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词²清平乐

禁庭春昼，莺羽披新绣。

百草巧求花下斗，只赌珠玑满斗。

日晚却理残妆，御前闲舞霓裳。谁道腰肢窈窕，折旋笑得君王。

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数学与美----------------------------------------第2页 中学数学与数学美--------------------------------第6页 数学与文化--------------------------------------第8页 数学文化欣赏-----------------------------------第14页 从《数学与文化》中感受数学之美-----------------第17页 三角函数历史-----------------------------------第19页 解析几何建立的故事-----------------------------第28页 数学生活---------------------------------------第32页 半生痴迷数学著书立说---------------------------第36页 山沟里的数学家---------------------------------第38页 数学家们的生活趣事-----------------------------第40页 牛顿与莱布尼茨的数学微积分之争-----------------第43页 怎样才能学好数学呢-----------------------------第46页 高中数学学习方法-------------------------------第50页 华罗庚谈学数学方法-----------------------------第54页 怎样才可以学好数学呢---------------------------第55页

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数学与美

数字，在人们生活中广泛应用；数字，创造了许多如诗如画的篇章。值此第24届国际数学家大会在北京召开之际，南京大学教授方延明写一篇妙趣横生的关于数字的文章，今转载于此，以飨读者。

我们国家是一个数学大国，也是一个数学古国，早在2000多年前，我们的祖先就有“周三经一”的思想，也就是今天人们讲的圆周率π，而西方国家到了17世纪才有这样的概念，陈景润关于“哥德巴赫猜想”的卓越工作，令世界震惊。

实际上，我们每一个人，天天都在跟数字打交道。一个人不识字完全可以生活，但是若不识数，就很难生活了，现代科技进步，对数学的要求越来越高，有一个著名科学家叫A．N．Rao，他前些年讲过一句话：“一个国家的科学的进步，可以用它消耗的数学来度量。”近30年来获诺贝尔经济学奖的专家的工作，绝大部分是因为他们在数学方面的重要成就而获奖。

人们都知道“黄金分割”的0.618,所谓“黄金分割”，实际上是一个比例的问题，符合这样的比例，人们就看着顺眼、舒服。当然，“情人眼里出西施”那是另外一回事。比如，人的肚脐，是人的身长的黄金分割点，你如果用从头到肚脐的长度去除以人的身高，接近0.618,一般讲是比较好看的黄金身段。而膝盖又是人体肚脐以下部分的黄金分割点，这方面的例子很多。 数字本身有深刻的美的内容。数字和一些美好事物联系在一起，会给人以美的享受。如十个数字：一元复始，一帆风顺；双喜临门、二度梅开；三阳开泰、三思而行；四通八通、四海为家；五世其昌、五官端正；六根清净、六艺、六韬、六合、六极；七情六欲、七曜、七略；八面玲珑、八面威风、八仙、八卦；九霄云外、九转金丹；十全十美。

中国古代的诗词中更不乏数字美的佳句。如李白的“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还。两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”，是公认的长江漂流的名篇，展示了一幅轻快飘逸的画卷。“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”，“白发三千丈”，也是借助数字达到了高度的艺术夸张。杜甫的“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天。窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船”，同样脍炙人口，数字深化了时空意境。他还有“霜皮溜雨四十围，黛色参天二千尺”，“青松恨不高千尺，恶竹应须斩万竿”等，表现出强烈的夸张和爱憎。柳宗元的“千山鸟飞绝，万径人踪灭。孤舟蓑笠翁，独钓寒江雪”，数字具有尖锐的对比和衬托作用。他的“一身去国六千里，万死报荒十二年”和韩愈的“一封朝奏九

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重天，夕贬潮州路八千”一样，抒发迁客的失意之情，异曲同工，惊心动魄。岳飞的“三十功名尘与土，八千里路云和月”，陆游的“三万里河东入海，五千仞岳上摩天”，同样是壮怀激烈的。

还有一些状似打油诗之作，也含有一定的哲理。如唐诗《题百鸟归巢图》：“一只一只复一只，五六七八九十只，凤凰何少鸟何多？食尽人间千万石。”传说郑板桥见人赏雪吟诗，戏作：“一片二片三四片，五六七八九十片，千片万片无数片，飞入梅花总不见。”读来妙题横生。

再比如，以数字入诗的唐诗“一片冰心在玉壶”（王昌龄）、“两朝开济老臣心”（杜甫）、“三山半落青天外”（李白）、“四边伐鼓雪海涌”（岑参）、“五湖烟水独忘机”（温庭筠）、“六年西顾空吟哦”（韩愈）、“七月七日长生殿”（白居易）、“八骏日行三万里”（李商隐）、“九重谁省谏书函”（李商隐）、“十鼓只戴数骆驼”（韩愈）、“百年都是几多时”（元稹）、“万古云霄一羽毛”（杜甫）等等，数字和文学语言的结合到了出神入化的境界，引人入胜。

广为传颂的《秀才进京赶考》与《文君复书》，把数字用活，体现了数字别具一格的神韵美。《秀才进京赶考》，是说明朝时有一位穷书生，历尽千辛万苦赶往京城应试，由于交通不便，赶到京城时，试期已过。经他苦苦哀求，主考官让他先从一到十，再从十到一作一对联。穷书生想起自己的身世，当即一气呵成：

一叶孤舟，坐着二三个骚客，启用四桨五帆，经过六滩七湾，历尽八颠九簸，可叹十分来迟。十年寒窗，进了九八家书院，抛却七情六欲，苦读五经四书，考了三番二次，今天一定要中。

几十载的人生之路，通过十个数字形象深刻地表现出来了。主考官一看，拍案叫绝，并把他排在榜首。而《文君复书》说的是司马相如赴长安赶考，对送行的妻子卓文君发誓：“不高车驷马，不笔此过。”多情的卓文君听说后却深为忧虑，就叮嘱他：“男儿功名固然很重要，但也切勿为功名所缠，作茧自缚。”说完，司马相如便上路了。他到了长安，由于在家勤奋读书，终于官拜中郎将。从此，他沉湎于声色犬马、纸醉金迷，觉得卓文君配不上他了，于是就处心积虑想休妻，另娶名门千金。

一转眼五年时间过去了。一天卓文君暗自垂泪，忽然京城来了一名差官，交给她一封信，说司马相如大人吩咐，立等回书。卓文君接过信又惊又喜，拆开信一看，寥寥数语：“一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万。”卓文君一下子明白了，当了新贵的丈夫，已有弃她之意。于是她回信写道：

一别以后，二地相悬，只说三四个月，又谁知五年六年。七弦琴无心弹，八行书无可传，九连环又从中折断，十里长亭望眼欲穿，百思想，千思念，万

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般无奈把郎怨。万语千言说不完，百无聊赖十依栏，重九登高看孤雁，八月中秋月圆人不圆，七月半烧香秉烛问苍天，六伏天人人摇扇我心寒，五月石榴火红偏遭阵阵雨浇花端，四月枇杷未黄我欲对镜心意乱。急匆匆，三月桃花随水转，飘零零，二月风筝线儿断。噫！郎呀郎，巴不得下一世你为女来我为男。 司马相如读后十分羞愧、内疚，良心受到了谴责，他越想越对不起这位才华出众、多情多义的妻子。后来他终于用高车驷马，亲自登门接走“糟糠”之妻卓文君，过上了幸福美满的生活。

还有一些数字，往往要通过计算。通过不同数字的组合，才可以得到一些非常奇妙的排列，令人看后叫绝，回味无穷。

1²9＋2＝11

12²9＋3＝111

123²9＋4＝1111

1234²9＋5＝11111

12345²9＋6＝111111

123456²9＋7＝1111111

1234567²9＋8＝11111111

12345678²9＋9＝111111111

123456789²9＋10＝1111111111

这里的“²”，是乘号的意思，以下都是如此。

9²9＋7＝88

98²9＋6＝888

987²9＋5＝8888

9876²9＋4＝88888

98765²9＋3＝888888

987654²9＋2＝888888

9876543²9＋1＝8888888

98765432²9＋0＝88888888

1²1＝1

11²11＝121

111²111＝12321

1111²1111＝1234321

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11111²11111＝123454321

111111²111111＝12345654321

1111111²1111111＝1234567654321

11111111²11111111＝123456787654321

111111111²111111111＝12345678987654321

9²9＝81

99²99＝9801

999²999＝998001

9999²9999＝99980001

99999²99999＝9999800001

999999²999999＝999998000001

9999999²9999999＝99999980000001

1²8＋1＝9

12²8＋2＝98

123²8＋3＝987

1234²8＋4＝9876

12345²8＋5＝98765

123456²8＋6＝987654

1234567²8＋7＝9876543

12345678²8＋8＝98765432

123456789²8＋9＝987654321

数学是一门同人民大众贴得很近的学科，它所讨论的宇宙，远比现实的所谓宇宙宏伟雄大。通常所说的宇宙只是三维空间，而数学则建立起了四维、五维乃至n维空间，并且，集合论的超限数的空间，远远超过了通常无穷大的空间，它们都远比我们现实的宇宙更具有庄严美、雄伟美。数学是一座远远地超越了我们想象的华丽宫殿，站在这个无比庄严、宏伟的宇宙中的数学家们，以崇敬赞叹的目光远眺着它的壮观、美妙，那些能够感受到这种数学美、宇宙美的人，是可以被称为爱因斯坦所谓的有宇宙宗教性的人。

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中学数学与数学美

美是什么？美学界众说纷纭，无论哪种说法，美的本质是不变的，它是人的一种心理愉悦感受。现实生活中，人们在不断地追求美、发现美、创造美，同时也在欣赏美。大自然是美的，人类是美的，美无时不在，无处不有。“不是缺少美，而是缺少发现美。”2000多年来，人类在探索美的艺术的同时，也在探索着美的奥秘。

一、数学之美

数学中的美如美酒，如甘泉，自古以来就吸引着人们的注意力。古希腊的学者认为球形是最完美的形体；毕达哥拉斯发现了勾股定理，他为直角之角形具有这种简明、和谐的关系而赞叹；爱因斯坦12岁时，得到了一本欧几里德几何教科书，它的严谨、明澈和确定，给爱因斯坦留下了不可磨灭的印象；罗索在学习欧几里德几何时，感到这是他一生中的一件大事，他像初恋一样地入了迷，没有想到世界上还会有这样有趣的东西。

西方有一句名言：部分与部分及部分与整体之间的协调一致就是美。据此，应用比例的方法，人们找到了造型艺术中具有美学价值的黄金比，并称之为“黄金分割”或“黄金律”。维纳斯像与女神雅典娜像就是美的比例，美的分割，它的下身与全身之比都接近0.618，人体天生有自然美，它的比例也符合“黄金律”。无怪于德国天文学家开普勒称黄金分割为“几何学的一大宝藏！”对称的图形给人以美的享受，而不对称的现象中同样存在着美，这就是黄金分割的美。如今，设计师和艺术家们已经利用这一规律创造出了许多令人心醉的建筑和无价的艺术珍宝。

数学美比比皆是，正如人们常说的：“哪里有数，哪里就有美。”数学美不同于自然美或艺术美。古希腊伟大的哲学家亚里斯多德说过：虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离，因为美的主要形式就是“秩序、匀称和确定性”，这些正是数学研究的原则。英国著名哲学家、数学逻辑学家罗索则把数学之美形容成一种“冷而严肃的美。”他说：数学如果正确地对待它，不但拥有真理，而且也具有至高的美，这种美不仅是投合我们天性的微弱方面，这种美没有绘画和音乐那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术能显示的那种完美的境地。维纳则说：数学实质上是艺术的一种。

可见，数学美是一种完全和谐的、抽象形式的艺术美，是一种客观存在，是自然美在数学中的反映；同时，也是反映客观世界并能动地改造客观世界的科学美。

二、中学数学教学中的美

人们常说：“成功的教学给人一种美的享受。”在数学教学中不仅存在数学科的艺术美、科学美，而且存在着数学教学美。成功的教学是美的，因为它既符合数学教学规律，又显示了人的本质力量。教学活动是师生的共同活动，一方面

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教师在数学宝库中提练出知识并把它浓缩成教案，然后通过教学的方式传递给学生；另一方面在教学的过程中学生增长了知识和聪明才智，显示了自己的本质力量。数学教学过程不仅仅是学生个体的认识过程和发展过程，而且是在教师的指导下的一种特殊的审美过程，通过数学教学审美活动，可以激励学生的情感、净化学生的心灵、陶冶学生的情操。

在中学数学教材中，很多内容都反映了数学美。如“勾三股四弦五”体现了直角三角形中的奇异美（特殊性），从到 ，又体现了一种统一美。而对于一般三角形，这种统一美又得到了突破，得到余弦定理 ，余弦定理在新的高度上又得到了新的统一。而CosC>0、CosC=0 、CosC<0分别表示锐角、直角、钝角三角形（C为最大边），充分显示了数学的动静美和简、美、真的规律。又如，在立体几何教学中，与已学过的一些几何体的表面积定理相比较，分析球面面积定理：“球面面积等于它的大圆面积的4倍”时，应首先挖掘出定理本身所具有的奇异美，这里的奇异性表现在球面面积的求法别具一格，其次，定理的证明方法也具有奇异性，因为用圆台面积去无限逼近球面的方法是学生前所未见的；此外，公式球体图形的匀称等，也都表现了数学美。

三、如何创造数学教学美

作为一名中学数学教师，我认为创造数学教学美应从以下几个方面下功夫。

1、数学教学语言美

语言是教师进行教学的武器，也是组织学生注意的工具，教师的语言应准确、鲜明、生动、有启发性和教育性。而清晰、流畅、优美、动听且富有节奏变化的教学语言能使学生获得一种美的享受，并能给学生一种潜移默化的影响。苏霍姆林斯基曾经说过：“教师的讲话带有审美色彩，这是一把精致的钥匙，它不仅可以开发情绪记忆，而且可以深入到大脑最隐蔽的角落。”尽管数学具有高度的抽象性和严密的逻辑性，但在数学教学中，应运用形象化的语言。形象化语言是听觉和视着互相结合的语言艺术。它要求教师必须对教学内容进行深刻的感受、理解、想象、体现，然后通过恰当的比喻、通俗的语言展现教学内容的形象。 同时，教师在课堂上呈现给学生的基本表情应是微笑，微笑能启动学生心灵的窗扉，缩短师生之间的感情距离，常常能起到无声胜有声的作用。

2、数学教学的板书美

板书是书法、绘图、制表等技能技巧的综合表现。教师精心设计的板书布局，规范的公式、图形和数字符号，再加上工整秀丽的文字，犹如用文字和符号巧妙组成的一幅艺术作品，能给学生以美的享受，可以激发他们学习数学的兴趣。

3、数学教学中的数学方法美

数学教学应重视数学的方法美。例如数学归纳法表现出的和谐统一，反证法表现出的异军突起，代换法表现出的简洁明快等等，可以说任何一种数学方法都是一种美的形式，都能让学生感受到美的乐趣。具体到一道数学是来说，有时它的解答或证明的方法并不是唯一的，从不同的角度，用不同的思维方式去考虑，最后殊途同归，给人一种美的感受。

4、数学教学中的组织美

所谓组织是指在课堂教学中教师不断组织学生的注意，管理纪律，引导学习，建立和谐的教学环境，指导学生进行学习的行为方式。优秀的教师往往都是优秀的课堂组织管理者，整个课堂，在教师精心的引导下，如行云流水般，给人一种美的享受。

在中学数学教学中，教师若能较深刻地认识数学之美，有意识地创造数学教

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学之美，将会取得事半功倍的效果。

参考文献：

《数学教学艺术概论》 《中学数学教学技能训练》

《中学数学教材教法》 《数学教学论与数学改革》

《发明创造100例》（数学卷）

数学与文化

数学研究的是现实世界中的数量关系和空间形式，它作为一门基础科学，既广泛应用于技术工程中，又是研究许多理论科学必不可少的工具。然而，由于数学具有高度的抽象性，一般人对它存在着片面的认识。本文开篇就提出了鲜明的观点：“数学一直是形成现代文化的主要力量，同时又是这种文化极其重要的因素。”作者列举了历史上人们对数学的误解，在各个层面上论述了数学在人类文化中的作用，对它的本质和应用作了精要的分析。作者引用怀特海关于“阿基米德死于一个罗马士兵之手”的精彩论述，将数学放在广阔的社会背景中来说明它的文化意义，发人深省。本文文质兼美，作者旁征博引，说理透辟，议论精警。 数学一直是形成现代文化的主要力量，同时又是这种文化极其重要的因素。这种观点在许多人看来是难以置信的，或者充其量来说也只是一种夸张的说法。这种怀疑态度完全可以理解，它是一种普遍存在的对数学实质的错误概念所带来的结果。

由于受学校教育的影响，一般人认为数学仅仅是对科学家、工程师，或许还有金融家才有用的一系列技巧。这样的教育导致了对这门学科的厌恶和对它的忽视。当有人对这种状况提出异议时，某些饱学之士可以得到权威们的支持。圣钒鹿潘苟 彩シ奥古斯丁(354—430)〕基督教神学家、哲学家，北非希波主教。生于北非塔加斯特(现在阿尔及利亚的苏克阿赫腊斯)。他的神学体系5至12世纪在西欧基督教会中占统治地位。主要著作有《上帝之城》《预定论》《论三位一体》等。

他说过：“好的基督徒应该提防数学家和那些空头许诺的人。这样的危险已经存在，数学家们已经与魔鬼签订了协约，要使精神进入黑暗，把人投入地狱。”古罗马法官则裁决“对于作恶者、数学家诸如此类的人”，应禁止他们“学习几何技艺和参加当众运算像数学这样可恶的学问”。叔本华〔叔本华(1788—1860)〕19世纪德国哲学家，惟意志论的创始人。认为人生就是苦难。他对科学研究评价不高，认为科学研究是为了满足物质欲望。，这位在现代哲学史上占有重要地位的哲学家，也把算术说成是最低级的精神活动，他之所以持这种态度，是基于算术能通过机器来运算这一事实。

由于学校数学教学的影响，这些权威性的论断和流行的看法，竟被认为是正确的!但是一般人忽视数学的观点仍然是错误的。数学学科并不是一系列的技巧。这些技巧只不过是它微不足道的方面：它们远不能代表数学，就如同调配颜色远不能当作绘画一样。技巧是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥落后的产物。如果我们对数学的本质有一定的了解，就会认识到数学在形成现代生活和思想中起重要作用这一断言并不是天方夜谭。

因此，让我们看一看20世纪人们对这门学科的态度。首先，数学主要是一种寻求众所周知的公理法思想的方法。这种方法包括明确地表述出将要讨论的概念的定义，以及准确地表述出作为推理基础的公理。具有极其严密的逻辑思维能

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力的人从这些定义和公理出发，推导出结论。数学的这一特征由17世纪一位著名的作家在论及数学和科学时，以某种不同的方式表述过：“数学家们像恋人 承认一位数学家的最初的原理，那么他由此将会推导出你也必须承认的另一结论，从这一结论又推导出其他的结论。”

仅仅把数学看作一种探求的方法，就如同把达贩移妗泊锓芬奇(1452—1519)〕意大利文艺复兴时期的美术家、科学家、工程师。绘画代表作有《最后的晚餐》《蒙娜丽莎》等。《最后的晚餐》看作是画布上颜料的组合一样。数学也是一门需要创造性的学科。在预测能被证明的内容时，和构思证明的方法时一样，数学家们利用高度的直觉和想像。例如，牛顿和开普勒〔开普勒(1571—1630)〕德国物理学家、天文学家，提出了行星运动的三大定律。就是极富于想像力的人，这使得他们不仅打破了长期以来僵化的传统，而且建立了新的、革命性的概念。在数学中，人的创造能力运用的范围，只有通过检验这些创造本身才能决定。有些创造性成果将在后面讨论，但这里只需说一下现在这门学科已有八十多个广泛的分支就够了。

如果数学的确是一种创造性活动，那么驱使人们去追求它的动力是什么呢?研究数学最明显的、尽管不一定是最重要的动力是为了解决因社会需要而直接提出的问题。商业和金融事务、航海、历法的计算、桥梁、水坝、教堂和宫殿的建造、作战武器和工事的设计，以及许多其他的人类需要，数学能对这些问题给出最完满的解决。在我们这个工程时代，数学被当作普遍工具这一事实更是毋庸置疑。

数学的另外一个基本作用(的确，这一点在现代特别突出)，那就是提供自然现象的合理结构。数学的概念、方法和结论是物理学的基础。这些学科的成就大小取决于它们与数学结合的程度。数学已经给互不关联的事实的干枯骨架注入了生命，使其成了有联系的有机体，并且还将一系列彼此脱节的观察研究纳入科学的实体之中。

智力方面的好奇心和对纯思维的强烈兴趣，激励许多数学家研究数的性质和几何图形，并且取得了富有创造性的成果。今天很受重视的概率论，就开始于牌赌中的一个问题——一场赌博在结束之前就被迫中止了，那么赌注如何分配才合理?另外一个与社会需要或科学没有什么联系的最突出的成就，就是由古代希腊人创造出来的，他们把数学转变成了抽象的、演绎的和公理化的思想系统。事实上，数学学科中一些最伟大的成就——射影几何、数论、超穷数理论和非欧几何〔非欧几何〕一种不同于欧几里得几何学的几何体系的简称，一般指罗巴切夫斯基的双曲几何和黎曼的椭圆几何。它们与欧氏几何的最主要区别在于公理体系中采用了不同的平行公理。，这里我只提到我们将要讨论的内容——都是为了解决纯智力的挑战。

进行数学创造的最主要的驱动力是对美的追求。罗素②〔罗素(1872—1970)〕英国哲学家、数理逻辑学家，分析哲学的创始人。1950年获诺贝尔文学奖。一生著述一百多种，主要著作有《论几何学的基础》《数学原理》(与怀特海合著)《西方哲学史》《人类知识》等。，这位抽象数学思想的大师曾直言不讳地说： 数学，如果正确地看它，则具有 至高无上的美——正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。一种真实的喜悦的精神，一种精神上的亢奋，一种觉得高于人的意识——这些是至善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在

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数学里得到。

除了完善的结构美以外，在证明和得出结论的过程中，运用必不可少的想像和直觉也给创造者提供了高度的美学上的满足。如果美的组成和艺术作品的特征包括洞察力和想像力，对称性和比例、简洁，以及精确地适应达到目的的手段，那么数学就是一门具有其特有完美性的艺术。

尽管历史已清楚地表明，上述所有因素推动了数学的产生和发展，但是依然存在着许多错误的观点。有这样的指责(经常是用来为对这门学科的忽视作辩解的)，认为数学家们喜欢沉湎于毫无意义的臆测；或者认为数学家们是笨拙和毫无用处的梦想家。对这种指责，我们可以立刻作出使其无言以对的驳斥。事实证明，即使是纯粹抽象的研究，也是有极大用处的，更不用说由于科学和工程的需要而进行的研究了。圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛物线)自被发现两千多年来，曾被认为不过是“富于思辨头脑中的无利可图的娱乐”，可是最终它却在现代天文学、仿射运动理论和万有引力定律中发挥了作用。

另一方面，一些“具有社会头脑”的作家断言：数学完全或者主要是由于实际需要，如需要建筑桥梁、制造雷达和飞机而产生或发展的。这种断言也是错误的。数学已经使这些对人类方便有用的东西成为可能，但是伟大的数学家在进行思考和研究时却很少把这些放在心上。有些人对实际应用漠不关心，这可能是因为他们成果的应用在几百年后才实现。毕达哥拉斯和柏拉图的唯心主义数学玄想，比起货栈职员采用“”号和“”号的实际行动来(这曾使某一作家深信“数学史上的一个转折点乃是由日常的社会活动所致”)，所作的贡献要大得多。确实，几乎每一个伟大的人物所考虑的都是他那个时代的问题，流行的观点会制约和限制他的思想。如果牛顿早生两百年，他很有可能会成为一位出色的神学家。伟大的思想家追求时代智力风尚，就如同妇女在服饰上赶时髦一样。即使是把数学作为纯粹业余爱好的富有创造性的天才，也会去研究令专业数学家和科学家感到十分激动的问题。但是，那些“业余爱好者”和数学家们一般并不十分关心他们工作的实用价值。

实用的、科学的、美学的和哲学的因素，共同促进了数学的形成。把这些做出贡献、产生影响的因素中的任何一个除去，或者抬高一个而去贬低另外一个都是不可能的，甚至不能断定这些因素中谁具有相对的重要性。一方面，对美学和哲学因素作出反应的纯粹思维决定性地塑造了数学的特征，并且作出了像欧氏几何和非欧几何这样不可超越的贡献。另一方面，数学家们登上纯思维的顶峰不是靠他们自己一步步攀登，而是借助于社会力量的推动。如果这些力量不能为数学家们注入活力，那么他们就立刻会身疲力竭，然后他们就仅仅只能维持这门学科处于孤立的境地。虽然在短时期内还有可能光芒四射，但所有这些成就会是昙花一现。

数学的另一个重要特征是它的符号语言。如同音乐利用符号来代表和传播声音一样，数学也用符号表示数量关系和空间形式。与日常讲话用的语言不同，日常语言是习俗的产物，也是社会和政治运动的产物，而数学语言则是慎重的、有意的而且经常是精心设计的，凭借数学语言的严密性和简洁性，数学家们就可以表达和研究数学思想，这些思想如果用普通语言表达出来，就会显得冗长不堪。这种简洁性有助于思维的效率。J.K.杰罗姆〔J.K.杰罗姆(1859—1927)〕英国小说家、剧作家。主要作品有《懒汉的痴想》《三人出游记》等。，为了需要求诸于代数符号，在下面一段描写中，尽管与数学无关，却清楚地表现了数学的实用性和明了性：

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当一个20世纪的青年堕入情网时，他不会后退三步，看着他心爱的姑娘的眼睛，对她说她是世界上最漂亮的人儿。他说他要冷静下来，仔细考虑这件事。如果他在外面碰上一个人，并且打破了他的脑袋——我指另外一个人的脑袋——于是那就证明了他的——前面那个小伙子——姑娘是个漂亮姑娘。如果是另外一个小伙子打破了他的脑袋——不是他自己的，你知道，而是另外那个人的——对第二个小伙子来说的另外一个。因为另外一个小伙子只是对他来说是另外一个，而不是对前面那个小伙子——那么，如果他打破了他的头，那么他的姑娘——不是另外一个小伙子，而是那个小伙子，他 瞧：如果A打破了B的脑袋，那么A的姑娘是一个漂亮的姑娘。但如果B打破了A的头，那么A的姑娘就不是一个漂亮的姑娘，而B的姑娘是一个漂亮的姑娘。

简洁的符号能够使数学家们进行复杂的思考时应付自如，但也会使门外汉听数学讨论如堕五里云雾。

数学语言中使用的符号十分重要，它们能区别日常语言中经常引起混乱的意义。例如，英语中使用“is”一词时，就有多种不同的意义。在“他在这儿”（He is here）这个句子中，“is”就表示一种物理位置。在“天使是白色的”（An angel is white）这个句子中，它表示天使的一种与位置或物理存在无关的属性。在“那个人正在跑”（The man is running）这个句子中，这个词“is”表示的是动词时态。在“二加二等于四”（Two and two are four）这个句子中，is的形式被用于表示数字上的相等。在“人是两足的能思维的哺乳动物”（Men are the two legged thinking mammals）这个句子中，is的形式被用来断言两组之间的等同。当然，在一般日常会话中引用各种各样不同的词来解释is的所有这些意义，不过是画蛇添足，因为尽管有这些意义上的混乱，人们也不会因此产生什么误会。但是，数学的精确性——它与科学和哲学的精确性一样，要求数学领域的研究者们更加谨慎。

数学语言是精确的，它是如此精确，以致常常使那些不习惯于它特有形式的人觉得莫名其妙。如果一个数学家说：“今天我没看见一个人”（I did not see one person today），那么他的意思可能是，他要么一个人也没看见，要么他看见了许多人。一般人则可能简单地认为他一个人也没看见。数学的这种精确性，在一个还没有认识到它对于精密思维的重要性的人看来，似乎显得过于呆板，过于拘泥于形式。然而任何精密的思维和精确的语言都是不可分割的。

毕达哥拉斯定理（勾股定里）———数学风格以简洁和形式的完善作为其目标，但有时由于过分地拘泥于形式上的完美和简洁，以致丧失了精确竭力要达到的清晰。假定我们想用一般术语表述毕达哥拉斯定理所示的内容，我们很有可能说：“有一个直角三角形，画两个以该三角形的直角边作为其边的正方形，然后再画一个以该三角形斜边作为其边的正方形，那么第三个正方形的面积就等于前面两个正方形面积之和。”但是没有一个数学家会用这样的方式来表达自己的想法。他会这样说：“直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方。”这种简洁的用词使表述更为精练，而且这种数学表达式具有重要的意义，因为它的确是言简意赅。还有，由于这种惜墨如金的做法，任何数学文献的读者有时会发现自己的耐心受到了极大的考验。

数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说；满足了人类探索宇宙的好奇心和对美妙音乐的冥想；甚至可能有时以难以察觉到的方式但无可置疑地影响着现

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代历史的进程。在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，使得人类的思维得以运用到最完善的程度，也正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。

数学还有一个更加典型的特征与我们的论述密切相关。数学是一棵富有生命力的树，它随着文明的兴衰而荣枯。它从史前诞生之时起，就为自己的生存而斗争，这场斗争经历了史前的几个世纪和随后有文字记载历史的几个世纪，最后终于在肥沃的希腊土壤中扎稳了生存的根基，并且在一个较短的时期里茁壮成长起来了。在这个时期，它绽出了一朵美丽的花——欧氏几何。其他的花蕾也含苞欲放。如果你仔细观察，还可以看到三角和代数学的雏形；但是这些花朵随着希腊文明的衰亡而枯萎了，这棵树也沉睡了一千年之久。

这就是数学那时的状况。后来这棵树被移植到了欧洲本土，又一次很好地扎根在肥沃的土壤中。到公元1600年，她又获得了在古希腊顶峰时期曾有过的旺盛的生命力，而且准备开创史无前例的光辉灿烂的前景。如果我们将17世纪以前所了解的数学称为初等数学，那么我们能说，初等数学与从那以后创造出的数学相比是微不足道的。事实上，一个人拥有牛顿处于顶峰时期所掌握的知识，在今天不会被认为是一位数学家。因为与普通的观点相反，现在应该说数学是从微积分开始，而不是以此为结束。在我们这个世纪，这门学科已具有非常广泛的内容，以致没有任何数学家能够宣称他已精通全部数学。

数学发展的这幅素描，尽管简略，但却表明数学的生命力正是根植于养育她的文明的社会生活之中。事实上，数学一直是文明和文化的重要组成部分，因此许多历史学家通过数学这面镜子，了解了古代其他主要文化的特征。以古典时期的古希腊文化为例，它大约从公元前600年延续到公元前300年。由于古希腊数学家强调严密的推理以及由此得出的结论，因此他们所关心的并不是这些成果的实用性，而是教育人们去进行抽象的推理，和激发人们对理想与美的追求。因此，看到这个时代具有很难为后世超越的优美文学，极端理性化的哲学，以及理想化的建筑与雕刻，也就不足为奇了。

数学创造力的缺乏也表现在一个时代文明的文化里，这一点也是真实的。看看罗马的情况吧。在数学史上，罗马人在一定时期内曾作出过贡献，但从那以后他们就开始停滞不前了。阿基米德，最伟大的古希腊数学家和科学家，在公元前221年被突然闯入的罗马士兵杀害了，当时他正在研究画在沙盘中的几何图形。对此，A.N.怀特海〔A.N.怀特海(1861—1947)〕英国数学家、逻辑学家，过程哲学的创始人。曾任美国哈佛大学哲学教授，英国科学院院士。主要著作有《数学原理》(与罗素合著)《数学导论》《相对论原理》《科学与近代世界》等。说过：

阿基米德死于一个罗马士兵之手，是一个世界发生头等重要变化的标志；爱好抽象科学、擅长推理的古希腊在欧洲的霸主地位，被重实用的罗马取代了。洛德繁瓤纤狗贫?Lord Beaconsfield)，在他的一部小说中，曾把重实用的人称为是重复其先辈错误的人。罗马是一个伟大的民族，但是他们却由于只重实用而导致了创造性的缺乏。他们没有发展其祖先的知识，他们所有的进步都局限于工程技术的细枝末节。他们并不是那种能够提出新观点的梦想家，这些新观点能给人以更好地主宰自然界的力量。没有一个罗马人因为沉湎于数学图形而丧命。 事实上，西塞罗〔西塞罗(公元前106—前43年)〕古罗马共和国末期的政

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治家和哲学家。公元前63年任执政官，公元前51年任西里西亚总督。主要哲学著作有《论目的》《神学论》《论命运》等。夸耀自己的同胞——感谢上帝——不是像希腊人一样的梦想家，而是把他们的数学研究派上实际用场的人。

注重实用的罗马帝国，将其精力用于权术和征服外邦。为迎接军队胜利归来的拱形的凯旋门，也许是罗马帝国的最好象征，但它们不是显得得体优雅，而是显得毫无生气。罗马最突出的特征也许是麻木不仁，罗马人几乎没有真正的独创精神。简言之，罗马文化是外来的，罗马时期的大多数成就主要渊源于小亚细亚的希腊，此时小亚细亚的希腊正处于罗马政权统治之下。

这几个例子告诉我们，一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显。在不抹煞历史学家、经济学家、哲学家、作家、诗人、画家和政治家功绩的前提下，我们可以这样说：其他文明已经产生了在能力和成就方面同等的效果。另一方面，尽管欧几里得和阿基米德无疑地是极其卓越的思想家，尽管我们的数学家得以达到更高的水平，这仅仅是因为像牛顿所说的那样，他们是站在巨人的肩膀上。然而，正是在我们这个时代，数学才达到了它应该达到的范围，而且有着不同寻常的用途。这样，由于数学已经广泛地影响着现代生活和思想，今天的西方文明与以往任何历史上的文明都有着明显的区别。

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数学文化欣赏

数学作为一种文化现象，早已是人们的常识。历史地看，古希腊和文艺复兴时期的文化名人，往往本身就是数学家。最著名的如柏拉图和达²芬奇。晚近以来，爱因斯坦、希尔伯特、罗素、冯²诺依曼等文化名人也都是20世纪数学文明的缔造者。

一、数学文化的存在价值

在公布的高中数学课程标准中，数学文化是一个单独的板块，给予了特别的重视。许多老师会问为什么要这样做？一个重要的原因是，20世纪初年的数学曾经存在着脱离社会文化的孤立主义倾向，并一直影响到今天的中国。数学的过度形式化，使人错误地感到数学只是少数天才脑子里想象出来的“自由创造物”，数学的发展无须社会的推动，其真理性无须实践的检验，当然，数学的进步也无须人类文化的哺育。于是，西方的数学界有“经验主义的复兴”。怀特（L.A.White）的数学文化论力图把数学回归到文化层面。克莱因（M.Kline）的《古今数学思想》、《西方文化中的数学》、《数学：确定性的丧失》相继问世，力图营造数学文化的人文色彩。

国内最早注意数学文化的学者是北京大学的教授孙小礼，她和邓东皋等合编的《数学与文化》，汇集了一些数学名家的有关论述，也记录了从自然辩证法研究的角度对数学文化的思考。稍后出版的有齐民友的《数学与文化》，主要从非欧几何产生的历史阐述数学的文化价值，特别指出了数学思维的文化意义。郑毓信等出版的专著《数学文化学》，特点是用社会建构主义的哲学观，强调“数学共同体”产生的文化效应。

以上的著作以及许多的论文，都力图把数学从单纯的逻辑演绎推理的圈子中解放出来，重点是分析数学文明史，充分揭示数学的文化内涵，肯定数学作为文化存在的价值。

二、认识和实施数学文化教育

进入21世纪之后，数学文化的研究更加深入。一个重要的标志是数学文化走进中小学课堂，渗入实际数学教学，努力使学生在学习数学过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位，体察社会文化和数学文化之间的互动。

那么，如何在中小学数学教学中进行数学文化教育呢？笔者认为应该从以下几个方面加以认识和实施。

（一）认识数学文化的民族性和世界性

每个民族都有自己的文化，也就一定有属于这个文化的数学。古希腊的数学和中国传统数学都有辉煌的成就、优秀的传统。但是，它们之间有着明显的差异。古希腊和古代中国的不同政治文明孕育了不同的数学。

古希腊是奴隶制国家。当时希腊的雅典城邦实行奴隶主的民主政治（广大奴隶不能享受这种民主）。男性奴隶主的全体大会选举执政官，对一些战争、财政

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大事实行民主表决。这种政治文明包含着某些合理的因素。奴隶主之间讲民主，往往需要用理由说服对方，使学术上的辩论风气浓厚。为了证明自己坚持的是真理，也就需要证明。先设一些人人皆同意的“公理”，规定一些名词的意义，然后把要陈述的命题，称为公理的逻辑推论。欧氏的《几何原本》正是在这样的背景下产生的。

中国在春秋战国时期也有百家争鸣的学术风气，但是没有实行古希腊统治者之间的民主政治，而是实行君王统治制度。春秋战国时期，也是知识分子自由表达见解的黄金年代。当时的思想家和数学家，主要目标是帮助君王统治臣民、管理国家。因此，中国的古代数学，多半以“管理数学”的形式出现，目的是为了丈量田亩、兴修水利、分配劳力、计算税收、运输粮食等国家管理的实用目标。理性探讨在这里退居其次。因此，从文化意义上看，中国数学可以说是“管理数学”和“木匠数学”，存在的形式则是官方的文书。

古希腊的文化时尚，是追求精神上享受，以获得对大自然的理解为最高目标。因此，“对顶角相等”这样的命题，在《几何原本》里列入命题15，借助公理3（等量减等量，其差相等）给予证明。在中国的数学文化里，不可能给这样的直观命题留下位置。

同样，中国数学强调实用的管理数学，却在算法上得到了长足的发展。负数的运用、解方程的开根法，以及杨辉（贾宪）三角、祖冲之的圆周率计算、天元术那样的精致计算课题，也只能在中国诞生，而为古希腊文明所轻视。

我们应当充分重视中国传统数学中的实用与算法的传统，同时又必须吸收人类一切有益的数学文化创造，包括古希腊的文化传统。当进入21世纪的时候，我们作为地球村的村民，一定要溶入世界数学文化，将民族性和世界性有机地结合起来。

（二）揭示数学文化内涵，走出数学孤立主义的阴影

数学的内涵十分丰富。但在中国数学教育界，常常有“数学=逻辑”的观念。据调查，学生们把数学看作“一堆绝对真理的总集”，或者是“一种符号的游戏”。“数学遵循记忆事实-运用算法-执行记忆得来的公式-算出答案”的模式

[1]，“数学=逻辑”的公式带来了许多负面影响。正如一位智者所说，一个充满活力的数学美女，只剩下一副X光照片上的骨架了！

数学的内涵，包括用数学的观点观察现实，构造数学模型，学习数学的语言、图表、符号表示，进行数学交流。通过理性思维，培养严谨素质，追求创新精神，欣赏数学之美。

半个多世纪以前，著名数学家柯朗（R.Courant）在名著《数学是什么》的序言中这样写道：“今天，数学教育的传统地位陷入严重的危机。数学教学有时竟变成一种空洞的解题训练。数学研究已出现一种过分专门化和过于强调抽象的趋势，而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系。教师学生和一般受过教育的人都要求有一个建设性的改造，其目的是要真正理解数学是一个有机整体，是科学思考与行动的基础。”

2002年8月20日，丘成桐接受《东方时空》的采访时说：“我把《史记》当作歌剧来欣赏”，“由于我重视历史，而历史是宏观的，所以我在看数学问题时常常采取宏观的观点，和别人的看法不一样。” 这是一位数学大家的数学文化阐述。

《文汇报》2002年8月21日摘要刊出钱伟长的文章《哥丁根学派的追求》，其中提到：“这使我明白了：数学本身很美，然而不要被它迷了路。应用数学的

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任务是解决实际问题，不是去完善许多数学方法，我们是以解决实际问题为己任的。从这一观点上讲，我们应该是解决实际问题的优秀‘屠夫’，而不是制刀的‘刀匠’，更不是那种一辈子欣赏自己的刀多么锋利而不去解决实际问题的刀匠。”这是一个力学家的数学文化观。

和所有文化现象一样，数学文化直接支配着人们的行动。孤立主义的数学文化，一方面拒人于千里之外，使人望数学而生畏；另一方面，又孤芳自赏，自言自语，令人把数学家当成“怪人”。学校里的数学，原本是青少年喜爱的学科，却成为过滤的“筛子”、打人的“棒子”。优秀的数学文化，会是美丽动人的数学王后、得心应手的仆人、聪明伶俐的宠物。伴随着先进的数学文化，数学教学会变得生气勃勃、有血有肉、光彩照人。

（三）多侧面地开展数学文化研究

谈到数学文化，往往会联想到数学史。确实，宏观地观察数学，从历史上考察数学的进步，确实是揭示数学文化层面的重要途径。但是，除了这种宏观的历史考察之外，还应该有微观的一面，即从具体的数学概念、数学方法、数学思想中揭示数学的文化底蕴。以下将阐述一些新视角，力求多侧面地展现数学文化。

1. 数学和文学。数学和文学的思考方法往往是相通的。举例来说，中学课程里有“对称”，文学中则有“对仗”。对称是一种变换，变过去了却有些性质保持不变。轴对称，即是依对称轴对折，图形的形状和大小都保持不变。那么对仗是什么？无非是上联变成下联，但是字词句的某些特性不变。王维诗云：“明月松间照，清泉石上流”。这里，明月对清泉，都是自然景物，没有变。形容词“明”对“清”，名词“月”对“泉”，词性不变。其余各词均如此。变化中的不变性质，在文化中、文学中、数学中，都广泛存在着。数学中的“对偶理论”，拓扑学的变与不变，都是这种思想的体现。文学意境也有和数学观念相通的地方。徐利治先生早就指出：“孤帆远影碧空尽”，正是极限概念的意境。

2.欧氏几何和中国古代的时空观。初唐诗人陈子昂有句云：“前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独怆然而涕下。”这是时间和三维欧几里得空间的文学描述。在陈子昂看来，时间是两头无限的，以他自己为原点，恰可比喻为一条直线。天是平面，地是平面，人类生活在这悠远而空旷的时空里，不禁感慨万千。数学正是把这种人生感受精确化、形式化。诗人的想象可以补充我们的数学理解。

3. 数学与语言。语言是文化的载体和外壳。数学的一种文化表现形式，就是把数学溶入语言之中。“不管三七二十一”涉及乘法口诀，“三下二除五就把它解决了”则是算盘口诀。再如“万无一失”，在中国语言里比喻“有绝对把握”，但是，这句成语可以联系“小概率事件”进行思考。“十万有一失”在航天器的零件中也是不允许的。此外，“指数爆炸”“直线上升”等等已经进入日常语言。它们的含义可与事物的复杂性相联系（计算复杂性问题），正是所需要研究的。“事业坐标”“人生轨迹”也已经是人们耳熟能详的词语。

4. 数学的宏观和微观认识。宏观和微观是从物理学借用过来的，后来变成一种常识性的名词。以函数为例，初中和高中的函数概念有变量说和对应说之分，其实是宏观描述和微观刻画的区别。初中的变量说，实际上是宏观观察，主要考察它的变化趋势和性态。高中的对应则是微观的分析。在分段函数的端点处，函数值在这一段，还是下一段，差一点都不行。政治上有全局和局部，物理上有牛顿力学与量子力学，电影中有全景和细部，国画中有泼墨山水画和工笔花鸟画，其道理都是一样的。是否要从这样的观点考察函数呢？

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5. 数学和美学。“1/2+1/3=2/5 ？”是不是和谐美？二次方程的求根公式美不美？这涉及到美学观。三角函数课堂上应该提到音乐，立体几何课总得说说绘画，如何把立体的图形画在平面上。欣赏艾舍尔（M.C.Escher）的画、计算机画出的分形图，也是数学美的表现。

总之，数学文化离不开数学史，但是不能仅限于数学史。当数学文化的魅力真正渗入教材、到达课堂、溶入教学时，数学就会更加平易近人，数学教学就会通过文化层面让学生进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学。

从《数学与文化》中感受数学之美

数学是我们从小就开始学习的学科，但很少有人去关注它所蕴含的文化。其实，数学是一种文化，它是人类文明的重要组成部分。而在当下的数学课堂，原本属于文化范畴的数学，如今正渐渐丧失着它的文化性，变得不那么“文化”了。教育语境下的数学，已经开始和文化背道而驰。对数学知识积累、数学技巧训练等工具性价值的过分关注，正在使数学本该拥有的文化气质和气度一点点剥落、丧失。 “让数学变得文化些，还数学以文化之本来面目”，已经成为数学教育亟须关注、思考和探索的问题。

在西方文明中，数学一直是一种主要的文化力量。几乎每个人都知道，数学在工程设计中具有极其重要的实用价值。但是却很少有人懂得数学在科学推理中的重要性，以及它在重要的物理科学理论中所起的核心作用。至于数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方法，摧毁和构建了诸多宗教教义，为政治学说和经济理论提供了依据，塑造了众多流派的绘画、音乐、建筑和文学风格，创立了逻辑学，而且为我们必须回答的人和宇宙的基本问题提供了最好的答案，这些就更加鲜为人知了。作为理性精神的化身，数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，而且取代它们成为思想和行动的指南。最为重要的是，作为一种宝贵的、无可比拟的人类成就，数学在使人赏心悦目和提供审美价值方面，至少可与其他任何一种文化门类媲美。克莱因的眼光是深邃的，他敏锐地把握住“数学是西方文化中的一种主要的文化力量”！事实上，正是这种力量孕育了希腊的理性精神，构建了缜密思维的逻辑体系，催生了文艺复兴的人文主义，从而迎来从哥白尼到牛顿科学革命的新的曙光，并把西方文明推向了近代科技发展的快车道。所以，克莱因在书中着重考察了数学如何影响了直到20世纪的人类生活和思想。全书按照历史的顺序对数学思想进行考察，涉及的内容从古巴比伦、古埃及，到希腊数学精神的诞生，从文艺复兴时期数学与艺术的关系，一直到现代的相对论。

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对于我们学生来说，理解数学不一定非要去啃大量数学书。事实上，就算读完了大学数学系四年的课程，也未必能够了解到数学与文化的关系。因为，“千锤百炼”的数学教科书早已割断了数学与历史、数学与文化的血脉联系。文化不是外在附属品。数学文化也不是简单意义上的“数学十文化”。在关注数学历史性和数学美的同时，我们更应该对数学文化有一种更为家常的朴素理解:文化者，以文化人也。数学真正的文化要义在于，它可以最大限度地张扬数学思考的魅力，并改变一个人思考的方式、方法、视角。数学学习一旦使学生感受到了思维的乐趣，使学生领悟了数学知识的丰富、数学方法的精巧、数学思想的博大、数学思考的美妙，那么，数学的文化价值必显露无遗。从这一意义上讲，数学文化又怎会仅属于“圆”和“轴对称图形”?任何数学课堂.我们都可以触摸到数学文化的脉搏，因为，拥有思考，便拥有了数学的文化力量。

细细想来，数学不只是知识和方法的简单汇聚，它应该是一个开放的文化体系，是人类智慧和创造力的结晶。它在给予我们知识与方法的同时，更以一种文化的姿态改变人类的思考品质，拓展人类的视野，丰富人类的精神世界，增进人的本质力量。数学的文化特征不仅仅只在于数学的历史性和美学价值，凝聚在数学之中的美妙绝伦的数学思维方法、探索不止的数学精神、求真臻善达美的数学品格，对于一个 人全面和谐的发展，都具有极为重要的意义。可以说，数学是“真”、“善”、“美”的完美集合!因而，我们在承认和弘扬数学工具价值的同时，更应该看到它的文化价值，并借助日常的数学教育实践，使其外化为一种现实的数学影响，努力彰显数学的文化品性，真正使数学学习成为学生获得知识、形成方法、感悟价值、提升精神的生命历程。

仔细阅读《数学与文化》这篇文章，就可以让我们更好地理解数学所蕴含的文化，发现数学之美，从而爱上数学.

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三角函数历史

起源

历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用．

（一）马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽． 自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆，原理是什么?还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源．

（二）早在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，比如对数函数、三角函数、双曲函数等等．1673年前后笛卡儿在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义．

1673年，莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量．由此可以看出，函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的，几乎与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用另一名词“流量”来表示变量间的关系，直到1689年，瑞士数学家约翰²贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义，贝努里把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为yx. 当时，由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算，所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x和常数c而成的式子，取名为解析函数，还将它分成了“代数函数”与“超越函数”．

8世纪中叶，由于研究弦振动问题，达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数”的说法．在解释“任意的函数”概念的时候，达朗贝尔说是指“任意的解析式”，而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”．现在看来这都是函数的表达方式，是函数概念的外延．

（三）函数概念缺乏科学的定义，引起了理论与实践的尖锐矛盾．例如，偏微分方程在工程技术中有广泛应用，但由于没有函数的科学定义，就极大地限制了偏微分方程理论的建立．1833年至1834年，高斯开始把注意力转向物理学．他在和W²威伯尔合作发明电报的过程中，做了许多关于磁的实验工作，提出了

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