电磁学习题答案

5-4 长l＝15.0cm的直导线AB上均匀地分布着线密度??5.0?10?9Cm的正电荷.试求：(1)在导线的延长线上与导线B端相距a1?5.0cm处P点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2?5.0cm处Q点的场强. 解：如题5-4图所示

题5-4图

(1)在带电直线上取线元dx，其上电量dq在P点产生场强为

dEP?1?dx 24π?0(a?x)?EP??dEP?4π?0??l2l?2dx 2(a?x)?11[?]

ll4π?0a?a?22?用l?15?lπ?0(4a?l)22

cm，??5.0?10?9C?m?1, a?12.5cm代入得

EP?6.74?102N?C?1方向水平向右

(2)同理dEQ?由于对称性dEQxl1?dx方向如题5-4图所示

4π?0x2?d22???0，即EQ只有y分量，

d2x?d222∵dEQy1?dx?4π?0x2?d22

EQy??dEQyld??24π?2?l2l?2dx(x2?d22)32

??l2π?0l?4d222

以??5.0?10?9C?cm?1,l?15cm,d2?5cm代入得

EQ?EQy?14.96?102N?C?1，方向沿y轴正向

5-6 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2?10?5Cm3.试求距球心5cm,8cm及12cm的各点的场强.

???q解:高斯定理?E?dS?,E4πr2?s?0?q

?0当r?5cm时，

?q?0,E?0

4π33) (r?r内3?r?8cm时，?q?p?∴E?4π32r?r内4?13?3.48?10N?C，方向沿半径向外． 24π?0r??r?12cm时,?q??4π33 ）(r外?r内3?∴E?4π33r外?r内4?13?4.10?10N?C沿半径向外. 24π?0r??5-7 半径为R1和R2 (R2>R1)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和－λ，试求：(1)rR2处各点的场强.

???q解: 高斯定理?E?dS?

s?0取同轴圆柱形高斯面，侧面积S?2πrl

??则?E?dS?E2πrl

S对(1)r?R1?q?0,E?0 ?q?l?

(2)R1?r?R2∴E??沿径向向外

2π?0r(3)r?R2?q?0

∴E?0

5-10 如题5-10图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷，两段直导线的长度和半圆环的半径都等于R.试求环中心O点处的场强和电势.

解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，取dl?Rd?

?则dq??Rd?产生O点dE如图，由于对称性，O点场强沿y轴负方向

题5-10图

?E??dEy??2???Rd?cos?

?4π?R202???［sin(?)?sin］

224π?0R??

2π?0R?(2)AB电荷在O点产生电势，以U??0

U1??同理CD产生U2?AB2R?dx?dx????ln2 R4π?0x4π?0x4π?0?ln2 4π?0半圆环产生U3?πR?? ?4π?0R4?0∴UO?U1?U2?U3?

?? ln2?2π?04?05-12 两个半径分别为R1和R2 (R1

(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势.

解: (1)内球带电?q；球壳内表面带电则为?q,外表面带电为?q，且均匀分布，其电势

题5-12图

U???R2???E?dr??qdrq ?R24π?r24π?R00(2)外壳接地时，外表面电荷?q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为?q．所以球壳电

势由内球?q与内表面?q产生：

U?q4π?0R2?q4π?0R2?0

5-13 在半径为R1的金属球之外包有一层外半径为R2的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为?r，金属球带电Q.试求：

(1)电介质内、外的场强； (2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势.

S??解:利用有介质时的高斯定理?D?dS??q

(1)介质内(R1?r?R2)场强

???Qr?Qr; D?,E内?4πr34π?0?rr3介质外(r?R2)场强

??Qr?Qr D?,E外?334πr4π?0r (2)介质外(r?R2)电势

???U??E外?dr?rQ

4π?0r介质内(R1?r?R2)电势

U???r?????E内?dr??E外?drr

?11Q (?)?4π?0?rrR24π?0R2q? (3)金属球的电势

Q1??1(?r)

4π?0?rrR2R2?????U??E内?dr??E外?dr

R1R2R2??

Qdr4π?0?rr2R??Qdr

R24π?r20?5-15 如题5-15图所示，C1?0.25?F，C2?0.15?F，C3?0.20?F，C1上电压为50V.求：UAB.

题5-15图

解: 电容C1上电量

Q1?C1U1

电容C2与C3并联C23?C2?C3 其上电荷Q23?Q1 ∴ U2?Q23C1U125?50?? C23C233525)?86V 35UAB?U1?U2?50(1?2B?2.0Wb/m6-3 已知磁感应强度的均匀磁场，方向沿x轴正方向，如题6-3图所示.试

求：(1)通过图中abcd面的磁通量；(2)通过图中befc面的磁通量；(3)通过图中aefd面的磁

通量.

题6-3图

解：如题6-3图所示

题6-3图

(1)通过abcd面积S1的磁通是

???1?B?S1?2.0?0.3?0.4?0.24Wb

(2)通过befc面积S2的磁通量

???2?B?S2?0

(3)通过aefd面积S3的磁通量

??4?3?B?S3?2?0.3?0.5?cos??2?0.3?0.5??0.24Wb (或曰?0.24Wb)

5

6-4 如题6-4图所示，AB、CD为长直导线，BC为圆心在O点的一段圆弧形导线，其半径为R.若通以电流I，求O点的磁感应强度.

?解：如题6-4图所示，O点磁场由AB、BC、CD三部分电流产生．其中

?AB 产生B1?0

CD 产生B2??0I12R，方向垂直向里

CD 段产生B3??0I?I3(sin90??sin60?)?0(1?)，方向?向里 R2?R24?2∴B0?B1?B2?B3??0I3?(1??)，方向?向里． 2?R266-5 在真空中，有两根互相平行的无限长直导线L1和L2，相距0.10m，通有方向相反的电

流，I1?20A，I2?10A，如题6-5图所示.A，B两点与导线在同一平面内.这两点与导线L2的距离均为5.0cm.试求A，B两点处的磁感应强度，以及磁感应强度为零的点的位置.

题6-5图

?解：如题6-5图所示,BA方向垂直纸面向里

BA??0I12?(0.1?0.05)??0I2?1.2?10?4T

2??0.05?(2)设B?0在L2外侧距离L2为r处

则

?0I2?(r?0.1)??I2?0 2?r解得 r?0.1m

6-8 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱(半径为a)和一同轴的导体圆管(内、外半径分别为b，c)构成，如题6-8图所示.使用时，电流I从一导体流去，从另一导体流回.设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，求：(1)导体圆柱内(r?a)，(2)两导体之间(a?r?b)，(3)导体圆筒内(b?r?c)，(4)电缆外(r?c)各点处磁感应强度的大小.

??解：?B?dl??0?I

LIr2(1)r?aB2?r??02

RB?(2)a?r?bB2?r??0I

?0Ir 2?R2B?r2?b2??0I (3)b?r?cB2?r???0I2c?b2?0I 2?r?0I(c2?r2) B?222?r(c?b)(4)r?cB2?r?0

B?0

6-9 在磁感应强度为B的均匀磁场中，垂直于磁场方向的平面内有一段载流弯曲导线，电流为I，如题6-9图所示.求其所受的安培力.

题6-9图

?

解：在曲线上取dl

???b则Fab??Idl?B

a??????BB∵dl与夹角?dl，B??不变，是均匀的．

2????bb?F?Idl?B?I(dl)?B?Iab?B∴ab? ?aa方向⊥ab向上，大小Fab?BIab

6-10 如题6-10图所示，在长直导线AB内通以电流I1?20A，在矩形线圈CDEF中通有电流I2?10A，AB与线圈共面，且CD，EF都与AB平行.已知a＝9.0cm，b＝20.0cm，d＝1.0cm，求：

(1)导线AB的磁场对矩形线圈每边所作用的力； (2)矩形线圈所受合力和合力矩. 解：(1)FCD方向垂直CD向左，大小

?FCD?I2b?0I1?8.0?10?4N 2?d?同理FFE方向垂直FE向右，大小

FFE?I2b?0I12?(d?a)?8.0?10?5N

?FCF方向垂直CF向上，大小为

FCF??d?ad?0I1I2?IId?adr?012ln?9.2?10?5N 2?r2?d?FED方向垂直ED向下，大小为

FED?FCF?9.2?10?5N

(2)合力F?FCD?FFE?FCF?FED方向向左，大小为

?????F?7.2?10?4N

???合力矩M?Pm?B

∵线圈与导线共面

∴ Pm//B

6-15 螺绕环中心周长L＝10cm，环上线圈匝数N＝200匝，线圈中通有电流I＝100mA. (1)当管内是真空时，求管中心的磁场强度H和磁感应强度B0；

(2)若环内充满相对磁导率?r＝4200的磁性物质，则管内的B和H各是多少？

????解:(1) ?H?dl??I

lHL?NI NIH??200A?m?1

LB0??0H?2.5?10?4T

?1(2)H?200A?mB??H??r?oH?1.05T

7-1 一半径r＝10cm的圆形回路放在B＝0.8T的均匀磁场中，回路平面与B垂直.当回路半径以恒定速率

dr=80cm/s收缩时，求回路中感应电动势的大小. dt解: 回路磁通?m?BS?Bπr2 感应电动势大小

??d?mddr?(Bπr2)?B2πr?0.40V dtdtdt

7-4 如题7-4图所示，长直导线通以电流I＝5A，在其右方放一长方形线圈，两者共面.线圈长b＝0.06m，宽a＝0.04m，线圈以速度v＝0.03m/s垂直于直线平移远离.求：d＝0.05m时线圈中感应电动势的大小和方向.

?解: AB、CD运动速度v方向与磁力线平行，不产生感应电动势． DA产生电动势

?I????1??(v?B)?dl?vBb?vb0

D2?dABC产生电动势

?2??∴回路中总感应电动势

CB???(v?B)?dl??vb?0I2π(a?d)

???1??2??0Ibv12π1(?)?1.6?10?8V dd?a方向沿顺时针．

7-8 一无限长直导线和一正方形的线圈如题7-8图所示放置(导线与线圈接触处绝缘).求：线圈与导线间的互感系数.

解：设长直电流为I，其磁场通过正方形线圈的互感磁通为

?12??

2a3a3?0Ia2πrdr??0Ia2πln2

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