自控原理复习资料（沈阳工程学院）

兴哥的自动控制原理复习资料

第二部分 古典控制理论基础习题详解概述

2-1-1 试比较开环控制系统和闭环控制系统的优缺点。

【解】： 控制系统 开环控制 闭环控制

2-1-2 试列举几个日常生活中的开环和闭环控制系统的例子，并说明其工作原理。

【解】：

开环控制——半自动、全自动洗衣机的洗衣过程。

工作原理：被控制量为衣服的干净度。洗衣人先观察衣服的脏污程度，根据自己的经验，设定洗涤、漂洗时间，洗衣机按照设定程序完成洗涤漂洗任务。系统输出量（即衣服的干净度）的信息没有通过任何装置反馈到输入端，对系统的控制不起作用，因此为开环控制。

闭环控制——卫生间蓄水箱的蓄水量控制系统和空调、冰箱的温度控制系统。

工作原理：以卫生间蓄水箱蓄水量控制为例，系统的被控制量（输出量）为蓄水箱水位（反应蓄水量）。水位由浮子测量，并通过杠杆作用于供水阀门（即反馈至输入端），控制供水量，形成闭环控制。当水位达到蓄水量上限高度时，阀门全关（按要求事先设计好杠杆比例），系统处于平衡状态。一旦用水，水位降低，浮子随之下沉，通过杠杆打开供水阀门，下沉越深，阀门开度越大，供水量越大，直到水位升至蓄水量上限高度，阀门全关，系统再次处于平衡状态。 2-1-3 试判断下列微分方程所描述的系统属何种类型（线性、非线性；定常、时变）。

2（1）dc(t)?3dc(t)?2c(t)?5dr(t)?r(t)； （2）tdc(t)?2c(t)?dr(t)?2r(t)；

优点 简单、造价低、调节速度快 缺点 调节精度差、无抗多因素干扰能力 慢 抗多因素干扰能力强、调节精度高 结构较复杂、造价较高，控制速度dt2dtdtdtdt2dc(t)dr(t)t)dc(t)2（3）dc(； （4）5?c(t)?3?2r(t)?3?r(t)dt。 ?2?2c(t)?r(t)2dtdtdtdt【解】：

（1）线性定常系统；（2）线性时变系统；（3）非线性定常系统；（4）线性定常系统。 2-1-4 根据题2-1-1图所示的电动机速度控制系统工作原理图：

（1）将a，b与c，d用线连接成负反馈系统； （2）画出系统方框图。 【解】：

（1）a-d连接，b-c连接。 （2）系统方框图

给定值放大器电动机负载转速? 电动机 ur? ab放大器ua负载 ?c?d题2-1-3图 测速发电机测速电机 1

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2-1-5 下图是水位控制系统的示意图，图中Q1,Q2分别为进水流量和出水流量。控制的目的是 h Q1浮子阀门保持水位为一定的高度。试说明该系统的工作原理并画出其方框图。

【解】：当输入流量与输出流量相等时，水位的

?电位计减速器测量值和给定值相等，系统处于相对平衡状态，电动机无输出，阀门位置不变。当输出流量增加时，系统水位下降，通过浮子检测后带动电位器抽头移动，电动机获得一个正电压，通过齿轮减速器传递，使阀门打开，从而增加入水流量使水位上升，当水位回到给定值时，电动机的输入电压又会回到零，

Q2水箱?电动机??题2-1-5图 系统重新达到平衡状态。反之易然。

Q2水位给定值h0电位计电动机、齿轮阀门Q1水箱水位h浮子

题2-1-5解图

2-1-6 仓库大门自动控制系统如图所示，试分析系统的工作原理，绘制系统的方框图，指出各实际元件的功能及输入、输出量。

放大器伺服电动机绞盘电位器组开门开关门关门开关【解】：

当给定电位器和测量电位器输出相等时，放大器无输出，门的位置不变。假设门的原始平衡位置在关状态，门要打开时，“关门”开关打开，“开门”开关闭合。给定电位器与测量电位器输出不相等，其电信号经放大器比较放大，再经伺服电机和绞盘带动门改变位置，直到门完全打开，其测量电位器输出与给定电位器输出相等，放大器无输出，门的位置停止改变，系统处于新的平衡状态。系统方框图如解图所示。

元件功能

开关给定电位器放大器伺服电机绞 盘门位置电位器组——将给定“开”、“关”信号和门的位置信号变成电信号。为给定、测量元件。

放大器、伺服电机——将给定信

测量电位器号和测量信号进行比较、放大。为比较、放大元件。

绞盘——改变门的位置。为执行元件。 门——被控对象。 系统的输入量为“开”、“关”信号；输出量为门的位置。

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二 控制系统的数学模型

2-2-1 试建立下图所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压ur(t)和位移xr(t)为输入量；电压uc(t)和位移xc(t)为输出量；k,k1和k2为弹簧弹性系数；f为阻尼系数。

【解】：(a)

方法一：设回路电流为i，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：

1?idt?uc?ur? C??uc?Ri??(c)? ?C?fkur(t)?Ruc(t)?xr(t)xc(t)(a)(b)R1?k1xr(t)xc(t)k2fur(t)R2Cuc(t)?(d)题2-1-1图 ?削去中间变量，整理得：

RCducdu?uc?RCr dtdt方法二：

Uc(s)?Ur(s)RR?1Cs?RCs?c?uc?RCu?r ?RCuRCs?1(b)由于无质量，各受力点任何时刻均满足

?r?x?c)?kxcf(x1Cs1Cs?F?0，则有：

?ff?c?xc?x?r xkk(c)Uc(s)?Ur(s)R2??R1?R2?R2Cs?1?c?uc?R2Cu?r?ur ?(R1?R2)Cu?R1?R2?Cs?1(d) 设阻尼器输入位移为xa，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程

?k1(xr?xc)?k2(xr?xa)???k(x?x)?fx2caa?k1?k2f?c?xc??r?xr fxxk1k2k2结论：(a)、(b)互为相似系统，(c)、(d)互为相似系统。四个系统均为一阶系统。

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2-2-2 试求题2-2-2图所示各电路的传递函数。

R1 ?ur(t)R1CR1?LR2uc(t)?C1R2?ur(t)C2uc(t)__(a)_(b)_?R2ur(t)?C1?Cuc(t)ur(t)?RRC2uc(t)L

_(c)__(d)_题2-2-2图 【解】：可利用复阻抗的概念及其分压定理直接求传递函数。

1?R2)//LsUc(s)R2LCR2s2Cs(a) ???Ur(s)R?(1?R)//Ls1?R(R1?R2)LCs2?(R1R2C?L)s?R1122CsCs(Uc(s)?1?(b)

Ur(s)R1//1C1sR1R2C1C2s2?(R1C1?R2C2)s?1R1R2C1C2s?(R1C1?R2C2?R1C2)s?1211(R1//)?R2?C1sC2s?

1//(R2?Ls)Uc(s)R2?LsCs??(c) 2Ur(s)R?1//(R?Ls)R1LCs?(R1R2C?L)s?R1?R212Cs1C2s(R?1)//RC1s(d)

Uc(s)R???111Ur(s)(R?1)//R?1(R?)//R?R?C1sC2sC1sC2sC1s

?R2C1C2s2?2RC1s?1R2C1C2s2?(2RC1?RC2)s?1

2-2-3 工业上常用孔板和差压变送器测量流体的流量。通过孔板的流量Q与孔板前后的差压P的平方根成正比，即Q?kP，式中k为常数，设系统在流量值Q0附近作微小变化，试将流量方程线性化。

【解】：取静态工作点(P0,Q0)，将函数在静态工作点附近展开成泰勒级数，并近似取前两项

Q?Q0?Q?P?P(P?P0)?Q0?012kP0(P?P0)?Q?Q0?k2P0(P?P0)

设

1k1?（R为流动阻力），并简化增量方程为Q?P R2P0R

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2-2-4 系统的微分方程组为：

x1(t)?r(t)?c(t)T1dx2(t)?k1x1(t)?x2(t)dt

x3(t)?x2(t)?k3c(t)dc(t)?c(t)?k2x3(t)dtT2式中T1,T2,k1,k2,k3均为正的常数，系统的输入为r(t)，输出为c(t)，试画出动态结构图，并求出传递函数G(s)?C(s)。 R(s)【解】：对微分方程组进行零初始条件下的Laplace变换得：

X1(s)?R(s)?C(s)T1sX2(s)?k1X1(s)?X2(s)X3(s)?X2(s)?k3C(s)T2sC(s)?C(s)?k2X3(s)

绘制方框图

R(s)X1(s)k11T1s?1X2(s)X3(s)k2T2s?1k3C(s) 题2-2-4图

传递函数为

C(s)k1k2 ?R(s)T2T1s2?(T2?T1?k3k2T1)s?(k1k2?k3k2?1)2-2-5 用运算放大器组成的有源电网络如题2-2-5图所示，试采用复阻抗法写出它们的传递函数。

? CC1R1R2_C2_??R2R1?ur??uc?(a)ur??uc?(b)题2-2-5

【解】：利用理想运算放大器及其复阻抗的特性求解。 (a)Uc(s)Ur(s)??11R2?R1//C2sC1s?Uc(s)RC1??(2?1?R2C1s?) Ur(s)R1C2R1C2s(b)Uc(s)U(s)??r1R1R2//Cs?Uc(s)R1 ??2?Ur(s)R1R2Cs?1

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ts?tr?3?n?????1.27s(??5%)ts?4?n??1.69s(??2%)

?n1??2?0.54s2-3-8 已知闭环系统特征方程式如下，试用劳斯判据判定系统的稳定性及根的分布情况。 （1）s3?20s2?9s?100?0 （2）s3?20s2?9s?200?0

（3）s4?2s3?8s2?4s?3?0 （4）s5?12s4?44s3?48s2?5s?1?0 【解】：（1）劳斯表为

s3s2s114920100

s0100劳斯表第一列符号没有改变，且特征方程各项系数均大于0，因此系统稳定，该系统三个特征根均位于s的左半平面。

（2）劳斯表为

s3s2s1120?12009200

s0劳斯表第一列符号改变二次，该系统特征方程二个根位于右半平面，一个根位于左半平面，系统不稳定。

（3） 劳斯表为

s4s3s2s1s0126338433

劳斯表第一列符号没有改变，且特征方程各项系数均大于0，因此系统稳定，该系统四个特征根均位于s的左半平面。

（4） 劳斯表为

s5s4s3s2112401861404.06144485912151

s1s0劳斯表第一列符号没有改变，且特征方程各项系数均大于0，因此系统稳定，该系统五个特征根均位于s的左半平面。

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2-3-9 已知闭环系统特征方程式如下

（1）s4?20s3?15s2?2s?K?0 （2）s3?(K?1)s2?Ks?50?0 试确定参数K的取值范围确保闭环系统稳定。 【解】：（1）根据特征方程列写出劳斯表为：

s4s3s2s1s012014.920K2?14.9K152KK

系统稳定的充分必要条件为

?K?0??20K?2?14.9?0??0?K?1.49

（2）由三阶系统稳定的充分必要条件得

?K?0??(K?1)?K?50?K?6.59

2-3-10 具有速度反馈的电动控制系统如题2-3-10图所示，试确定系统稳定的Ki的取值范围。

【解】：系统的特征方程为

1?100Kis1000??0s(s?5.6)(s?10)s(s?5.6)(s?10)s3?15.6s2?(100Ki?56)s?1000?0

题2-3-10图 R(s)E(s)10100s(s?5.6)(s?10)KisC(s)系统稳定的条件是

?100Ki?56?0??15.6(100Ki?56)?1000?Ki?0.081。

1000.2s?1Kt120sC(s)2-3-11 已知系统的结构图如别求该系统的静态位置误差系数、数和加速度误差系数。当系统的输1（1）1(t)，（2）t?1(t)，（3）t2?1(t)2 R(s)图所示，分速度误差系入分别为时，求每种

K 题2-3-11图 情况下系统的稳态误差。

【解】：系统的开环传递函数为

5K100100Kt?11?0.2s?1? Gk(s)?K?100Kt0.220ss(s?1)1?1?100K0.2s?1t5K

100Kt?1?v?1,KK?KK为开环增益。在系统稳定的前提条件下有

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kp??,kKv?5100K?1,ka?0

t（1）r(t)?1(t)?ess?11?k?0 ； p（2）r(t)?t?1(t)?e1100Kss?t?1k?5K ； v（3） r(t)?1t22?1(t)?ess??

2-3-12 已知系统的结构图如图所示。 （1）确定K和Kt满足闭环系统稳定的条件；

（2）求当r(t)?t1(t)和n(t)?0时，系统的稳态误差ess； （3）求当r(t)?0和n(t)?1(t)时，系统的稳态误差ess。

N(s) R(s)E(s)KC(s)0.02s?1 s2(s?25) Kts 题2-3-12图 系统稳定时

??K?0?K(Kt?0.02)?0????K?0?25K(Kt?0.02)?K?Kt?0.02 （2）方法一 系统开环传递函数为

K(0.02s?1)1G?s2(s?25)K(0.02s?1)K(s)tKK??v?1,KK?11?tK， ts(s?25)s(1225KKs?s?1)tKKtKK为开环增益。

Ⅰ型系统，kp??,k1v?KK?K,k(s)?1a?0，根据题意R2，N(s)?0, tsess?essr?0?Kt

方法二

E(s)1?KKts?s2(s?25)s(s2?25s?KKt)R(s)1?KKsK(0.02s?1)?ts3?25s2?K(Kt?0.02)s?Ks2(s?25)?s2(s?25)es(s2?25s?KK1ss?essr?lims?0sE(s)?limt)s?0ss3?25s2?K(Kt?0.02)s?Ks2?Kt

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【解】：（1）

系统的特征方程为

1?KKtsK(0.02s?1)s2(s?25)?s2(s?25)

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（3）方法一

（?0.02s?1得???0,K??1,n(t)?1(t)。由G1s）essn

s???1s1??lim?N(s)??lim???1

s?0K?s?01s方法二

KE(s)??N(s)s2(s?25)K ??32KKtsK(0.02s?1)s?25s?K(Kt?0.02)s?K1?2?2s(s?25)s(s?25)E(s)K1?N(s)?lims[?3]??1 2s?0N(s)ss?25s?K(Kt?0.02)s?Kess?essn?lims?s?0 2-3-13 控制系统如图所示，输入信号r(t)和扰动信号n(t)均为单位斜坡输入。试计算??0时

的稳态误差ess，并选择适当的 ?使ess?0。

【解】：特征方程为

1?K?0

s(Ts?1)R(s)N(s)（e=r-c）

KdTds?1?s?1Ks(Ts?1)C(s)K、T均大于0时系统稳定。

R(s)?N(s)?C(s)? 题2-3-13图 1s2

R(s)?Kds(Ts?1)(Tds?1)(Ts2?s?K)K(?s?1)T2s?s?kR(s)?N(s)Kds(Ts?1)(Tds?1)T2s?s?KK(?s?1)Ts2?s?k

N(s)]E(s)?R(s)?C(s)?R(s)?[ess?limsE(s)?s?01?K??Kd K??0?ess?ess1?KdK 1?Kd?0???K122-3-14 具有扰动输入的控制系统如图所示，求：当rN(t)?n1(t)?n2(t)?1(t)时系统的稳态误差。 (s)N(s)【解】：系统特征方程为

题2-3-14图

R(s)?100.1s?12s(s?1)C(s)1?20?0?0.1s3?1.1s2?s?20?0

s(0.1s?1)(s?1)1.1?0.1?20

该系统不稳定，所以稳态误差没有意义。

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2-3-15 系统如图所示，已知r(t)?4?6t,n(t)??1(t),试求： N(s)（1）系统的稳态误差。

R(s)E(s)?K1（2）要想减小扰动n(t)产生的误 个比例系数？ （3）若将积分因子移到扰动作用点 态误差如何变化？

【解】：系统稳定的充分必要条件是（1）R(s)?46?ss2N(s)??1 sK2s(s?4)C(s)差，应提高哪一之前，系统的稳

题2-3-15图

K1，K2>0。

方法一 开环传递函数为 K1K2KK4GK(s)?12?s(s?4)s(0.25s?1)?v?1,Ⅰ型系统 KV?K1K2 4essr?24K1K2G1(s)?K1?v??0,K??K1

n(t)??1(t)essnsv??1sv?1??limN(s)?lim?s?0K?s?0K?K1ess?essr?essn?1(24?K2) K1K2方法二

E(s)?K2s(s?4)?R(s)??N(s)

s(s?4)?K1K2s(s?4)?K1K2?K2s(s?4)461?1ess?lims?E(s)?lims???(?2)?(?)??(24?K2)

s?0s?0s(s?4)?KKss(s?4)?KKsKKs121212??（2）由essn?1可知，若要减小essn则应增大K1。 K124

K1K2K，若系统单位阶跃响应的超调量s(s?10)（3）扰动输入时，系统型别为1，所以阶跃扰动时静态无差。

?ess?essr?2-3-16 单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)??%?16.3%； 若误差e(t)?r(t)?c(t)，当输入r(t)?(10?t)?1(t)时其稳态误差ess?0.1。试求：

（1）K值；

（2）单位阶跃响应的调节时间ts；

（3）当r(t)?(10?t?t2)?1(t)时的稳态误差ess。 【解】：（1）

Gk(s)?0.1Ks(0.1s?1)?v?1

kp??kv?K10ka?0

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??0?Im??0?ImImIm?1???0Re???0Rep?2????1?10Re??0??1p?0???0Rep?0??3

p?1

??1??0?

??2

（2） （3） （4） （5）

题2-5-9解图

（d）作辅助线如解图（3）所示，a?0，b?12，z?p?2(a?b)?1?2(0?12)?2 系统不稳定，s右半平面有2个闭环极点。

（e）作辅助线如解图（4）所示，a?1，b?0，z?p?2(a?b)?2?2(1?0)?0 系统稳定，s右半平面没有闭环极点。

（f）作辅助线如解图（5）所示，a?0，b?1，z?p?2(a?b)??2(0?1)?2 系统不稳定，s右半平面有2个闭环极点。

（g）a?12，b?0，z?p?2(a?b)?1?2(12?0)?0 系统稳定，s右半平面没有闭环极点。

（h）a?12，b?0，z?p?2(a?b)?1?2(12?0)?0 系统稳定，s右半平面没有闭环极点。

（i）a?1，b?1，z?p?2(a?b)??2(1?1)?0 系统稳定，s右半平面没有闭环极点。

2-5-10 设单位负反馈系统开环传递函数 （1）G(s)?（2）G(s)?（3）G(s)?as?1s2，试确定使相角裕量等于450的a值。

，试确定使相角裕量等于450的K值。 ，试确定使幅值裕量等于20dB的K值。

K(0.01s?1)3Ks(s?s?100)2【解】：（1）

令 ??180???G(j?c)?180??180??tg?1??c?45????c?1

?2?c2?1?c2由 A(?c)?G(j?c)?（2）

?1???0.84

令??180???G(j?c)?180??3tg?10.01?c?45???c?100 由 A(?c)?G(j?c)?K????0.01?c??g2?1???3??1?1?K3?1?K?21.5?2.83

（3）

令?G(j?)??90??tg?1100??g2??180???g?10

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K??20lgG(j?g)?20db

?G(j?g)?K?g100??g?22????g2K?0.1?100K?10

2-5-11 已知最小相位系统的开环对数幅频特性渐近线如图5-67所示，试求相应的开环传递函数。

L(?)(dB)?20dB/dec?40dB/dec?20dB/decL(?)(dB)?40dB/decL(?)(dB)27.2726.020300110(1)100?0?2?40dB/dec?60dB/dec?1?c(2)?07.07(3)??40dB/decL(?)(dB)L(?)(dB)?20dB/dec2020dB8dB?40dB/dec14dB?20dB/dec00110100400?2.5(4)??60dB/dec?20dB8dB(5)

【解】：（a） ① ??0 ② Gk(s)?k(T1s?1)(T2s?1)(T3s?1)

③ T1?1，T2?11，T3?

3001010100?40lg?K?1000 110④ 20lgK?20lg?Gk(s)?100011(s?1)(s?1)(s?1)10300

（b） ① ??2 ② Gk(s)?③ T1?

K(T1s?1)s(T2s?1)2

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1?1，T2?1?2兴哥的自动控制原理复习资料

④ 20lg?cK?40lg?1?1?K??1?c

?1?c(?Gk(s)?s2(1?1s?1)1

?2s?1)（c） ① ??0 ② Gk(s)?KTs?2?Ts?122

???0.87(舍去）③ Mr(dB)??20lg2?1??2?1.25?2?1??2?0.866??1

??0.5?2?r?④ 20lgK?26.02?K?20

11?2?2?7.07?T?0.1 T200.01s2?0.1s?1?Gk(s)?

（d） ① ??1

② Gk(s)?③ 20lgKs(Ts?2?Ts?1)22

1?8???0.2 2? T?④ 20lgK?20?K?10

1?0.42.5

?Gk(s)?10s(0.16s2?0.16s?1)

（e） ① ??0

② Gk(s)?③

K(T12s2?2?1T1s?1)(T22s2?2?2T2s?1)(T3s?1)

201?40??1?3.16?T1??0.32

lg10?lg?1?1201?40??2?31.6?T2??0.032

lg?2?lg10?2T3?20lg20lg

1?0.025 4001?8??1?0.2 2?112?2??6??2?1

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④ 20lgK??20?K?0.1

?Gk(s)?

0.1(0.1s2?0.13s?1)(0.001s2?0.064s?1)(0.0025s?1)

(1)

2-5-12 已知系统的传递函数为

G(s)?4s(0.2s?1)2

（1）绘制系统的伯德图，并求系统的相位裕量； （2）在系统中串联一个比例微分环节（s+1），绘图，并求系统的相位裕量；

（3）说明比例微分环节对系统稳定性的影响； （4）说明相对稳定性较好的系统，中频段对数幅状。

【解】：

制系统的伯德

频应具有的形

（1）

（1）??220lgK?12.04?1?5 其伯德图如解图剪切频率

40lg所示。

?c1?12.04??c?2

相角裕量

系统不稳定（特征方程漏项），相角裕量为负数。

（2）系统传递函数为

G(s)?4(s?1)s2(0.2s?1)??180??2?90??tg?10.2?2??21.8?

其伯德图如解图（2）所示。

剪切频率

20lg?c1?12.04??c?4

相角裕量

??180??tg?1?c?2?90??tg?10.2?c?tg?14?tg?10.2?4?37.3?

系统稳定。

（3）一阶微分环节的介入，增加了剪切频率附近的相位，即增加了相位裕量，提高了系统的稳定性。

（4）希望中频段折线斜率为-20db/十倍频程，且该斜线的频宽越大越好。 2-5-13 某系统，其结构图和开环幅相曲线如图（a）、（b）所示，图中

G(s)?K(T3s?1),(T1s?1)(T2s?1)H(s)?T2s?1，K、T为给定正数

试判定系统闭环稳定性，并求在复平面左半平面、右半平面、虚轴上的闭环极点数。

49

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Im

【解】：方法一

ReR(s)?K1?G(s)C(s)??0

H(s)?1???0Gk(s)?K1G1?GH(a)(b)

二阶系统，有一个右半平面的开环极点，p?1,v?0。

题2-5-13图

由开环幅相曲线可知a?1,b?1。 2z?p?2(a?b)?1?2(1?12)?0

系统稳定，复平面左半平面有两个闭环极点，右半平面、虚轴上均无闭环极点数。

方法二

利用动态结构图等效变换方法，将第二个比较点移至K1的输入端，有

?H?K?T3s?1??(T2s?1)?K1K(T3s?1)Gk(s)?K1G(s)??1??K1?1? ??????KTs?1(Ts?1)K(Ts?1)(Ts?1)?K(Ts?1)121213?1???p?1,v?0,

z?p?2(a?b)?1?2(1?0.5)?0

结论同方法一。

2-5-14 单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)?16s2(0.1s?1)L(?)

24

(dB)?40dB/dec?20dB/dec1013?40dB/dec?60dB/dec20 200期望对数幅频特性如图所示，试求串联环节的Gc(s)，并比较串联Gc(s)前后系统的相位裕量。

?传递函数

【解】：期望传递函数

20lgK?24?K?15.84 115.84(s?1)3G?(s)? 12s(0.1s?1)(s?1)20题2-5-14图

串联环节的传递函数

10.99(s?1)G?(s)3 Gc(s)??G(s)0.05s?1串联Gc(s)前

20lgK?20lg16?24.1?1?10.1?10

40lg?c?24??c?4

??180??180??tg?10.1?4??21.8?

系统不稳定。

串联Gc(s)后

50

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只要原点处有两个极点，无论何种情况，至少有一个分离点，所以令a?0，则开环传递函数为

G(s)?K

s(s?1)当K由0???变化，即零度根轨迹时没有分离点。其根轨迹如题2-2-14解图（1）所示。

（2） 1个分离点

对于一般根轨迹，s1是一个分离点。所以当s2,3不存在，即(1?3a)2?16a?0，分离点。

设a?0.5

1?a?1时，根轨迹具有一个9G(s)?K(s?0.5)s(s?1)2

渐近线倾角和渐近线与实轴的交点分别为

???90? ????0.25

实轴上的根轨迹在区间[?1,0.5]。

其根轨迹如题2-2-14解图（2）所示。

（3） 2个分离点

当a?19或a?1时，有两个分离点。其中a?1对应零度根轨迹的情况。设a?0.1

G(s)?K(s?0.1)s(s?1)2

渐近线倾角和渐近线与实轴的交点分别为

???90? ????0.45

实轴上的根轨迹在区间[?1,0.1]。 分离点

s1,2?0,?0.4

会合点

s3??0.25

其根轨迹如题2-2-14解图（3）所示。

（1） （2） （3）

题2-2-14解图

?10j?j?j?

??1?0.50??1?0.450?

36

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五 频域分析法

2-5-1 系统单位阶跃输入下的输出c(t)?1?1.8e?4t?0.8e?9t11.80.8【解】： C(s)?L?1[c(t)]?? ?ss?4s?9(t?0),求系统的频率特性表达式。

闭环传递函数

11.80.8??C(s)ss?4s?936G(s)???

1R(s)(s?4)(s?9)s?j(tg3636G(j?)??e(j??4)(j??9)?2?16??2?81?1?4?tg?1?9)

2-5-2 单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)?4,试求当下列输入信号作用于闭环系统时，

s?1系统的稳态输出

（1）r(t)?sin(t?300)； （2）r(t)?2cos(2t?450)；

（3）r(t)?sin(t?300)?2cos(2t?450)。 【解】：求系统闭环传递函数

GK(s)?4s?1GB(s)?GK(s)C(s)4??R(s)1?GK(s)s?5?1??jtg44GB(j?)??e(j??5)?2?25

5根据频率特性的定义，以及线性系统的迭加性求解如下：

（1）??1,Ar?1,?1?30?

26cs(t)?Acsin(t??2)?ArA(1)sin?t??1??(1)??0.78sin(t?18.7?)

GB(j?)??1?A(1)ej?(1)?4e?jtg?115?0.78e?j11.3?

（2）??2,Ar?2,?1?45?

GB(j?)??2?44?25cs(t)?1.48cos(2t?23.2?)

e?jtg?125?0.74e?j21.8?

（3）cs(t)?0.78sin(t?18.7?)?1.48cos(2t?66.8?)

2-5-3 试求图2-5-3所示网络的频率特性，并绘制其幅相频率特性曲线。 【解】：（1）网络的频率特性

jR2C??1j?CG(j?)??

1j(R1?R2)C??1R1?R2?j?C

37

R2?1

R1??urR2Cuc??题2-5-3图

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（2）绘制频率特性曲线

jT??1G(j?)?1?jT2??1(T1?)2?1(T2?)?12ej(tg?1T1??tg?1T2?)

Im其中T1?R2C,T2?(R1?R2)C,T2?T1。

起始段，??0,A(?)?1,?(?)?0?。

中间段，由于T2?T1，A(?)减小，?(?)先减小终

止

??????0T1T2??01Re后增加，即曲

题2-5-3解图

线先顺时针变化，再逆时针变化。 段

，

T1?1,?(?)?0?。 T2???,limA(?)?网络幅相频率特性曲线如题2-5-3解图所示。

2-5-4 已知某单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)?K，在正弦信号r(t)?sin10t作用

s(Ts?1)?下，闭环系统的稳态响应cs(t)?sin(10t?)，试计算K,T的值。

2【解】：系统闭环传递函数为

GB(s)?GK(s)C(s)K ??2R(s)1?GK(s)Ts?s?K??10时系统频率特性为

G(j?)??10??K(K?T?2)?j?K(K?100T)2?100??10?K?K?100T??j1010K?100Te?jtg?1

?A(?)ej?(?)由已知条件得A(?)?Ac??1,?(?)??2??1??，则有 Ar2K??1?2??(K?100T)?100??K?100T?0?K?10 ?T?0.1?

2-5-5 已知系统传递函数如下，试分别概略绘制各系统的幅相频率特性曲线。 （1）G(s)?（3）G(s)?（5）G(s)?（7）G(s)?K(T1s?1)(T2s?1) （2）G(s)?K s(s?1)(T1?T2和T1?T2)

K(T1s?1)K(T1s?1),(T1?T2) （4）G(s)?s(T2s?1)s2(T2s?1)25050 （6）G(s)?

2s(s?5)(s?15)s(s?s?1)Ts?1K （8）G(s)?1(T1?T2)

s(s?1)T2s?138

【解】：对于开环增益为K的系统，其幅相频率特性曲线有两种情况：K?0和K?0。下面只讨

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论K?0的情况。K?0时，比例环节的相角恒为?180?，故相应的幅相频率特性曲线可由其K?0的曲线绕原点顺时针旋转180?得到。

（1）G(j?)?K?Ke?j(tg-1?T1?tg?1?T2)(j?T

1?1)(j?T2?1)[(?T1)2?1][(?T2)2?1] ?K(1??2T1T2)?jK?(T1?T2)(?2T

Im12?1)(?2T22?1) K??0时，?lim?0G(j?)?K?0? ；

?0????0Re ???时， 1T2?lim??G(j?)?0?180?。

?KTT1?T2特性曲线与虚轴的交点：令 Re[G(j?)]?0，即

1??2T1T2?0???1T

题2-5-5（1）解图

1T2代入Im[G(j?)]中，

Im[G(j?)]??KT1T2T

1?T2该系统幅相频率特性曲线如题2-5-5（1）解图所示。 （2）

G(j?)?K?K(??j)j?(j??1)??(?2?1) ??0时，?lim?0G(j?)????90?；

Im求渐近线

K???0Re?K?

?lim?0Re[G(j?)]??lim?0?(?2?1)??K

???时，?lim??G(j?)?0??180?。

??0?该系统幅相频率特性曲线如题2-5-5（2）解图

题2-5-5（2）解图

（3）

G(j?)?K(j?T1?1)T2?1)?Kj?(T1?T2)??2(j?T??K(?2T12?1)?2(?2TIm22?1)

??0时，?lim?0G(j?)????90?；

K(T1?T2)??? 0Re求渐近线

1?T2)?lim?0Re[G(j?)]??limK?(T?0?(?2T22?1)?K(T1?T2)?0

??0????时，?lim??G(j?)?0??90?。

T1题?T2-5-5Im2（3）解图 该系统幅相频率特性曲线如题2-5-5（3）解 ??0

???0Re

39

??0 T1?T2

所示。 图所示。

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（4）

G(j?)?K(j?T1?1)??2(j?T2?1)?K?2T12?1ejtg

-1?2?2T22?1（T1?T2时，曲线始于负实轴之上；T1?T2时，曲线始于负实??0时，limG(j?)????180?；

??0轴之下。）

???时，limG(j?)?0??180?。

???该系统幅相频率特性曲线如题2-5-5（4）解图所示。 （5）

?5000??j250(75??2)250 G(j?)??2222j?(j??5)(j??15)?(??5)(??15)??0时，limG(j?)????90?。

??0 ?0.89Im求渐近线

??0limRe[G(j?)]?lim?5000??52)(?2?152)??0?(?2??0.89

?0.17???0Re ?，曲线顺时 ???时，limG(j?)?0??270??? 针穿过负实轴。

??0?求曲线与负实轴的交点

题2-5-5（5）解图

令Im[G(j?)]?0，得??75。

Vx?Re[G(j?)]????0.17

75该系统幅相频率特性曲线如题2-5-5（5）解图所示。 （6）

G(j?)?50j?(???j??1)??02Im ??50[??j(1??)]2 ?66.7

?50???0Re?[??(1??)]222??0时，limG(j?)????90?；

求渐近线

??0??0?limRe[G(j?)]?lim

?50???2]??0?[(1??2)2??50

题2-5-5（6）解图

该系统传递函数分母上有一个振荡环节，其T?1，??0.5。所以当???r时有最大值。

?r?11?2?2?0.71 T频率特性的最大值 G(j?)??0.71?66.7?215.3?

40

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?，曲线顺时针穿过负实轴。 ???时，limG(j?)?0??270???求曲线与负实轴的交点

令Im[G(j?)]?0，得??1。

Vx?Re[G(j?)]??1??50

该系统幅相频率特性曲线如题2-5-5（6）解图所示。 （7）

?K??jKK G(j?)??j?(j??1)?(?2?1) ?K??1)?K??0?Im??0时，limG(j?)???90?；

??0???0Re求渐近线

??0

??K题2-5-5（7）解图

limRe[G(j?)]?lim??0?(?2

???时，limG(j?)?0?180?，传递函数分母上有一个不稳定环节，曲线逆时针变化，不穿越

???负实轴。

该系统幅相频率特性曲线如题2-5-5（7）解图所示。 （8）

?2T12?1j(180??tg?1?T1?tg?1?T2)(?2T1T2?1)?j?(T1?T2)j?T1?1 G(j?)??e?2222j?T2?1?T2?1?T2?1?； ??0时，limG(j?)?1?180??0随着?的增加，分子上的不稳定环节先起作用，幅值增大，相角减小。之后，分母上的稳定环

节再起作用，幅值增加速度减慢，相角继续减小。

???时，limG(j?)????T1?0?。 T21T1T2ImjT1T2特性曲线与虚轴的交点：令 Re[G(j?)]?0，即

?2T1T2?1?0???

?1??0?0???T1T2Re代入Im[G(j?)]中

图

题2-5-5（8）解

Im[G(j?)]?T1 T2该系统幅相频率特性曲线如题2-5-5（8）解图所示。

2-5-6 系统开环传递函数如下，试分别绘制各系统的对数幅频特性的渐近线和对数相频特性曲线。

41

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（1）G(s)?10(s?1)2 （2）G(s)? 2(2s?1)(8s?1)s（3）G(s)?10(s?0.2)?20(5s?1) （4）G(s)?10(s?50)?50(0.02s?1)

s2(s?0.1)s2(10s?1)s(s?10)s(0.1s?1)【解】：（1）

① K?2，20lgK?6.02。 ②转折频率

11?0.125，一阶惯性环节；?2??0.5，一阶惯性环节。

28?1?③ ??0，低频渐近线斜率为0。 ④ 系统相频特性按下式计算

?(?)??arctg8??arctg2?

得

???????0.01 -5.7° 0.05 -27.5° 0.1 -50.0° 0.2 -79.8° 0.5 -121.0° 1 -146.3° 10 -176.4° 系统的对数幅频特性的渐近线和对数相频特性曲线如题2-5-6解图（1）所示。 （2）

① K?10，20lgK?20。 ② 转折频率

?1?1，一阶微分环节。

③ ??2，低频渐近线斜率为?40dBdec，且过（1，20dB）点。 ④ 系统相频特性按下式计算

?(?)?arctg??180?

得

???????0.1 -174.3° 0.2 -168.7° 0.5 -153.4° 1 -135° 2 -116.6° 5 -101.3° 10 -95.7° （3） ① 典型

环节的标准形式

G(s)?20(5s?1)s2(10s?1)系统的对数幅频特性的渐近线和对数相频特性曲线如题2-5-6解图（2）所示。

（1） （2）

② K?20，20lgK?26.0。

③ 转折频率

?1?0.1，一阶惯性环节；?2?0.2，一阶微分环节。

42

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④ ??2，低频渐近线斜率为?40dBdec，且其延长线过（1，26dB）点。 ⑤ 系统相频特性按下式计算

?(?)??180??arctg10??arctg5?

得

???????0.01 -182.8° 0.05 -192.5° 0.1 -198.4° 0.125 -199.3° 0.2 -198.4° 0.5 -190.5° 1 -185.6° （4） ① 典型环节的标准形式 G(s)?50(0.02s?1)s(0.1s?1)系统的对数幅频特性的渐近线和对数相频特性曲线如题2-5-6解图（3）所示。

（3） （4）

② K?50，20lgK?34.0。

③ 转折频率 ?1?10，一阶惯性环节；不稳?2?50，

定的一阶微分环节。

④ ??1，低频渐近线斜率为?20dBdec，且过（1，34dB）点。 ⑤ 系统相频特性按下式计算

?(?)??90??arctg0.1??180??arctg0.02? 得

???????

1 83.1° 2 76.4° 5 57.7° 10 33.7° 20 4.8° 50 -33.7° 100 -57.7 200 -73.1 系统的对数幅频特性的渐近线和对数相频特性曲线如题2-5-6解图（4）所示。 2-5-7 试概略绘制下列传递函数相应的对数幅频特性的渐近线。 （1）G(s)?（3）G(s)?【解】： （1）

① 典型环节的标准形式 G(s)?0.032(s?0.1)

124s(s?s?1)(s2?s?1)25258(s?0.1)s(s2?4s?25)(s2?s?1)200s(s?1)(10s?1)2 （2）G(s)?10

s(s?1)(0.2s?1) （4）G(s)?10(s?1)2s?2s?22

② K?0.032，20lgK??29.9。 题2-5-7（1）解图

43

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③ 转折频率

?1?0.1，一阶微分环节；?2?1，二阶振荡环节；?3?5二阶振荡环节。 ④ ??1，低频渐近线斜率为?20dBdec，且过(1,?29.9dB)点。 该传递函数相应的对数幅频特性的渐近线如题2-5-7（1）解图所示。 （2）

① K?10，20lgK?20。 ② 转折频率

?1?1，不稳定的一阶惯性环节；?2?5，一阶惯性 ③ ??1，低频渐近线斜率为?20dBdec，且过

题2-5-7（2）解图

点。

该传递函数相应的对数幅频特性的渐近线如题 解图所示。

（3）

① K?200，20lgK?46。

② 转折频率

题2-5-7（3）解图

?1?0.1，一阶惯性环节；?2?1，一阶惯性环节。

③ ??2，低频渐近线斜率为?40dBdec，且其延长线过（1，46dB）点。 该传递函数相应的对数幅频特性的渐近线如题2-5-7（3）解图所示。 （4）

① 典型环节的标准形式

G(s)?5(s?1)2

(1s222?2s?1)② K?5，20lgK?14。 题2-5-7（4）解图 ③ 转折频率

?1?1，一阶微分环节；?2?2?1.4，二阶振荡环节。 ④ ??0，低频渐近线斜率为0dBdec，且过（1，14dB）点。 该传递函数相应的对数幅频特性的渐近线如题2-5-7（4）解图所示。

2-5-8 已知系统的传递函数为G(s)?Ks(s?1)(4s?1)

试绘制系统的开环幅相频率特性曲线并求闭环系统稳定的临界增益K值。

【解】：

G(j?)?K?5?K?j(4?2?1)j?(j??1)(j4??15)??(?2?1)(16?2?1) Im??0时，?5K?45K????lim?0G(j?)????90?。

0Re求??0时的渐近线

44

??0?环节。 (1,20dB)2-5-7（2）

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??0limRe[G(j?)]?lim?5?K?1)(16?2?1)??0?(?2??5K

?，曲线顺时针穿过负实轴。 题2-5-8解图 ???时，limG(j?)?0??270???求曲线与负实轴的交点 令Im[G(j?)]?0，得??0.5。

A(?g)?Re[G(j?)]??0.5?1K 1.25该系统幅相频率特性曲线如图所示。

当A(?g)?1即K?1.25时，闭环系统临界稳定。

2-5-9 已知系统开环幅相频率特性如图5-66所示，试根据奈氏判据判别系统的稳定性,并说明闭环右半平面的极点个数。其中p为开环传递函数在s右半平面极点数，?为开环积分环节的个数。

ImIm??0????1p?00?Im??0Rep?0?1???0Rep?0?1??3???0Re??0(a)???1??0?(b)Im(c)??0ImImRe??????p?1?1p?20Re??0??1???0Re?10(d)p?0??1??1??0?(e)Im??2(f)ImIm??0????1p?10Re????1p?10??0Re?1p?00??0Re?????0(g)??0(h)??0(i)【解】：

（a）a?0，b?1，z?p?2(a?b)??2(0?1)?2 系统不稳定，s右半平面有2个闭环极点。

（b）作辅助线如解图（1）所示，曲线经过（-1，j0）上有2个闭环极点，s右半平面没有闭环极点。系统临界

（c）作辅助线如解图（2）所示，a?1，b?1，

z?p?2(a?b)??2(1?1)?0系统稳定，s右半平面没有闭环

??1p?0Im?1???0Re点一次，虚轴

??0?稳定。 极点。

题2-5-9解图（1）

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