建筑力学教案

建筑力学教案

检查与回顾

1. 梁的内力图规律。

2. 梁的内力值得控制截面有哪些？

新授课 第四节平面图形的几何性质

构件的横截面都是具有一定几何形状的平面图形，与平面图形的形状、尺寸有关的几何量都叫做平面图形的几何性质，例如面积A、抗扭截面系数等。由于轴向拉、压杆的正应力、纵向变形都与截面面积A有关，受扭圆轴的剪应力与抗扭截面系数肼有关，所以，平面图形的几何性质是影响构件承载能力的重要因素之一。本节将集中讨论有关的几个平面图形的几何性质。 一、形心和面积矩 (一)形心

平面图形的形心就是其几何中心。当平面图形具有对称中心时，对称中心就是形心，例如圆形、圆环、正方形，它们的对称中心就是形心；具有两个对称轴的平面图形，形心就在对称轴的交点上(图6—22)；只有一个对称轴的平面图形，其形心一定在对称轴上，具体在对称轴上的哪一点，则需要计算才能确定。例如图6—23中的T形，其形心一定在对称轴y上，而坐标Y。值需要计算。

图6—22 图6—23 (二)面积矩

平面图形的面积A与其形心到某一坐标轴的距离Yc(至彳轴)的乘积，叫做该平面图形对该平面图形对z轴的面积矩，用Sz表示(图6—23) Sz=A?Yc

面积矩的单位是长度的三次方，常用mm3或m3，有时也用cm3。 由面积矩的定义可知：平面图形对过形心轴的面积矩一定为零。 (三)形心坐标公式

建筑工程中常用构件的截面形状，除简单的平面图形外，一般都可划分成几个简单平面图形的组合，习惯上叫做组合图形。例如图6—24中的T形截面，可视为两个矩形的组合。若两个矩形的面积是AhA2，它们到某一坐标轴z的形心坐标分别为y1、y2，根据面积矩定义，可以写出它们对石轴的面积矩是 Slz=A1·Y1 S2z=A2·Y2

若T形截面的全面积为A，整个图形对z轴的形心坐标是yc，那么，全面积对。轴的面积矩，就等于各部分面积对z轴面积矩的代数和，即 A·Yc=A1·Yl+A2·Y2 得 yc= (A1·Yl+A2·Y2)/A

利用上式就可以确定T形截面的形心位置。当组合图形划分为若干个简单平面图形时，则有A。Yc=∑Ai·Yi

式中：A——组合截面的全面积： yc——组合截面对z轴的形心坐标；

Ai——组合截面中各部分的截面面积； 图6—24 Yi——各部分面积对z轴的形心坐标； siz——各部分面积对Z-轴的面积矩。

同理可得 zc=∑Ai·zi/A

例6—12试计算图6—24所示T形截面对z轴的形心坐标yc。

解:将T形截面划分为两个矩形A。、A：，它们的面积和对：轴的形心坐标分别是 Al=20×80=160 mm2，Y1=90 mm A2=20×80=160 mm2，Y2=40 mm

T形截面对z轴的形心坐标Yc，按式(6—1)计算 Yc= yc= (A1·Yl+A2·Y2)/A =(160x90+160x40)/(160+160) =65 mm

例6—13试确定图6—25中槽形截面的形心位置(对z轴)。(图中尺寸单位为cm)。

解(1)槽形截面面积可视为矩形ABCD的面积Al与矩形abcd的面积A2之差，即 A1=8×20=160 cm2 A2=6 X 16=96 cm2 A=A1一A2=160—96=64 cm2

(2)槽形截面的形心必定在对称轴Y轴上。取z轴靠截面的下边线，计算对

z轴的形心坐标Y。由图中各部分的尺寸可1=4 cm；y2=3 cm ∑Ai·Yi= A1·Yl—A2·Y2图6—25

yc=(160×4-96×3)/64=5.5cm

总结：一、形心和面积矩、(二)面积矩、(三)形心坐标公式 作业：P162 6-9

检查与回顾 1、组合图形的形心坐标公式

2、面积矩

新授课 二、惯性矩

把平面图形分成无数多个微小面积，用每一块微小面积乘以其形心到某一坐标轴距离的平方，再把这些乘积叠加起来，这个值就叫做平面图形对该轴的惯性矩。惯性矩用符号，；表示(下脚标是指对z轴的惯性矩)，单位是长度的四次方，常用mm4或m4，也可用cm4。由于在计算惯性矩时，要把平面图形分成无数多个微小面积，通常用高等数学计算，所以这里只引用几种常用平面图形的惯性矩计算公式供使用。

正方形，边长为a，zc轴过形心且与底边平行。正方形对zc轴的惯性矩是：

Izc=a4/12

矩形，宽度为b、高度为h，zc轴过形心且与底边平行。矩形对zc轴的惯性矩是：Izc=bh3/12

圆形，直径为D，对形心轴ZC的惯性矩是 Izc=πD4/64

由惯性矩的定义可知：平面图形对任一轴的惯性矩恒为正值；同一平面图形对不同位置的坐标轴的惯性矩不同。

例6—14在图6—26a的矩形中，已知6=3 cm；h=4 cm；试计算该矩形对形心轴zc、Yc的惯性矩IzC，Iyc。

解(1)计算Izc：Izc=bh3/12=3×43/12=16cm3 (2)计算Iyc:Izc=bh3/12=4×33/12=9cm3 三、惯性矩的平行移轴公式

在今后的力学计算中，需要计算组合图形对其形心轴的惯性矩。例如图6—27中的T形，需要算出整个图形对形心轴z的惯性矩Iz。

可将T形视为矩形A1、A2的组合，分别算出A1、A2对z轴的惯性矩I1z、I2z，并把它们相加，就得到T形对形心轴z的惯性矩Iz Iz=I1z+I2z

现在先计算矩形A1对z轴的惯性矩I1z。矩形Al的形心是C1，I轴通过形心C1且与底边平行，z轴与I轴平行且间距为a。可以算出，矩形A1对z轴的惯性矩是 I1z=I1+a2·A1

上式叫做惯性矩的平行移轴公式。它表明：平面图形对任一牟由的惯性矩，等于平面图形对平行于该轴的形心轴的惯性矩，加上图形面积与两轴之间距离平方的乘积。由式(6—5)可以看出：平面图形对一组平行轴的惯性矩中，以对形心轴的惯性矩为最小。

应用式(6—5)可写出矩形A2对z轴的惯性矩是 I2z=I11+b2·A2

所以，T形对形心轴z的惯性矩是Iz=I1z+I2z=I1+a2A1+I11+b2A2

图 6—27

应用惯性矩的平行移轴公式，可以求出组合图形对形心轴的惯性矩。 例6—15 T形各部分尺寸如图6—28所示。试计算T形对形心轴y、z轴的惯性矩。

解(1)确定形心轴位置。对称轴Y轴就是形心轴。为确定形心轴。的坐标yc，设参考轴zo如图所示。将图形分为两个矩形A1、A2，它们的面积和对轴的形心坐标分别是

Al=2 x 6=12击；y1=5 cm A2=2×6=12击；y2=1 cm

(2)计算惯性矩Iy。形心轴y0通过矩形A1、A2的形心，所以，整个图形对y轴的惯性矩Iy等于两个矩形对Y轴的惯性矩之和，即 Iy=I1y+I2y=6×23/12+2×63/12=40cm (3)计算惯性矩Iz。

由于z轴不通过矩形A1、A2的形心，所以，它们对z轴的惯性矩要用平行移轴公式计算

al=2 cm；a2=2 cm

I1z=I1c+a12·A1=2×63/12+22×12=84cm4 I2z=I2c+a22·A2=6×23/12+22×12=52cm4

整个图形对z轴的惯性矩为Iz= I1z +I2z=84+52=136 cm4 总结：

1、 常见截面的惯性矩计算公式 2、 惯性矩的平行移轴公式 作业：P163 6-10、6-11、6-12

检查与回顾 1、常见截面的惯性矩计算公式

2、惯性矩的平行移轴公式

新授课 第五节 梁的正应力及其强度条件

前面讨论了梁的内力计算及内力图，根据内力图可确定梁的内力最大值及其所在位置。为解决梁的强度计算问题，还需要研究横截面上的应力分布规律和计算式。

梁的横截面上有剪力V和弯矩肘两种内力。剪力V是与横截面相切的内力，由它分布在各点的应力必定也与横截面相切，那就是剪应力。弯矩M是力偶矩，它只能由横截面上的正应力仃组成，剪与应力r无关(图6—29)。这就是说：梁弯曲时横截面上有两种应力：剪应力r和正应力盯。梁的正应力是影响梁强度的主要因素，下面将着重讨论。

图6—29

一、梁的正应力分布规律

为了解正应力在横截面上的分布情况，可先观察梁的变形。取一根 弹性较好的梁(例如橡胶梁)，在梁的表面画上与梁轴平行的纵向线及垂直于梁轴的横向线(图6—30a)。于是在梁的表面形成许多小方格，然后，使梁发生弯曲变形(图6—30b)即可观察到以下现象：

1．各横向线仍为直线，只是倾斜了一个角度；

2．各纵向线弯成曲线，梁下部的纤维伸长，上部的纤维缩短。

可以认为梁内部的变形情况与梁表面一样。所以，可作出如下的分析与假设： 1．梁的各横向线所代表的横截面，在变形前是平面，变形后仍为平面(平面假设)。

2．纵向线的伸长与缩短，表明了梁内各点分别受到纵向拉伸或压缩。由梁下部的受拉而伸长逐渐过渡到梁上部受压而缩短，于是，梁内必定有一既不伸长也不缩短的层，这一不受拉、不受压、长度不变的层叫做中性层，中性层与横截面的交线叫做中性轴(图6—30c)。中性轴通过截面的形心并与竖向对称轴垂直。由此可知：梁弯曲时，各横截面绕中性轴做微小的转动，使梁发生了

纵向伸长或缩短，而中性轴上的各点变形为零，距中性轴最远的上、下边缘变形最大，其余各点的变形与该点到中性轴的距离成正比。

M

(b)

(c)

图6—30 图6—31

在材料的弹性受力范围内，正应力与纵向应变成正比。可见，横截面上正应力的分布规律与各点的变形规律一样：上、下边缘的点应力最大，中性轴上为零，其余各点的应力大小与到中性轴的距离成正比，如图6—31所示。

二、梁的正应力计算

梁横截面上各点的正应力计算式可表示为

ζ=E·ε

上式中的纵向应变值e与所计算的点至中性轴的距离Y成正比；与反映梁弯曲程度的曲率1/ρ成反比，即 ε=1/ρ·y

于是，正应力计算式可表示为 ζ=E1/ρ·y

梁的曲率与截面的弯矩成正比；与截面的抗弯刚度EIz成反比，即 1/ρ=M/EIz

得正应力计算公式为 ζ=M·y/Iz

上式中：M——截面上的弯矩； y——所计算点到中性轴的距离； Iz——截面对中性轴的惯性矩。

式(6—6)说明：梁横截面上任一点的正应力与该截面的弯矩M及该点到中性轴的距离y成正比，与该截面对中性轴的惯性矩Iz成反比；正应力沿截面高度呈线性分布规律，中性轴上各点的正应力为零。

用式(6—6)计算梁的正应力时，弯矩M与某点至中性轴的距离y均以绝对值代入，而正应力的正、负号则由梁的变形判定：以中性轴为界，梁变形后的凸出边是拉应力取正号；凹入边是压应力取负号。

例6—16简支梁受均布荷载作用，q=3．5 kNJm，梁的截面为矩形，b=120mm，h=180 mm，跨度l=3 m。试计算跨中截面上o、b、c三点的正应力(图6—32)。

解(1)画出梁的弯矩图如图6—32b所示，跨中弯矩 M=1/8ql2=1/8×Izc=bh3/12

3．5×3=3·94 kN。m

(2)计算正应力：用式(6—6)d：计算各点的正应力。 Iz=bh3/12=0.12 ×0.183/12=58.32×10-6m4 各点至中性轴的距离分别为

ya=h/2=90 mm；yb=50 mm；yc：90 mm

ζa=ζ=M·ya/Iz=(3·94×103×0.09)/ 58.32×10-6=6．08 MPa(拉应力) ζb=ζ=M·yb/Iz=(3·94×103×0.05)/ 58.32×10-6=3.38 MPa(拉应力) ζc=ζ=M·yc/Iz=(3·94×103×0.09)/ 58.32×10-6=6．08 MPa(压应力)

三、梁的正应力强度条件

弯曲变形的梁，最大弯矩M一所在的截面是危险截面，该截面上距中性轴最远边缘ymax处的正应力最大，是危险点： ζ

max

=Mmaxymax/Iz

由于Iz、Ymax都是与截面的几何尺寸有关的量，若用Wz表示，正应力最大值计算式可写 ζ

max

=Mmax/Wz

Wz叫做抗弯截面系数。图6—33中矩形截面的Wz= bh2/6，圆形截面的Wy=Wz= =πD3/32，正方形截面的Wy=Wz=a3/6抗弯截面系数是衡量截面抗弯能力的一个几何量，常用单位是m3或mm3

保证梁内最大正应力不超过材料的许用应力，就是梁的强度条件，可分两种情况表达如下：

1．材料的抗拉与抗压能力相同，正应力强度条件为 ζ

max

=Mnxa/W1≤[ζ] (6—8)

2·材料的抗拉与抗压能力不同时，常将梁的截面做成上、下与中性轴不对称的形式，例如T形。这时，梁的正应力强度条件应同时满足 ζ

max

(拉)= Mnxa/W1≤[ζ]拉 (压)：Mnxa/W2≤[ζ]

ζ

max

根据强度条件可解决有关强度方面的三类问题：

1．校核强度。在已知梁的截面尺寸、材料及所受荷载情况下，对梁做正应力强度校核 ζ

max

=Mnxa/W1≤[ζ]

2．选择截面。在已知梁的材料及荷载时，可根据强度条件确定抗弯截面系数Wz≥Mmax/[ζ]

再根据梁的截面形状进一步确定截面的具体尺寸。

3．计算许用荷载。在已知梁的材料及截面尺寸时，先根据强度条件计算此梁能承受的最大弯矩 Mnxa ≤Wz ·[ζ] 再由M一与荷载的关系计算出许用荷载值。

例6一17某简支木梁的跨度l=4 m，其圆形截面的直径d=160 mm，梁上受均布荷载作用。已知q=2 kN／m，木材弯曲时的许用正应力[仃]=11胁(图6—35)，试校核梁的正应力强度。

图 6—35

解(1)最大弯矩发生在跨中截面，其值为 Mmax=1/8ql2=1/8×2 x 42=4 kN·m (2)计算抗弯截面系数形，。

Wz =πD3/32= π ×1603/32=401.9 ×103mm3 (3)校核正应力强度。 ζ

max

=Mnxa/Wz=4×106/401.9 ×103 =10 MPa<[ζ]

此梁满足正应力强度条件。

总结：1、梁上正应力分布规律。

2、梁的正应力强度条件，梁的正应力强度条件可以解决的问题。

作业：p164 6-15、6-14、6-16

检查与回顾 1、梁上正应力分布规律。

2、梁的正应力强度条件。

3、梁的正应力强度条件可以解决的问题。

新授课 四、关于梁的正应力的讨论

前面已分别讨论了梁的正应力分布规律、计算公式及强度条件，下面讨论

有关梁正应力的几个问题。

1．作用在梁上的总荷载相等而作用方式不同时，梁的内力和应力是否相同? 图6—39表示砖堆在脚手板上的两种情况。图口表示将砖集中放在跨中，

(a) 图6—39 (b)

图b表示将砖满铺在脚手板上。两种情况砖的块数相同，总荷载相等，支座反力也相等。经验说明：图口中板的弯曲变形大，容易破坏；图b中板的弯曲变形小，不容易破坏。

脚手板的两种受力情况的计算简图及内力图分别如图6-dOa、b所示。虽然两种受荷情况的总荷载值相等，但由于作用方式不同，所以分别引起的内力．大小也不同。从弯矩图中看到：将荷载集中于跨中时的最大弯矩等于将荷载分散作用时的两倍。当然，前者的最大正应力也是后者最大正应力的两倍。可见，梁的内力和应力不仅与作用在梁上的总荷载值有关，还与荷载的作用方式有关。 2．常见的矩形截面梁为什么截面的高度通常大于截面的宽度?

有一根矩形截面的梁，其横截面尺寸为2×。，跨度为f，季受均布荷载q。现在比较将梁“立放’’(图6—41n)和“平放”(图6—41 6)时的正应力值。

图6—41

梁“立放，，时，截面宽度为b，截面高度h=2b.”立放”时的抗弯截面系数为

W1，最大正应力为ζ1max,梁“平放”时，截面宽度为b=2a,截面高度h=b“平放’时的抗弯截面系数为耽，最大正应力ζ2max

在以上两种情况下粱的最大弯矩相等，所以，最大正应力的比值是 ζ2max：ζ1max=2

计算结果表明：同一根梁的放置方式不同，最大正应力也不同。梁“立放，，时的抗弯截面系数是梁“平放”时的抗弯截面系数耽的两倍，因而，在弯矩相同时，梁“平放，，时的最大正应力为“立放”时的两倍。“平放”的梁容易发生破坏，所以，常见的矩形截面粱通常是截面高度大于截面宽度。 3·两块横截面尺寸均为2a×口的脚手板，怎样放置才更合理?

地上有两块矩形截面的脚手板，截面尺寸均为2a×a，因使用一块时强度不足，要同时使用两块。图6—42a表示将两块板叠放；图6—42b表示将两块板侧立并排放置，哪一种放置式更合理呢?

图6—42

(a) (b) ζ1:ζ2=2

可见，将两块脚手板侧立并排放置是合理的。 五、提高梁弯曲强度的措施

在一般情况下，梁的弯曲强度廷由正应力决定的。由正应力的强度条件 ζ

max

=Mmax/Wz可知，梁横截面上的最大正应力与最大弯矩成正比，与抗弯截面

系数成反比。．所以，提高梁的弯曲强度主要从提高Wz和降低M这两方面着手。 1．选择合理的截面形状。

2．合理安排梁的受力情况，降低弯矩的最大值。在条件许可时，将集中荷载变成分布荷载或将集中荷载分散并靠近支座布置(图6—46)，均可降低弯矩

的最大值。

(图6—45) 图6—46 图6—47

3．采用变截面梁。等截面梁的截面面积，是根据危险截面上的最大弯矩确定的，而梁的其它截面上，弯矩值常小于最大弯矩。所以对非危险截面而言，工作应力远小于材料的许用应力。为了充分发挥材料的潜力。应按各截面的弯矩来确定梁的截面尺寸，即梁截面尺寸沿梁长是变化的，这样的梁就是变截面梁。理想的情况是：每一个截面上的最大正应力都刚好等于或略小于材料的许用应力。这样的梁叫做等强度梁。从强度观点看，等强度梁是理想的，但因其截面变化较大，施工较困难。工程上常采用形状较简单而接近等强度梁的变截面梁，例如阳台、雨蓬的挑梁、鱼腹式吊车梁等(图6—47)。

总结：提高梁弯曲强度的措施 作业：

检查与回顾 提高梁弯曲强度的措施 新授课 第六节 梁的剪应力及其强度条件

在荷载作用下，梁的横截面上不仅有正应力还有剪应力。剪应力是剪力在横截面上的分布集度。

剪应力在横截面上的分布情况比较复杂，本书只介绍几种常用截面形式的剪应力最大值计算公式。

一、矩形截面梁的剪应力

图6—48中矩形截面梁横截面上剪应力的一些规律是： 1．剪应力r的方向与剪力y相同；

2．与中性轴距离相等的各点剪应力相等：

3．剪应力沿截面高度h按抛物线规律分布(图6—48b)，在截 面的上、下边缘上剪应力为零；在中性轴上剪应力最大。 最大剪应力为ηmax=1.5V/bh

上式说明：矩形截面梁横截面上的最大剪应力为该截面的平均剪应 的1．5倍。

二、工字形截面梁的剪应力

在建筑工程中经常遇到工字形截面梁，其组成工字形的中间部分矩形叫腹板，上、下两矩形都叫翼缘。翼缘上的剪应力很小，在剪应力强度计算中影响不大，所以这里不讨论。腹板是一个狭长的矩形，腹板上剪应力的分布规律与矩形截面梁相同，在中性轴上的剪应力最大(图6—49)，其值为 ηmax=V·Sz/Iz·b1 式中：V--横截面上的剪力；

Sz:——中性轴以上(或以下)部分截面(包括翼缘)对中性轴的面积矩： Iz——工字形截面对中性轴的惯性矩： bl——腹板宽度。

横截面上的绝大部分剪力(95％．97％)分布在腹板上，可近似地用下式计算出腹板上的最大剪应力 ηmax=V/b1·h1 式中：b1——腹板宽度；

h1—腹板高度。即近似地认为剪力全部由腹板承担，剪应力在腹板上均匀分布。

三、圆形截面梁的剪应力

圆形截面梁横截面上的剪应力在中性轴上最大，剪应力的方向与剪力的方向相同，如图6—50所示。最大剪应力为ηmax=4/3·V/A 上式中：V--横截面上的剪力； A——横截面面积。

式(6—12)表明：圆形截面梁横截面上的剪应力是平均剪应力的4/3倍。 四、梁的剪应力强度条件

在梁的强度计算中，必须同时满足正应力和剪应力两个强度条件。通常先按正应力强度条件设计出截面尺寸，然后按剪应力强度条件进行校核。梁的剪应力强度条件是ηmax ≤[η]

通常按正应力强度条件设计的梁，一般都能满足剪应力强度条件，因而不必进行剪应力强度校核。但在以下几种情况下，需要做剪应力强度校核： 1．当梁的跨度较小，或在支座附近作用有较大的荷载时，梁的弯矩较小而剪力很大；

2．在组合工字形截面的钢梁中，当腹板的厚度较小而工字形截面的高度较大时，腹板上的剪应力值将很大，而正应力值相对较小； ．

3．在木梁中，由于木材顺纹抗剪能力很差，当剪力大时，可能沿中性层破坏。所以，需对木梁进行顺纹方向的剪应力强度校核。 ’

例6—21矩形截面简支梁，如图6—51所示。试计算该梁的最大剪应力 解(I)画剪力图。最大剪力发生在靠近支座的A、B截面。

Vmax=ql/2=1/2×3.5×3=5.25kn (2)计算ηmax

ηmax=1.5×5.25×103/120×180=0.365MPa

例6-22 简支梁受荷载如图所示。已知l=2m，a=0．2m，梁上荷载P=200kn，q=10kn/m，材料的许用应力[ζ]=160Mpa，[η] =IOOMPa，试选择工字钢的型号。

解．(1)画出梁的剪力图、弯矩图(图6—52b、c)。

(2)按正应力强度条件选择工字钢的型号。由弯矩图可知，最大弯矩发生在梁的跨中截面，其值为 Mmax=45kN．m 由正应力强度条件得

Wz≥Mmax /[ζ]=45 x 106=281 x 103mm3=281cm3

查附录Ⅱ型钢表，选用工字钢I 22a，其职：309cm3，略大于所需的值。 (3)剪应力强度校核。从型钢表查得工字钢I 22。的有关数据： Iz/Sz=18．9cm；b1=0.75cm 根据剪应力强度条件进行校核

ηmax=V·Sz/Iz·b1=210 x103/189 x7.5=148Mpa>[η] 所以要重选截面。

(4)按剪应力的强度条件重选工字钢型号。选I 25b试算。 Iz/Sz=21．27cm b1 =lcm 再进行强度校核

ηmax=V·Sz/Iz·b1=210 x103/212.7x10=98.7Mpa<[η]

最后确定选用工字钢I 25b。图6—52

第七节 梁的主应力迹线

前面讨论了梁在横截面上的应力分布规律及计算，并分别建立了横截面上的正应力和剪应力强度条件： ζ

max

≤[ζ]； ηmax ≤[η]

实际上，梁往往还会沿斜截面发生破坏。例如钢筋混凝土梁在荷载作用下，除产生跨中的竖向裂缝外，在支座附近还发生斜向裂缝(图6—53)。这种现象说明：在梁的斜截面上还存在着导致使梁发生破坏的应力。

计算表明：在荷载作用下，梁内的任一点，在任一斜截面上都存在着应力，

这个应力值与该点横截面上的正应力和剪 图6一53

应力值有关，而且随斜截面的倾斜角度的变化而变化。在某点的许多斜截匾上的应力值中，总有一个最大值和一个最小值，这个最大值叫做主拉应力，最小 值叫做主压应力。如果在梁内计算出许多点的主拉应力值并确定其方向，再把各点的主拉应力的方向连接起来，就可以形成一条光滑的曲线。这条曲线就叫做主拉应力迹线。用同样的方法，也可以画出梁的主压应力迹线。图6—54画出了简支梁在均布荷载作用下的主应力迹线：图中的实线是主拉应力迹线：虚线是主压应力迹线。从图中看到：所有的主应力迹线与梁的中性层的交角均为45。；在梁的上、下边缘处，主应力迹线与梁轴线平行或垂直；两组主应力迹线

交点处的切线均相互垂直。

图6—54 图6—55

主拉应力的存在，常导致钢筋混凝土梁在支座附近常发生斜裂缝。为此，在钢筋混凝土梁中，除配置纵向受拉钢筋外，还配置弯起钢筋(图6—55)。

总结：1、几种常用截面形式的剪应力最大值计算公式。 2、梁的剪应力强度条件。 作业：p1656-17、6-18、6-19、6-20

检查与回顾 1、几种常用截面形式的剪应力最大值计算公式。

2、梁的剪应力强度条件。

新授课 第八节梁的变形

梁在荷载作用下，除应满足强度要求外，还需要满足刚度要求，即梁的最大变形不得超过某一限度，以保证梁的正常使用。梁发生平面弯曲时，梁轴由直线被弯曲成一条光滑的曲线，这条曲线叫梁的弹性曲线或挠曲线。 弯曲变形的梁，每个横截面都发生了移动和转动。横截面形心在垂直于梁轴方向的位移叫做挠度，用Y表示并规定向下为正；横截面绕中性轴转动的角度叫做转角，用ф表示，并规定顺时针的转角为正(图6—56)。

图6—56

梁的挠度y和转角ф都随截面位置z的变化而变化，即挠度Y和转角ф都分别是x的函数。

一、用叠加法计算梁的挠度

在建筑工程中，通常不需要建立梁的挠曲线方程和计算每一截面的挠度值，只需要求出梁的最大挠度。因此，常将梁在简单荷载作用下的最大挠度汇集成表(表6—2)，供计算时使用。简支梁在均布荷载作用下，最大挠度为 ymax=5ql4/384EI

式中的E为材料的弹性模量；I为横截面对中性轴的惯性矩。

当梁上有几个或几种荷载同时作用时，仍可利用表6—2中的公式。此时，可先分别计算每一个或每一种荷载单独作用下梁的挠度，然后计算相应截面挠度的代数和，就得到在几种荷载共同作用下梁的挠度值。这种方法就是计算梁挠度的叠加法。

例6—23简支梁受满跨均布荷载g及跨中的集中力P作用(图6—57)。试用叠加法求梁跨中截面C的挠度)yc。

解 把梁上的复杂荷载分解为两种简单荷载，如图6—57b、c所示。

在均布荷载q单独作用下，梁跨中截面挠度可由表6—2中查得 Y1=ql4/384EI

在集中力P单独作用下，梁跨中截面挠度也可由表6—2中查得 y2=Pl3/48EI

叠加以上结果，即可得梁的跨中截面挠度 yc=y1+y2= ql4/384EI+ Pl3/48EI

图6—57

二、梁的刚度校核

梁的刚度校核，就是检查梁在荷载作用下所产生的变形是否超过容许的数值。在建筑工程中，通常只校核梁的挠度(不校核梁的转角)。用f表示梁的最大挠度，[f]表示梁的容许挠度，于是梁的刚度条件可写为 f≤[f]

在建筑工程的有关规范中，通常用粱的相对挠度[f/l]来表达刚度条件，所以梁的刚度条件是f/l≤[f/l]工程设计中，应先按强度条件选择截面尺寸，再用刚度条件进行校核。

例6—24在图6—58的工字钢梁中，已选定工字钢的型号为I 20b，材料的弹性模量E=2·0×lOSMPa,I=2500cm4，[f/l]=1/400，试校核基刚度。 解由表6—2中查得

yq= ql4/384EI=6.7mm

yp=Pl3/48EI=2.7mm ymax=yq+yp=6.7+2.7=9.4mm 根据梁的刚度条件 f/l=9.4/4000=0.94/400<[f/l]=1/400

经校核此梁满足刚度条件。

三、提高梁刚度的措施

图6—58

从各梁的最大挠度计算公式(见表6—2)可以看出：梁的最大挠度与荷载、梁的跨度、支承情况、梁横截面的惯性矩、材料的弹性横量有关。以上各因素可概括为：ymax=荷载/系数?ln/EI

要提高梁的刚度，就应从以上各因素人手。 ．

1·增大梁的抗弯刚度E1抗弯刚度日包含材料的弹性模量E和截面的惯性矩两个因素。而同类材料的弹性模量E值相差不大，例如采用高强度钢可以提高强度，但不能增大弹性模量E。因此，增大梁的抗弯刚度的主要途径，是增大梁横截面的惯性矩。和强度问题一样。在截面面积不变的情况下，将截面面积

分布在距中性轴较远处，这不仅能增大梁的抗弯刚度，还能够减小梁的工作应力。所以工程中常采用工字形、圆环及箱形等截面形状的梁。

2·减小梁的跨度梁的挠度与梁跨度的n次幂成正比，因此，减小梁的跨度是提高梁的刚度的有效措施。

3·改善加载方式在允许的条件下，适当调整荷载的作用方式，就可以起到降低弯矩的作用，从而减小梁的变形。例如简支梁在跨中作用集中力P时，最大挠度为ymax=Pl3/48EI

如果将集中力P代以均布荷载，且使ql=P，则最大挠度为ymax=ql4/384EI 仅为集中力作用时的62．5％。

总结：一、本章讨论了平面弯曲时，梁的内力、应力、变形计算以及梁的强度条件、刚度校核。本章是《建筑力学》的重点。

二、当外力作用在梁的纵向对称平面内时，梁轴变形后的挠曲线仍在此纵向对称平面内，即梁的弯曲平面与荷载作用平面重合，这种弯曲叫做平面弯曲。平面弯曲是最简单、最常见的一种弯苎‰弯曲的梁其横截面匕的内力通常有剪力V和弯矩M。揭示梁内力的基本方法仍

二、平面弯曲的梁，其横截面上的内力通常有剪力和弯矩仍然是截面法。 截面上的剪力等于截面一侧梁段上所有外力沿截面方向投影的代数和。 截面上的弯矩等于截面一侧梁段上所有外力对截面形心力矩的代数和。 内力的符号有如下的规定：剪力使脱离体有顺时针转动趋势时为正，反之为负；弯矩使脱离体产牛向下凸的变形时为正，反之为负。

三、内力图形象地表明了内力在全梁范围内的变化情况。通过内力图可以确定最大弯矩值及最大剪力值并能确定它们所在的位置，即“危险截面”的位置。

四、与弯曲应力及变形计算有关的平面图形的几何性质。 1．组合图形的形心坐标公式

2．常用截面的惯性矩：矩形；圆形；各种型钢的惯性矩可查型钢表。 3．惯性矩的平行移轴公式：

用平行移轴公式可以计算组合图形对形心轴的惯性矩。

4．抗弯截面系数定义

五、平面弯曲的梁，其横截面上一般存在着两种应力：正应力口及剪应力。 中性轴通过截面的形心，并与横截面的竖向对称轴垂直。中性轴将截面分成受拉区和受压区。正应力在横截面上沿梁高按直线规律分布：中性轴上正应力为零；距中性轴最远的上、下边缘的点有正应力的最大值。

正应力的正负号可通过梁的变形直接判定：受拉区的正应力为正值；受压区的正应力为负值。剪应力的方向与剪力相同。在中性轴上有剪应力的最大值，而在距中性轴最远的上、下边缘处，剪应力为零。矩形截面梁的最大剪应力、圆形截面梁的最大剪应力工字形截面梁的最大剪应力。

六、危险截面上应力最大的点叫危险点。危险点的应力必须控制在许用应力范围内。应用强度条件可以校核强度、选择截面和计算许用荷载。 七、挠度是梁横截面的形心在沿垂直于梁轴方向的位移。梁的挠度不允许超过允许值。梁必须同时满足强度条件和刚度条件。 ．

提高梁刚度的主要措施是：减小跨度；采用合理的截面以增大惯性矩；降低最大弯矩值。

总结

作业：P166 6-23、6-24

检查与回顾 1．组合图形的形心坐标公式

2、 提高梁刚度的主要措

新授课 第八章 压杆稳定

第一节压杆平衡状态的稳定性

受轴向压力的直杆叫做压杆。压杆在轴向压力作用下保持其原有的平衡状态，叫做压压杆的稳定性。从强度观点出发，压杆只要满足轴向压缩的强度条件就能正常工作。这种结论对于短粗杆来说是正确的，而对于细长的杆则不然。例如取一根长度为1m的松木直杆，其横截面面积为5×30mm，抗压强度极限为40 MPa，此杆的极限承载能力应为

Pb=бb×A=40×106×5×30×10—6=6 000 N=6 kN

实验发现，木杆在P：30N时就突然变弯，这个压力比计算的极限荷载小两个数量级。可见，细长压杆的承载能力并不取决于轴向压缩的抗压强度，而是与该杆在一定压力作用下突然变弯、不能保持原有的直线形状有关。这种在一定轴向压力作用下，细长直杆突然丧失其原有直线平衡形态的现象叫做压杆丧失稳定性，简称失稳。压杆失稳时的压力比发生强度不足而破坏的压力要小得多。因此，对细长压杆必须进行稳定性计算。

为了说明压杆平衡状态的稳定性，用小球的三种平衡状态为比拟。 图8—1分别表示小球置于曲面底A、曲面顶B、水平面C并处于平衡状态。这三种平衡状态是有区别的。小球置于曲面底平衡时，用手轻轻推动一下，小球在A点附近来回滚动，最后又停留在原来的位置上。所以说小球在曲面底A点的平衡状态是稳定的。小球在曲面顶点平衡时，若轻轻推它一下，小球便滚落下去，再也不会自己回到原来的位置。所以说小球在曲面顶点B点的平衡状态是不稳定的。位于水平面而平衡的小球，若把它推到C’点，小球就停在c’

点上，它既不会回到原处；也不会继续滚动，而是在新的位置保持平衡。这种平衡状态叫做临界平衡状态。临界平衡状态是由稳定过渡到不稳定平衡的一种平衡状态。实质上它属于不稳定的平衡状态，因为这时小球在经受干扰后已经不能回到原来的位置了。

压杆的平衡状态也可以分为三种。图8—2中一根直线形状的压杆，当压力P不太大时，用一个微小的横向力干扰它，压杆就微微弯曲。当横向力撤去后，压杆能恢复原来的直线位置。

压杆的平衡状态也可以分为三种。图8—2中一根直线形状的压杆，当压力P不太大时，用一个微小的横向力干扰它，压杆就微微弯曲。当横向力撤去后，压杆能恢复原来的直线位置(图8—20)。这时的直线形状的平衡是稳定的平衡状态。当压力P增大到某一特定值Pcr时，微小的横向力干扰撤去后，杆件维持干扰后的微弯曲状态不变，不再回到原来的直线位置，而在微弯状态下维持新的平衡(图8—26)。这时的直线形状的平衡状态叫做临界平衡状态，这个轴向压力的特定值Pcr叫做临界力。在压力P超过临界力Pcr后，干扰力作用下的微弯曲会继续增大甚至使压杆弯断。这时的直线形状的平衡状态(图8—2C)，即压杆丧失了稳定性。

压杆的稳定性与轴向压力的大小有关：当轴向压力小于临界力Pcr时，压杆是稳定的；当轴向压力等于或大于临界力Pcr时，压杆是不稳定的。因此，压杆稳定的关键，是确定各种压杆的临界力，要使控制压杆承受的轴向压力小于临界力，保证压矸的稳定性。

第二节临界力

一、用欧拉公式计算临界力

通过实验得知，临界力Pcr的大小与压杆的长度、截面形状、尺寸、杆件材料以及杆件的支承情况有关。在材料服从胡克定律的条件下，可推导出细长压杆临界力的计算公式——欧拉公式 Pcr=л2EI/(μl)2 (8—1)

式中：E——材料的弹性模量； ． l一杆件的长度；

μ——长度系数，其值与压杆的支承情况有关； 、 μl ——计算长度； I——横截面的最小惯性矩。 EI——抗弯刚度 欧拉公式反映了以下的规律：

1．临界力与压杆的抗弯刚度日成正比。压杆的抗弯刚度愈大，就愈不容易产生弯曲变形而失稳，因而临界力也俞大。

压杆失稳时，杆件总是在抗弯刚度最小的方向发生弯曲。例如图8—3a中的矩形截面，h->b，截面的面积都分布在Y轴附近，所以截面对Y轴的惯性矩就是截面对形心轴的惯性矩中的最小值，即，Iy=Imin=hb3/12。实验证明，矩形截面的压杆失稳时，是以图8—3口中的y轴为中性轴发生弯曲的。同理，图8—3b中的工字形截面柱，其失稳时弯曲变形的中性轴也是，，轴。圆形截面压杆失稳时的弯曲变形则可以在任意方向发生，因为圆形截面对过形心的任意轴的惯性矩均相等。

2·临界力与压杆的计算长度平方成反比。计算长度综合反映了压杆的长度和支座的约束情况对临界力的影响。压杆的稳定性随着压杆计算长度的增加而急剧下降。不同支座的长度，在计算压杆的临界力时，应根据支座情况在表

8—1中选用公式。

例8—1一端固定、一端自由的轴心受压杆，长度l=1 m，弹性模量E=2．0×105MPa。试计算图8—4中三种截面的临界力。(图中尺寸为mm)

解 (1)计算矩形截面。杆件在最小抗弯刚度平面内失稳， Imin=Iz=bh3/12=50X103/12=4.17X103mm4

Pcr=л2EI/(μl) 2= л2X2.0X105X4.17X103/(2X1000)2=2.02kn (2)计算等肢角钢截面。由型钢表(见附录工工)查得 Imin=Iz=3.89cm4=3.89X104mm

Pcr=л2EI/(μl) 2= л2X2.0X105X3.89X103/(2X1000)2=18.73kn (3)计算圆环截面。

I=л/64（D4-d4）=л/64(384-284)=72600mm4

Pcr=л2EI/(μl) 2= л2X2.0X105X4.17X103/(2X1000)2=18.73kn

例中三种截面的面积接近相等，但临界力相差很大，这是因为各截面形式不同、最小惯性矩差别很大。

检查与回顾

新授课 二、临界应力

在临界力的作用下，细长压杆横截面上的平均应力叫做压杆的临界应力。临界应力用d。表示，若压杆的横截面面积为A，则临界应力为 б=Pcr/A= Pcr=л2EI/(μl) 2A√

上式中最小惯性矩A和横截面面积A都是与截面形状、尺寸有关的几何量。令

I/A= i2，则有I=

上式中i叫做截面的惯性半径，其单位是mm。于是，临界应力的计算公式可写

бcr=л2Ei2/(μl)2=л2E/(μl)2/ i2

上式中μl和i都是反映压杆几何性质的量，工程上取μl与i的比值来表示压杆的细长程度，叫做压杆的柔度或长细比。柔度用λ表示，是无量纲的量。 λ=μl/ i

于是临界应力的计算公式可简化为 бcr=л2E/λ

2

压杆的柔度A综合反映了杆长、约束条件、截面尺寸和形状对临界应力的影响。式(8—3)是欧拉公式的另一形式。从式中可以看出，对同一种材料的压杆而言，其临界应力与柔度的平方成反比。柔度愈大，临界应力愈小，即压杆的稳定性愈差。

三、欧拉公式的适用范围

欧拉公式是在材料服从胡克定律条件下导出的，因此，压杆的临界应力不应超过材料的比例极限бb。欧拉公式的适用条件可表达为

бcr=л2E/λ2≥бb

当бcr=бb则，有λp=

就是对一定材料的细长压杆，用欧拉公式确定临界应力时柔度的最小值，叫做极限柔度。所以欧拉公式的适用范围用柔度表达的形式是 (8-5)

不同材料的弹性模量E和比例极限бb，值不同，因此极限柔度бb也不同。对于任意已知材料，可将其E和бb代人式(8—5)，算出相应的бb，从而确定欧拉公式对该材料压杆的适用范围。

例如3号钢，取E=2．0×105 MPa，бb=196 MPa，代入式(8—5)得 λp =100

所以，用3号钢制成的压杆，只有当λ≥100时，才能用欧拉公式。

总之，欧拉公式只适用于柔度较大的细长压杆。

当压杆的柔度，超出了欧拉公式的适用范围。对于这类压杆的临界应力，可用经验公式计算。

例8—2某轴心受杆长l=300 mm，矩形截面的面积为b×h=2×10mm2，两端铰支，材料为3号钢，E=2．0×105MPa。试计算此压杆的临界应力和临界力。 解(1)计算最小惯性半径。 I=0.577mm (2)计算柔度。

λ=μl/ I=1X300/0.577=520>λp =100 (3)用欧拉公式计算临界应力。 бcr=л2E/λ2=л2X2.0X105/5202=7.3MPa (4)计算临界力

Pcr=бcr?A=7．3×2 X 10=146 N 作业:P188 8-1

检查与回顾 1、欧拉公式的表达形式

新授课 第三节压杆的稳定校核——折减系数法

一、压杆的稳定条件

当压杆的工作应力达到临界应力时，压杆就会失稳而丧失工作能力。为保证压杆稳定，就必须确定一个考虑压杆稳定的许用应力，它应当是 [бst]= бcr/nst

上式中的[бst]就是稳定许用应力；nst是稳定的安全系数，它随柔度的变化而变化。λ愈大，nst也愈大。压杆的稳定条件可写为 б=P/A≤[бst]

上式中б是压杆的工作应力。由于临界应力бst和稳定安全系数nst都随柔度而变化，所以[бst]也是随柔度而变化的变量。 二、折减系数

在压杆的稳定计算中，可将稳定许用应力[бst]改用强度许用应力[б]来表达。Φ=бcr·n/nst·бu

叫做折减系数。值小于1，是一个随λ而变化的变量。表8—2列

出了几种材料的值供查用。压杆的稳定条件用折减系数与强度许用应力表示为 б=P/A≤Φ[б] 三、稳定校核

在已知压杆的杆长、支座情况、材料、截面及荷载的情况下，可应用式(8—7)校核压杆的稳定性。

例8—3一圆形木柱高6 m，直径d=20 cm，两端铰支，承受轴向压力P=50 kN，木材的许用应力[б]=10 MPa。试校核柱的稳定性。 解(1)计算截面的惯性半径i。 I=d/4=5cm

(2)计算柔度。因两端铰支，μ=1，所以 λ=μl/ I=1X600/5=120

(3)查折减系数。从表8—2中查得p=0．209。 (4)稳定校核。

БP/A=1．59 N／mm=1．59 MPa Φ[б]=0．209×10=2．09 MPa 所以，木柱满足稳定条件。

第四节提高压杆稳定性的措施

压杆临界力的大小反映压杆稳定性的高低。要提高压杆的稳定性，就要提高压杆的临界

一、减小压杆的长度

压杆的临界力与杆长的平方成反比，所以减小压杆长度是提高压杆稳定性的有效措施之一。在条件许可的情况下，应尽量使压杆长度减小，或在压杆中间增加支承。 二、改善支承条件

加强杆端支承，可减小长度系数卢，从而使临界应力增大，即提高了压杆的稳定性。

三、选择合理的截面形状

压杆的临界应力与柔度A的平方成反比，柔度愈小临界应力愈大。柔度与惯性半径成反比，因此，要提高压杆的稳定性，应尽量增大惯性半径。由于i=√暑，所以要选择合理的截面形状，尽量增大惯性矩，。例如选用空心截面或组合空心截面(图8—5)。 四、选择适当的材料

在其它条件相同的情况下，可以选择弹性模量E高的材料来提高压杆的稳定性。但是，细长压杆的临界力与强度指标无关，普通碳素钢与合金钢的E值相差不大，所以采用高强度合金钢不能提高压杆的稳定性。

小 结

一、细长压杆在一定的轴向压力作用下，突然丧失其原有的直线平衡形态的现象叫压杆失稳。

细长村杆承受的轴向压力小于某一特定值时，压杆处于稳定的平衡状态；

当轴向压力大于该特定值时，压杆处于不稳定的平衡；当轴向压力等于该特定值时，压杆处于临界平衡状态，这一特定的压力值叫临界力。确定临界力是研究压杆稳定性的重要问题。

二、细长压杆的临界力(临界应力)用欧拉公式计算。欧拉公式是材料服从胡克定律的条件下导出的，所以，只有当玎。。<盯，i即A≥A。时，欧拉公式才能适用。

三、柔度是压杆稳定计算中的重要几句参数。它综合反映了压杆的长度、支承情况、截面形状及尺寸对压杆稳定性的影响。

四、建筑工程中通常用折减系数法进行压杆稳定计算。

五、提高压杆的稳定性可采取以下措施：1.减小压杆的长度；2.改善支撑条件；3.选择合理的截面形状；4.选择适当的材料。

作业： P188 8-2、8-3

检查与回顾

新授课 第十章 静定结构和超静定结构

建筑物中支承荷载、传递荷载并起骨架作用的部分叫做结构，例如在房屋建筑中由梁、板、柱、基础等构件组成的体系。前面，我们介绍了单个杆件的强度、刚度和稳定性问题。本章将要介绍结构的几何组成规则、结构受力分析的基本知识、不同结构形式受力特点等问题。

第一节结构计算简图

实际结构很复杂，完全根据实际结构进行计算很困难，有时甚至不可能。工程中常将实际结构进行简化，略去不重要的细节，抓住基本特点，用一个简化的图形来代替实际结构。这种图形叫做结构计算简图。也就是说，结构计算简图是在结构计算中用来代替实际结构的力学模型。结构计算简图应当满足以

下的基本要求：

1．基本上反映结构的实际工作性能； 2．计算简便。

从实际结构到结构计算简图的简化，主要包括支座的简化、节点的简化、构件的简化和荷载的简化。

一、支座的简化

一根两端支承在墙上的钢筋混凝土梁，受到均布荷载g的作用(图10—1。)，对这样一个最简单的结构，如果要严格按实际情况去计算，是很困难的。因为梁两端所受到的反力沿墙宽的分布情况十分复杂，反力无法确定，内力更无法计算。为了选择一个比较符合实际的计算简图，先要分析梁的变形情况：因为梁支承在砖墙上，其两端均不可能产生垂直向下的移动，但在梁弯曲变形时，两端能够产生转动；整个梁不可能在水平方向移动，但在温度变化时，梁端能够产生热胀冷缩。考虑到以上的变形特点，可将梁的支座作如下处理：通常在一端墙宽的中点设置固定铰支座，在另一端墙宽的中点设置可动铰支座，用梁的轴线代替梁，就得到了图10—16的计算简图。这个计算简图反映了：梁的两端不可能产生垂直向下移动但可转动的特点；左端的固定铰支座限制了梁在水平方向的整体移动；右端的可动铰支座允许梁在水平方向的温度变形。这样的简化既反映了梁的实际工作性能及变形特点，又便于计算。这就是所谓的简支梁。

假设某住宅楼的外廊，采用由一端嵌固在墙身内的钢筋混凝土梁支承空心板的结构方案(图10—20)。由于梁端伸入墙身，并有足够的锚固长度，所以梁

的左端不可能发生任何方向的移动和转动。于是把这种支座简化为固定支座，其计算简图如图10—26所示，计算跨度可取梁的悬挑长加纵墙宽度的一半。

预制钢筋混凝土柱插入杯形基础的做法通常有以下两种：当杯口四周用细石混凝土填实、地基较好且基础较大时，可简化为固定支座(图10—3a)；在杯口四周填入沥青麻丝，柱端可发生微小转动，则可简化为铰支座(图10一36)。当地基较软、基础较小时，图口的做法也可简化为铰支座。

支座通常可简化为可动铰支座、固定铰支座、固定支座三种形式。

二、节点的简化

结构中两个或两个以上的构件的连接处叫做节点。实际结构中构件的连接方式很多，在计算简图中一般可简化为铰节点和刚节点两种方式。

1．铰节点铰节点连接的各杆可绕铰节点做相对转动。这种理想的铰在建筑结构中很难遇到。但象图10—40中木屋架的端节点，在外力作用下，两杆间可发生微小的相对转动，工程 中将它简化为铰节点(图10—46)。

2·刚节点刚节点连接的各杆不能绕节点自由转动，在钢筋混凝土结构中刚节点容易实现。图10—5a是某钢筋混凝土框架顶层的构造，图中的梁和柱的混凝土为整体浇注，梁和柱的钢筋为互相搭接。梁和柱在节点处不可能发生相对移动和转动，因此，可把它简化为刚节点(图10—56)。

三、构件的简化

构件的截面尺寸通常比长度小得多。在计算简图中构件用其轴线表示，构件之间的连接用节点表示，构件长度用节点间的距离表示。 四、荷载的简化

在工程实际中，荷载的作用方式是多种多样的。在计算简图上通常可将荷载作用在杆轴上，并简化为集中荷载和分布荷载两种作用方式。关于荷载的分类及简化已在第一章中述及。这里不再重复。

在结构设计中，选定了结构计算简图后，在按简图计算的同时，还必须采取相应韵措施，以保证实际结构的受力和变形特点与计算简图相符。因此，在按图施工时，必须严格实现图纸中规定的各项要求。施工中如疏忽或随意修改图纸；就会使实际结构与计算简图不符，这将导致结构的实际受力情况与计算不符，就可能会出现大的事故。

检查与回顾 1.结构计算简图应满足哪些基本要求？

2. 结构计算简图的简化主要包括哪些内容？

新授课 第二节平面结构的几何组成分析

一、几何组成分析的概念

建筑结构通常是由若干杆件组成的，但并不是用一些杆件就可随意地组成建筑结构。例如图10—6a中的铰接四边形，可不费多少力就把它变成平行四边形(图。一6b)，但这种铰接四边形不能承受任何荷载的作用，当然不能作为建筑结构使用。如果在铰接四边形中加上一根斜杆(图10—7)，那么在外力作用下其几何形状就不会改变了。

图10—6 图110—7

从几何组成的观点看，由杆件组成的体系可分为两类：

1·几何不变体系 在荷载作用下，不考虑材料的应变时，体系的形状和位置是不能改变的

2·几何可变体系在荷载作用下，不考虑材料的应变时，体系的形状和位置是可以改变的(图10—6a)。

对结构的几何组成进行分析，以判定体系是几何不变体系还是几何可变体系，叫做几何组成分析。

显然，建筑结构必须是几何不变体系。

在体系的几何分析中，把几何不变的部分叫做刚片。一根柱可视为一个刚片；任一肯定的几何不变体系可视为一个刚片；整个地球也可视为一个刚片。 二、几何不变体系的组成规则 (一)铰接三角形规则

实践证明，铰接三角形是几何不变体系。如果将图10—8口铰接三角形A船中的铰A拆开：AB杆则可绕曰点转动，AB杆上4点的轨迹是弧线①；4C杆则可绕C点转动，AC杆上的A点的轨迹是弧线②。这两个弧线只有一个交点，所以A点的位置是唯一的，三角形ABC的位置是不可改变的。这个几何不变体系的基本规则叫做铰接三角形规则。

如果在铰接三角形中再增加一根链杆仰(图10—86)，体系ABCD仍然是几何不变的，从维持体系几何不变的角度看，AD杆是多余的，因而把它叫做多余约束。所以ABCD体系是有多余约束的几何不变体系，而铰接三角形ABC是没有多余约束的几何不变体系。

②

铰接三角形规则的几种表达方式

1·二元体规则在铰接三角形中，将一根杆视为刚片，则铰接三角形就变成一个刚片上用两根不共线的链杆在一端铰接成一个节点，这种结构叫做二元体结构(图10—9)。于是铰接三角形规则可表达为二元体规则：一个点与一个刚片用两根不共线的链杆相连，可组成几何不变体系。且无多余约束。

2·两刚片规则若将铰接三角形中的杆AB和杆日C均视为刚片，杆AC视为两刚片间的约束(图10—10)，于是铰接三角形规则可表达为两刚片规则：两刚片间用一个铰和一根不通过此铰的链杆相连，可组成几何不变体系，且无多余约束。

图10一ll a表示两刚片用两根不平行的链杆相连，两链杆的延长线相交于A点，两刚片可绕

图 10一10 图 10—11

A点做微小的相对转动。这种连接方式相当于在A点有一个铰把两刚片相连。当然，实际上在A点没有铰，所以把A点叫做“虚铰”。为了阻止两刚片间的相对转动，只需增加一根链杆(图10—11 b)。因此，两刚片规则还可以这样表达：两刚片间用三根不全平行也不全相交于一点的三根链杆相连，可组成几何不变

体系，且无多余约束。

3．三刚片规则若将铰接三角形中的三根杆均视为刚片(图10—12)，则有三刚片规则：三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相连，可组成几何不变体系。且无多余约束。

总结

作业：P238 10-1、10-2

检查与回顾 铰结三角形的表达形式 新授课 三、超静定结构的概念

简支梁通过铰A和链杆B与地球相连(图10—13a)，是几何不变体系，且无多余约束。这种没有多余约束的几何不变体系叫做静定结构。静定结构的反力和内力可通过静力平衡方程求得。如果在简支梁中增加一个链杆(图10—13b)，它仍然是几何不变体系，但有一个多余约束。有多余约束的几何不变体系叫做超静定结构。超静定结构的支座反力和内力不能由静力平衡方程式全部求得。例如图10—13b中的梁，在荷载和支座反力的作用下，构成一个平面一般力系，可列出三个独立的平衡方程，而未知的支座反力有四个，三个方程只能解算三个未知量，所以不能求出全部的反力，因而内力也无法确定。超静定结构的内力计算，除了运用静力平衡条件外，还要利用变形条件，这里不予介绍。 ． 四、几何组成分析的实例

几何不变体系的组成规则，是进行几何组成分析的依据。对体系重复使用这些规则，就可判定体系是否是几何不变体系及有无多余约束等问题。运用规则对体系分析时，可先在体系中找到一个简单的几何不变部分，如刚片或铰接三角形，然后按规则逐步组装扩大，最后遍及全体系；也可在复杂的体系中，

逐步排除那些不影响几何不变的部分，例如逐步排除二元体，使分析对象得到简化，以便于判别其几何组成。

例10—1试对图10—14中的体系做几何组成分析。

解铰接三角形是几何不变体系(图中的阴影部分)，在此基础上不断增加二元体，最后可遍及整个桁架。将整个桁架视为一个刚片，地球视为另一个刚片，依据两刚片规则，它们之间用铰A与不通过铰A的支座链杆B相连，组成了没有多余约束的几何不变体系。

结论体系是几何不变的，且无多余约束。 ‘

C

例10一2试分析图10一15中体系的几何组成。

解整个体系可分为左右两个部分：左边的AC可视为刚片，在刚片上增加二元体ADF；右边的CB可视为刚片，在刚片上增加二元体GEB。左、右两部分均可视为刚片，它们之间用铰C和链杆DE相连(两刚片规则)，形成一个大刚片。这个大刚片与地球用铰A和链杆B相连，构成一个没有多余约束的几何不变体系。

现在从另一角度进行分析：左边的AD、AC、DF可视为三刚片，它们通过不在同一直线上的三个铰A、D、F相连，组成了一个几何不变体系；右边的CB、BE、GE可视为三刚片，它们通过不在同一直线上的三个铰G、E、B、相连，也组成了一个几何不变体系。左、右两部分用铰C和链杆册相连，组成了一个没

有多余约束的几何不变体系，然后再与地球相连。 结论体系是几何不变的，且无多余约束。 例10—3试分析图10—16中体系的几何组成。

解图10—16中的杆AB可视为刚片工，杆BC可视为刚片II，地球为刚片III。三刚片通过铰A、B、C两两相连，但这三个铰在同一直线上，不符合三刚片规则。现在分析在这种情况下会出现的问题。

B点是杆AB及BC的公共点。对AB杆而言，B点可沿以AB为半径的圆弧线①运动；对嬲杆而言，B点可沿以BC为半径的圆弧线②运动。由于A、曰、C三点共线，两个圆弧在B点有公切线。所以，在图示的瞬时，B点可沿公切线做微小的运动，即体系在这一瞬时是几何可变的。但是，B点经过微小的位移后，A、B、C三点就不再共线，B点的位移不能再继续增大。这种本来是几何可变的体系，经过微小的位移后又成为几何不变的体系，叫做瞬变体系。瞬变体系不能作为结构使用，任何接近于瞬变体系的构造，在实际建筑结构中也不允许出现。图10—17中，A、B、C三铰虽不共线，但在e角很小时，链杆的轴力将很大；当日角趋近于零时，体系趋近瞬变状态，链杆的轴力将趋于无穷大。 结论体系是瞬变体系，不能作为结构使用。

例10-4试对图中的体系作几何组成分析。

解 曲杆AC、CB和直杆通过不在同一直线上的三个铰A、B、C两两相连，组成了几何不变体系且没有多余约束。体系的两端通过铰A、B与基础相连，显

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ikzg.html