直线上的相遇与追及问题
更新时间:2024-01-21 15:53:01 阅读量: 教育文库 文档下载
第一讲 直线上的相遇与追及问题
教学目的:
1、 学会行程的中,速度、时间、路程三个量的关系 2、 掌握相向、背向、同向等概念
3、 会运用追及和相遇解决简单行程问题 基本知识点
行程三个量的关系公式:
路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间 三个概念:
相向而行:面对面而行(如图)。
同向而行:面朝的方向相同而行(如图)
背向而行:背靠背方向,方向相反而行(如图)。
相遇和追及问题 1、相遇问题
含义 : 两个运动的物体同时由两地出发相向而行,在途中相遇。这类应用题
叫做相遇问题。
数量关系: 总路程=(甲速+乙速)×相遇时间 相遇时间=总路程÷(甲速+乙速)
(甲速+乙速)=总路程÷相遇时间
2、追及问题
含义: 两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发,或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动,在后面的,行进速度要快些,在前面的,行进速度较慢些,在一定时间之内,后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。
数量关系: 追及路程=(快速-慢速)×追及时间
追及时间=追及路程÷(快速-慢速)
(快速-慢速)=追及路程÷追及时间
3、注意点:
① 在处理相遇与追及问题的时候,一定要注意公式的使用时二者发生关系那一时刻时候所处的状态。
② 在行程问题里面所用的时间都是时间段,不是时间点(非常重要)。
③ 无论在哪一类行程问题里面,只要是相遇,就与速度和有关,只要是追及,
就与速度差有关。 相遇例题:
例1 南京到上海的水路长392千米,同时从两港各开出一艘轮船相对而行,从南京开出的船每小时行28千米,从上海开出的船每小时行21千米,经过几小时两船相遇? 解 392÷(28+21)=8(小时) 答:经过8小时两船相遇。
例2 小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步,小李每秒钟跑5米,小刘每秒钟跑3米,他们从同一地点同时出发,反向而跑,那么,二人从出发到第二次相遇需多长时间?
解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为400×2 相遇时间=(400×2)÷(5+3)=100(秒) 答:二人从出发到第二次相遇需100秒时间。
例3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行,甲每小时行15千米,乙每小时行13千米,两人在距中点3千米处相遇,求两地的距离。
解 “两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快,乙骑得慢,甲过了中点3千米,乙距中点3千米,就是说甲比乙多走的路程是(3×2)千米,因此, 相遇时间=(3×2)÷(15-13)=3(小时) 两地距离=(15+13)×3=84(千米) 答:两地距离是84千米。
追及例题:
例1 好马每天走120千米,劣马每天走75千米,劣马先走12天,好马几天能追上劣马?
解 (1)劣马先走12天能走多少千米? 75×12=900(千米) (2)好马几天追上劣马? 900÷(120-75)=20(天) 列成综合算式 75×12÷(120-75)=900÷45=20(天) 答:好马20天能追上劣马。
例2 小明和小亮在200米环形跑道上跑步,小明跑一圈用40秒,他们从同一地点同时出发,同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米,求小亮的速 度是每秒多少米。
解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈,即200米,此时小亮跑了(500-200)米,要知小亮的速度,须知追及时间,即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒,则跑500米用[40×(500÷200)]秒,所以小亮的速度是 (500-200)÷[40×(500÷200)]=300÷100=3(米) 答:小亮的速度是每秒3米。
例3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人,敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑,解放军在晚上22点接到命令,以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米,问解放军几个小时可以追上敌人? 解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是(22-16)小时,这段时间敌人逃跑的路程是[10×(22-6)]千米,甲乙两地相距60千米。由此推知 追及时间=[10×(22-6)+60]÷(30-10)=220÷20=11(小时) 答:解放军在11小时后可以追上敌人。
例4 一辆客车从甲站开往乙站,每小时行48千米;一辆货车同时从乙站开往甲站,每小时行40千米,两车在距两站中点16千米处相遇,求甲乙两站的距离。 解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车(16×2)千米,客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间, 这个时间为 16×2÷(48-40)=4(小时) 所以两站间的距离为 (48+40)×4=352(千米) 列成综合算式 (48+40)×[16×2÷(48-40)]=88×4=352(千米) 答:甲乙两站的距离是352千米。
例5 兄妹二人同时由家上学,哥哥每分钟走90米,妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本,立即沿原路回家去取,行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远?
解 要求距离,速度已知,所以关键是求出相遇时间。从题中可知,在相同时间(从出发到相遇)内哥哥比妹妹多走(180×2)米,这是因为哥哥比妹妹每分钟多走(90-60)米,那么,二人从家出走到相遇所用时间为 180×2÷(90-60)=12(分钟) 家离学校的距离为 90×12-180=900(米) 答:家离学校有900米远。
例6 孙亮打算上课前5分钟到学校,他以每小时4千米的速度从家步行去学校,当他走了1千米时,发现手表慢了10分钟,因此立即跑步前进,到学校恰好准时上课。后来算了一下,如果孙亮从家一开始就跑步,可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。 解 手表慢了10分钟,就等于晚出发10分钟,如果按原速走下去,就要迟到(10-5)分钟,后段路程跑步恰准时到学校,说明后段路程跑比走少用了(10-5)分钟。如果从家一开始就跑步,可比步行少9分钟,由此可知,行1千米,跑步比步行少用[9-(10-5)]分钟。所以 步行1千米所用时间为 1÷[9-(10-5)]=0.25(小时)=15(分钟) 跑步1千米所用时间为 15-[9-(10-5)]=11(分钟) 跑步速度为每小时 1÷11/60=1×60/11=5.5(千米) 答:孙亮跑步速度为每小时5.5千米。
第二讲 环形跑道的相遇与追及
教学目的:
1、 了解什么是环形跑道问题
2、 掌握环形跑道上相遇与追及的特点 基本知识点
1、环形跑道相遇问题:
如上图,我们可以看到甲、乙两人背向而行会在圆周上一点相遇,相遇的时候他们刚好走过一个圆周的周长,如果在进行多次相遇的时候,与第一次相遇的情况一样,新的起点,再次相遇。
重点:因此,圆周上的相遇告诉我们,每相遇一次,他们两个人的路程和为一个圆周的周长。相遇几次,就是几个圆周的周长。由此,也可以建立等量关系,来进行解题
公式:一个圆周的周长=(快速+慢速)×相遇时间
2、环形跑道上的追及问题
如上图,我们可以看到甲、乙两人同向而行,快的会再一次在圆周上追上慢的,当追上的时候,快的刚好比慢的多走一个圆周的周长,如果在进行多次追及的时候,与第一次相遇的情况一样,新的起点,再次追及。
重点:因此,圆周上的追及告诉我们,每追及一次,快的就应该比慢的多走一个圆周的周长。追及几次,就是几个圆周的周长。由此,也可以建立等量关系,来进行解题
公式:一个圆周的周长=(快速-慢速)×相遇时间
1.在400米的环形跑道上,A、B两点相距100米,。甲、乙两人分别从A、B两点同时出发,按照逆时针方向跑步,甲每秒跑5米,乙每秒跑4米,每人每跑100米,都要停10秒钟。那么,甲追上乙需要的时间是多少秒?
答案:假设没有休息 那么100/(5—4)=100秒钟 在100/5=20秒 100/20-1=4(次)100+4*10=140秒
2.小明在360米的环形跑道上跑一圈,已知他前半时间每秒跑5米,后半时间每秒跑4米,为他后半路程用了多少时间?
答案:x÷4=(360-x)÷5×=160(360÷2-160)÷5+160÷4=44分
3.林琳在450吗长的环形跑道上跑一圈,已知她前一半时间每秒跑5米,后一半时间每秒跑4米,那么她的后一半路程跑了多少秒
答案:设总时间为X,则前一半的时间为X/2,后一半时间同样为X/2 X/2*5+X/2*4=360 X=80
总共跑了80秒
前40秒每秒跑5米,40秒后跑了200米 后40秒每秒跑4米,40秒后跑了160米 后一半的路程为360/2=180米
后一半的路程用的时间为(200-180)/5+40=44秒
4.小君在360米长的环形跑道上跑一圈。已知他前一半时间每秒跑5米,后一半时间每秒跑4米。那么小君后一半路程用了多少秒?
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