2019高考数学一轮复习第3章第5节两角和与差的正弦余弦和正切公式

第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β?sin_αsin_β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β

1?tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；

(2)cos 2α＝cos2

α－sin2

α＝2cos2

α－1＝1－2sin2

α； (3)tan 2α＝2tan α

1－tan2α. 3．有关公式的变形和逆用 (1)公式T(α±β)的变形：

①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)． (2)公式C2α的变形： ①sin2

α＝12(1－cos 2α)；

②cos2

α＝12(1＋cos 2α)．

(3)公式的逆用：

①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2

； ②sin α±cos α＝2sin??π?α±4???. 4．辅助角公式

asin α＋bcos α＝a2＋b2sin(α＋φ)??b?

其中tan φ＝a???.

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．( )

1

tan α＋tan β

(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1

1－tan αtan β－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )

(4)公式asin x＋bcos x＝a＋bsin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×

2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A．－3

2

B.

3

2

2

2

1

C．－

21D. 2

D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°1

＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D.]

2

1

3．若tan θ＝－，则cos 2θ＝( )

34A．－ 51C. 5

2

2

1B．－ 54D. 5

2

cosθ－sinθ1－tanθ

D [∵cos 2θ＝2＝. 22

cosθ＋sinθ1＋tanθ11－941

又∵tan θ＝－，∴cos 2θ＝＝.] 315

1＋9

4．(2017·云南二次统一检测)函数 f(x)＝3sin x＋cos x的最小值为________．

?π?－2 [函数f(x)＝2sin?x＋?的最小值是－2.]

6??

5．若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. π

[由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 3

tan α＋tan β可得＝3，即tan(α＋β)＝3.

1－tan αtan βπ

又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.] 3

三角函数式的化简 2

sin 2α－2cosα

(1)化简：＝________. 【导学号：51062114】

π??sin?α－?4??142

2cosx－2cosx＋

2

(2)化简：.

π???2?π

2tan?－x?sin?＋x?

?4??4?

2sin αcos α－2cosα

(1)22cos α [原式＝＝22cos α.]

2

α－cos α

2122

－2sinxcosx＋

2

(2)原式＝

ππ??2??2sin?－x?cos?－x??4??4?

?π?cos?－x??4?

12

cos2x21

＝＝＝cos 2x.

?π??π??π?22sin?－x?cos?－x?sin?－2x?

?4??4??2?

－sin2x2

2

2

12

[规律方法] 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则

(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．

(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．

(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 2．三角函数式化简的方法

弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．

π?1π?[变式训练1] (2017·浙江镇海中学测试卷一)已知tan?α＋?＝，且－<α<0，

4?22?2sinα＋sin 2α

则＝( )

π??cos?α－?4??

25

A．－

5310C．－

10

2

35B．－

10D.25

5

3

2sinα＋sin 2α2sin αsin α＋cos αA [＝

π2??cos?α－?sin α＋cos α4??2

2

π??＝22sin α，由tan?α＋?＝

4??

π?π?tan?α＋?－tan 4?4π?π??11??，得tan α＝tan??α＋?－?＝＝－，即3sin α＝－cos α，

2??4?4?1＋tan??π?

α＋4??π3?tan

4又sin2

α＋cos2

α＝1，所以sin α＝±10

10

， 而－π2<α<0，所以sin α＝－10

10，

2故2sinα＋sin 2α25cos??π＝－.] ?

α－4??5? 三角函数式的求值 ?角度1 给角求值

(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°

＝( )

A.12 B.

32

C.3

D.2

(2)sin 50°(1＋3tan 10°)＝________. (1)C

(2)1

[(1)

原

式

＝

2cos30°－20°－sin 20°

sin 70°

2cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°－sin 20°

sin 70°

＝

3cos 20°

cos 20°

＝3.

(2)sin 50°(1＋3tan 10°)

＝sin 50°??1＋3·

sin 10°?

cos 10°?

??

＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°

cos 10°

2??1cos 10°＋3sin 10°?

＝sin 50°×?22?

?

cos 10° ＝

2sin 50°·cos 50°sin 100°cos 10°

cos 10°＝cos 10°＝cos 10°

＝1.]

?角度2 给值求值

＝

4

?π?3

(1)若cos?－α?＝，则sin 2α＝( )

?4?5

A.7

25

1B. 57D．－ 25

1C．－ 5

π??(2)(2017·浙江金华十校联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin?α＋?3??＝( )

A.1＋35

81－35

8

B.1＋53

81－53

8

C.D.

?π?3

(1)D (2)A [(1)∵cos?－α?＝，

?4?5

∴sin 2α＝cos?

?π－2α?＝cos 2?π－α?＝2cos2?π－α?－1＝2×9－1＝－7. ??4??4?2525?2?????

2

2

(2)由7sin α＝2cos 2α得7sin α＝2(1－2sinα)，即4sinα＋7sin α－2＝0，π?11115?∴sin α＝－2(舍去)或sin α＝.∵α为锐角，∴cos α＝，∴sin?α＋?＝×＋

3?4244?1531＋35

×＝，故选A.] 428?角度3 给值求角

已知sin α＝

( )

A.C.5π

12π 4

B.D.π 3π 6

510，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于510

ππ

C [∵α，β均为锐角，∴－＜α－β＜.

22又sin(α－β)＝－

10310，∴cos(α－β)＝. 1010

又sin α＝525，∴cos α＝， 55

∴sin β＝sin[α－(α－β)]

＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)

5

＝

531025?210?×－×?－＝. ?5105?10?2

π∴β＝.] 4

[规律方法] 1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解．

2．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．

3．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.

三角变换的简单应用 π?22? 已知函数f(x)＝sinx－sin?x－?，x∈R.

6??(1)求f(x)的最小正周期；

?ππ?(2)求f(x)在区间?－，?上的最大值和最小值．

?34?

[解] (1)由已知，有

π??1－cos?2x－?3?1－cos 2x?

f(x)＝－ 221?13?1

＝?cos 2x＋sin 2x?－cos 2x 2?22?2＝

π?311?

sin 2x－cos 2x＝sin?2x－?.

6?442?

2π

＝π.6分 2

所以f(x)的最小正周期T＝

π??π

(2)因为f(x)在区间?－，－?上是减函数，

6??3

?ππ?在区间?－，?上是增函数，

?64?

1?π?1?π?3?π?且f?－?＝－，f?－?＝－，f??＝， 4?6?2?4?4?3?

31?ππ?所以f(x)在区间?－，?上的最大值为，最小值为－.14分

42?34?

[规律方法] 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．

2．把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝a＋bsin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、

6

2

2

单调性、最值与对称性．

[变式训练2] (1)(2016·山东高考)函数f(x)＝(3sin x＋cos x)(3cos x－sin x)的最小正周期是( )

A.C.π 23π 2

B．π D．2π

(2)(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为________.

【导学号：51062115】

(1)B (2)1 [(1)法一：∵f(x)＝(3sin x＋cos x)(3cos x－sin x) ＝4?11?3??3?

sin x＋cos x??cos x－sin x?

22?2??2?

π??π??π??＝4sin?x＋?cos ?x＋?＝2sin?2x＋?， 6?6?3????2π

∴T＝＝π.

2

法二：∵f(x)＝(3sin x＋cos x)(3cos x－sin x) ＝3sin xcos x＋3cosx－3sinx－sin xcos x ＝sin 2x＋3cos 2x π??＝2sin?2x＋?， 3??2π

∴T＝＝π.故选B.

2

(2)f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x ＝sin xcos φ＋cos xsin φ－2sin φcos x ＝sin xcos φ－cos xsin φ＝sin(x－φ)． ∴f(x)max＝1.]

2

2

7

[思想与方法]

三角恒等变换的三种变换角度

(1)变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系．常用的拆角、拼角方法是：2α＝(αβ??αα＋βα－βα－β??＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，＝?α＋?－?＋β?. 2??2222??

(2)变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”，“升幂与降幂”“1”的代换等．

(3)变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等． [易错与防范]

1．三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范围是防止增解的有效措施．求角的某一三角函数值时，应选择在该范围内是单调函数，若已知正切函数值，则选正

?ππ?切函数；否则，若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为?－，?，选正弦较

?22?

好．

2．计算形如y＝sin(ωx＋φ)，x∈[a，b]形式的函数最值时，不要将ωx＋φ的范围和x的范围混淆．

课时分层训练(十九)

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

8

A组 基础达标 (建议用时：30分钟)

一、选择题

π?22?1．已知sin 2α＝，则cos?α＋?等于( ) 4?3?1

A. 61

C. 2

1

B. 32D. 3

π??1＋cos 2?α＋?4?π??2?A [因为cos?α＋?＝

4?2?

π?2?1－1＋cos?2α＋?2?1－sin 2α31?

＝＝＝＝，故选A.]

22262.

cos 85°＋sin 25°cos 30°

等于( )

cos 25°

3 2

B.2 2

A．－1C. 2

D．1

3

sin 5°＋sin 25°2

C [原式＝

cos 25°sin＝

30°－25°＋31

sin 25°cos 25°221

＝＝.] cos 25°cos 25°2

3．(2017·杭州二次质检)函数f(x)＝3sin cos ＋4cos(x∈R)的最大值等于

222

( )

A．5 5

C. 2

9B. 2D．2

99

＋4＋2＝，故42

xx2

x31＋cos x3

B [由题意知f(x)＝sin x＋4×＝sin x＋2cos x＋2≤

222选B.]

37?ππ?4．(2017·浙江模拟训练卷(三))若θ∈?，?，sin 2θ＝，则sin θ＝

8?42?

9

( ) 【导学号：51062116】

3A. 5C.7 4

4B. 53D. 4

D [由θ∈?

?π，π?，得sin θ≥cos θ>0，则sin θ＋cos θ＝1＋sin 2θ＝

??42?

9－67＋73－7

＝，两式164

9＋67＋73＋7

＝，sin θ－cos θ＝1－sin 2θ＝1643

相加得sin θ＝.]

4

5．定义运算?

?a

?c

b?

1?sin α sin β

＝ad－bc.若cos α＝，??7d??cos α cos β

π?33

0＜β＜α＜，?＝14，

2?

则β等于( )

A.C.π

12π 4

B.D.π 6π 3

33π

D [依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝，又0＜β＜α＜，

142π

∴0＜α－β＜，

2

故cos(α－β)＝1－sin

2

α－β＝

13， 14

143

而cos α＝，∴sin α＝，

77于是sin β＝sin[α－(α－β)]

＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝

43131333π×－×＝.故β＝.] 71471423

二、填空题

sin50°6.________. 1＋sin 10°

1sin50°1－cos 100° [＝ 21＋sin 10°＋＝1－

＋

＋

＝1＋sin 10°

＋

1＝.] 2

2

2

22

7．(2017·浙江模拟训练卷(四))已知函数f(x)＝4cosx＋(sin x＋3cos x)，则函

10

?π?数f(x)的最小正周期为________，当x∈?0，?时，函数f(x)的值域为________.

4??

【导学号：51062117】

π [4＋3，4＋23] [f(x)＝7cosx＋sinx＋23sin xcos x＝1＋3(1＋cos 2x)π??＋3sin 2x＝4＋23sin?2x＋?，故函数f(x)的最小正周期为π.

3??

π?π5π??π?∵x∈?0，?，∴2x＋∈?，?，

4?6?3?3?π?1?∴≤sin?2x＋?≤1，

3?2?

∴4＋3≤f(x)≤4＋23，故函数f(x)的值域为[4＋3，4＋23]．] 8．化简2＋2cos 8＋21－sin 8＝________. －2sin 4 [2＋2cos 8＋21－sin 8 ＝

＋

22

2

＋21－2sin 4cos 4

－

2＝2×2cos4＋2

＝－2cos 4＋2(cos 4－sin 4)＝－2sin 4.] 三、解答题

αα6?π?9．已知α∈?，π?，且sin ＋cos ＝.

222?2?(1)求cos α的值；

3?π?(2)若sin(α－β)＝－，β∈?，π?，求cos β的值．

5?2?

αα61π

[解] (1)因为sin ＋cos＝，两边同时平方，得sin α＝.又＜α＜π，所

22222以cos α＝－

3

.6分 2

ππ

(2)因为＜α＜π，＜β＜π，

22

πππ

所以－π＜－β＜－，故－＜α－β＜.10分

22234

又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝. 55

cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－341?3?43＋3

×＋×?－?＝－.14分 252?5?10

11

π??1－2sin?2x－?4??

10．已知函数f(x)＝.

cos x(1)求函数f(x)的定义域；

4

(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－，求f(α)的值. 【导学号：51062118】

3[解] (1)要使f(x)有意义，则需cos x≠0，

??∴f(x)的定义域是??x??x≠kπ＋π

，k∈?

???

2Z

??.6分 ?

1－2??2sin 2x－2cos 2x?

(2)f(x)＝?22?

?

cos x

2

＝1＋cos 2x－sin 2x2cosx－2sin xcos xcos x＝cos x ＝2(cos x－sin x).10分

由tan α＝－44

3，得sin α＝－3cos α.

又sin2

α＋cos2

α＝1，且α是第四象限角， ∴cos2

α＝925，则cos α＝35，sin α＝－45

.

故f(α)＝2(cos α－sin α)＝2??34?5＋5???＝14

5

.14分

B组 能力提升 (建议用时：15分钟)

1．若cos 2α＝－2

，则cos α＋sin α的值为sin???α－π4??2( )

?A．－72 B．－12 C.1

2

D.72 2

2

C [∵cos 2αcosα－sinα

sin???α－π4?＝?2?2α－cos α＝－2(sin α＋cos α)＝－

21

2，∴sin α＋cos α＝2

.] 12

π?1??π

2．(2017·浙江名校(柯桥中学)交流卷三)若cos?α－?＝，则sin?＋α

3?3??6π??________；cos?2α＋?的值是________．

3??

17?π?π?π? [sin?＋α?＝cos?－?＋α

39?6??2?6π?1?π??＝cos?－α?＝cos?α－?＝；

3?3?3??π?2π???cos?2α＋?＝－cos?2α－?＝1－2·

3?3???π?72?cos?α－?＝.] 3?9?

?的值是

??

?? ????

?π?3．已知函数f(x)＝2sin xsin?x＋?.

6??

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

?π?(2)当x∈?0，?时，求函数f(x)的值域. 【导学号：51062119】

2??

[解] (1)f(x)＝2sin x?＋3

. 2

所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.3分 πππ

由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

232π5π

解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

1212

5π?π?所以函数f(x)的单调递增区间是?－＋kπ，＋kπ?，k∈Z.8分

12?12?π?π2π??π?(2)当x∈?0，?时，2x－∈?－，?，

2?3?3?3?π??3??2x－sin?∈?－，1?，12分 ?3??2??

1－cos 2x11?3??2x－π?＝3×＋sin 2x＝sin??sin x＋cos x?3?22?2?2?

f(x)∈?0，1＋?

?3??. 2?

故f(x)的值域为?0，1＋?

?3?

?.15分 2?

13

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/im57.html