2015东师概率论与数理统计期末作业答案

期末作业考核

《概率论与数理统计》

满分100分

一、 判断正误，在括号内打√或×（每题2分，共20分）

1（ × ）1．X1,X2,?,Xn是取自总体N(?,?)的样本，则X?n2n?Xi?1i服从N(0,1)分布；

（ × ）2．设随机向量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，其边缘分布函数FX(x)是F(x,0)； （ × ）3．设???x|??＜x＜???，A??x|0?x＜2?，B??x|1?x＜3?，则AB表示?x|0＜x＜1?； （ × ）4．若事件A与B互斥，则A与B一定相互独立； （ × ）5．对于任意两个事件A、B，必有A?B?A?B； （ √ ）6．设甲、乙、丙人进行象棋比赛，考虑事件A={甲胜乙负}，则A为{甲负或平局}； （ × ）7．设A、B、C表示3个事件，则ABC表示“A、B、C中恰有一个发生”； （ × ）8．设A、B为两个事件，则AB?AB?A?B； （ √ ）9．已知随机变量X与Y相互独立，D(X)?16,D(Y)?4，则D(X?Y)?20；

111X1?X2?X3是?的无偏444??（ × ）10．设X~N(?,1)，X1,X2,X3来自于总体的样本，?估计量。

二、填空题（每题3分，共30分）

1. 设A、B、C是3个随机事件，则 “3个事件中恰有一个事件发生”用A、B、C表示为

ABC?ABC?ABC；

2．若事件A、B满足AB?Φ（空集），则称A与B 互不相容 ；

3．设A、B互不相容，P(A)?p，P(B)?q，则P(AB)= p+q-1 ；

4．甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机射击，设甲击中的概率为0.3，乙击中的概率为0.4，则飞机被

击中的概率为 0.58 ；

5．设随机变量X的数学期望是E(X)，那么其方差D(X)是 (X?E(X)) 的数学期望；

26．设随机变量X服从普阿松分布，且P(X?3)?7．若随机变量X与Y相互独立，E(X)?a,4?2e ，则E(X)? 2a ； 3E(Y)?2，则E(XY)? ? ；

??????8．设?1与?2是未知参数?的两个 无偏 估计，且对任意的?满足D(?1)?D(?2)，则称?1比?2有效；

29．设X1,X2,?,Xn 是从正态总体N(?,?2)抽得的简单随机样本，已知?2??0，现检验假设

H：???0，则当 H0 成立 时，n(X??0)?0服从N(0,1)；

10．在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平?（0???1），则犯第一类错误的概率是 三、计算题(每题5分,共35分)

1．设有10个零件，其中2个是次品，任取2个，试求至少有1个是正品的概率。

? 。2解：从有2个次品的10个零件中任意取两个零件的取法总数为：n=c10=45; 而取出的2个零件中没有正品

（即：所取的两个零件都是次品）的取法数为：m=c2=1;

2从而利用古典概型的概率计算公式可得至少有1个是正品的概率为1-p=1-2. 设随机变量X的概率分布律为：

m144=1-=。

n4545X pk -2 -1 0 1 3 1 51 61 51 1511 30求Y?X2的概率分布律。

解：由于随机变量X 的概率分布律为：

X pk -2 -1 0 1 3 1 51 61 51 1511 30

故 Y=X 2 的可能取值为: 0, 1, 4, 9

1; 5117?P ( Y = 1) = P ( X 2 = 1 ) = P ( X = - 1 ) + P ( X = 1 ) = ?;

6153011P ( Y = 4 ) = P (X 2 = 4 ) = P ( X = - 2 ) + P ( X = 2 ) = ?0?;

551111?P ( Y = 9 ) = P ( X 2 = 9 ) = P ( X = - 3 ) + P ( X = 3 ) =0?。 3030对应的概率分别为：P ( Y = 0 ) = P ( X 2 = 0 ) = P ( X = 0 ) =

最后列成概率分布表为：

Y pk 0 1 4 9 1 57 301 511 303. 已知离散性随机变量X服从参数为?的普阿松分布，若P(X?1)?P(X?2)，试求参数?的值。 解：因为随机变量X服参数为?的普阿松分布，所以X的概率分布为： P?X?K??又有题设条件p(X=1)=P(X=2),因此

?ke??k!, k=0,1,2,,;

?1e??1!??2e??2!,

由上述方程解得参数?的值为2。

4. 当随机变量X服从区间[0，2]上的均匀分布，试求

DX的值。 2(EX)解：因为随机变量X服从区间[0,2]上的均匀分布，所以

?2?0??1; 0?2 E?X???1,D?X??21232 因而

DX1。 ?2?EX?3?Cxy2,5. 设（?,?）的密度函数为p(x,y)???0,立？

110?x?1,0?y?1其他，求常数C，并判断?与?是否相互独

解：因为1?2??Cxydxdy?00C,所以C=6; 62取g?x??6x,?0?x?1?;h?y??y,(0?y?1),则有p(x,y)?g(x)?h(y), p(x,y)可分离变量，故?与

?相互独立。

6．已知D(X)?25，D(Y)?36，?XY?0.4，试分别计算cov(X,Y)，D(X?Y)和D(X?Y)。 解：由题设D(X)?25,D(Y)?36,?xy?0.4,

所以cov(X,Y)??xyD(X)D(Y)?0.4?5?6?12;

D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2cov(X,Y)?25?36?2?12?85; D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2cov(X,Y)?25?36?2?12?37。

?(??1)x?，0?x?1，7. 设总体X的概率密度为 f(x；?)??

其它，?0，式中?>－1是未知参数，估计量。 解：

用矩估计法求?的

X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，

??1E(X)??xy(x;?)dx??(??1)x??1dx?,0??2??1??

由矩估计法知，令??1??2 得参数?的矩估计量

?X

2X?1??

????1?X四、证明题(共15分)

1. 若三个事件

A、B、C证明：因为A,B,C相互独立，所以

相互独立，则A?B与C独立。

P(AC)?P(A)P(C); P(BC)?P(B)P(C); P(ABC)?P(A)P(B)P(C);

从而，我们可得

P((A?B)C)?P(AC?BC)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) ?P(A)P(C)?P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C) ?P(C)?P(A)?P(B0?P(A)P(B)? ?P(C)P(A?B) 由独立性的定义可知：A?B与C独立。

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