c＋d)

[解] (1)由题意得年龄与生二胎的列联表为：

70后 80后 总计 所以K＝

2

生二胎 30 45 75 2不生二胎 15 10 25 总计 45 55 100 －

75×25×45×55

＝

100>2.706， 33

所以有90%以上把握认为“生二胎与年龄有关”．

302?2?(2)由已知得该市70后“生二胎”的概率为＝，且X～B?3，?， 453?3?2?3－kk?2?k?所以P(X＝k)＝C3???1－?(k＝0,1,2,3)．

?3??3?故X的分布列为：

X 0 1 2 3 P 1 272 94 98 272212所以E(X)＝3×＝2，方差D(X)＝3××＝.

3333

热点课题25 概率与统计的交汇问题

[感悟体验]

(2017·福州质检)某学校为鼓励家校互动，与某手机通讯商合作，为教师办理流量套餐．为了解该校教师手机流量使用情况，通过抽样，得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L(单位：M)的数据，其频率分布直方图如下：

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