全国名校高考专题训练11概率与统计(解答题1) - 图文

全国名校高考专题训练11概率与统计(解答题1)

1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考）旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条. （1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率 （2）求恰有2条线路没有被选择的概率. （3）求选择甲线路旅游团数的期望.

3A43解：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P1=3?

84

22C4?C32?A29?（2）恰有两条线路没有被选择的概率为：P2= 3164（3）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3

C?33327P（ξ=0）=3? P（ξ=1）=33644412?27 64

13C3?39C31??P（ξ=2）= P（ξ=3）= 33644644∴ξ的分布列为： ξ 0 27 641 27 642 9 643

1 64

∴期望Eξ=0×

2727913+1×+2×+3×= 646464644P 2、(江苏省启东中学高三综合测试二)一个医生已知某种病患者的痊愈率为25%，为试验一种

新药的效果，把它给10个

病人服用，且规定若10个病人中至少有4个被治好，则认为这种试验有效；反之， 则认为试验无效。若服用新药后，病患者的痊愈率提高，则认为新药有效；反之， 则认为新药无效.试求：

（I）虽新药有效，且把痊愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率. （II）新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.（精确到0.001） 解：（I）0.514 （II）0.224

3、(江苏省启东中学高三综合测试三)甲、乙、丙三人分别独立解一道题，已知甲做对这道题的概率是

311，甲、丙两人都做错的概率是，乙、丙两人都做对的概率是， 4124(1）求乙、丙两人各自做对这道题的概率；

(2)求甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率。

解：（1）乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为

3221、；（2） 83324、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)如图，在某城市中，Ｍ，Ｎ两地之间有整齐的方格形道路网，A1、A2、A3、A4是道路网中位于一条对角线上的４个交汇处，今在道路网Ｍ、Ｎ处的甲、乙两人分别要到Ｍ，Ｎ处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，同时以每１０分钟一格的速度分别向Ｎ，Ｍ处行走，直到到达Ｎ，Ｍ为止。

（１）求甲经过A2的概率；

（２）求甲、乙两人相遇经A2点的概率； （３）求甲、乙两人相遇的概率；

Ｍ Ａ１ Ａ２ Ａ３ Ａ４ Ｎ

1解：（１）甲经过A2到达Ｎ，可分为两步：第一步：甲从Ｍ经过A2的方法数：C3种；

112第二步：甲从A2到Ｎ的方法数：C3种；所以：甲经过A2的方法数为(C3 )；

12(C3)9 所以：甲经过A2的概率P? ?320C61212 （２）由（１）知：甲经过A2的方法数为：(C3)；乙经过A2的方法数也为：(C3)；

14所以甲、乙两人相遇经A2点的方法数为： (C3)＝８１；

14(C3)81 甲、乙两人相遇经A2点的概率P?33?

C6C6400 （３）甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在A1、A2、A3、A4处相遇，他们在

i?14Ai(i?1,2,3,4)相遇的走法有(C3)种方法； 04142434所以：(C3)?(C3)?(C3)?(C3)＝１６４

甲、乙两人相遇的概率P?16441? 4001005、(江西省五校2008届高三开学联考)下表为某班英语及数学成绩的分布．学生共有50人，

成绩分1~5五个档次．例如表中所示英语成绩为4分、数学成绩为2分的学生为5人．将全班学生的姓名卡片混在一起，任取一枚，该卡片同学的英语成绩为x，数学成绩为y。设x,y为随机变量（注：没有相同姓名的学生） （I）x?1的概率为多少？x?3且y?3的概率为多少？

y x 数学 4 3 2 5 1 5 1 3 4 1 0 英3 2 1 语 2 1 b 1 0 0 1 0 1 7 5 1 0 9 3 6 0 a 1 1 3 133时，试确定a，b的值 . 501?3?1184?,P(x?3,y?3)??解：（1）P(x?1)?； 5010502553510a?b?7（2）P(x?2)?1?P(x?1)?P(x?3)?1????

50505050?a?b?3 ①；

5b?415158?a133?3??2??1?? 又5??4?

505050505050?a?4b?9 ②；

结合①②可得a?1，b?2．

（II）a?b等于多少？当y的期望为

6、(安徽省蚌埠二中2008届高三8月月考)某次有奖竞猜活动中，主持人准备了A`、B两个相互独立问题，并且宣布：观众答对问题A可获奖金a元，答对问题B可获奖金2a元，先答哪个问题由观众选择，只有第一个问题答对才能再答第2个问题，否则终止答题。若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A 、B的概率分别为才能使你获得奖金的期望最大？说明理由。 解：设甲先答A、B所得奖金分别为?和?，则

11,。问你觉得应先回答哪个问题231?21P(??0)?1??3p(??0)?1?11111115,p(??a)?(1?)?,p(??3a)???,?E??a 2233236621111115,p(??2a)??(1?)?,p(??3a)????E??a 33263266?E??E??故先答哪一题都一样。

7、(安徽省蚌埠二中2008届高三8月月考)某校一年级新生英语成绩?~N(75,10)，已知95分以上的有21人，如果按成绩高低选前130人进入快班，问快班的分数线应如何确定？

2?(2)?0?9772,?(1.08)?0.86)

答：快班的分数线最低为85。8分。

8、(安徽省蚌埠二中2008届高三8月月考)某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为

3，且每次射击的结果互不影响 5.①求射手在3次击中，至少有2次连续击中目标的概率（用数字作答） ②求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答） ③设随机变量?表示射手第3次击中目标时射击的次数，求?的分布列。 解：①

63162 ② 125625 ③

? 3 4 ? k ? ? P 27 125162 625? 323Ck2?1()2()k?3() 5559、(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．

（1）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

（2）任选3名下岗人员，记?为3人中参加过培训的人数，求?的分布列和期望． 解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P(A)?0.6，P(B)?0.75．

（I）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是

PB)?P(A)?P(B)?0.4?0.25?0.1 1?P(A?所以该人参加过培训的概率是P2?1?P1?1?0.1?0.9． 解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是

PB)?P(A?B)?0.6?0.25?0.4?0.75?0.45 3?P(A?该人参加过两项培训的概率是PB)?0.6?0.75?0.45． 4?P(A?所以该人参加过培训的概率是P5?P3?P4?0.45?0.45?0.9．

（2）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数?服从二项分布

k1，2，3，即?的分布列是 B(3，0.9)，P(??k)?C3?0.9k?0.13?k，k?0，? P 0 0.001 1 0.027 2 0. 243 3 0.729 ?的期望是E??1?0.027?2?0.243?3?0.729?2.7．

（或?的期望是E??3?0.9?2.7）

10、(四川省成都市新都一中高2008级一诊适应性测试)学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞

至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设?为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(??0)?（1）求文娱队的人数；

（2）写出?的概率分布列并计算E?．

解：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有（7-x）人，那么只会一项的人数是（7-2 x）人．

(I)∵P(??0)?P(??1)?1?P(??0)?∴P(??0)?2C73即2?2x? C7?x107． 107， 103． 10∴

(7?2x)(6?2x)3?．

(7?x)(6?x)10∴x=2．

故文娱队共有5人． (II) ?的概率分布列为

? P 0 1 2 3 103 51 101C132?C3， P(??1)??2C55C21， P(??2)?2?2C510∴E??0?3314?1??2? =． 10510511、(四川省成都市一诊)某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定．他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张．投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为

1，他们的投票相互没有影响．规定：若投票结果中3至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目投资． （Ⅰ）求此公司决定对该项目投资的概率；

（Ⅱ）记投票结果中“中立”票的张数为随机变量?，求?的分布列及数学期望E?．

解：(1)此公司决定对该项目投资的概率为

1217

P＝C32(3)2(3)＋C33(3)3＝27 (2)ξ的取值为0、1、2、3 18

P(ξ＝0)＝(1－3)3＝27 124

P(ξ＝1)＝C31(3)(3)2＝9 122

P(ξ＝2)＝C32(3)2(3)＝9 11

P(ξ＝3)＝(3)3＝27 ∴ξ的分布列为 ξ P

……4分

0 827 1 49 2 29 3 127 ……6分

1

∴Eξ＝nP＝3×3＝1

12、(四川省乐山市2008届第一次调研考试)在一个箱子里装有标记分别为1，2，3，4的4个小球，记下数字后再放回，连续摸三次，若三次摸出的小球标记的数字最大为? ①求??3的概率；②求?的概率分布及数学期望。 答：①p(??3)?19；②E??55

641613、(四川省成都市新都一中高2008级12月月考)在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个.现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球.重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球. 求：(1)最多取两次就结束的概率；

(2)整个过程中恰好取到2个白球的概率； (3)取球次数的分布列和数学期望. 解析：(1)设取球次数为ξ，则

111C8C2C21414. P???1??1?,P???2??1?1???C105C10C105525所以最多取两次的概率P?149?? ????????4分 52525(2)由题意知可以如下取球：红白白、白红白、白白红、白白蓝四种情况，所以恰有两次取到白球的概率为

P?533332153???3???? ????????8分 1010101010101000(3)设取球次数为η，则P???1??21824?,P???2???? 105101025P???3??88?28?16，则分布列为 ??????1010?1010?25η P 1 2 3 4 25141661?3??取球次数的数学期望为E??1??2?

52525251 516 2514、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作. 规定：至少正确完成其中2题的便可提高通过. 已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. 求：

(1) 分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力.

解：（1）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为?、?，

则?取值分别为1，2，3；?取值分别为0，1，2，3。?????????????2分

122130C4C21C4C23C4C21，，P(??1)??P(??2)??P(??3)??。 333C65C65C65∴考生甲正确完成题数的概率分布列为

? 1 1 52 3 53 1 5p ???????????4分

131E??1??2??3??2。???????????????????????5分

55503∵P(??0)?C3(1?)?231， 27同理：P(??1)?6128，P(??2)?，P(??3)?。 272727∴考生乙正确完成题数的概率分布列为：

? 0 1 271 6 272 12 273 8 27p ?????????8分

E??0?16128?1??2??3??2。?????????????????9分 272727271312?(2?2)2??(2?3)2??， 55552（2）∵D??(2?1)?D??(2?0)2?161282?(2?1)2??(2?2)2??(2?3)2??。 272727273212??）。∴D??D?。 333（或D??npq?3?∵P(??2)?31128??0.8，P(??2)???0.74， 552727∴P(??2)?P(??2)。

从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从做对题数的方差考察，甲较稳定；从

至少完成2题的概率考察，甲获得通过的可能性大。因此可以判断甲的实验操作能力较强。 说明：只根据数学期望与方差得出结论，也给分。

15、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)某工厂在试验阶段大量生产一种零件。这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响。若有且仅有一项技术指标达标的概率为

511，至少一项技术指标达标的概率为．按质量检验1212规定：两项技术指标都达标的零件为合格品.

（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？

（Ⅱ）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？ （Ⅲ）任意依次抽取该种零件4个，设?表示其中合格品的个数，求E?与D?. 解：（Ⅰ）设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2

5?P?(1?P)?(1?P)?P?1212??12 ????3由题意得：??1?(1?P)?(1?P)??1112??12分

13223解得：P或，∴. P?PP??,P?P?,P?121212243341即，一个零件经过检测为合格品的概率为. ????6

2分

（Ⅱ）任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为

13?1?5?1?1?C???C5? ??????10???2??2?164555分

1111（Ⅲ）依题意知?～B(4,)，E??4??2，D??4???1

222216、(北京市朝阳区2008年高三数学一模)某市举行的一次数学新课程骨干培训，共邀请15名使用不同版本教材的教师，数据如下表所示： 版本 性别 人数

男教师 6 人教A版 女教师 3 男教师 4 人教B版 女教师 2 (Ⅰ)从这15名教师中随机选出2名，则2人恰好是教不同版本的男教师的概率是多少？ (Ⅱ)培训活动随机选出2名代表发言，设发言代表中使用人教B版的女教师人数为?，求随机变量?的分布列和数学期望E?．

2解：(Ⅰ)从15名教师中随机选出2名共C15种选法， ??????????2分

11C6C48所以这2人恰好是教不同版本的男教师的概率是?． ???????5分 2C1535(Ⅱ)由题意得??0,1,2

211C13C2C132626； P(??1)?； P(??0)?2??2C1535C1510520C2C131．????????????????????????9分 P(??2)??2C15105故?的分布列为

? P

所以，数学期望E??0?0 1 2

26 3526 1051 105262614?1??2??． 351051051517、(北京市崇文区2008年高三统一练习一)某工厂为了保障安全生产，每月初组织工人参

加一次技能测试. 甲、乙两名工人通过每次测试的概率分别是

43和. 假设两人参加测54试是否通过相互之间没有影响.

（I）求甲工人连续3个月参加技能测试至少1次未通过的概率；

（II）求甲、乙两人各连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次且乙工人恰好通过

1次的概率；

（III）工厂规定：工人连续2次没通过测试，则被撤销上岗资格. 求乙工人恰好参加4

次测试后被撤销上岗资格的概率.

解：（I）记“甲工人连续3个月参加技能测试，至少有1次未通过”为事件A1，

461P(A1)?1?P(A1)?1?()3?.??????5分

5125 （II）记“连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次”为事件A2，“连续3个月参

加技能测试，乙工人恰好通过1次”为事件B1，则

44483391P(A2)?C32?()2?(1?)?,P(B2)?C3?()?(1?)2?,

55125446448927P(A2B2)?P(A2)P(B2)???.

12564500两人各连续3月参加技能测试，甲工人恰好2次通过且乙工人恰好1次通过的概率为

27.??????????????????????????????10分 500 （III）记“乙恰好测试4次后，被撤销上网资格”为事件A3，

311313P(A3)?()2?()2???()2?.

4444464加，没有平局，在一局比赛中，甲胜乙的概率为率为

18、(北京市东城区2008年高三综合练习一）甲、乙、丙三人进行某项比赛，每局有两人参

34，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概553，比赛的规则是先由甲和乙进行第一局的比赛，然后每局的获胜者与未参加此局5比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中，有人获胜两局就算取得比赛的胜利，比赛结束. （I）求只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率； （II）求只进行两局比赛，比赛就结束的概率； （III）求甲取得比赛胜利的概率. 解：（I）只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率为：

P1?3412??. 5525????4分

（II）只进行两局比赛，比赛就结束的概率为：

P2?342318????. 5555253412??； 5525????8分

（III）甲取得比赛胜利共有三种情形：

若甲胜乙，甲胜丙，则概率为

313327????； 5555625224348. 若甲负乙，则乙负丙，甲胜丙，甲胜乙，概率为????55556251227483???. 所以，甲获胜的概率为

256256255若甲胜乙，甲负丙，则丙负乙，甲胜乙，概率为

19、(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷三次，三次．．．

正面均朝上的概率为

1. 27 （1）求抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率；

（2）抛掷这样的硬币三次后，抛掷一枚质地均匀的硬币一次，记四次抛掷后正面朝上的

总次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ.

（1）解：设抛掷一次这样的硬币，正面朝上的概率为P，依题意有：

3C3?P3?1.271可得P?.

3所以，抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率为

122P?C32?()2??.??????????????????6分

339 （2）解：随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4.

2140P(??0)?C3?()3??;3227211211001 P(??1)?C3?()3??C3??()2??;323322712112191P(??2)?C3??()2??C32?()2???;332332271211173P(??3)?C32?()2???C3?()3??;3323254

1113P(??4)?C3?()3??.3254所以ξ的分布列为 ξ P 0 1 2 3 4

4109 2727274109713Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=.

272727545427 541 5420、(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一)已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取

2个球.

（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；

（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

（Ⅲ）设?为取出的4个球中红球的个数，求?的分布列和数学期望.

解：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为

黑球”为事件B.由于事件A、B相互独立，

22CC12.????????????? 3分 34 且 P(A)?, P(B)???22C42C65 所以取出的4个球均为黑球的概率为

121P(A?B)?P(A)?P(B)???.???????????? 4分

255（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红

球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C、D互斥，且

1112C32C2C3?C4C44, 1P(C)?2?2?P(D)?2?2?.??????? 7分

C4C615C4C65 所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为

P(C?D)?P(C)?P(D)?4?1?7. ???????????? 8分

15515（Ⅲ）设?可能的取值为0,1,2,3.

1 由（Ⅰ）、（Ⅱ）得P(??0)?1, P(??1)?7,P(??3)?C3?1?1.

22515C4C630 所以P(??2)?1?P(??0)?P(??1)?P(??3)?3. ??????? 11分

10 ?的分布列为

? 0 1 2 3

P

1

57 153 101 3031. 7 ∴ ?的数学期望 E??0?1?1?7?2??3??5151030621、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)袋中装有大小相同的2个白球和3个

黑球．

（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；

（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记?为摸出两球中白球的个数，求?的期望和方差.

解：（Ⅰ）记“摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同”为事件A，

2， 53摸出一球得黑球的概率为， 4分

5233212. 5分 ∴ P（A）＝×＋×＝

55552512. 答：两球颜色不同的概率是25摸出一球得白球的概率为

（Ⅱ）由题知?可取0，1，2， 6分

依题意得

32332233211P(??0)???,P(??1)?????,P(??2)???， 9分

54105454554103314?，11分 则E??0??1??2?105105?4?3?4?3?4?19D???0?????1?????2????. 13分

?5?10?5?5?5?1025答：摸出白球个数?的期望和方差分别是

222245，

925.

22、f1(x)?x,f2(x)?x,f3(x)?x,f4(x)?sinx,f5(x)?cosx,f6(x)?lg(x?1). （Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇

函数的概率；

（Ⅱ）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数?的分布列和数学期望．

解：（Ⅰ）计事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，

3C321所以P(A)?2?.??????????????4分

C65111C3C3C313 （Ⅱ）?可取1，2，3，4． P(??1)?1?,P(??2)?1?1?，

C62C6C5101111111C3C3C3C3C2C2C131；????8分 P(??3)?1?1?1?,P(??4)?1?1?1?1?C6C5C420C6C5C4C320故ξ的分布列为 ξ P

1 2 3 4 1 2

3 103 20????10分

1 20E??1?133177?2??3??4??. 答：?的数学期望为. 21020204423、(北京市西城区2008年4月高三抽样测试)盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得?1分 . 现从盒内任取3个球.

（Ⅰ）求取出的3个球颜色互不相同的概率； （Ⅱ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；

（Ⅲ）设?为取出的3个球中白色球的个数，求?的分布列和数学期望.

（Ⅰ）解：

记 “取出1个红色球，1个白色球，1个黑色球”为事件A， 则

11C122C3C4. ………….. P(A)??3C973分

（Ⅱ）解：

记 “取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球， 1个黑色球”为事件C， 则

21C1C252C32C4P(B?C)?P(B)?P(C)?3?3?. ………….. 6

C9C942分

（Ⅲ）解：

?可能的取值为

0，，，. ………….. 7分

2C3C154563C6， P(??0)?3?， P(??1)?3?C921C98421C3C63C313P(??2)?3?， P(??3)?3?. …………..

C914C98411分

?的分布列为:

? P .. 12分

0 1 2 3 5 2145 843 141 84 …………

?的数学期望E??0?54531?1??2??3??1. 2184148424、(北京市西城区2008年5月高三抽样测试)某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进

行，每个阶段选手要回答一个问题。规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭311淘汰。已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是,,，且各阶段通过与否相互

424独立。

（Ⅰ）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；

（Ⅱ）设该选手在竞赛中回答问题的个数为?，求?的数学期望和方差。

25、(北京市宣武区2008年高三综合练习一)某研究机构准备举办一次数学新课程研讨会，

共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示

版本 人教A版 人教B版 苏教版 北师大版 人数 20 15 5 10 (1)从这50名教师中随机选出2名，问这2人使用相同版本教材的概率是多少？ (2)若随机选出的2名教师都使用人教版教材，现设使用人教A版教材的教师人数为?，求随机变量?的分布列和数学期望。

2解：（1）50名教师中随机选出2名的方法数为C50?1225，

选出的2人所使用版本相同的方法数为

2222=190+105+10+45=350， C20?C15?C5?C10?2人所使用版本相同的概率为

3502?………………………………………………..6分 122572C153（2）?P(??0)?2?，

C351711C20?C1560， P(??1)??2119C35

2C1038 P(??2)?2?C35119?随机变量?的分布列是

? P 0 1 2 3 17360388?1??2? ?E???0?17119119760 11938 11926、(北京市宣武区2008年高三综合练习二)已知暗箱中开始有3个红球，2个白裘。现每次从暗箱中取出一个球后，再将此球以及与它同色的5个球（共6个球）一起放回箱中。

(1)求第二次取出红球的概率； (2)求第三次取出白球的概率；

(3)设取出白球得5分，取出红球得8分，求连续取球3次得分的期望值。 解：设第n次取出白球的概率为Pn，Qn

（1）第二次取出红球的概率是 Q2?2333?53???? ????????????????4分 55?555?55（2）三次取的过程共有以下情况：

白白白，白红白，红白白，红红白 所以第三次取出白球的概率是 P3?22?52?5?5232?5322?5???????? 55?55?5?555?55?5?555?55?5?533?522???? ?????????????8分 55?55?5?55（3）连续取球3次，得分的情况共有8种

5+5+5，8+5+5，5+8+5，5+5+8，8+8+5，8+5+8，5+8+8，8+8+8

22?52?5?528??? 55?55?5?5125232?522?53P(??18)??????

55?55?5?555?55?5?5322?521?? ??

55?55?5?512533?52233?5P(??21)??????

55?55?5?555?55?5?5323?524?? ??

55?55?5?5125P(??15)?

33?53?5?552P(??24)????

55?55?5?5125∴E??15?28212452106?18??21??24?? 125125125125527、(四川省成都市高2008届毕业班摸底测试)一纸箱中装有大小相等，但已编有

不同号码的白色和黄色乒乓球，其中白色乒乓球有6个，黄色乒乓球有2个。 （Ⅰ）从中任取2个乒乓球，求恰好取得1个黄色乒乓球的概率；

（Ⅱ）每次不放回地抽取一个乒乓球，求第一次取得白色乒乓球时已取出的黄色乒乓球

个数ξ的分布列及数学期望Eξ。

解：（Ⅰ）记“任取2个乒乓球，恰好取得1个黄色乒乓球”为事件A，则

11C2C63P(A)?? ??????6分 27C8（Ⅱ）ξ的可能取值为0、1、2，则

1C63P（ξ=0）=1?

C8411C2C3P（ξ=1）=16 ?1C8C714111C2CC61P（ξ=2）=11?. 11C8C7C628∴第一次取得白色乒乓球时，已取出的黄色乒乓球个数ξ的分布列为

ξ 0 1 2 33 P 4143312?2?? ξ的数学期望E??0??1?4142871 28??6分

28、(东北区三省四市2008年第一次联合考试)甲、乙两人进行某项对抗性游戏，采用“七局四胜”制，即先赢四局者为胜，若甲、乙两人水平相当，且已知甲先赢了前两局，求：

（1）乙取胜的概率； （2）比赛进行完七局的概率。

（3）记比赛局数为?，求?的颁列为数学期望E?. 解（1）乙取胜有两种情况

1?1?一是乙连胜四局，其概率P ????116?2?二是第三局到第六局中乙胜三局，第七局乙胜，

4?1?其概率P2?C???2?343?1?11?1????， ?2?28所以乙胜概率为P1?P2?3 16（2）比赛进行完7局有两种情况。

一是甲胜，第3局到第6局中甲胜一局，第7局甲胜

1?1?11其概率P3?C???1????

2?2?28143二是乙胜，同（1）中第二种情况，P4?P2?所以比赛进行完7局的概率为P3?P4?1 81 4（3）根据题意，?的可能取值为4,5，6,7

111?1?1?1?P???4?????,P???5??C2?????,4?2??2?24111?1?1?1?P???6?????C3?????,P???7??,4?2??2?24所以?的分布列为

4322

? P 4 5 6 7 111 4441111?E??4??5??6??7??5.5

444429、(东北三校2008年高三第一次联考)一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，

6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号。若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得?1分。 （1）求拿4次至少得2分的概率；

（2）求拿4次所得分数?的分布列和数学期望。

解：（1）设拿出球的号码是3的倍数的为事件A，则P(A)?少得2分包括2分和4分两种情况。

1 412，P(A)?，拿4次至33814113132P?C()()?P?()??P?P?P?，， （6分） 1421233813819（2）?的可能取值为?4,?2,0,2,4，则

216321123P(???4)?()4?；P(???2)?C4()()?；

3813381248121222P(??0)?C4()()?；P(??2)?；P(??4)?；

33818181?分布列为 -4 -2 0 2 4 P 163224 818181163224813E???4??(?2)??0??2??4???

81818181814? 8 811 8130、(东北师大附中高2008届第四次摸底考试)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲

比赛，设随机变量?表示所选3人中女生的人数． （1）求所选3人都是男生的概率； （2）求ξ的分布列及数学期望；

3C41解：（1）所选3人都是男生的概率为 3?

C65（2）可能取的值为0，1，2，

k3?kC2?C4 P(??k)?,k?0,1,2， 3C6所以，ξ的分布列为

ξ P 0 1 2 131ξ的数学期望为E??0??1??2??1

55515 35 15 31、(福建省莆田一中2007～2008学年上学期期末考试卷)在医学生物学试验中，经常以果

蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数. ．．．．．．．（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）； （Ⅱ）求数学期望Eξ； （Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）. 解：（Ⅰ）?的分布列为：

? P

0 1 2 3 4 5 6 7654321 282828282828282(1?6?2?5?3?4)?2． 285?4?3?2?115?（Ⅲ）所求的概率为P(?≥E?)?P(?≥2)?．

2828（Ⅱ）数学期望为E??32、(福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测)在一次有奖竞猜活动中，有A、B两个

相互独立的问题，现规定：答对问题A可获奖金1000元，答对问题B可获奖金2000元，先答哪个题可自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二个问题，否则终止答题。若

你参加答题，且假设答对问题A、B的概率分别为

11、 24（1）记先回答问题A获得的奖金数为随机变量?，则?的可能取值分别是多少？ （2）先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金？请说明理由。

33、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)某汽车驾驶学校在学员结业前，对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核。若学员小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，他参加第一次考核合格的概率不超过为9。 32181，且他直到参加第二次考核才合格的概率2 ⑴求小李第一次参加考核就合格的概率p1；

⑵求小李参加考核的次数?的分布列和数学期望。

915，解得p1?或p1?. 3248111

∵p1? ，∴p1?，即小李第一次参加考核就合格的概率为???（5分）

2441315⑵由⑴的结论知，小李四次考核每次合格的概率依次为,,,，

4828解：⑴根据题意，得 (1?p1)(p1?)?913115，P(??3)?(1?)?(1?)?? ??????（8分） 324826413115P(??4)?(1?)?(1?)?(1?)1?? ?????????????（10分）

48264191515157∴小李参加测试的次数?的数学期望为E??1??2??3??4??

43264646418∴P(??1)?，P(??2)?1434、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)一个袋子内装有若干个黑球，3个白球，2个红球（所有的球除颜色外其它均相同），从中任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取一个白球得1分，每取一个红球得2分，已知得0分的概率为球的总得分.

（Ⅰ）求袋子内黑球的个数；

1，用随机变量?表示取2个6

（Ⅱ）求?的分布列； （Ⅲ）求?的数学期望.

2Cn1解：（Ⅰ）设袋中黑球的个数为n，则p(??0)?2?????????（2分）

Cn?56化简得：n2?3n?4?0，解得n?4或n??1（舍去），即有4个黑球???（4分）

1111C4?C3C32?C2?C41111（Ⅱ）p(??0)?, p(??1)? ?,p(??2)??226C93C936112C3?C2C211?????????????（8分） p(??3)??, p(??4)??C926C9236

∴?的分布列为

? 0 1 2 3 4 11111 P 6336636 （直接写不扣分） （Ⅲ）E??0?11111114?1??2??3??4?? 6336636935、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是

23和，假设两人每次射击是否击中目标相互之间没有影响 34（Ⅰ）求甲射击5次，有两次未击中目标的概率；

（Ⅱ）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次，且乙恰好击中目标3次的概率 232解：（I）设“甲射击5次，有两次未击中目标”为事件A，则P(A)?C5()?()?231380 243答：甲射击5次，有两次未击中目标的概率为80 243…………5分

（Ⅱ）设“两人各射击4次，甲恰好击中目标2次，且乙恰好击中目标3次”为事件B，

223()2·C4()3·?则P(B)?C4()·231334141 8 答：两人各射击4次，甲恰好击中目标2次，且乙恰好击中目标3次的概率为1 836、(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)将A、B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：

（I）共有多少种不同的结果？

（II）两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？ (III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率为多少？

解: （I） 共有6?6?36种结果 ??????4分

（II）若用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数，则点数之和是3的倍数的结果有:

（1,2），（2,1），（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），（3,3），（4,5），（5,4）， （3,6），（6,3），（6,6）共12种 ??????8分

（III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率是：P＝

121? 36337、(广东省汕头市潮阳一中2008年高三模拟)一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分。

（Ⅰ）若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率；

频率 （Ⅱ）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续

组距摸3次，求得分?的概率分布列及数学期望。

解：（Ⅰ）设“一次取出3个球得4分”的事件记为A，它表示

取出的球中有1个红球和2个黑球的情况

12C2C33则P(A)??????????4分 35C50.0250.0150.010.005405060708090100分数（Ⅱ）由题意，?的可能取值为3、4、5、6。因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为分

23,取到黑球的概率为.????????65527333P(??3)?C3()?

51253254P(??4)?C32()2??

5512523613P(??5)?C3()?()2? 551258023P(??6)?C3()?

5125??的分布列为

? P 3 4 5 6 27 12554 12536 1258 125????????10分

数学期望：E?=3×

275436821+4×+5×+6×=????12分 125125125125538、(广东省韶关市2008届高三第一次调研考试)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段?40,50?，?50,60?…?90,100?后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

（Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (Ⅱ)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和 平均分；

(Ⅲ) 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人， 求他们在同一分数段的概率.

（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：

f4?1?(0.025?0.015?2?0.01?0.005)?10?0.03……2分

直方图如右所示……………………………….4分

（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组， 频率和为 (0.015?0.03?0.025?0.005)?10?0.75

所以，抽样学生成绩的合格率是75%......................................6分 利用组中值估算抽样学生的平均分

45?f1?55?f2?65?f3?75?f4?85?f5?95?f6………………….8分

＝45?0.1?55?0.15?65?0.15?75?0.3?85?0.25?95?0.05 ＝71

估计这次考试的平均分是71分………………………………………….9分

（Ⅲ）[70,80)，[80,90) ，[90,100]”的人数是18,15,3。所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率。

22C18?C15?C3287 P? ……………………………………………………12分 ?2210C3639、(广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在

下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是

1． 2（Ⅰ）求小球落入A袋中的概率P(A)；

（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记?为落入A袋中的小球个数，试求??3的

概率和?的数学期望E?．

解：（Ⅰ）记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A的对立事件为B，而小球落入B袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故

?1??1?1P(B)???????，

?2??2?4从而P(A)?1?P(B)?1?3313?； 44?3?（Ⅱ）显然，随机变量??B?4,?，故

?4??3?127， P(??3)?C?????4464??3433E??4??3．

440、(广东省深圳外国语学校2008届第三次质检)在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射击命中率都是

2.，每次命中与否互相独立. 3 (Ⅰ) 求油罐被引爆的概率.

(Ⅱ) 如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望；

解：（I）“油罐被引爆”的事件为事件A，其对立事件为A，则P(A4分

?1?2??1?4?1?5?232∴P(A)=1-?C5??????????

333243???????????)=C15?2??1??1???????????3???3??3?45答：油罐被引爆的概率为

232????6243分

（II）射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5， ????7分

42128?2?...? P(ξ=2)=???， P(ξ=3)=C1 ， 2933327?3?2=4)=C13.1?1?24?2??1??1?.???， P(ξ=5)=C1 ????10分 4.????????3?3?3273339??????2342P(ξ

故ξ的分布列为：

48Eξ=2×+3×+4×

9271794+5×=

92727ξ 2 4 93 8 274 4 275 1 9P ????12分

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