江西省赣州市2015年5月高三适应性考试数学试题(理)及答案(扫描版)

赣州市2015年高三年级适应性考试 理科数学 2015年5月

注意事项:

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2. 回答第Ⅰ卷时．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答且卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。 1.设全集U R，集合A、B满足如图所示的关系，且A x x2 2x 3 0

，阴影部 分表示的集合为 x 1 x 1 ，则集合B可以是 U

A. x 1 x 3 B. x 1 x 3

B

C. x 1 x 3 D. x 1 x

3

2.设复数z1 1 2i（i为虚数单位），复数z2的实部为2，且z1

z2是实数，则z2 z2 A. B. C.20 D.5

3.执行如图所示的程序框图，则输出的A的值为

A.7 B.15 C.29 D.31 4.

1

1

(sinx x2)dx

A.0 B.13 C.2

3 D.1

5.把函数y cos(2x

6的图像向左平移6

个单位，得到函数y f(x)的图像，则

A.f(x)的图像关于直线x

12

对称 B.f(x)的图像关于y轴对称

C.f(x)的最小正周期为2 D.f(x)在区间(0,

3

)单调递增

x y 1 06.在平面直角坐标系上的区域M由不等式组

x y 1 0给定．若点P为M上的动点，

x 1点A( 2,1)，则OPuuur OAuur

的最大值与最小值的和为

A. 2 B. 1 C.0 D.1

7.从某班成员分别为3人、3人和4人的三个学习小组中选派4人组成一个环保宣传小组，则每个学习小组都至少有1人的选派方法种数是

A.130 B.128 C.126 D.124

x2y2

8.F1是双曲线C:a2 b

2 1(a 0,b 0)的左焦点，点P是双曲线右支上一点，若线段

PF1与y轴的交点M恰为PF1的中点，且OM a（O为坐标原点）

，则C的离心率为 A.

B. C.2 D.3

9.已知一个高为3且其底面是有一个内角为60o的菱形的直四棱柱直立在水平桌面上，若

该直四棱柱的正视图的最小面积为9

4

，则直四棱柱的体积为

A. B. C D

10．有命题m“: x1

110 (0,3，(2x0 log1x0”，n“: x0 (0, )，

()x0 log1x0 x0”． 3

2

3

则在命题p1:m n，p2:m n，p3:( m) n和p4:m ( n)中，真命题是 A.p1,p2,p3 B.p2,p3,p4 C.p1,p3 D.p2,p4

11.已知椭圆E的中心在原点，一个焦点为F(1,0)，定点A( 1,1)在E的内部，若椭圆E上 存在一点P使得PA PF 7，则椭圆E的方程可以是

A.x2y2x2y232 1 B.4 x2y2x2y2

3 1 C.8 7 1 D.9 8

1 12.若函数f(x) lnx 2(x 0)

，方程x 0)

f f(x) a只有四个不同的实根，则实数a的

3 x2

(取值范围是

A.(2 ln2,e) B.(e,2 ln3) C.(2 ln2,3) D.(3,2 ln3)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～第24题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分。

13.在(1 2x)6

(1 y)4

展开式中，xy2

项的系数为．

14.已知向量OAuur (2,3)，OBuuur ( 3,2)（O为坐标原点），若uuACur uuBOur，则向量uuuOCr

与

uuOBur

的夹角为 ．

15.设公比大于1的正项等比数列 an 满足：a3 a5 20,a2a6 64，则其前6项和为 ．

16.在 ABC中， BAC 135o，BC边上的高为1，则BC的最小值为 ． 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． （17）（本小题满分12分）

已知数列 a 满足a1

n1 3

，an 1 an 2anan 1 0．

（Ⅰ）记b1

n

a，证明：数列 bn 是等差数列； n

（Ⅱ）记数列 aa的前n项和为S1

nn 1 n，求证：Sn 6

．

（18）（本小题满分12分）

目前我国很多城市出现了雾霾天气，已经给广大人民的健康带来影响。其中汽车尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，很多城市提倡绿色出行方式，实施机动车尾号限行。某市为了解民众对“车辆限行”的态度，随机调查了50人，并将调查结果制成下表：

（Ⅰ）若从年龄在 15,25 、

25,35 的被调查者中各随机选取2人进行跟踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数记为X，求X的分布列和期望；

（Ⅱ）把年龄在 15,45 称为中青年，年龄在

45,75

称为中老年，请根据上表完成答题卡中的2 2 态度年龄

赞成不赞成总计

中青年n(ad bc)2

中老年参考公式和数据： 2

(a c)(b d)(a b)(c d)

总计

（19）（本小题满分12分）

在三棱柱ABC A1B1C1中，

ABC是边长为2正三角形，D、E分别是线段BB1、ACA

A1

1的中点，DE AC1．

E

（Ⅰ）求证：DE 平面AAC11C；

C

C1

（Ⅱ）若AAC11C是矩形，BB1 4，求直线BB1

B

D

B1

与平面ADC1所成角的正弦值．

（20） (本小题满分12分)

已知F是抛物线y2 2px(p 0)的焦点，G、H是抛物线上的两点，

GF HF 3，线段GH的中点到y轴的距离为5

4

.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）如果过点P(m,0)可以作一条直线l，交抛物线于A、B两点，交圆

(x 6)2

y2

4 于C、D（自上而下依次为B、D、C、A）

，且uPAur uPBur uPCuur uPDuur，求实数m的取值范围.

（21） (本小题满分12分)

已知函数f(x)

lnx k

x

在(0, )存在最大值，且最大值为1． （Ⅰ）求实数k的值； （Ⅱ）若不等式f (x)

14a 2a 12x

在 0,2 恒成立，求实数a的取值范围．

请考生在第22、23、24两题中任选一题做答，并用2B铅笔将答题卡上把所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分。

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

F

如图，已知eO是 ABC的外接圆，AB BC， AD是BC边上的高，AE是eO的直径．

（Ⅰ）求证：AC BC AD AE

（Ⅱ）过点C作eO的切线交BA的延长线于点F

若AF 4，CF 6，求AC的长．

（23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C的参数方程为

x 2cos

（ 为参数），以坐标原点O为极点，x轴的

y sin

) 4

正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 sin(

（Ⅰ）将曲线C上各点的纵坐标伸长为原来的两倍，得到曲线C1，写出曲线C1的极坐标方程；

（Ⅱ）射线

与C1、l的交点分别为A、B，射线 与C1、l的交点分别为66

A1、B1，求 OAA1与 OBB1的面积之比．

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数f(x) x 1 x 3． （Ⅰ）求函数f(x)的最小值；

（Ⅱ）若a,b R且a 2，b 2，求证：a b a b f(x)．

赣州市2015年高三适应性考试理科数学参考答案

一、选择题

1～5.DCBCA； 6～10.BCBCA； 11～12.DC. 二、填空题

13.72； 14.135； 15.63； 1

6.2. 三、解答题 17.解：（Ⅰ）由a1

1

，an 1 an 2anan 1 0，知an 0 1分 3

故在an 1 an 2anan 1 0，两边同除anan 1 3分 整理得

11

2，即bn 1 bn 2 5分 an 1an

故数列 bn 是以2为公差的等差数列 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知bn 2n 1，所以an 则anan 1

1

7分 2n 1

1111

( ) 9分

(2n 1)(2n 3)22n 12n 3

11111111111Sn ( L ) ( ) 12分

235572n 12n 3232n 36

18.解：（Ⅰ）X的取值为0,1,2,3 1分

2112

C6C6C2C2C19020444C6C44

P(X 0) 2 2 ，P(X 1) 2 2 2 2

C5C10450C5C10C5C10450

11C1C2C2C1C2132244C6C4444

P(X 2) 2 2 2 2 ，P(X 2) 2 24 5分

C5C10C5C10450C5C10450

X的分布列为 X

P

0 1 2 3

15

34 7522 754 75

EX 1.2 6分

（Ⅱ）2 2列联表如图所示 9分

态度年龄中青年中老年总计

赞成191332

不赞成11718

总计302050

n(ad bc)2

(a c)(b d)(a b)(c d)

2

50(133 143)2

2.706 11分 即

32 18 30 20

2

说明民众对“车辆限行”的态度与年龄没有关联 12分 19.解：（Ⅰ）取棱AC11的中点F，连接EF、B1F 1分则由EF是 AA1C1的中位线得EF∥AA1，EF 又DB1∥AA1，DB1

1

AA1 2

1

AA1 2分 2

所以EF∥DB1，EF DB1，故四边形DEFB1是平行四边 3分 所以DE∥B1F 4分 因为B1F AC11，所以DE AC11，又DE AC1 5分 所以DE⊥平面AA1C1C 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知B1F⊥平面AA1C1C，所以B1F CC1，又B1C1 CC1

所以CC1 平面A1B1C1 7分

如图建立空间直角坐标系，A，D(1,2,0)，C1( 1,4,0) 8分

r

设平面ADC1的一个法向量为n (x,y,z)，

ruuuur n DC1 0 x y 0则由 ruuu，得 9分

r

x 2y 0 n AD 0

r

解得n (1,1 10分

设直线BB1与平面ADC1所成的角为 ，

ruuur

ruur|n BB1| 12分 sin |cos n,BB1 | |n||BB1|

20. 解：（Ⅰ）由抛物线定义知：

5p31

，得p 2分 4222

故抛物线的方程为y2 x 3分

uuruuruuuruuur

（Ⅱ）由PA PB PC PD

uuruuuruuuruuruuruuur

得PA PC PD PB，即CA BD 4分

设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)

uuruuur

则CA (x1 x3,y1 y3)，BD (x4 x2,y4 y2)

所以x1 x3 x4 x2，即x1 x2 x4 x3 5分 （1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x m，此时只需点P(m,0)在圆内即可， 故(m 6)2 02 4，解得4 m 8 6分 （2）当直线l的斜率存在时，设l的斜率为k，则l的方程为y k(x m)（且m 0）

y k(x m)

由方程组 2得：k2x2 (2mk2 1)x m2k2 0 7分

y x

因为直线l与抛物线于A、B两点，所以 1 4mk2 1 0 ① 8分

2mk2

x1 x2 2

k

由方程组

y k(x m)

22

(x 6) y 4

得：(1 k2)x2 2(mk2 6)x m2k2 32 0

2

2

2

22

直线l与圆于C、D两点，所以 2 4(mk 6) 4(1 k)(mk 32) 0

即k(m 6) 4(1 k) ② 9分

2

2

2

2mk2 12

且x3 x4

1 k2

12mk2 12mk2 122

k 因为x1 x2 x4 x3，所以，化简得 10分

11 2mk21 k2

4m 1 0 11 11 2m

2 m 代入①②得 ，解得 11分 2

2(6 m)1 4(1 )

11 2m 11 2m

综合得实数m取值范围为( 2,8) 12分 21.解：（Ⅰ）f (x)

lnx k 1

1分

x2

由f (x) 0得x e1 k 2分 当x (0,e1 k)时，f(x)单调递增，当x (e1 k, )，f(x)单调递减 3分 故f(x)的最大值为f(e1 k) ek 1 1，所以k 1 4分 （Ⅱ）原不等式可变形为2lnx ax2 (2a 1)x 0 5分 记g(x) 2lnx ax2 (2a 1)x，g (x)

12

12(ax 1)(x 2)

6分

x

a 0时，g (x) 0，即g(x)在(0,2]递增，所以[g(x)]max g(2) 2ln2 2a 2 0， 解得a ln2 1，故ln2 1 a 0 7分当0 a

11

时，g (x) 0，g(x)在(0,2]递增，所以[g(x)]max g(2) 2ln2 2a 2 0，解得a ln2 1，故0 a 8分 22

111

当a 时，由g (x) 0得 x 2，由g (x) 0得0 x 9分

aa2

1111

所以g(x)在(0,)递增，在(,2)递减，故[g(x)]max g() 2lna 2 0 10分

aa2aa

111 4a

记 (a) 2lna 2(a )，则 (a) 0

2a22a2

11

(a) () 2ln2 3 0，故a 11分

22

综上所述，实数a的取值范围是a ln2 1 12分 22.解：（Ⅰ）连接BE，则 ABEF

所以 ABE ADC 90 ．又 AEB ACB所以 ABE

ADC，所以

ABAE

3分

ADAC

即AB AC AD AE，又AB BC 4分 故AC BC AD AE 5分 （Ⅱ）因为FC是O的切线，所以FC FA FB 6分

2

B

又AF 4，CF 6，从而解得BF 9，AB BF AF 5 7分 因为 ACF CBF， CFB AFC，所以 AFC CFB 8分

AFAC

9分

CFCB

AF CB10

即AC 10分

CF3

所以

23.解：（Ⅰ）在曲线C的参数方程

x 2cos y

（ 为参数）中用代y 1分

2 y sin

得到曲线C1的参数方程

x 2cos

（ 为参数），化为普通方程为x2 y2 4 3分

y 2sin

故曲线C1的极坐标方程 2 5分 （Ⅱ）依题意知点A、A1的极坐标分别为(2,),(2, ) 6分 设B、B1的极坐标分别为( 1,)，( 2, ) 7分

π6π6

π6π6

816

32 8分 sin( )sin( )cos( )sin( )cos

464646463

1

所以S OAA1 2sin60 ，S OBB1 1 2sin60 16sin60 9分

2

则 1 2 故

S OAA1S OBB1

1

10分 8

24.解：（Ⅰ）f(x) x x 3 1 x x 3 (1 x)| (x 3) 4 4分 函数f(x)的最小值为4 5分 （Ⅱ）若(a b)(a b) 0，则|a b| |a b| |(a b) (a b)| 2|a| 4 7分 若(a b)(a b) 0，则|a b| |a b| |(a b) (a b)| 2|b| 4 9分 因此，|a b| |a b| 4

而f(x) 4，故|a b| |a b| f(x) 10分

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