2015年普陀区高三第二次模拟数学试卷2015.04

2015学年普陀区第二次高三数学质量检测数学试 2015. 04

时间：120分钟；满分：150分 一、填空题（每小题4分，共56分）

x

1．已知集合A 1,0,a ,B x 2 2，若AIB ，则实数a的取值范围是

用n的表达式对Tn赋值，则空白处理框中应填入：Tn←____________． 12．不等式x

1

a 2 siny对一切非零实数x,y均成立，则实数a的范围为x

13．平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点.定义P(x1,y1)、Q(x2,y2)两点之间的“直角距离”为d(P,Q)=x1-x2+y1-y2，已知点B(1,0)，点M是直线kx-y+k+3=0(k 1)上的动点，d(B,M)的最小值为 ．

14．当n为正整数时，用N(n)表示n的最大奇因数，如N(3) 3,N(10) 5,设Sn N(1) N(2) N(3) N(4) 和的表达式为 ．

二、选择题（每小题5分，共20分）

15．已知l，m是两条不同的直线， 是一个平面，以下命题正确的是（ ） （A

） 若l , l m, 则m

，

2．函数y cos(x

) sin (x )的最小正周期为 ．

3．在等差数列{an}中，已知a1 2,a2 a3 13,则a4 a5 a6

4．若tan 2， 是直线y kx b的倾斜角，则 ．（用 的反正切表示） 5．设(1 2i) 3 4i（i为虚数单位），则|z| ．

6．直角坐标系xoy内有点A（2，1），B（0，2），将线段AB绕直线y 1旋转一周，所得到几何体的体积为 ．

N(2n 1) N(2n)，则数列 Sn Sn 1 (n 2)的前n项

x y1

7.已知平面向量a (x1,y1),b (x2,y2)，若a 2,b 3,a b 6，则1

x2 y2ax

8．设a 0,a 1，行列式D 2

2

13

01中第3行第2列的代数余子式记作y，函数y f x 4 3

； （B）若l// , m , 则 l//m；

（C）若l , m// , 则 l m； （D） 若l , l m, 则 m// ； 16．以下是科学家与之相研究的领域不匹配的是（ ） （A）笛卡儿—解析几何； （B）帕斯卡—概率论；（C）康托尔—集合论；（D）祖暅之—复数论； 17．已知各项均不为零的数列{an},定义向量cn (an,an 1)，bn (n,n 1)，n N*. 下列命题中真命题是（ ）

(A) 若n N*总有cn//bn成立，则数列{an}是等差数列(B) 若n N*总有cn//bn成立，则数列{an}是等比数列

(C) 若n N*总有cn bn成立，则数列{an}是等差数列(D) 若n N*总有cn bn成立，则数列

的反函数经过点 2,1 ，则a= ．

9．某学生参加3门课程的考试。假设该学生第一门、第二门及第三门课程取得合格水平的概率依次为

432

，,，且不同课程是否取得合格水平相互独立。 555

（第11题图）

则该生只取得一门课程合格的概率为 ．

x2y2

10．已知P是椭圆2 2 1(a b 0)上的一点，

ab

{an}是等比数列

11

的最小值为． F1,F2为椭圆的左、右焦点，则

PF1PF2

11．已知{an}是等差数列，设Tn a1 a2 an(n N)． 某学生设计了一个求Tn的算法框图（如图），图中空白处理框中是

18．方程sinx xcosx 0的正根从小到大地依次排列为a1,a2,（ ） （A）0 an 1 an

,an,

，则正确的结论为

2

（B）2an 1 an 2 an 1

（C）2an 1 an 2 an 1 （D）2an 1 an 2 an 1

三、解答题（12+14+14+16+18，共74 分）

19．已知向量 1 coswx,1 , 1,a sinwx

（w为常数且w 0），函数f x 在R

上的最大值为2．（1）求实数a的值；（2）把函数y f x 的图象向右平移 6w

个单位，可得函数

y g x 的图象，若y g x 在

0,4

上为增函数，求w的最大值．

20．已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1 AB AC 1

,AB AC,M是CC1的中点，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足A1P A1B1（1）证明：

PN AM；（2）当 取何值时，直线PN与平面ABC所成的角 最大？并求该角的最大值的正切值。 B1

B

21．近年来玉制小挂件备受人们的青睐，某玉制品厂去年的年产量为10万件，每件小挂件的销售

价格平均为100元，生产成本为80元。从今年起工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本，预计产量每年递增1万件。设第n

年每件小挂件的生产成本

g(n)

n年的年利润为万元（今年为第1年） （1）求利润的表达式f(n);（2）问从今年算起第几年的利润最高？最高利润为多少万元？

22．存在对称中心的曲线叫做有心曲线．显然圆、椭圆和双曲线都是有心曲线．若有心曲线上两点的连线段过中心，则该线段叫做有心曲线的直径．

（1）已知点P 1

x2 1,2 ，求使

PAB时，椭圆3 y2 1的直径AB所在的直线方程；（2）若过椭圆x2

3

y2 1的中心作斜率为k的直线交椭圆于M,N两点，且椭圆的左、右焦点分别为F1,F2，若以M为圆心，MF2长度为半径作⊙M，问是否存在定圆⊙R，使得⊙M恒与⊙R相切？若存在，求出⊙R的方程。若不存在，请说明理由。

（3）定理：若过圆x2 y2 1的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值 1．请对上述定理进行推广．说明：第（3）

题将根据结论的一般性程度给与不同的评分．

23．已知数列 an 中，a1

0，an 1 n N*)（1）试求a1的值，使数列 an 是一个常数列；

（2）试求a1的取值范围，使得数列 an 是单调增数列；（3）若 an 不为常数列，设

b*n an 1 an(n N)，Sn为数列 b1

n 的前n项和，请你写出a1的一个值， 使得Sn

2

恒成立，并说明理由。

2015学年普陀区第二次高三数学质量检测数学试 2015. 04参考答案

1、(0,1)、 3、42 4、 arctan2 5 6、2 3 7、 2

3

8、a 4 9、37125 10、223a 11、n 9n 40 12、 1,3 13、2 k

(k 1)

1

14、

4

n 4

3

15、C 16、D 17、A 18、B 三、解答题（12+14+14+16+18，共74 分）

19．已知向量 1 coswx,1 , 1,a sinwx

（w为常数且w 0），函数f x 在R上的最大值为2．（1）求实数a的值； （2）把函数y f x 的图象向右平移

6w

个单位，可得函数y g x 的图象，若y g x 在 0,

4 上为增函数，求w的最大值．解：（1） f(x) 1 cos x a x 2sin( x

6) a 1

因为函数f(x)在R上的最大值为2，所以3 a 2故a 1

（2）由（1）知：f x 2sin wx

6 ，把函数f x 2sin

wx 6

的图象向右平移6w个单位，可得函数y g(x) 2si nx又y g(x)在 0, 4

上为增函数， g(x)的周期T 2 w

即0 w 2所以w的最大值为2

20．已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1 AB AC 1

,AB AC,M是CC1的中点，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足A1P A1B1（1）证明：

PN AM；（2）当 取何值时，直线PN与平面ABC所成的角 最大？并求该角的最大值的正切值。

解：(1)以AB,AC,AA1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系A xyz则

B1

PN (12 ,12, 1),AM

0,1,1 2 .PN AM (1112 ) 0 2 1 1 2 0, PN AM.

（2）显然平面ABC的一个法向量为n (0,0,1)

则sin cos PN,n

PN nPNn

（*）

于是问题转化为二次函数求最值，而 0,

2

，当 最大时，sin 最大，即tan 最大(

12

除外)，由（*）式：

2时，(sin )max )max 2 21．近年来玉制小挂件备受人们的青睐，某玉制品厂去年的年产量为10万件，每件小挂件的销售

价格平均为100元，生产成本为80元。从今年起工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本，预计产量每年递增1万件。设第n年每件小挂件的生产成本

g(n)

n年的年利润为万元（今年为第1年）（1）求利润的表达式f(n);（2）问从今年算起第几年的利润最高？最高利润为多少万元？

解：（1）f(n) (10 n) 100 (10 n) 100n 1000 （2）f(n) 1000y 1000 ，当n 8时， f(n)最大，最高利润为520万元。

22．存在对称中心的曲线叫做有心曲线．显然圆、椭圆和双曲线都是有心曲线．若有心曲线上两点的连线段过中心，则该线段叫做有心曲线的直径．（1）已知点P 1,1

，求使 PAB 2

时，椭圆x23 y2

1的直径AB所在的直线方程；（2）若过椭圆x23

y2 1的中心作斜率为k的直线

交椭圆于M,N两点，且椭圆的左、右焦点分别为F1,F2，若以M为圆心，MF2长度为半径作⊙

M，问是否存在定圆⊙R，使得⊙M恒与⊙R相切？若存在，求出⊙R的方程。若不存在，请

说明理由。（3）定理：若过圆x2

y2

1的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值 1．请对上述定理进行推广．说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给与不同的评分．

解：（1）设直线AB的方程为y kx，代入椭圆方程得x2

1，

则k2

13

d AB 得k 2

解S

3故直线AB的方程为y

2

3

x （2）存在⊙R

：(x2 y2 12与⊙M恒相切，圆心N为椭圆的左焦点F

1.由椭圆的定义知，MF1 MF2

2a MF1 MF2. 两圆相内切。

（3）根据结论的一般性程度给与不同的评分．（问题1-4层）过圆x2

y2

r

2

r 0 的一条直径

的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值 1． ②若过圆 x a 2

y b 2

r

2

r 0 的一条直径的两个端点与圆上任意一点

（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值 1．③过椭圆

x22

a2 y

b2

1 a 0,b 0 的一条直径的两个端点与椭圆任意一点（不同于直径两端点）的连线所那么此两斜率之积为定值 b2在直线的斜率均存在，22

a

2．④过有心圆锥曲线mx ny 1(mn 0)的

一条直径的两个端点与曲线上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值

m

n

．证明：设曲线上任一直径AB,P为异于A,B的曲线上任一点。 设A xy y1y y1

1,y1 ,B x1, y1 ,P x,y ,kAP

x x,kBP

，因为A,P在曲线上，所以1x x1

2k y2

1mAP kyBP

x2 x2

1

n

23．已知数列 an 中，a1

0，an 1

n N*)（1）试求a1的值，使数列 an 是一个常数列；

（2）试求a1的取值范围，使得数列 an 是单调增数列；（3）若 an 不为常数列，设

b1

n an 1 an(n N*)，Sn为数列 bn 的前n项和，请你写出a1的一个值， 使得Sn

2

恒成立，并说明理由。 解：（1

）由an an 1

aa33

n 0,得n 2. a1 2时， an 为常数数列。

(2) an 1

an

2 0,

an 1 an与an an 1同号。要使an 1 an对任意正整

数n都成立，只须a2 a1 0,即

a331,解得0 a1 2. 当0 a1 2时，an 1 an对任何正整数n成立。

Sn b1 b2

bn

（3）选择a a2 a1 a3 a2 an

1 2时，由（2）的结论知a an 1n 1 an 0.

a2 a1 a3 a2

an 1 an

a1 a

n 1 2 an 1.

又an 2 a331

n 1,解得an 1 2.故Sn 2 an 1 2 2 2

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