2014中考备考数学总复习基础讲练 第4讲 一元一次方程和二元一次

第4讲 一元一次方程和二元一次方程组

考纲要求 1.了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的基本性质． 2．掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法． 3．会列方程(组)解决实际问题. 备考指津 中考中多以选择题、填空题、解方程(组)的形式考查方程(组)的解法，结合社会关注的热点，考查列方程(组)解决实际问题的能力．同时还注重对方程思想、转化思想以及分析问题和解决问题能力的考查．

考点一 等式及方程的有关概念 1．等式及其性质

(1)用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．

(2)等式的性质：等式两边加(或减)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是0)，所得结果仍是等式．

2．方程的有关概念

(1)含有未知数的等式叫做方程．

(2)方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根．

(3)解方程：求方程解的过程叫做解方程． 考点二 一元一次方程

1．只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不等于零的整式方程叫做一元一次方程，其标准形式为ax＋b＝0(a≠0)，其解为x＝?b. a2．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)未知数的系数化为1.

考点三 二元一次方程组的有关概念 1．二元一次方程

(1)概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做二元一次方程．

(2)一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．

(3)使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． (4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解． 2．二元一次方程组

- 1 -

(1)概念：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．

??a1x＋b1y＝c1，

(2)一般形式：?(a1，a2，b1，b2均不为零)．

?a2x＋b2y＝c2?

(3)二元一次方程组的解

一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 考点四 二元一次方程组的解法

解二元一次方程组的基本思想是消元，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有代入消元法和加减消元法．

1．用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤为：(1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x(或y)的代数式表示出y(或x)，即变成y＝ax＋b(或x＝ay＋b)的形式；(2)将y＝ax＋b(或x＝ay＋b)代入另一个方程，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求出x(或y)的值；(4)把x(或y)的值代入y＝ax＋b(或x＝ay＋b)中，求y(或x)的值．

2．用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤为：(1)在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可以直接相减(或相加)，消去一个未知数；(2)在二元一次方程组中，若不存在(1)中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数；(3)解这个一元一次方程；(4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内，求出另一个未知数．

考点五 列方程(组)解应用题

步骤：(1)设未知数；(2)列出方程(组)；(3)解方程(组)；(4)检验求得的未知数的值是否符合实际意义；(5)写出答案(包括单位名称)．

1．(a－1)x|a|＋5＝0是一元一次方程，那么a＝__________，x＝__________.

?x＝1，?

2．已知?是方程2x－ay＝3的一个解，那么a的值是( )．

y＝－1??

A．1 B．3 C．－3 D．－1

??x＋y＝1，

3．方程组?的解是( )．

2x－y＝5????x＝－1

A．?

y＝2??

??x＝－2

B．?

y＝3??

??x＝2

C．?

y＝1??

??x＝2

D．?

y＝－1??

?x＋2y＝4，?

4．若有方程组?则x－y的值是( )．

2x＋y＝6，??

A．2 B．－2 C．1 D．－1

5．2011年5月长江中下游发生严重干旱，受气候等因素的影响，今年某些农产品的价格有些上涨，张大爷在承包的10亩地里所种植的甲、乙两种蔬菜共获利13 800元，其中甲种蔬菜每

- 2 -

亩获利1 200元，乙种蔬菜每亩获利1 500元，则甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？

一、一元一次方程的解法 【例1】 解方程：

2x＋110x＋1

－＝1. 36

解：去分母，得2(2x＋1)－(10x＋1)＝6， 去括号，得4x＋2－10x－1＝6， 移项，得4x－10x＝6－2＋1， 合并同类项，得－6x＝5， 5

系数化为1，得x＝－.

6

解一元一次方程时，首先要清楚基本方法与一般步骤，明确每步的理论依据，根据其特点选用解题步骤．

二、二元一次方程组的有关概念

?x＝2，?mx＋ny＝8，??

【例2】 已知?是二元一次方程组?的解，则2m－n的算术平方根为

y＝1nx－my＝1????

( )．

A．4 B．2 C．2 D．±2

?x＝2，?mx＋ny＝8，??

解析：∵?是方程组?的解．

?y＝1???nx－my＝1?2m＋n＝8，?m＝3，??

∴?解得? ?2n－m＝1，???n＝2.

∴2m－n＝2×3－2＝4＝2. 答案：B

方程组的解适合于方程组的每一个方程，把它代入原方程组，就会得到一个新的方程组，解新方程组即可得出待定字母系数的值．

三、二元一次方程组的解法

?3x－y＝5，?

【例3】 解方程组：?

?5x＋2y＝23.?

①②

解：方法一：用加减消元法解方程组． ①×2得6x－2y＝10，③ ②＋③得11x＝33，∴x＝3. 把x＝3代入①得9－y＝5，∴y＝4.

- 3 -

?x＝3，?

所以原方程组的解为?

y＝4.??

方法二：用代入消元法解方程组． 由①得y＝3x－5，③

把③代入②得5x＋2(3x－5)＝23， 所以11x＝33，则x＝3. 把x＝3代入③得y＝4.

??x＝3，

所以原方程组的解为?

?y＝4.?

解二元一次方程组的基本思路是通过消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程．最常见的消元方法有代入消元法和加减消元法，具体应用时，要结合方程组的特点，灵活选用消元方法．如果出现未知数的系数为1或-1，宜用代入消元法解；如果出现同一未知数的系数成倍数关系或系数较为复杂，宜用加减消元法解．

四、列方程(组)解决实际问题

【例4】 某工厂承接了生产第16届亚运会会标和亚运会吉祥物“乐羊羊”的生产任务，需要用到甲、乙两种原料．已知生产一套亚运会标志需要甲原料和乙原料分别为0.4 kg和0.3 kg，生产一套亚运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为0.5 kg和1 kg.该厂购进甲、乙原料的量分别为2 300 kg和3 600 kg，如果所进原料全部用完，求该厂能生产亚运会标志和亚运会吉祥物各多少套？

解：设生产亚运会标志x套，生产亚运会吉祥物y套．

??0.4x＋0.5y＝2 300，

根据题意，得?

?0.3x＋y＝3 600.?

①②

①×2－②×1得0.5x＝1 000， ∴x＝2 000.

把x＝2 000代入②得600＋y＝3 600， ∴y＝3 000.

答：该厂能生产亚运会标志2 000套，生产亚运会吉祥物3 000套．

对于含多个未知数的实际问题，利用列方程组来解，一般要比列一元一次方程解容易．列二元一次方程组，首先要对具体的问题进行具体分析，从中抽取等量关系，再根据相应的等量关系列出方程组，注意所求的解要符合实际问题．

1．(2012甘肃兰州)兰州市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽

- 4 -

多10米，设草坪的宽为x米，则可列方程为( )．

A．x(x－10)＝200 B．2x＋2(x－10)＝200 C．2x＋2(x＋10)＝200 D．x(x＋10)＝200 2．(2011湖南邵阳)请写出一个解为x＝2的一元一次方程：__________.

3．(2011广东湛江)一件衬衣标价是132元，若以9折降价出售，仍可获利10%，则这件衬衣的进价是________元．

??2x＋3y＝7，

4．(2011安徽芜湖)方程组?的解是__________．

?x－3y＝8?

1．已知x＝2是关于x的方程x－2a＝0的解，则a的值是( )． 1

A．4 B．2 C．1 D． 2

?x＝4，?

2．方程2x＋3y＝11和下列方程构成的方程组的解是?的是( )．

y＝1??

A．3x＋4y＝20 B．4x－7y＝3 C．2x－7y＝1 D．5x－4y＝6

3．巴广高速公路正式通车，从巴中到广元全长约126 km.一辆小汽车、一辆货车同时从巴中、广元两地相向开出，经过45分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行6 km，设小汽车和货车的速度分别为x km/h，y km/h，则下列方程组正确的是( )．

33???4(x＋y)＝126??4(x＋y)＝126?4(x＋y)＝126?45(x＋y)＝126

A．? B．?C．? D．?3?45(x－y)＝6????x－y＝6?45(x－y)＝6?4(x－y)＝6

3

??x＋y＝5k，4．若关于x，y的二元一次方程组?的解也是二元一次方程2x＋3y＝6的解，则

x－y＝9k??

k的值为( )．

3344

A．－ B． C． D．－

4433

5．一家商店将某件商品按成本价提高50%后，再打8折出售，售价为480元，则售出这件商品可获利润________元．

6．方程|4x－8|＋x－y－m＝0，当y＞0时，m的取值范围是__________．

???x＝2，?ax＋by＝7，?7．已知是二元一次方程组?的解，则a－b的值为__________． y＝1????ax－by＝1

8．剃须刀由刀片和刀架组成．某时期，甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀(刀片不可更换)和新式剃须刀(刀片可更换)，有关销售策略与售价等信息如下表所示：某段时间内，甲厂家销售了8 400把剃须刀，乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍，乙厂家获得的利润是甲的两倍，问这段时间内，乙销售了多少把刀架？多少片刀片？

- 5 -

?x＋y＝5k，?

4．若关于x，y的二元一次方程组?的解也是二元一次方程2x＋3y＝6的解，则

x－y＝9k??

k的值为( )．

3344

A．－ B． C． D．－

4433

5．一家商店将某件商品按成本价提高50%后，再打8折出售，售价为480元，则售出这件商品可获利润________元．

6．方程|4x－8|＋x－y－m＝0，当y＞0时，m的取值范围是__________．

???x＝2，?ax＋by＝7，7．已知?是二元一次方程组?的解，则a－b的值为__________．

y＝1ax－by＝1????

8．剃须刀由刀片和刀架组成．某时期，甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀(刀片不可更换)和新式剃须刀(刀片可更换)，有关销售策略与售价等信息如下表所示：某段时间内，甲厂家销售了8 400把剃须刀，乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍，乙厂家获得的利润是甲的两倍，问这段时间内，乙销售了多少把刀架？多少片刀片？

售价 成本 老式剃须刀 Z#X#X#K]新式剃须刀 刀架 1(元/把) 5(元/把) 刀片 0.55(元/片) 0.05(元/片) 2.5(元/把) 2(元/把) 9．开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本．

(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；

(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．

参考答案

基础自主导学

自主测试 1．－1

5

2.A 3.C 4.D 2

- 6 -

5．解：设甲、乙两种蔬菜种植面积分别为x，y亩，依题意，得

???x＋y＝10，?x＝4，

解得? ?

???1 200x＋1 500y＝13 800，?y＝6.

答：甲、乙两种蔬菜各种植了4亩、6亩．

知能优化训练

中考回顾

1．D 2.x＝2，x－2＝0,2x－3＝1……

??x＝5

3．108 4.?

?y＝－1?

模拟预测

1．C 2.C 3.D 4.B 5．80 6.m＜2 7.－1

8．解：设这段时间内乙厂家销售了x把刀架，则销售刀片x片． 依题意，得(0.55－0.05)·50x＋(1－5)x＝2×(2.5－2)×8 400，解得x＝400. 销售出的刀片数＝50×400＝20 000(片)．

答：这段时间乙厂家销售出400把刀架，20 000片刀片． 9．解：(1)设每支钢笔x元，每本笔记本y元．

???x＋3y＝18，?x＝3，

依题意得?解得?

???2x＋5y＝31，?y＝5.

答：每支钢笔3元，每本笔记本5元． (2)设买a支钢笔，则买笔记本(48－ a)本．

??3a＋5(48－a)≤200，

依题意得?

??48－a≥a.

解得20≤a≤24.

所以，一共有5种方案，

即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20,28；21,27；22,26；23,25；24,24.

- 7 -

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