2010-2011上学期《高等几何》期末考试试卷（A卷）

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试卷代码：1110101801

曲 靖 师 范 学 院

2010─2011学年第一学期数学与应用数学专业 20071111、20071112、20071113、20071114班

《高等几何》期末考试试卷(A卷)

任课教师：崔萍 负责人： （签字） 题 号 一 二 三 四 总 分 复核人 分 值 20 15 48 17 100 得 分 登分人 注意：1．本试卷共7 页，请考生仔细检查，有错、漏、破烂及时报告监考教师更换。

2．考生班级、学号和姓名必须写在指定地点。 3．考试形式：闭卷；考试时间：120分钟。 得 分 阅卷人 一、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）

1．在拓广的欧氏平面上，原点的齐次坐标方程为 ，x轴上的无穷远点的坐标为 . 2．无穷远线的方程是 . 3．通过每一个虚点有 条实直线.

4．直线3x1?4x2?2x3?0上的无穷远点的坐标是 . 5．点（－3，0，2）的齐次线坐标方程是 .

6．已知共线四点A(?1,1,1)、B(1,1,?1)、C(0,1,0)、D(2,4,?2)，则交比(AB,CD) ＝ .

7．已知交比(PP12,P3P4)?7，则交比(P1P4,P3P2)＝ . （高等几何）·第 1 页 共 14 页

8．直线（1，2-3i，－1）上的实点坐标是 . 9．用 次透视仿射，可把△ABC变为△CAB.

10．已知一个对合对应的二重元素为S1??1，S2?2，则这个对合对应式为 .

得 分 阅卷人 二、简答题（共4小题，第1、2、3题，每小题3分，第4题，6分，满分15分）

1．仿射变换会不会把凸四边形变成凹四边形？为什么？

2．线束交比的几何意义是什么？

3．写出：“完全四点形的三双对边，被不通过任一顶点的一直线所截，所得三个点偶，是一个对合对应中的三个点偶”的对偶命题.

4．下列概念：（1）二次曲线；（2）平行四边形；（3）直角三角形；（4）无穷远线；（5）正方形；（6）完全四线形；（7）对偶原理；（8）圆；（9）三角形的重心；（10）非平行线段的相等；（11）配极对应；（12）中心对称．哪些属于射影几何？哪些属于仿射几何？哪些专属欧氏几何？（只需写出编号）.

（高等几何）·第 2 页 共 14 页

得 分 阅卷人 三、计算证明题（共6小题，每小题8分，满分48分）

??x1?5x3??x1???x2?2x3的二重元素. 1．求射影变换??x2??x??x3?3

2．给定二次曲线C：x2?2xy?6x?5?0，求P（2，－1）关于C的极线方程.

（高等几何）·第 3 页 共 14 页

3．已知二次曲线?通过A（1，0，0）、B（0，1，0）、C（0，0，1），并且点D

（－1，1，－1）关于这条二次曲线的极线方程为?3x1?2x2?7x3?0，求这条二次曲线的方程.

4．求射影对应，使点列l上的三点3,1,2对应于点列l'上三点?3,?1,?2.

（高等几何）·第 4 页 共 14 页

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5．用高等几何方法证明：三角形的三中线共点.

6．用高等几何知识证明：梯形两底中点，两对角线交点，两腰（所在直线）交点这四点共线.

（高等几何）·第 5 页 共 14 页

证：如图

………………(2分)

若?ABC三边中点分别为D、E、F，则EF//BC，DE//AB， DF//AC，

………………(4分)

?ABC与?DEF中，对应边的交点共无穷远直线 ………………(6分)

由代沙格逆定理，对应顶点的连线AD、BE、CF共点O。 ………………(8分)

6．本小题考查高等几何知识在初等几何中的应用，满分8分。

证：（用完全四点形的调和性质作指导）

设QP交AB于M，交CD于N，现证M、N是AB、CD之中点，

………………(2分)

Q

C D N

P

A R M B

事实上，在由四直线QD、DP、PC、CQ构成的一个完全四线形中，PQ、DC、AB是它的三条对顶线。由四线形的调和性质有：

（AB，MR）=-1，（DC，NR）=－1，

………………(5分)

但DC∥AB，∴R是无穷远点，而无穷远点的调和共轭点是线段中点。

（高等几何）·第 11 页 共 14 页

∴M、N是AB、CD之中点。

………………(8分)

四、作图题：本题考查射影作图的掌握，共4小题，第1、2、3题，每小题4分，第4题，5分，满分17分。

1．本小题考查对偶图形的作法，满分4分。

………………(4分)

2．本小题考查对合对应点的作法，满分4分。

作法：1）过C任作一直线，并在其上任取Q、R两点；

' 2）作S?AR?B'Q,T?BR?AQ；

3）作C'?ST?AB.

则点C'即为所求． ………………(2分)

………………(4分)

3．本小题考查完全四点形的对角三角形的作法及过对角点的一组调和线束的表

（高等几何）·第 12 页 共 14 页

示，满分4分。

1． （1）

………………（3分）

（2）P(AB,QR)??1

………………（4分） 4．本小题考查过一点的二次曲线的切线的作法，满分5分。 作法：1）通过P点任引两直线使与?分别交于A，B及C，D；

………………(1分)

2）设Q?AC?BD，R?AD?BC，QR交?于点M,N

则PM,PN就是所求的切线． ………………(3分)

………………(5分)

（高等几何）·第 13 页 共 14 页

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