数值分析最佳试题

2008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编

第一章 绪论

姓名 学号 班级

习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为0.5?10,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：x?0.3400?10，x?x*?故具有3位有效数字。

2 ??3.14159?具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：??0.314159??10，欲使其近似值?具有4位有效数字，必需

*?5*?211?10?5??10?2?3 22???*??101?4，???10?3??*????10?3，即3.14109??*?3.14209

3 已知a?1.2031，b?0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问a?b，a?b有几位有效数字？（有效数字的计算）

12121211?10?3，b?b*??10?2，而a?b?2.1811，a?b?1.1766 22111(a?b)?(a*?b*)?a?a*?b?b*??10?3??10?2??101?2

222故a?b至少具有2位有效数字。

0.9781.20311(ab)?(a*b*)?ba?a*?a*b?b*??10?3??10?2?0.0065??101?2222故a?b至少具有2位有效数字。

解：a?a*?4 设x?0，x的相对误差为?，求lnx的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知

x?x*x*??，则误差为 lnx?lnx*?x?x*x*??

则相对误差为

lnx?lnx*lnx*?1lnx*x?x*x*??lnx*

**5测得某圆柱体高度h的值为h?20cm，底面半径r的值为r?5cm，已知

|h?h*|?0.2cm，|r?r*|?0.1cm，求圆柱体体积v限。（误差限的计算） 解：

??r2h的绝对误差限与相对误差

v(h,r)?v(h*,r*)?2?r*h*r?r*??r*2h?h*

绝对误差限为

v(h,r)?v(20,5)?2???5?20?0.1???52?0.2?25? 1

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v(h,r)?v(20,5)相对误差限为

v(20,5)n25?1???4% 2??5?20206 设x的相对误差为a%,求y?x的相对误差。（函数误差的计算） 解：

x?x*x*?a%，

y?y*y*?xn?x*nx*n?nx?x*x*?(na)%

7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1%，问度量半径r时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算） 解：球体积为 v(r)?344???r3，v(r*)????r* 33欲使

v(r)?v(r*)v(r*)1?4???r*2r?r*4???r*33?3r?r*r*?1%，必须

r?r*r*1?%。 38 设In?e?1nxx?edx，求证： 0（1）In?1?nIn?1(n?0,1,2?)

（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计

算方法的比较选择）

1解：In?e1?1?xde?e[xe0nx?1nx1011n?1x?n?x0edx]?1?ne?1n?1xx?edx?1?nIn?1 0I0?e?1?exdx?e?1(e?1)?1?e?1

0如果初始误差为?0?I0?I0，若是向前递推，有

**2n?n?In?In?(1?nIn?1)?(1?nIn?1)??n?n?1?(?1)n(n?1)?n?2???(?1)n!?0

*可见，初始误差?0的绝对值被逐步地扩大了。 如果是向后递推In?1?11?In，其误差为 nn1111*1(?1)n21?0?(?I1)?(?I1)???1?(?1)?2????n 111111?2n!可见，初始误差?n的绝对值被逐步减少了。

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第二章 插值法

姓名 学号 班级

习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。

1 已知f(?1)?2,f(1)?1,f(2)?1，求f(x)的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值）

解法一（待定系数法）：设L(x)?ax2?bx?c，由插值条件，有

?a?b?c?2??a?b?c?1 ?4a?2b?c?1?解得：a?1/6,b??1/2,c?4/3。 故 L(x)?1214x?x?。 623解法二（基函数法）：由插值条件，有

L(x)?(x?1)(x?2)(x?1)(x?2)(x?1)(x?1)?2??1??1

(?1?1)(?1?2)(1?1)((1?2)(2?1)(2?1)111?(x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)?(x?1)(x?1) 323114?x2?x? 6232 已知y?x,x0?4,x1?9，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值）

4?2，y1?9?3，其线性插值函数为

解：由插值节点与被插函数，可知，y0?x?9x?416?2??3?x? 4?99?45576137的近似值为L(7)????2.6。

555L(x)?3 若xj(j?0,1,...n)为互异节点，且有

lj(x)?试证明

(x?x0)(x?x1)?(x?xj?1)(x?xj?1)?(x?xn)(xj?x0)(xj?x1)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn)

?xj?0nkjj（拉格朗日插值基函数的性质） l(x)?xk(k?0,1,...n)。

n解：考虑辅助函数F(x)??xj?0kjjl(x)?xk，其中，0?k?n，x?(??,?)。

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F(x)是次数不超过n的多项式，在节点x?xi（0?i?n）处，有

kkkkk F(xi)??xkl(x)?x?xl(x)?x?x?xjjiiiiiiii?0j?0n这表明，F(x)有n+1个互异实根。 故F(x)?0，从而

?xj?0nkjjl(x)?xk对于任意的0?k?n均成立。

4 已知sin0.32?0.314567,sin0.34?0.333487,sin0.36?0.352274，用抛物线插值计算sin0.3367的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值） 解：由插值条件，其抛物线插值函数为

L(x)?(x?0.34)(x?0.36)?0.314567

(0.32?0.34)(0.32?0.36)?(x?0.32)(x?0.36)?0.333487

(0.34?0.32)(0.34?0.36)?(x?0.32)(x?0.34)?0.352274

(0.36?0.32)(0.36?0.34)将x?0.3367代入，计算可得：L(0.3367)?0.3304。

其余项为：r(x)??sin?(x?0.32)(x?0.34)(x?0.36) 其中，0.32???0.36 3!r(x)?1(x?0.32)(x?0.34)(x?0.36) 61(0.3367?0.32)(0.3367?0.34)(0.3367?0.36)?2.14?10?7。 6故误差的上界为：

r(0.3367)?5 用余弦函数cosx在x0?0，x1?多项式, 并近似计算cos朗日二次插值）

?4，x2??2三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值

?6及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格

解：由插值条件，二次拉格朗日插值多项式为

L(x)?(x??/4)(x??/2)(x?0)(x??/2)1(x?0)(x??/4)?1????0

(0??/4)(0??/2)(?/4?0)(?/4??/2)2(?/2?0)(?/2??/4) 4

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?8(x??/4)(x??/2)?2?82x(x??/2)??2

L()?6?8(?/6??/4)(?/6??/2)82?/6(?/6??/2)?2??2?2?42?0.8508 9绝对误差为：cos?32?4293?4?82?L()????0.0153 662918?L()66L()6cos相对误差为：????93?4?824?82?0.0179 余项为：

r(x)?sin?x(x??/4)(x??/2)，其中，0????/2 3!其余项的上界为：r(x)?1x(x??/4)(x??/2) 61??????3r()?(?)(?)?4?0.0239 66664626?比较可知，实际计算所得的绝对误差较余项公式所估计出的值要小一些。

6 已知函数值f(0)?6,f(1)?10,f(3)?46,f(4)?82,f(6)?212，求函数的四阶均差

f[0,1,3,4,6]和二阶均差f[4,1,3]。（均差的计算）

解：采用列表法来计算各阶均差，有

x 0 1 3 4 6 y 6 10 46 82 212 一阶均差 4 18 36 65 二阶均差 14/3 6 29/3 三阶均差 1/3 11/15 四阶均差 1/15 从表中可查得：f[0,1,3,4,6]?x 4 1 3 y 82 10 46 1。 15一阶均差 72/3 18 二阶均差 6 故f[4,1,3]?6。其实，根据均差的对称性，f[4,1,3]?f[1,3,4]?6，该值在第一个表中就可以查到。

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