现代控制理论第1章

《现代控制理论基础》第一章(讲义)

第一章 系统描述

1.1 引言

一个复杂系统可能有多个输入和多个输出，并且以某种方式相互关联或耦合。为了分析这样的系统，必须简化其数学表达式，转而借助于计算机来进行各种大量而乏味的分析与计算。从这个观点来看，状态空间法对于系统分析是最适宜的。 经典控制理论是建立在系统的输入-输出关系或传递函数的基础之上的，而现代控制理论以n个一阶微方程来描述系统，这些微分方程又组合成一个一阶向量-矩阵微分方程。应用向量-矩阵表示方法，可极大地简化系统的数学表达式。状态变量、输入或输出数目的增多并不增加方程的复杂性。事实上，分析复杂的多输入-多输出系统，仅比分析用一阶纯量微分方程描述的系统在方法上稍复杂一些。 本文将主要涉及控制系统的基于状态空间的描述、分析与设计。本章将首先给出状态空间方法的描述部分。将以单输入单输出系统为例，给出包括适用于多输入多输出或多变量系统在内的状态空间表达式的一般形式、线性多变量系统状态空间表达式的标准形式(相变量、对角线、Jordan、能控与能观测)、传递函数矩阵，以及利用MATLAB进行各种模型之间的相互转换。第二章将讨论状态反馈控制系统的分析方法。第三章将给出几种主要的设计方法。 本章1.1节为控制系统状态空间分析的引言。1.2节介绍传递函数的状态空间表达式，并给出状态空间表达式的各种标准形。1.3节讨论用MATLAB进行系统模型的转换（如从传递函数变换为状态空间模型等）。

1.2 状态空间表达式

为获得传递函数的状态空间表达式，有多种方法。在《系统分析与控制》中曾介绍过几种。本节将介绍状态空间的能控标准形、能观测标准形、对角线形与Jordan标准形，在例1.17~1.21中将讨论由传递函数获得这些状态空间表达式的方法。

1.2.1 状态空间表达式的标准形式

考虑由下式定义的系统：

??any?bou(n)?b1u(n?1)???bn?1u??bnuy(n)?a1y(n?1)???an?1y式中u为输入，y为输出。该式也可写为

(1.1)

Y(s)b0sn?b1sn?1??bn－1s?bn?U(s)sn?a1sn?1???an?1s?an(1.2)

下面给出由式（1.1）或式（1.2）定义的系统状态空间表达式之能控标准形、能观测标准形和对角线形（或Jordan形）标准形。

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1.2.1.1 能控标准形

下列状态空间表达式为能控标准形：

?1??0?x?x?2??0??????????????????????????x?n?1??0?x????n???an10???001???0????an?1?an?2?0??x1??0??x??0?0???2?????????????????????????u?????????????1??xn?1??0??????a1???xn??1?(1.3)

?x1??x??2????y?[bn?anbo?bn?1?an?1bo???b1?a1bo]???b0u?????????xn???(1.4)

在讨论控制系统设计的极点配置方法时，这种能控制准形是非常重要的。从式（1.1）

或式（1.2）到式（1.3）和式（1.4）的推导，可见例1.17。

1.2.1.2 能观测标准形

下列状态空间表达式为能观测标准形：

?1??0?x?x?2??1??????????????????????????n??x???0?00???0??00????an?an?1????a1?1??x1???x???2??bn?anbo??????bn?1?an?1bo??u??????????????????b?ab11o??????xn?????(1.5)?x1??x??2??????y?[00?01]????bou??????xn?1??x??n?

(1.6)注意，式（1.5）给出的状态方程中n×n维系统矩阵是式（1.3）所给出的相应矩阵的转置。

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1.2.1.3 对角线标准形

参考由式（1.2）定义的传递函数。这里，考虑分母多项式中只含相异根的情况。对此，式（1.2）可写成：

Y(s)bosn?b1sn?1???bn?1s?bn?U(s)(s?p1)(s?p2)?(s?pn)?bo?cnc1c2 ????s?p1s?p2s?pn(1.7)

该系统的状态空间表达式的对角线标准形由下式确定：

?1???p1?x?x?2?????????????????????????n???x???00?p2?????x1??1???x??1???2????????????????u????????????????????pn??1?????xn???(1.8)?x1??x??2????y?[c1c2?cn]???bou??????????xn??

(1.9)1.2.1.4 Jordan标准形

下面考虑式（1.2）的分母多项式中含有重根的情况。对此，必须将前面的对角线标准形修改为Jordan标准形。例如，假设除了前3个 p i 即p1＝p2?p3相等外，其余极点 p i 相异。于是，Y（s）/U(s)因式分解后为：

b0sn?b1sn?1???bn?1s?bnY(s) ?U(s)(s?p1)3(s?p4)(s?p5)?(s?pn) 该式的部分分式展开式为

c3cnc1c2c4Y(s)?b0??????? U(s)s?pn(s?p1)3(s?p1)2(s?p1)s?p4该系统状态空间表达式的Jordan标准形由下式确定：

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?1???p1?x?x?2??0????x?3??0????4??0?x???????????????????????n???0?x??1?p10?01?p10???0?0?p4????0?00?0?x1??x??2????y?[c1c2?cn]???bou?????????xn????pn?0??x1??0???x?????2??0???x3??1????????x4???1?????????????????????????????????1??????xn???(1.10)

(1.11)

[例1.1] 考虑由下式确定的系统：

Y(s)s?3?2 U(s)s?3s?2试求其状态空间表达式之能控标准形、能观测标准形和对角线标准形。 解： 能控标准形为：

?1(t)??0?x?x????2?(t)?2??1??x1(t)??0??x(t)???1?u(t)?3???2???

?x(t)?y(t)?[31]?1??x2(t)? 能观测标准形为：

?1(t)??0?2??x1(t)??3??x?????u(t)?x??????2(t)??1?3??x2(t)??1?

?x1(t)?y(t)?[01]???x2(t)? 对角线标准形为：

?1(t)???10??x1(t)??1??x?????u(t)?x??????2(t)??0?2??x2(t)??1?

x(t)?1?y(t)?[2?1]???x2(t)?

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1.2.2 n×n维系统矩阵A的特征值

n×n维系统矩阵A的特征值是下列特征方程的根：

|?I?A|?0

这些特征值也为称特征根。 例如，考虑下列矩阵A：

?010?A???001????6?116? ???特征方程为：

??10?I?A|?0??1611??6??3?6?2?11??6 ?(??1)(??2)(??3)?0这里A的特征值就是特征方程的根，即－1、－2和－3。

1.2.3 n×n维系统矩阵的对角线化

如果一个具有相异特征值的n×n维矩阵A由下式给出：

??010?0??001?0????????A?????????????????000?1?????an?an?1?an?2??a1??作如下非奇异线性变换x = P z，其中

??11?1???1?2???nP??????????????? ????????n?11?n?12??n?1?n?? 5

(1.12)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/im9d.html