2017年江苏省南通市、扬州市、泰州市高三三模数学试卷

2017年江苏省南通市、扬州市、泰州市高三三模数学试卷

一、填空题（共14小题；共70分）

1. 设复数 （ ， 为虚数单位），若 ，则 的值是 ． 2. 已知集合 ， ，则 ．

3. 某人随机播放甲、乙、丙、丁 首歌曲中的 首，则甲、乙 首歌曲至少有 首被播放的概率是 ．

4. 如图是一个算法流程图，则输出的 的值是 ．

5. 为调査某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为 的

样本，其中大一年级抽取 人，大二年级抽取 人．若其他年级共有学生 人，则该校

学生总人数是 ．

6. 设等差数列 的前 项和为 ，若公差 ， ，则 的值是 ． 7. 在锐角 中， ， ，若 的面积为 ，则 的长是 ． 8. 在平面直角坐标系 中，若双曲线

线的离心率是 ．

9. 圆锥的侧面展开图是半径为 ，圆心角为 的扇形，则这个圆锥的高是 ． 10. 若直线 为曲线 的一条切线，则实数 的值是 ． 11. 若正实数 ， 满足 ，则 的最小值是 ．

12. 如图，在直角梯形 中， ， ， ， ，若 ， 分别是

的取值范围是 ． 线段 和 上的动点，则

经过抛物线 的焦点，则该双曲

13. 在平面直角坐标系 中，已知点 ，点 ， 为圆 上一动点，则

的最大值是 ．

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14. 已知函数 ，若函数 恰有 个不同的零点，则实数

的取值范围是 ．

二、解答题（共12小题；共156分）

15. 已知函数 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，且经过

点

．

（1）求函数 的解析式；

（2）若角 满足 ， ，求 值的．

16. 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，平面 平面 ， ， ，

分别为棱 ， 的中点．求证：

（1） 平面 ；

（2） 平面 ．

17. 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的左焦点为 ，且经过点

．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知椭圆的弦 过点 ，且与 轴不垂直．若 为 轴上的一点， ，求 的

值．

18. 如图，半圆 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径 的长为 百米．为了保

护景点，基地管理部门从道路 上选取一点 ，修建参观线路 ，且 ， ， 均与半圆相切，四边形 是等腰梯形，设 百米，记修建每 百米参观线路的费用为

万元，经测算 ．

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（1）用 表示线段 的长；

（2）求修建参观线路的最低费用．

19. 已知 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列， ，正整数组

．

（1）若 ，求 的值；

（2）若数组 中的三个数构成公差大于 的等差数列，且 ，求

的最大值； （3）若

， ，试写出满足条件的一个数组 和对

应的通项公式 ．（注：本小问不必写出解答过程）

20. 已知函数 ，记 的导函数为 ．

（1）证明：当 时， 在 上单调递增； （2）若 在 处取得极小值，求 的取值范围；

（3）设函数 的定义域为 ，区间 ．若 在 上是单调函数，则称

在 上广义单调．试证明函数 在 上广义单调．

的中点，过点 任作两条弦 ， 分别交 21. 如图，已知 为圆 的一条弦，点 为弧

于点 ， ．求证： ．

22. 已知矩阵 ，点 在 对应的变换作用下得到点 ，求矩阵 的特征值．

23. 在极坐标系中，圆 的圆心在极轴上，且过极点和点 ，求圆 的极坐标方程．

24. 知 ， ， ， 是正实数，且 ，求证： ．

25. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是直角梯形，

， ， ．

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（1）求二面角 的余弦值；

（2）设 是棱 上一点， 是 的中点，若 与平面 所成角的正弦值为

，求线

段 的长．

26. 已知函数 ，设 为 的导数， ．

（1）求 ， ．

（2）猜想 的表达式，并证明你的结论．

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答案

第一部分 1.

2. 3. 4.

【解析】当 时， ，不满足条件， ，继续执行循环体； 当 时， ，不满足条件， ，继续执行循环体； 当 时， ，不满足条件， ，继续执行循环体； 当 时， ，不满足条件， ，继续执行循环体； 当 时， ，此时满足条件，跳出循环体，输出的 的值为 ． 5. 人 6. 7. 8. 9. 【解析】设此圆锥的底面半径为 ，

根据圆锥的侧面展开图由扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，

，

；

圆锥的高为： ． 10. 11.

【解析】根据题意， ， 满足 ， 则

即 的最小值是 ． 12.

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13.

【解析】设 ， ，则 ，圆 两边乘以 ，两圆方程相减可得 ， 到直线的距离

，

因为 ， 所以 ， 所以 的最大值是 ． 14.

第二部分

15. （1） 由已知可得，周期 ，即 ，所以 ，即 ． 因为 的图象经过点 所以

，

，

所以 ，所以 ．

（2） 由 ，得 ，

即 ，可得： ，即 ，

因为 ，解得： 或

．

16. （1） 因为 ， 分别为 ， 的中点， 所以 ，

又因为底面 是矩形， 所以 ． 所以 ，

又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ．

（2） 因为 ， 为 的中点， 所以 ．

因为 平面 平面 ，

又 平面 平面 ， ， 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面 ， 所以 ．

因为 平面 ， 平面 ， ， 所以 平面 ． 17. （1） 由题意， ，

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所以椭圆的右焦点为 ，又椭圆经过 ，

由 ，即 ，得 ， ， 所以椭圆的标准方程为

．

（2） 设直线 的方程为 ． ①若 时， ， ， 所以 ．

②若 时， ， ， 的中点为 ，

整理得： ， 所以

，则

，则

．

则 的垂直平分线方程为 ， 由 ，则点 为 的垂直平分线与 轴的交点， 所以

，

所以 ，

由椭圆的左准线的方程为 ，离心率为 ，且 同理 ，

所以

，得 ，

，

所以 ，

则综上，得 的值为 ．

18. （1） 设 与半圆相切于点 ，则由四边形 是等腰梯形知， ， 以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 建立平面直角坐标系 ．

设 与圆切于 点，连接 ，过点 作 ，垂足为 ．

因为 ， ， ， 所以 ， 所以 ．

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所以 ， 解得 ． 答： （百米）． （2） 设修建该参观线路的费用为 万元．

当 ，由 ． ，可得 在 上单调递减，

所以 时， 取得最小值为 ．

当 时，

．

．

因为 ， 所以 ．

所以 时， ，函数 此时单调递减； 时， ，函数 此时单调递增． 所以 时，函数 取得最小值 ．

由 知， 时，函数 取得最小值为 ． 答：修建该参观线路的最低费用为 万元． 19. （1） 因为 ，

所以 ，化为： ， ． 解得 ．

（2） ，即 ， 所以 ， 同理可得： ． 因为 ， ， 成等差数列，

所以 ，记 ，则 ，

因为 ， ，解得 ．即 ， 所以 ，

记 ， 为奇数，由公差大于 ， 所以 ．

所以 ，即 ，当 时， 取得最大值为 ． （3） 满足题意的数组为 ，此时通项公式为： ．

例如 ，

，

．

20. （1） 时， ，

故 ，即 ， ，

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故 在 上单调递增．

（2） 因为 ， 所以 ，

① 时， ，函数 在 递增， 若 ，则 ， 若 ，则 ，

故函数 在 递增，在 递减， 故 在 处取极小值，符合题意；

② 时， ， 在 递减， 若 ，则 ， 若 ，则 ，

故 在 递减，在 递增， 故 在 处取极大值，不合题意；

③ 时，存在 ，使得 ，即 ，

但当 时， ，即 ， 在 递减， 故 ，即 在 递减，不合题意， 综上， 的范围是 ．

（3） 记 ， ① 时， ，则 ，即 ， 当

时，

故存在

，使函数 在 递增；

② 时， 时， ， 故存在 ，函数 在 递减； 综上，函数 在 上广义单调． 21. 连接 ， ， ， ，

因为 ，

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