2011年高考数学一轮复习(共87节)12.4圆锥曲线共同性质及应用

2011年高考数学一轮复习(共87节)

12.4圆锥曲线的共同性质及应用

【知识网络】

1．用联系的观点看圆锥曲线的共同性质． 2．学会圆锥曲线几何性质的简单综合应用．

3．进一步体会函数方程思想、化归转化思想、分类讨论思想、数形结合思想． 【典型例题】

x2y2

1的右焦点重合，[例1] （1）若抛物线y 2px的焦点与椭圆则p的值为（ ） 62

A． 2 B．2 C． 4 D．4

x2y2x2y2

1(m 6)与曲线 1(5 m 9)的 （ ） （2）曲线

10 m6 m5 m9 m

2

A．焦距相等 B． 离心率相等 C．焦点相同 D．准线相同

x2y2y2x2

（3）双曲线2 2 1的离心率为e1，双曲线2 2 1的离心率为e2，则e1+e2的

abba

最小值为（ ）

A．42

B．2

C．22

D．4

x2y2x2y2+

（4）已知椭圆+=1与双曲线－=1（m,n,p,q∈R）有共同的焦点F1、F2，P

mnpq

是椭圆和双曲线的一个交点，则|PF1|²|PF2|= ．

222

（5）若方程（1－k)x＋(3－k)y=4表示椭圆，则k的取值范围是 ．

x2y2

1有相同的焦点，直线y=x为C的一条渐近线. [例2] 双曲线C与椭圆84

（1）求双曲线C的方程；

（2）过点P(0,4)的直线l，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重

8

合）.当PQ 1QA 2QB，且 1 2 时，求Q点的坐标.

3

x2

y2 1，[例3] 已知椭圆C1的方程为双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，4

而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。 (1) 求双曲线C2的方程；

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(2) 若直线l：y kx 2与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足 6(其中O为原点)，求k的取值范围。

[例4] 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按

y2x2 1，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后顺时针方向）的轨迹方程为

10025

64

返回的轨迹是以y轴为对称轴、M 0, 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为

7

D(8,0). 观测点A(4,0)、B(6,0)同时跟踪航天器. （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； （2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

【课内练习】

x2y2

1(mn 0)离心率为2，有一个焦点与抛物线y2 4x的焦点重合，1．双曲线mn

则mn的值为

A．

B．

（ ）

8

32

2．已知双曲线的中心在原点，离心率为.若它的一条准线与抛物线y 4x的准线重合，

2

则该双曲线与抛物线y 4x的交点到原点的距离是 （ ）

C．

D．

A．23+6

B．21

C．18 2

D．21

3

163 816 3

x2y2

1所表示的曲线是 （ ） 3．方程

2sin 3sin 2

A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆

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C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在 y轴上的双曲线

4．某圆锥曲线C是椭圆或双曲线，其中心为原点，对称轴为坐标轴，且过点A（－2，23 ），3

B5 ），则

2

A．曲线C可以是椭圆也可以是双曲线 B．曲线C一定是双曲线 C．曲线C一定是椭圆 D．这样的曲线不存在

5．若直线mx ny 3 0与圆x2 y2 3没有公共点，则以（m，n）为点P的坐标，过

x2y2

1的公共点有_________个。 点P的一条直线与椭圆73

x2y2

1的右顶点和右焦点，圆心在双曲线上，则圆心到双曲线中心6．设圆过双曲线

916

的距离 ．

7．如图，从点M(x0,2)发出的光线沿平行于抛物线y 4x的轴的方向射向此抛物线上的点P，反射后经焦点F又射向抛物线上的点Q，再反射后沿平行于抛物线的轴的方向射向直线

2

l:x 2y 7 0上的点N,再反射后又射回点M，则

x0．

8．设F1(-c，0)、F2(c，0)是椭圆

x2a2

y2b2

+=1(a>b>0)的两个焦

点，P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点，若∠PF1F2=5∠PF2F1，求椭圆的离心率．

22

9．双曲线中心在原点，坐标轴为对称轴，与圆x＋y=17交于A（4，－1）．若圆在点A的切线与双曲线的一条渐近线平行，求双曲线的方程．

10．垂直于x轴的直线交双曲线

x2a2

－

y2b2

=1右支于M，N两点，A1，A2为双曲线的左右两个

顶点，求直线A1M与A2N的交点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状．

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A组

x2y2

1表示双曲线时，这些双曲线有相同的（ ） 1．若方程

9 k4 k

A．实轴长 B．虚轴长 C．焦距 D．焦点

x2y2

1的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋2． P是双曲线－＝

916

y＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）

A.6 B.7 C.8 D.9

2

x2y2

1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线3．设双曲线以椭圆

259

的渐近线的斜率为

A． 2

B．

C．

2

（ ）

4 31 2

2

D．

3 4

4．设0≤α＜2π，若方程xsinα－ycosα=1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是 ．

x2

5．已知双曲线2 y2 1(a 0)的一条准线与抛物线y2=－6x的准线重合，则该双曲线的

a

离心率是 ．

x2x2y2

y2 1与C1的一个交点， 1的焦点，P是曲线C2∶6．设F1、F2为曲线C1∶

362

求

的值．

|PF1 ||PF2 |→

→

PF1 ²PF2

→→

x2y2

7．设双曲线方程为2 2 1(a b 0)，P为双曲线上任意一点，F为双曲线的一个焦点，

ab

2

讨论以|PF|为直径的圆与圆x＋y2=a2的位置关系．

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8．已知A（－2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率分别为kPA和kPB，且满足kPA²kPB=t (t≠0且t≠－1).

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）当t＜0时，曲线C的两焦点为F1，F2，若曲线C上存在点Q使得∠F1QF2=120O，

求t的取值范围.

B组

1．已知双曲线m：9x－16y=144,若椭圆n以m的焦点为顶点，以m的顶点为焦点，则椭圆n的准线方程是（ ）

A.x

2

2

16162525 B.x C.x D.x 5343

x2y2x2y2

1与 1有相同的（ ） 2．当8＜k＜17时，曲线

17 k8 k817

A．焦距 B．准线 C．焦点 D．离心率

x2y2x2y2

3．已知椭圆2 2 1（a＞b＞0),与双曲线2 2 1（m＞0,n＞0)有相同的焦点（－

abmn

222

c,0),(c,0),若c是a,m的等比中项，n是2m与c的等差中项，则椭圆的离心率是（ ）

A

11 B

．．

422

x2y2x2y22

4．设椭圆2 2 1，双曲线2 2 1，抛物线y=2(m+n)x(其中m＞n＞0)的离心

mnmn

率分别为e1、e2、e3，则e1e2与e3的大小关系是 ．

5．一动圆圆心在抛物线x2=2y上，过点（0）且恒与定直线l相切，则直线l的方程（ ） A. x=

1

2

111 B. x= C. D. y= － 21616

2

6．已知定点A（0，t）（t≠0),点M是抛物线y=x上一动点，A点关于M的对称点是N． （1）求N点的轨迹方程；

2

（2）设（1）中所求轨迹与抛物线y=x交于B，C两点，求当AB⊥AC时t的值．

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x2y2

1交于A，B两点，R是抛物线C2：y2=2px(p＞7．直线l：x－2y＋3=0与椭圆C1：43

0)上一点．若直线l与C2无公共点，且△ABR

8．设双曲线C的中心在原点，以抛物线y=2x-4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准

2

p的值和R点的坐标． 线为双曲线的右准线.

（1）试求双曲线C的方程；

（2）设直线l:y=2x+1与双曲线C交于A、B两点，求|AB|；

（3）对于直线y=kx+1,是否存在这样的实数k，使直线l与双曲线C的交点A、B关于直线y=ax(a为常数)对称，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由.

12.4圆锥曲线的共同性质及应用

【典型例题】

x2y2

1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2 2px的焦点为(2,0)，例1 （1）解：椭圆62

则p 4，故选D．

x2y2 1(m 6)知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，由（2）由

10 m6 mx2y2

1(5 m 9)知该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故只能选择答案A． 5 m9 m

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（3）C．提示：用基本不等式．

（4）m-p ．提示：分别用椭圆和双曲线的定义，并将两等式平方相减． （5）3 ，1）．提示：将问题转化成解不等式组问题．

y2

1;(2)设Q例2(1)依据渐近线设双曲线方程，并用待定系数法求得双曲线方程是 x 3

点的坐标，用定比分点公式联列方程组，得 Q( 2,0)..

2

22

例3、（1）设双曲线C2的方程为x y 1，则a2 4 1 3,再由a2 b2 c2得b2 1.

a2b2

故Cx2

2的方程为3

y2 1. （2）将y kx 2代入x2

4

y2 1得(1 4k2)x2 8kx 4 0. 由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得

(2)2k2 16(1 4k2) 16(4k2 1) 0,即 k2 1

1 4

. y kx 2代入x2

将3

y2 1得(1 3k2)x2 62kx 9 0.

由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得

1 3k2

0,即 k2 1且

k2

1. )2 36(1 3k2) 36(1 k2

2 ( ) 0.

3设A(xx 9

A,yA),B(B,yB),则xA xB 1 3k2,xA xB

1 3k2

由 OA OB

6得xAxB yAyB 6,而 xAxB yAyB xAxB (kxA kxB (k2 1)xAxB (xA xB) 2

(k2

1)

91 3k2 2

3k2 7

3k2 1

.于是3k2 715k2 133k2 1 6,即3k2

1

0.解此不等式得k2 1315或k2

13. 由①、②、③得

14 k2 113

3或15

k2 1. 故k

的取值范围为( 1, ( 3 112) (2,3 ①

③

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例4、（1）设曲线方程为y ax2 由题意可知，0 a 64

64

， 7

64

. 7

1

a .

7

1264

. x

77

（2）设变轨点为C(x,y)，根据题意可知

曲线方程为y

x2y2

(1) 100 25 1,

得 4y2 7y 36 0，

y 1x2 64,(2) 77

9

y 4或y （不合题意，舍去）.

4

y 4.

(6,4)， 得 x 6或x 6（不合题意，舍去）. C点的坐标为

|AC| 25,|BC| 4.

答：当观测点A、B测得AC、BC距离分别为25、4时，应向航天器发出变轨指令.

【课内练习】

1．A． 提示：可以分别求出m，n．

2．B．提示：求出基本量．

3．C．提示：注意sinθ的取值范围． 4．B．提示：考虑对称性．

5．2．提示：运用点到直线的距离公式后，说明点P在椭圆内． 16

6． ．提示：可以利用距离相等求出圆心的坐标．

37．6．提示：由抛物线方程得焦点坐标，进而得到P，Q的坐

标，再由直线QN与MN关于直线l对称，求得x0． 8．8．

|PF1||PF2|2c|PF1| |PF2|2a ． ∵，∴

3sin15 sin75 1sin15 sin75 sin15 cos15

2c

e 2a1. 32sin60

16x2y2

1．提示：先求圆的切线方程，进而得到双曲线的渐近线方程，再用待定系9．

255255

数法求双曲线的方程．

x2y2

10．2 2 1，a=b时表示以原点为圆心，a为半径的圆；a＞b时，表示焦点在x轴上的

ab

椭圆；a＜b时，表示焦点在y轴上的椭圆．提示：设出点的坐标，写出直线方程（含参变

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量），结合点在曲线上，消去参数．

12.4圆锥曲线的共同性质及应用

A组

1．D．提示：焦点可以在不同的轴上．

2．设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时 |PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9故选B． 3．C．提示：求出基本量． 4．（

3

24,

）∪（

3 7

）．提示：二次项系数为正，且y2的分母较大． ,24

2

5． 3 ．提示：依据基本量之间的关系及准线方程，分别求出a,c． 3

1

6． ．提示：分别应用椭圆、双曲线的定义，求出|PF1|，|PF2|，再用余弦定理．

3

7．当点P在双曲线的右支上时，外切；当点P在双曲线的左支上时，内切．提示：用双曲线的定义及两圆相切时的几何性质．

yyx2y222

8．(1)设点P坐标为(x,y),依题意得=t y=t(x－4) +=1 x 2x 24 4t

x2y2

轨迹C的方程为+=1（x≠ 2）.

4 4t

(2)当－1＜t＜0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆， 设PF1=r1，PF2= r2, 则r1+ r2=2a=4. 在△F1PF2中，F1F2=2c=4 t, ∵∠F1PF2=120，由余弦定理，

222

得4c2=r1+r22－2r1r2cos120= r1+r2+ r1r2

°

= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－(所以当－

r1 r2221

)=3a, ∴16（1+t）≥12, ∴t≥－.

42

1°

≤t＜0时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120 4

当t＜－1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆， 设PF1=r1，PF2= r2，则r1+r2=2a=－4 t, 在△F1PF2中， F1F2=2c=4 1 t. ∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，

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2220

得4c2=r1+r22－2r1r2cos120= r1+r2+ r1r2

= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－(

r1 r222

)=3a, ∴16（－1－t）≥－12t t≤－4. 2

所以当t≤－4时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O

综上知当t＜0时，曲线上存在点Q使∠AQB=120O的t的取值范围是

1

, 4 ,0 ．

4

B组

1． C．提示：注意基本之间的联系．

2． A．提示：将方程均化为标准方程，再求其焦距． 3． D．提示：联想基本量之间的关系．

4．e1e2＜e3，提示：用离心率的计算公式，注意抛物线的离心率是1．

11

提示：抛物线x2=2y的焦点坐标为(0, ), 由抛物线的定义知抛物线上任意一点2211

到焦点F(0, )的距离等于到直线y=－的距离．

22

5．y= －

6．（1）（y＋t)=2x；(2)t=±2 ．提示：（1）用坐标转移法求轨迹方程；（2）联列方程组后

用韦达定理．

1

7．p= ,R(1,1)．提示：先求线段AB的长，依据面积求出抛物线上点到直线的最小距离，

2依据相切求出p，再求得最小距离时点的坐标． 8．（1）由抛物线y2=23x-4,即y2=2 (x-2

22

),可知抛物线顶点为（,0）,准线方程为x=

3

. 6

在双曲线C中，中心在原点，右焦点（

2，0），右准线x=,

63

2

c 3 3a 32 a3 b 1∴ c6 222 c a b c 23

3

∴双曲线c的方程3x2-y2=1 （2）由

y 2x 1

22

3x y 1

3x2 (2x 1)2 1 x2 4x 2 0

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∴|AB|=2

（3）假设存在实数k,使A、B关于直线y=ax对称，设A(x1,y1)、B(x2,y2),

ka 1

则 y1 y2 k(x1 x2) 2 y yx x22 1 a 1 22

由

②

③

y kx 1

22

y 3x 1

(3 k2)x2 2kx 2 0 ④

由②③，有a(x1+x2)=k(x1+x2)+2 ⑤ 由④知：x1+x2=

2k

代入⑤ 3 k2

整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称．

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