圆的方程;空间两点的距离公式

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【同步教育信息】

一.本周教学内容：

圆的方程；空间两点的距离公式

教学目的：

1.2.3.二.1.2.3.难点：

1.圆的标准方程的探寻过程和对圆的一般方程的认识。

2.通过圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆的位置关系；通过两圆方程联立方程组的解来研究两圆位置关系。

3.确定点在空间直角坐标系中的坐标；空间距离公式的推导。

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知识分析：

（一）圆的标准方程

1.圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。定点叫圆的圆心，定长叫做圆的半径。

2.圆的标准方程：已知圆心为（a ，b ），半径为

r ，则圆的方程为222()()x a y b r -+-=。

（1（2（3，即(x a -（4因（5若点(x a -若点222()()x a y b r -+-<；

3.几种特殊位置的圆的方程

（二）圆的一般方程

任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：

x y Dx Ey F 220++++= ①

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精心整理 将①配方得：

()()x D y E D E F +++=+-22442222 ②

当D E F 2240+->时，方程①表示以（

--D E 22，）为圆心，以12422D E F +-为半径的圆；

当

个点

（当（1（21.直线与圆的位置关系

研究直线与圆的位置关系有两种方法：

（l ）几何法：令圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r 。

d>r ?直线与圆相离；d ＝r ?直线与圆相切；0≤d

（2）代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一元二次方程，其

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判别式为Δ。

△＜0?直线与圆相离；△＝0?直线与圆相切；△＞0?直线与圆相交。 说明：几何法研究直线与圆的关系是常用的方法，一般不用代数法。

2.圆的切线方程

（1）过圆222x y r +=上一点P x y ()00，的切线方程是200x x y y r +=；

（22220(x -（33.（1（20(x -＝r 求k （31.判定两圆的位置关系的方法有二：第一种是代数法，研究两圆的方程所组成的方程组的解的个数；第二种是研究两圆的圆心距与两圆半径之间的关系。第一种方法因涉及两个二元二次方程组成的方程组，其解法一般较繁琐，故使用较少，通常使用第二种方法，具体如下：

圆()()x a y b r -+-=121212与圆()()x a y b r -+-=222222的位置关系，其中r r 1200>>，

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设两圆的圆心距为d ，则d a a b b =-+-()()122122

当d r r >+12时，两圆外离；

当d r r =+12时，两圆外切；

当||||r r d r r 1212-<<+时，两圆相交；

当d r r =-||12时，两圆内切；

当0<

2.（1程，x 2+即f 1(当λ线。

（2设直线l Ax By C ：++=0与C x y Dx Ey F ：220++++=相交，则方程

x y Dx Ey F Ax By C 220+++++++=λ()表示过直线l 与圆C 的两个交点的圆系方程。

（五）空间直角坐标系

1.空间直角坐标系

为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O 作原点，过O 点作三条两两垂直的

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数轴，通常用x 、y 、z 表示．轴的方向通常这样选择：从z 轴的正方向看，x 轴的正半轴沿逆时针方向转90°能与y 轴的正半轴重合。这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O －xyz 。在这个过程中，三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础。

2.点P 的坐标

过点x 述点3.4.xOy xOz yOz x y z 5.三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一个卦限。

在坐标平面xOy 上方分别对应该坐标平面上四个象限的卦限称为第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限；在下方的卦限称为第Ⅴ、第Ⅵ，第Ⅶ、第Ⅷ卦限。在每个卦限内点的坐标各分量的符号是不变的。例如在第Ⅰ卦限，三个坐标分量x 、y 、z 都为正数；在第Ⅱ卦限，x 为负数，y 、z 均为正数。

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精心整理 （六）空间两点的距离公式

空间两点A （x 1，y 1，z 1），B （x 2，y 2，z 2）的距离公式是

特别的，点A （x ，y ，z

）到原点的距离为(,)d O A =

【典型例题】

例1.求满足下列条件的各圆的方程：

（1）圆心在原点，半径是3；

（2

（3（4（5（2（3（4于是可得半径00||4,||1r x r x ====或，

故所求圆的方程为22(4)(4)16x y -+-=或22(1)(1)1x y -++=。

（5）设圆心为（a,－2a ）由题意，圆与直线1y x =-相切于点（2，－1），得 解得：a ＝1

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精心整理 所以所求圆的圆心为（1，－2）

，半径为

r == 故圆的方程为

22(1)(2)2x y -++= 点评：一般情况下，如果已知圆心或圆心到某直线的距离，可用圆的标准方程来求解。用待定系数法，求出圆心坐标和半径。

例2.求圆心在直线2x －y －3＝0上，且过点（5，2）和点（3，－2）的圆的方程。

解得

解得所以中，选标准是根据已知条件选恰当的方程的形式，进而确定其中三个参数。

例3.已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为求圆C 的方程。

解析：设圆C 的方程为()()x a y b r -+-=222

又圆C 与y 轴相切得||a r =

①

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又圆心在直线x y -=30上，∴-=a b 30 ②

圆心C （a ，b ）到直线y x =的距离为d a b =-||

2

由于弦心距d 、半径r 及弦的一半构成直角三角形，所以

(||)()a b r -+=27222

③

a b r 111===?????故圆例4.将A 得49?????解得∴点评：一般来说，由题意知道所求的圆经过几点且不易得知圆心换半径时，常用一般式。

例5.已知圆228x y +=，定点P （4，0），问过P 点的直线的斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆：

（1）相切；

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精心整理 （2）相交；

（3）相离，并写出过P 点的切线方程。

解析：法一

设过P 点的直线的斜率为k ，则其方程为y k x =-()4

由y k x x y =-+=???

()4822消去y ，得x k x 22248+-=() 即(

1（1∴当（2∴当（3 （1∴=k （2（3即k >1或k <-1时直线与圆相离

点评：解决直线与圆的位置关系，几何法比代数法简单。

例6.已知直线l y x b ：=+，曲线C y x ：=-12，它们有两个公共点，求b 的取值范围。

解析：法一，曲线C 中，y ≥0，因此l 和C 有两个公共点，等价于方程组

y x b

y x =+=-?????12

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精心整理 有两组不同解，又等价于y x b x y y =++=≥?????221

0，有两组不同解，消去x 得

221022y by b -+-= C 和l 有两个公共点，等价方程有两个不等非负实数解

于是?=-->>-≥?????48100

10222b b b b ()

解得

x 轴

此时l 和C 例7.80-=则

a a a a r 222224+--=++=()() 解得a r =-=310，

因此，圆的方程为

()()x y ++-=331022 法二：同法一，得两已知圆的交点的坐标为（0，2），（－4，0）

设所求的圆的方程为x y Dx Ey F 220++++=，则有

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精心整理 解得D E F ==-=?????66

8

因此，圆的方程为x y x y 226680++-+=

法三，设所求圆的方程为

x y x y x y x y 2222210242280+-+-++++-=λ() 即

()()()()1122210824022++++-++--=λλλλλx y x y

所以解得∴1234、设有圆M ：

22(3)(2)2x y -++=，直线:30l x y +-=，点P （2，1），那么（） A.点P 在直线l 上，但不在圆M 上

B.点P 不在直线l 上，但在圆M 上

C.点P 在直线l 上，也在圆M 上

D.点P 既不在直线l 上，也不在圆M

上 5、设M 是圆22(5)(3)9x y -+-=上的点，则M 到直线3420x y +-=的最小距离是（）

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精心整理 A.9 B.8 C.5 D.2

6、方程

2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是（） A.2

23a a <->或 B.203a -<<

C.20a -<<

D.2

23a -<<

7

228910（）

11121314、已知224240x y x y ++--=，则22x y +的最大值为__________________

15、一圆过点P （－4，3），圆心在直线210x y -+=上且半径为5，求此圆的方程。

16、求半径为4，与圆

224240x y x y +---=相切，且和直线0y =相切的圆的方程。 17、已知圆满足：（1）截y 轴所得弦长为2；

（2）被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3∶1；圆心到直线:20l x y -=的距离

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1～10：CAAADDACAD

11、2222(1)(1)1(5)(5)25x y x y -+-=-+-=或

12、

2215()(1)24x y -+-=13、3414

、3+15、设此圆的方程为

22()()25x a y b -+-=，

1617、设⊙P 的圆心为P （a ，b ），半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b|，|a|，由题设知⊙P 截x 轴所得劣弧所对圆心角为90°，知⊙P 截x r ，故2|b|r ，得：r 2=2b 2

又⊙P 被y 轴解得的弦长为2，由勾股定理得：r 2＝a 2＋1，得：2b 2－a 2＝1。

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又因为P （a,b ）到直线x －2y ＝0

的距离为5，

得：5d ==，即有21a b -=±。

综前述得：222221212121b a b a a b a b ??-=-=????-=-=???

?或－ 解得：1111a a b b =-=????=-=?

?或，于是r 2＝2b 2＝2 【励志故事】

遭窃的罗斯福

“谢

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