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用改进的窗函数设计FIR数字滤波器

谭家杰, 罗昌由, 黄三伟, 邓小辉

衡阳师范学院 物理与电子信息科学系, 湖南 衡阳 421008

摘 要

窗函数设计 FIR 数字滤波器已多年, 近年来, 用优化技术设计数字滤波器十分流行, 论文提出了一种新方法对窗函数进行改进, 这种窗函数不同于以往的 Hanning窗、Hamming 窗、Blackman 窗, 它先将余弦序列线性组合为窗函数, 然后根据 FIR 数字滤波器的特性对数字滤波器的幅度条件进行线性规划。并且给出了改进窗函数的算法。最后, 用该方法设计出了 FIR 数字滤波器的仿真实例, 并与用 Hamming 窗、Blackman 窗方法设计的 FIR 滤波器进行对比, 仿真结果表明用该方法设计的滤波器满足设计规格。

关键词

改进的窗函数 FIR 数字滤波器 窗函数 线性规划

中图分类号: TN713+.7 文献标志码: A 文章编号: 1673-0313( 2010) 06-0031-04 0 引 言

FIR 数字滤波器的设计方法主要有:窗函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法

[1-4]。窗函数法是设计 FIR 数字滤波器最常用、 最简单的方法[4-5]。窗函数法的实质是用截断理想冲激响应的方法来逼近所求的滤波器指标。频率采样法是一种优化设计方法,其缺点是设计时使用的变量仅限于过渡带上的几个采样值,截止频率不容易控制[3]。切比雪夫等波纹逼近法是一种优化设计, 但是存在计算复杂,计算量较大的缺点[1-2]。

窗函数法设计简单, 有闭合形式的公式, 因而很实用。缺点是通带、 阻带的截止频率不容易控制[2-3]。数字滤波器的好坏取决于窗函数的选取, 窗函数法设计的关键是: 选择合适的窗函数, 选择合适的阶数,改善数字滤波器的幅频特性, 减少 Gibbs现象,解决收敛问题[1-2]。文献[3] 选择 Guass 窗函数,通过对 Guass 窗函数改进, 设计出的低通滤波器具有更好的优越性; 文献[4] 利用已知的误差信息,在迭代过程中通过窗函数法不断修改设计结果, 在滤波器阶数不变的情况下, 滤波器的频率响应逼近理想频率响应。文献[5] 用整数序列,如 Fibonacci序列、 Golomb 序列、 Hofstadter Conway 序列、 Recursive Triangular 序列产生窗函数, 来设计滤波器, 其效果优于经典的设计方法。文献[6] 选择双窗结构得到的窗函数序列使系统特性逼近误差最小; 文献[7] 将 Saramaki window 窗并且与Dolph-Chebysheve window 结合设计出的FIR 数字滤波器, 其效果胜过 Kaiser

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window ; 文献[8] 提出的ReImann window 效果好于 Hamming window和Kaiser window 窗。文献[9] 提出一种指数型窗函数,该窗函数具有宽度可调特性, 用该窗设计的数字滤波器有主瓣能量更集中, 旁瓣更少的特点。文献[10] 采用线性规划法设计线性相位的升余弦数字滤波器能100 %超带宽。文献[11]则采用线性规划法设计数字滤波器。本文利用已有的窗函数,对其进行加权组合, 参照文献[10-11] 的线性规划法, 与同长的Hamming、 Blackman 窗进行比较。这种方法的优点是逻辑性强、 目标明确、 易于实现, 并能探索最佳方案。

1 常用的窗函数

窗函数选择原则:窗函数能量尽可能集中在主瓣内,过渡带陡峭;减少窗函数频谱的旁瓣高度,增大阻带衰减, 减小通带和阻带的波纹。常用的窗函数有[1-4]: Rectangle窗、 Hanning 窗、 Hamming 窗、 Blackman窗、 Kaiser 窗。窗函数法设计 FIR 滤波器的思路是[1-2]:先确定理想滤波器的频率响应Hd(ej ), 实际设计滤波器的频率响应

j H(ej ) h(n)e

n 0N 1 j 来逼近Hd(ej )。再对H(e) h(n)e j 进行反变换得最后用n 0N 1

窗函数w(n)来截断hd(n) ,即h( n) = hd(n)w(n)。对hd(n)截断后,会产生吉布斯现象,所有的窗函数选择都以减少这种现象为目的。判断较理想的窗函数主要根据以下三个标准!主瓣的幅度要高,且其宽度应该尽量的窄。旁瓣的幅度下降速度快,最大旁瓣相对于主瓣应该尽量小。#过渡带要求要尽量窄。事实证明前面两条标准不可能同时满足,因此窗函数应该是这两条的折中[1-3]。为减少由于加窗截断引起的波纹和过渡带变宽影响,在工程设计中常用Hamming窗和Kaiser窗。

2 改进的窗函数

文献[1-2] 列举的窗函数中, Hanning 窗、 Hamming 窗、 Blackman 窗是余弦序列与矩形序列的线性组合。为了抑制旁瓣的幅度, 在 Hanning 窗、 Hamming 窗的基础上, 再增加余弦的二次谐波分量, 此时设计的窗函数又与理想的频率响应有关, 又不同于Blackman 窗,对窗函数改进后的形式如下：

(n) a bcos 2 nN 1 ccos4 n RN(n) (1) N 1

公式( 1)中的a, b, c 待定,其大小与给定的滤波器的技术指标相关。为方便起见,该窗函数长度选择为奇数。接下来探讨该式的几个特例。情况1,取a= 1, b= c= 0, 为矩形窗。情况

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2, 取a= 0.5, b= - 0.5, c= 0,为Hann 窗。情况3, 取a=0.53, b= - 0.46, c = 0, 为 Hamming 窗。情况 4,a= 0.42, b= - 0. 5, c= 0.08,为Blackman 窗。由上述可知,改进后的窗函数具备上述四种窗函数的性质,属于上述窗函数的一般形式。

3 改进的窗函数算法

根据给定滤波器的技术指标Hd(e

式求出: hd(n) j ) , 确定待定滤波器的单位取样响应, 可由下列公1

2 j j H(e)ed （2）d

计算实际滤波器的单位取样响应:

h( n) = hd(n)w(n) （3） 滤波器的频率响应为:

H(ej ) h(n)e j （4）

n 0N 1

将公式( 1)代入公式( 4)得:

H(ej ) 2 n4 n jn (5) ha bcos ccose d(n) N 1N 1 n 0N 1

参考文献[1-2] [10-11] ,考虑FIR滤波器满足第一类线性相位条件,

2 n4 n N 1 hd(n) a bcos ccos对偶对称, 且 N 为奇数, 令 h ( n) = N 1N 12

2 n4 n j hd(n) a bcosH(e)的幅度写成下式: ccos。则 N 1N 1

N 1 H( ) h(n)cos n 2 n 0

将上式继续化简得[ 1-2]

N 1N 1

H( ) a(n)cosn( )

n 02

式中 a(0) h(N 1

a(n) 2h() 2N 1

2N 1 (6) n),n 1,2,32

则式( 6) 可以写成

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H( ) A( )a B( )b C( )c (7) 式中

N 1

N 1 2 N 1 A( ) hd n cosn (8) 2hd 2 n 1 2

N 1

2 n N 1 2 N 1 B( ) hd 2h n coscosn (9) d N 1 2 n 1 2

N 1

4 n N 1 2 N 1 C( ) hd n coscosn (10) 2hd 22N 1 n 1

如果滤波器的幅度条件为:通带内满足H( ) 1 n, 阻带内满足H( ) n, 通带内可以列出如下方程:

A( )a B( )b C( )c 1 p (11) A( )a B( )b C( )c 1 p (12) 阻带内可列出方程:

A( )a B( )b C( )c s (13) A( )a B( )b C( )c s (14) p为通带波纹, s为阻带波纹。为方便问题的讨论,这里取系数 a, b, c 大于零作为约束条件。该问题可以转化为线性规划问题[10-12], 公式(11) (12) (13) (14) 可以作为约束条件。经此转换后, 问题求解变得方便了。公式(11) (13) 和公式(12) (14) 分别添加松弛变量、 惩罚变量变换成标准的线性规划方程组[12] :

A( )a B( )b C( )c d 1 p （15） A( )a B( )b C( )c e 1 p （16） A( )a B( )b C( )c f s （17） A( )a B( )b C( )c g s （18） 其中d, e, f , g 全大于0。解决这个问题的方法可以用最小二乘法求解或迭代法求解。算出 a, b, c, 便可以确定窗函数。根据上述过程,这种滤波器的设计算法按照下列步骤:

Ⅰ.在频率域等间隔取 N 点, 且其为奇数, 对频率域序列做离散傅里叶反变换,求出理想

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数字滤波器的单位取样响应hd(n)。

Ⅱ.由公式(8) (9) (10)分别求出A( ) 、B( ) 、C( )。

Ⅲ.由公式(11) (12) (13) (14)列出优化的约束条件。

Ⅳ.解线性方程组,求出a, b, c 的最优解, 从而确定数字滤波器 h(n)。

Ⅴ.验算技术指标是否满足要求。

4 应用实例

设计一低通数字滤波器, 其技术指标如下:

通带截止频率 p 0.2 , 阻带截止频率 s 0.4 ,通带波纹Rp 0.01,阻带波纹Rs 0.001。

s p 0.2 , 截止频率为 c

滤波器窗口长度为N p s2 0.3 , Blackman 窗的 FIR 数字A

61, Hamming 窗的长度为 41。用 Hamming 窗和 Blackman

窗设计的 FIR 滤波器的幅度特性如图1。用改进窗法设计 FIR 滤波器如图2。

图 1 Hamming窗和 Blackman窗设计的幅度特性

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图 2 改进窗的幅度特性图

从图1 和图2 的滤波器的频率特性来看, 改进窗的函数通带都是平坦, 阻带都有波纹; 改进窗设计的通带截止频率严格符合设计要求, 而传统窗法截止频率较高。不同处在于过渡带, 改进窗函数的过渡带为 0.2 - 0.4 , 严格与设计要求一致, 而Hamming 窗和 Blackman 窗的过渡带为 0.25 -0.4 , 改进的窗函数算法略输于传统的窗函数。在阻带衰减方面,改进窗函数法优于 Hamming 窗法,而弱于Blackman 窗法。

5 结论

FIR 数字滤波器常用加窗函数设计方法, 文章采用改进的窗函数设计方法, 并用线性规划法设计的FIR 数字滤波器, 其算法思路明确, 设计的效果较好。用改进窗设计的FIR 滤波器严格满足设计技术指标,与传统的窗函数比较, 它们具有各自的优势、劣势,因而改进窗函数设计FIR 滤波器可行。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/im3n.html