数理方程第二版 课后习题答案

第一章 曲线论

§1 向量函数

1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。 略

2. 求证常向量的微商等于零向量。 证：设

，

为常向量，因为

所以 3. 证明

。 证毕

证：

证毕

4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。 证：设

，

为定义在区间上的向量函数，因为 ，

和

在区间上可导。所以，

在区间上可导当且仅当数量函数

，根据数量函数的Lagrange中值定理，有

其中，

，

介于与之间。从而

上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中区间上处处有

，从而

证毕 5. 证明

具有固定方向的充要条件是

具有固定方向，则

。 可表示为

，。

，其中，于是

因为

，故

，从而

为某个数

，则在区间上处处有

，于是

。

。如果在

证：必要性：设其中

为某个数量函数，为单位常向量，于是

，可设

，令

充分性：如果量函数，

为单位向量，因为

为常向量，于是， 6. 证明

，即具有固定方向。 证毕

平行于固定平面的充要条件是。

，对

证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得

和

，从而，，和

此式连续求导，依次可得

。

充分性：设的结论知，

，即

共面，因此

，其中，如果

可表示为

，根据第5题

，其中

具有固定方向，则

为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以共线，又由其中

，

为法向量过原点的平面，则平行于。如果

可知，，，和共面，于是

为数量函数，令

，那么

，则与不

，

，这说明与

可

共线，从而表示为

，根据第5题的结论知，具有固定方向，则，其中

为某个数量函数，为单位常向量，作以为

法向量，过原点的平面，则平行于。 证毕

§2曲线的概念

1. 求圆柱螺线解：

，点

在点

的切线与法平面的方程。

，于是当

时，

，

对应于参数

，于是切线的方程为：

法平面的方程为

2. 求三次曲线解：

于是切线的方程为：

，当

在点处的切线和法平面的方程。 时，

，

，

法平面的方程为

3. 证明圆柱螺线证：

，

的切线和轴成固定角。

令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为轴的方向向量为

，则

证毕

4. 求悬链线解：

从

起计算的弧长。

5. 求抛物线解：

对应于

的一段的弧长。

6. 求星形线解：

，

的全弧长。

7. 求旋轮线解：

，

对应于

一段的弧长。

8. 求圆柱螺线点到任意点

的弧长。

从它与

平面的交

解：圆柱螺线点对应的参数为

，而

与平面的交点为，

，交

9. 求曲线

，

在平面

与平面

之间的弧长。

解：取为曲线参数，曲线的向量参数方程为：

平面

对应于参数

，平面

对应于参数

，

10. 将圆柱螺线解：

化为自然参数表示。

，因为自然参数

11. 求极坐标方程解：极坐标方程

给定的曲线的弧长表达式。

给定的曲线的方程可化为向量参数形式：

§3 空间曲线

1. 求圆柱螺线

解：密切平面的方程为

在任意点的密切平面的方程。

即 2. 求曲线

主法线、副法线的方程。 解：

原点

对应于参数

,于是在

处，

在原点的密切平面、法平面、从切平面、切线、

密切平面的方程为

副法线的方程为

法平面的方程为：

切线的方程为

从切平面的方程为

主法线的方程为

3. 证明圆柱螺线

的主法线和轴垂直相交。

证：

一方面，主法线的方程为

另一方面，过圆柱螺线作平面π与轴垂直，π的方程为

的直线显然与轴垂直相交，而其方程为

上任意一点，π与轴的交点为

，过与

这正是主法线的方程，故主法线和轴垂直相交。 证毕 4．在曲线

组成的新曲线的密切平面。 解：令

，则曲线的方程可表示为：

设的副法线向量为，则有

的副法线的正向取单位长，求其端点

根据题意，新曲线的方程可表示为

}

将

代入上式，整理后，得

于是新曲线

的密切平面为：

即：

5. 证明球面曲线的法平面通过球的中心。 证：设曲线

为球心在原点，半径为的球面上的曲线,其中为自然

参数。曲线(C)上任意一点P（P点的向径为）处的基本向量为，，。则有

上式两边关于求导，得

设为法平面上的点的向径，则曲线(C)上任意一点P处的法平面的向量方程为

根据(2)式

6. 证明过原点平行于圆柱螺线锥面证：

。

的副法线的直线的轨迹是

满足方程(3)，故法平面过原点。 证毕

设过原点

且与平行的直线上的点为

,则直线的方程为

化为参数方程，得

则有

这说明直线上的点

都在锥面

上。 证毕

7. 求下列曲线的曲率和挠率。

解: 对于曲线(1)

，

对于曲线(2)

8. 给定曲线

曲率和挠率；（3）验证伏雷内公式。 解: 对于给定曲线，有

，求（1）基本单位向量，，；（2）

其中，

根据(5)(6)(8)式可得

，根据(6)(9)(10)式，可得

，又根据(6)式，得

另一方面，根据(4)(7)(8)(10)式，可得

从而，

9. 证明：如果曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线。 证1：设曲线(C)的向量参数方程为：

，其中为自然参数。(C)上任意一

。

点P（P点的向径为）处的基本向量为，，。因为(C)在P点处的切线都经过一定点Q（Q点的向径设为），所以(1)

与共线，进而有

上式两端关于求导并利用Frenet公式，得： (2)

(2)式中的为(C)在P点处的曲率。又(2)式中，这是因为如果

，则同时与和共线，但这是不可能的，因为和是相互

，即(C)是直线。 证毕

正交的单位向量。从而根据(2)式有

证2：设曲线的方程为r?r(t)，因为曲线上任一点r的切线经过一定点r0，则

r?r0与r共线，但r?(r?r0)'，于是r?r0与(r?r0)'共线，从而

''即r?r0与一个常向量p平(r?r0)?(r?r0)'=0,由此可知r?r0具有固定的方向，

行，于是r?r0=?p,或r?r0??p，这说明曲线上的点r都在以p为方向向量，过点r0的直线上，所以曲线为直线。 证毕

10. 证明：如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，则此曲线是平面曲线。 证：设曲线(C)的向量参数方程为：

，其中为自然参数。曲线(C)上任意

一点P（P点的向径为）处的基本向量为，，。因为我们只研究不含逗留点

的曲线（参见教科书P.31的脚注），即 而

，

即(C)上任何点的曲率

。

设(C)在P点处的密切平面都经过一个定点Q （Q点的向径设为），则(C)在P点处的密切平面上的一个向量，从而有 (1)

为

(1) 式两端关于求导并利用Frenet公式，得： (2)

(2)式中的为(C)在P点处的挠率。 由(2)式可知，

或者

但(3)

，因为如果

结合(1)式,可知与共线，于是

(3)式两端关于求导并利用Frenet公式，得： (4)

(4)式中的为(C)在P点处的曲率。因为，所以 ，结合(3)

知同时与和共线，但这是不可能的，因为和是相互正交的单位向量。

这个矛盾说明，于是由(2)式可知，只能，曲线(C) 是平面曲

线。 证毕

11. 证明：如果曲线的所有法平面都包含常向量，则此曲线是平面曲线。 证1： 设曲线(C)的向量参数方程为：

，其中为自然参数。(C)上任意一

的基本向量，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和，曲线率和挠率分别记为和。如果曲线的主法线是曲线面两式成立：

，其中

。

在点处的曲

的副法线，依题意，有下

(3)式两边关于求导，得

整理(4)式，可得

利用(2)式，在(5)式两边与

作内积，得

(6)式中由于

故

，从而

为常数，(5)式化为

(7)式两边关于求导，得

因为，上式两边同时与

作内积，得

根据(7)式，(9)式等价于

即

从而， 17. 曲线

。 证毕

在哪些点的曲率半径最大？ 解：解: 对于给定曲线，有

其中，

根据(7)式，当

，

时，

最大。

18. 已知曲线(C)：到点

上一点

的邻近一点

，求点

的密切平面、法平面的距离（设(C)在点的曲率和挠率分别为和。）

到点

的

解：设曲线(C)在点的基本向量分别为，和，则点

密切平面和法平面的距离分别为

其中，

因为

，

，

将它们代入(1)式和(2)式中，得

19. 如果曲线：

为一般螺线，其中为的自然参数。，， 为上

：

任意一点P处的基本向量，为在P处曲率半径，证明：曲线

也是一般螺线。

证：曲线的方程两边关于求导，得

根据(1)式和(3)式，得

其中

因为曲线：

为一般螺线，故存在一个常向量 使得

从而，

(8)式说明曲线

20. 证明：一条曲线(C)：

为一般螺线的充要条件是

。

也是一般螺线。 证毕

证：充分性：如果，则曲线()： 的挠率为零，()为平面

曲线，于是存在一个常向量，使得，但，故，因为我

们只研究不含逗留点的曲线（参见教科书P.31的脚注），从而即(C) 为一般螺线。

，于是，

必要性： 如果(C)为一般螺线，存在一个常向量 使得，但

,从而，，继续关于求导，可得： ， ，

于证毕

是共面，由此，。

21. 证明：一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线。

证：因为我们只研究不含逗留点的曲线，故所讨论的两条曲线的曲率均不为0， 设曲线的方程为

，

，

，其中为的自然参数，曲线

的方程为

，其中为曲线的自然参数。因为所讨论的曲线都是正则曲

上的点和区间内

线，于是曲线上的点和区间内的参数一一对应，曲线

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