大一高数期末考试题（精）

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

1. 2. 3.

lim(1?3x)x?02sinx? .

已知cosx是f(x)的一个原函数,x .

则?f(x)?cosxdx?x

n??12lim?n(cos2?n?cos22?n?1???cos2?)?nn . ?4.

－x2arcsinx?11?x2dx? . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

12x?yy?y(x)e?sin(xy)?1确定，求y?(x)以及y?(0). 5. 设函数由方程

1?x7求?dx.7x(1?x)6.

?x? 1?xe，　　x?0设f(x)??　求?f(x)dx．?32??2x?x，0?x?17.

18.

设函数

f(x)连续，

g(x)??f(xt)dt0，且

limx?0f(x)?Ax，A为常数. 求

g?(x)并讨论g?(x)在x?0处的连续性.

9.

求微分方程xy??2y?xlnx满足

四、 解答题（本大题10分）

y(1)??19的解.

10. 已知上半平面内一曲线y?y(x)(x?0)，过点(0,1)，且曲线上任一点

M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x?x0所围成面积

的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）

11. 过坐标原点作曲线y?lnx的切线，该切线与曲线y?lnx及x 轴围成平面

(1)

图形D.

求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

12. 设函数f(x)在?0,1?上连续且单调递减，证明对任意的q?[0,1]，

q1?f(x)dx?q?f(x)dx00.

??13. 设函数f(x)在?0,??上连续，且0x?f(x)dx?0，0?f(x)cosxdx?0.

证明：在?0,??内至少存在两个不同的点?1,?2，使f(?1)?f(?2)?0.（提

F(x)?示：设

?0f(x)dx）

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

5. e6 . 6.　12(cosxx)2?c??.7. 2. 8.3三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 解：方程两边求导

ex?y(1?y?)?coxys(xy?)?(y? )ex?yy?(x)???ycos(xy)ex?y?xcos(xy)x?0,y?0??1

，y?(0)

10. 解：u?x7　　7x6dx?du 原式?17?(1?u)u(1?u)du?17?(1u?2u?1)du ?17(ln|u|?2ln|u?1|)?c ?1ln|x727|?7ln|1?x7|?C

0?x111. 解：?1?3f(x)dx???3xedx??02x?x2dx

??0?3xd(?e?x)??101?(x?1)2dx

????xe?x?e?x?0???0?cos2?3??d?　(令x?1?sin?)2

??4?2e3?10

12. 解：由f(0)?，知g(0)?0。

x1g(x)??f(xt)dtxt??u?f(u)du0

0x (x?0)

xxf(x)?u)du

g?(x)??f(0x2 (x?0)

.

x

g?(0)?limx?0?f(u)du0x2?limx?0xf(x)A? 2x2

?A?AA?22，g?(x)在x?0处连续。

limg?(x)?limx?0x?0xf(x)??f(u)dux02dy2?y?lnx13. 解：dxx

y?e???xdx2(?e?xdx2lnxdx?C)

11xlnx?x?Cx?29 3

111y(1)??C,?0y?xlnx?x39 9 ，

四、 解答题（本大题10分） 14. 解：由已知且

，

将此方程关于x求导得y???2y?y?

02特征方程：r?r?2?0

y??2?ydx?yx

解出特征根：r1??1,r2?2.

其通解为

y?C1e?x?C2e2x

代入初始条件y(0)?y?(0)?1，得

21y?e?x?e2x33故所求曲线方程为：

五、解答题（本大题10分）

C1?21,C2?33

1y?lnx0?(x?x0)(x,lnx)x0，015. 解：（1）根据题意，先设切点为0切线方程：

1y?xx?ee 由于切线过原点，解出0，从而切线方程为：

1则平面图形面积

A??(ey?ey)dy?01e?12

（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则

曲线y?lnx与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2

1V1?1?e23

V2???(e?ey)2dy0

D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

V?V1?V2??6(5e2?12e?3)

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）

q1qq116. 证明：0q?f(x)dx?q?f(x)dx??f(x)dx?q(?f(x)dx??f(x)dx)000q1q

?(1?q)?f(x)dx?q?f(x)dx0

f(?1)?f(?2)?1?[0,q]?2?[q,1]?q(1?q)f(?1)?q(1?q)f(?2)1?故有：

q0

?f(x)dx?q?f(x)dx00 证毕。

x17.

F(x)??f(t)dt,0?x??0证：构造辅助函数：。其满足在[0,?]上连续，在(0,?)上可导。F?(x)?f(x)，且F(0)?F(?)?0

0?由题设，有

??f(x)cosxdx??cosxdF(x)?F(x)cosx|??sinx?F(x)dx0000????，

有0，由积分中值定理，存在??(0,?)，使F(?)sin??0即F(?)?0

综上可知F(0)?F(?)?F(?)?0,??(0,?).在区间[0,?],[?,?]上分别应用罗尔定理，知存在

?1?(0,?)和?2?(?,?)，使F?(?1)?0及F?(?2)?0，即f(?1)?f(?2)?0.

?F(x)sinxdx?0

高等数学I 解答

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）

(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1. 当x?x0时，

??x?,??x?都是无穷小，则当x?x0时（ D ）不一定是

22(B) ??x????x?

?2(x)(D) ?(x)

无穷小. (A) (C)

??x????x?

ln?1??(x)??(x)?

1x?a?sinx?lim??x?asina??2. 极限

的值是（ C ）.

（A） 1 （B） e

（C） ecota （D） etana

?sinx?e2ax?1x?0?f(x)??x?ax?0在x?0处连续，则a =（ D ）. ?3.

（C） e （D） ?1

f(a?h)?f(a?2h)lim?f(x)h?0x?ah4. 设在点处可导，那么（ A ）. （A） 3f?(a) （B） 2f?(a)

1f?(a)?f(a)3(C) （D） （A） 1

（B） 0

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） ln(x?a)?lna1lim(a?0)x5. 极限x?0的值是 a.

exy?ylnx?cos2x确定函数y(x)，则导函数y?? y2sin2x??yexyx . ?xyxe?lnx7. 直线l过点M(1,2,3)且与两平面x?2y?z?0,2x?3y?5z?6都平行，则直

x?1y?2z?3??1?1?1 . 线l的方程为

6. 由

8. 求函数y?2x?ln(4x)的单调递增区间为 （－?，0）和（1，+? ） .

三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

2(1?x)?ex9. 计算极限x?0.

lim1x(1?x)?ee?1ln(1?x)?xe?elim?elim??x?0x?0xxx22 解：x?0??????|a|?3|b|?26|a10. 已知：，，a?b?30，求?b|。 ??a?b512cos?????,sin??1?cos2????1313aba?b?72lim解：

，

x1x1ln(1?x)?1x

11. 设f(x)在[a，b]上连续，且

xxF(x)??(x?t)f(t)dtax?[a,b]，试求出F??(x)。

解：

F(x)?x?f(t)dt??tf(t)dtaa

xxF?(x)??f(t)dt?xf(x)?xf(x)??f(t)dtaaF??(x)?f(x)

cosxxdx.3?sinx 12. 求

cosx1?2xdx??xdsinx3??2解：sinx 1111??xsin?2x??sin?2xdx??xsin?2x?cotx?C2222

四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

2?2dxxx2?113. 求

3.

令　1?tx

1232原式??1tdt11(?2)dtt1?1t2

1?t2 6 2xy?1?x2 的极值与拐点. 14. 求函数

解：函数的定义域（－?，+?）

??1232?arcsint3212???4x(3?x2)2(1?x)(1?x)y???y??22(1?x2)3 (1?x)

令y??0得 x = 1, x = -1

1

2

y??(1)?0 x = 1是极大值点，y??(?1)?0x = -1是极小值点

1 2

极大值y(1)?1，极小值y(?1)??1

令y???0得 x 3 = 0, x 4 = 3, x 5 = -3 x (-?,-3) － (-3,0) + (0, 3) － (3,+?) + y?? 33故拐点（-3，-2），（0，0）（3，2） x3y?24与y?3x?x所围成的平面图形的面积. 15. 求由曲线

x3解:?3x?x2,　x3?12x?4x2?0,4

x(x?6)(x?2)?0,　　x1??6,　x2?0,　　x3?2.

2x3x322S??(?3x?x)dx??(3x?x?)dx?6404 4334x3x3xx02?(?x2?)?6?(x2??)016232316

11?45?2?4733

216. 设抛物线y?4?x上有两点A(?1,3)，B(3,?5)，在弧A B上，求一点0P(x,y)使?ABP的面积最大.

解：

AB连线方程：y?2x?1?0　　AB?45点P到AB的距离2x?y?1x2?2x?35??5　(?1?x?3)?ABP的面积

2　　　S(x)?12?45??x?2x?35?2(?x2?2x?3)

　S?(x)??4x?4　当x?1　　S?(x)?0

　S??(x)??4?0当x?1时S(x)取得极大值也是最大值

此时y?3　　所求点为(1，3)

另解：由于?ABC的底AB一定,故只要高最大而过C点的抛物线的切线与AB平行时,高可达到最大值,问题转为求C(x20，4?x0),使f?(x0)??2x0??5?3　解得x0?1,所求C点为(1,3)

3?1??2,

六、证明题（本大题4分）

17. 设x?0，试证e2x(1?x)?1?x.

证明：设f(x)?e2x(1?x)?(1?x),x?0

f?(x)?e2x(1?2x)?1，f??(x)??4xe2x，

x?0,f??(x)?0，因此f?(x)在（0，+?）内递减。

在（0，+?）内，f?(x)?f?(0)?0,f(x)在（0，+?）内递减， 在（0，+?）内，f(x)?f(0),即

e2x(1?x)?(1?x)?0 亦即当 x>0时，

e2x(1?x)?1?x 。 二 填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

1. 设

x?1d(x2arctanx?1)?（ 2. 设

?f(x)dx?sinx?c,则

?f(n)(x)dx?（ x?4?yz?53. 直线方程

2?mn?6?p，与xoy平面，yoz平面都平行，

） ）

那么m,n,p的值各为（ ）

ie?2x???ni?14. limn?i????n?2?（ ）

三 解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）

1??1lim?2?2?x?0sinxx? ?1. 计算

1?2?xcos,x?0f(x)??x?x?0试讨论f(x)的可导性，并在可导处求出f?(x) ?x2. 设

3. 设函数y?f(x)在(??,??)连续，在x?0时二阶可导，且其导函数f?(x)的图形如图

所示，给出

f(x)的极大值点、极小值点以及曲线y?f(x)的拐点。

y x a O b c d 四 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分） 1. 求不定积分

e?(x?22dx)x?1x

?lnxdx2. 计算定积分

1e

3. 已知直线

l2的平面方程。

l1:xyz?1??123l2:x?1y?2z?3??254,求

l1且平行于直线

81?y?ax54. 过原点的抛物线及y=0,x=1所围成的平面图形绕x轴一周的体积为，确定

2抛物线方程中的a，并求该抛物线绕y轴一周所成的旋转体体积。

五、综合题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

21. 设F(x)?(x?1)f(x)，其中f(x)在区间[1,2]上二阶可导且有f(2)?0，试证明存在

?（1???2）使得F??(?)?0。

x2.

f(x)??(t?t2)sin2ntdt(x?0)0

（1） 求f(x)的最大值点；

f(x)?（2） 证明：

1(2n?2)(2n?3)

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

x1(?4arctanx?1)dxx?15. dy?2.

6. 7.

n?n?cos(x?)dx?sin(x?)?c?f(x)dx??22. m?2,p??6,n?0.

(n)1(e?1)28. .

三、解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）

11lim(2?2)9. (8分)计算极限 x?0sinxx.

11x2?sin2xlim(2?2)?lim22x?0xsinx解：x?0sinxx

x?sinxx?sinx?limx?0x3x

1?cosx1?2lim?x?03x23

1?2?xcos,x?0f(x)??x?x?0，试讨论f(x)的可导性，并在可导处求出?x10. (8分)设

f?(x). 11x?0,f?(x)?2xcos?sinxx；当x?0,f?(x)?1 解： 当

1?x2cos?0?x?0?xx?0f?'(0)?lim?0f?'(0)?lim?1?x?0??x?0??x?x

11?x?0?2xcos?sinf??x???xx?x?0 ?1故f (x)在x=0处不可导。

11. (8分)设函数y?f(x)在(??,??)连续，在x?0时二阶可导，且其导函数

f?(x)的图形如图.给出f(x)的极大值点、极小值点以及曲线y?f(x)的拐

点.

y x a O

解：极大值点：x?ax?d 极小值点：x?b 拐点(0,f(0)),(c,f(c))

b c d 四 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分）

(x?2)2dx2?x(x?1)12. (9分)求不定积分 .

41?3(??)dx2?x(x?1)x?1解：原式=

=

4lnx?1?3lnx?1?cx?1

13. (9分)计算定积分

1?e1elnxdx.

e1解：原式=

???lnx?dx??1e1elnxdx

e?????xlnx?x???1??xlnx?x?1?2?2e

xyz?1x?1y?2z?3??l2:??123，254,求过直线l1且平行于14. (9分)已知直线

直线l2的平面方程. ???n解：?s1?s2?(1,2,3)?(2,5,4)?(?7,2,1)

l1: 取直线l1上一点M1(0,0,1) 于是所求平面方程为 ?7x?2y?(z?1)? 0215. (9分)过原点的抛物线y?ax (a?0) 及y=0, x=1所围成的平面图形绕x

81?轴一周的体积为5. 求a，并求该抛物线绕y轴一周所成的旋转体体积.

5222xV???(ax)dx??a50解：

11?0?a25

?a2由已知得

5?81?25 故 a = 9 抛物线为：y?9x

x42V??2?x?9xdx?18?40绕y轴一周所成的旋转体体积：

五 综合题（每小题4分，共8分）

21109??2

16. (4分)设F(x)?(x?1)f(x)，其中f(x)在区间[1,2]上二阶可导且有f(2)?0.

证明：存在?（1???2）使得F??(?)?0。

证明：由f(x)在[1，2]上二阶可导，故F (x)在[1，2]二阶可导，因 f (2)=0,故F (1)=F

(2) = 0

在[1，2]上用罗尔定理，至少有一点x0,(1?x0?2)使F?(x0)?0

F?(x)?2(x?1)f(x)?(x?1)2f?(x)17. (4分).

得F?(1)?0

在[1，x0]上对F?(x)用罗尔定理，至少有点?(1???x0?2)F??(?)?0

解：（1）x?1为f(x)的最大值点。

f?(x)?(x?x2)sin2nx，当0?x?1，f?(x)?(x?x2)sin2nx?0；当x?1，f?(x)?(x?x2)sin2nx?0。f(1)为极大值，也为最大值。 （2）

f(x)??(t?t2)sin2ntdt?f(1)01100x

1(2n?2)(2n?3)

f(1)??(t?t2)sin2ntdt??(t?t2)t2ndt?高等数学上B（07）解答

一、 填空题：（共24分，每小题4分）

dy?2221．y?sin[sin(x)]，则dx2xcos[sin(x)]cosx。

??adx?????1?x22． 已知，a=__1______。

e?1elnxdx?2?2e。 3．

xy?e4． 过原点的切线方程为y?ex。

?5．已知f(x)?e，则

39?6．a?2，b?2

32y?ax?bx(1,3)时，点是曲线的拐点。

xf'(lnx)dxx=x?c。

二、计算下列各题：（共36分，每小题6分）

cosx1．求y?(sinx)的导数。

cosxlnsinxcosxlnsinx??y?(e)?e(?sinxlnsinx?cotxcosx) 解：

2．求?解：?sinlnxdx。

sinlnxdx?xsinlnx??coslnxdx?xsinlnx?xcoslnx??sinlnxdx

1(xsinlnx?xcoslnx)?C2 x?5?x2?1dx3．求。

?解：

?x?51d(x2?1)5dx??dx??dx2222x?1x?1x?1

22?x?1?5ln|x?x?1|?C

x?x?0?e,f(x)??kx?0在点x?0处可导，则k为何值？ ??x?1,4．设

xkf??(0)?lim?limxk?1x?0?xx?0?解：

ex?1f??(0)?lim?1x?0?x k?1

111lim(????)222222n??n?1n?2n?n。 5．求极限

解：

111lim(????)222222n??n?1n?2n?nn1?lim?n??k?1n2?k2 n11?lim?n??k?1k2n1?2n

11??dx201?x =

21?ln(x?1?x)|0?ln(1?2)

?x?2y?z?1?0?2x?y?z?0??x?y?z?1?0(2,2,0)6．求过点且与两直线?和?x?y?z?0平行的平面

方程。

解：两直线的方向向量分别为s1?(1,2,?1)?(1,?1,1)?(1,?2,?3),s2?(2,?1,1)?(1,?1,1)?(0,?1,?1)，平面的法向量

n?(1,?2,?3)?(0,?1,?1)?(?1,1,?1)。

平面方程为x?y?z?0。

三、解答下列各题：（共28分，每小题7分）

?x?Rcostd2y?21．设?y?Rsint，求dx。

dy??cottdx解：

d2y11??(?cott)??t2?RsintRsin3t dx02．求在[?1,2]上的最大值和最小值。

解：F?(x)?x(x?1)?0,x?0,x?1

F(x)??t(t?1)dt1x1F(0)?0,F(1)??t(t?1)dt??,06?1252F(?1)??t(t?1)dt??,F(2)??t(t?1)dt?0063

25? 最大值为3，最小值为6。

223．设y?y(x)由方程x(1?y)?ln(x?2y)?0确定，求y'(0)。 22解：方程x(1?y)?ln(x?2y)?0两边同时对x求导

2x?2y?(1?y2)?2xyy??2?0x?2y 1x?0,y?2代入上式 将

5y'(0?)8

224．求由y?x与y?x围成的图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积。

解：

V???(y?y4)dy01

3? 10

四、证明题：(共12分，每小题6分)

1．证明过双曲线xy?1任何一点之切线与OX,OY二个坐标轴所围成的三角

?形的面积为常数。

证明：双曲线xy?1上任何一点(x,y)的切线方程为

1Y?y??2(X?x)x

1(0,y?),(2x,0)x 切线与x轴、y轴的交点为

1s?x(y?)?2x故切线与OX,OY二个坐标轴所围成的三角形的面积为

2．设函数f(x)与g(x)在闭区间[a,b]上连续，证明：至少存在一点?使得

bf(?)?g(x)dx?g(?)?f(x)dx?ab?

证明：令

F(x)??g(x)dx?f(x)dxxabx

F(a)?F(b)?0，由Rolle定理，存在一点??[a,b]，使F?(?)?0，即

f(?)?g(x)dx?g(?)?f(x)dx?a?

高等数学上解答（07）

一、单项选择题（每小题4分，共16分）

?|sinx|f(x)?xcosxe(???x???)是 A 。 1．

（A）奇函数； （B）周期函数；（C）有界函数； （D）单调函数

2f(x)?(1?cosx)ln(1?2x)与 B 是同阶无穷小量。 x?02．当时，

3452（A）x； （B）x； （C）x； （D）x

?x?2y?z?0?3．直线?x?y?2z?0与平面x?y?z?1的位置关系是 C 。

（A）直线在平面内；（B）平行； （C）垂直； （D）相交但不垂直。

??????????a?b?0, a?c?0a,b,c4．设有三非零向量。若，则b?c? A 。

（A）0； （B）-1； （C）1； （D）3

二、 填空题（每小题4分，共16分）

1．曲线y?lnx上一点P的切线经过原点(0,0)，点P的坐标为(e,1)。

tanx?x1lim2x?x?0x(e?1)3。 2．

y23．方程e?6xy?x?1?0确定隐函数y?y(x)，则y?(0)? 0 。

24．曲线y?x 、x?1与x轴所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为

?5。

三、解下列各题（每小题6分，共30分）

t?sin2xtf(x)?lim()t???t1．已知，求f?(x)。

2t?sin2xtf(x)?lim()?e?sinxt???t解： f?(x)??e?sinxsin2x

1[ln(lnx)?]dx?lnx2．求不定积分。 11[ln(lnx)?]dx?ln(lnx)dx?dx???lnxlnx 解:

11?xln(lnx)??dx??dxlnxlnx

2?xln(lnx)?C

13．计算定积分??1x2(sinx1?x4?1?x2)dx。

1 解：??1x2(sinx1?x4?1?x2)dx??1?1(x21?x2)dx??1?1x2sinx1?x4dx

1 ???1(x21?x2)dx?0

x?sint? ?2?20sin2tcos2tdt

??8

1?sinx4．求不定积分?1?cosxdx。

解：?1?sinx1?cosxdx??11?cosxdx??sinx1?cosxdx

?12?sec2xdcosx2dx??1?cosx ?tanx2?ln|1?cosx|?C?

5．已知f(lnx)?x，且f(1)?e?1，求f(x)。

解：令lnx?t，f?(t)?et

f(x)?ex?C

f(1)?e?1，f(x)?ex?1

四、 （8分）设f(x)对任意x有f(x?1)?2f(x)，且

f?0)(??12。求f?)1( 解：由f(x?1)?2f(x)，f(1)?2f(0)

f?(1)?limf(x)?f(1)x?1x?1 x?t?1f(t?1)?f ?lim(1)t?0t 2f(t)?2 ?limf(0)t?0t

?2f?(0)??1

五、（8分）证明：当x?1时，(x2?1)lnx?(x?1)2。

证明：只需证明(x?1)lnx?x?1。

令f(x)?(x?1)lnx?x?1

f?(x)?lnx?1x?0，f(x)在[1,??)单调递增。

f(1)?0，当x?1时，f(x)?0。即(x2?1)lnx?(x?1)2。

六、 （8分）

。

已知

F(x)??(x2?t2)f??(t)dt0x2，f??(x)连续，且当x?0时，F?(x)与x

为等价无穷小量。求f??(0)。

F?(x)lim2?1解： x?0x

F(x)??x0(x?t)f??(t)dt?x2?f??(t)dt??t2f??(t)dt00xx00x22xx

F?(x)?2x?f??(t)dt?x2f??(x)?x2f??(x)?2x?f??(t)dtlim2x?f??(t)dtF?(x)0?lim?2f??(0)22x?0x?0xx 1f??(0)?2

七、 （8分）

2设有曲线y?4x (0?x?1)和直线y?c (0?c?4)。记它们与y轴所围图形的面积为A1，它们与直线x?1所围图形的面积为A2。问c为何值

时，可使A?A1?A2最小？并求出A的最小值。 解：

A?A1?A2??c04yydy??(1?)dyc22

A?(c)?c?1

令A?(c)?c?1?0，得c?1。

A??(1)?11?02，c?1为最小值点。

4yydy??(1?)dy?10212

八、设f(x)在(a,b)内的点x0处取得最大值，且|f??(x)|?K (a?x?b)。

minA??证明：|f?(a)|?|f?(b)|?K(b?a)

证明：f?(x0)?0 在[a,x0]对f?(x)应用拉格朗日定理

f?(x0)?f?(a)?f??(?1)(x0?a) (a??1?x0) f?(a)?f??(?1)(a?x0), |f?(a)|?K(x0?a)

在[x0,b]对f?(x)应用拉格朗日定理

f?(b)?f?(x0)?f??(?2)(b?x0) (x0??2?b)

f?(b)?f??(?2)(b?x0), |f?(b)|?K(b?x0)

二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)

1设　y?ln1?tan(x?)，则y??＿＿＿＿x1、

2

用切线法求方程x3?2x2?5x?1?0在(?1，0)内的近似根时,选x0并相应求得下一个近似值x1 ? 则x0，x1分别为__________________ ?

x?1y?1z?1??12?与x?1?y?1?z相交于一点，3、设空间两直线则??????? 。

?sinx?e2ax?1，当x?0?f(x)?? , 在x?0处连续，则a?___________ .x??a　　　　　，当x?04、

5、 0三、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )

? bxdx?_________________，其中b是实数．

???????????设平面?与两个向量a?3i?j和b?i?j?4k平行，证明：向量c?2i?6j?k与平面?垂直。

四、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )

讨论积分?10五、解答下列各题 ( 本 大 题11分 )

dx的敛散性．px

dxxn导出计算积分In??六、解答下列各题

( 本 大 题4分 )

x?12的递推公式,其中n为自然数。

?x?2y?z?5?0l1:??:x?y?z?10?0P(4,2,?3)?z?10?0求过0与平面平行且与直线垂

直的直线方程。

七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

计算极限lim八、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )

e1x?01?xsinx?cos2xxtanx

e试求In??(lnx)dx的递推公式(n为自然数)，并计算积分?(lnx)3dx．1n九、解答下列各题

( 本 大 题8分 ) 十、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )

x?x0

设f(x)在(a,b)内可微,但无界，试证明f?(x)在(a,b)内无界。

设lim?(x)?u0，limf(u)?f(u0) , 证明：limf??(x)??f(u0)u?u0x?x0。

十一、解答下列各题 ( 本 大 题4分 ) 十二、解答下列各题

在半径为R的球内,求体积最大的内接圆柱体的高

( 本 大 题5分 )

重量为p的重物用绳索挂在A,B两个钉子上，如图。设所受的拉力f1,f2。

cos??124,cos??135，求A,BAOBp十三、解答下列各题

( 本 大 题6分 )

一质点,沿抛物线y?x(10?x)运动,其横坐标随着时间t的变化规律为x?tt(t的单位是秒,x的单位是米),求该质点的纵坐标在点M(8，6)处的变化速率．十四、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )

设曲线x?y,x?2?y2及y?0,围成一平面图形.(1)求这个平面图形的面积;

二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)

1、

2、

(2)求此平面图形绕x轴旋转而成的立体的体积.

x0?0

5分 10分

x1??15

?b2??2，b?0???0　，b?0?b25?，b?0?3、4 4、-1 5、?2

三、解答下列各题

( 本 大 题4分 )

10分

???n?a?b?31平面法向量??n??2c?? n与c平行

?从而平面与c垂直。 四、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )

?i?j?k0?{?4,12,2}

4分 8分 10分

11?4

当p?1时，?1dx0xp?1dx111?lim??0??xp??lim(??01?p?xp?1)?　　??lim1??01?p(1?1?p?1) ?1??，?1?pp?1 ????，p?1 当p?1时，?1dx0xp??1dx0x??lim??0lnx1???? ?1dx0xp当p?1时收敛，当p?1时发散. 五、解答下列各题 ( 本 大 题11分 )

解:法一In??12xn?1dx?1

?x2?1xn?1?(n?1)?x2?1xn?2dx ?x2?1xn?1(n?1)?1?x2?xn?2x2?1dx?x2?1xn?1?(n?1)?1xn?2x2?1dx?(n?1)?dxxnx2?1x2?1

?xn?1?(n?1)In?2?(n?1)In

故In?2??x2?1n(n?1)xn?1?n?1In

　　　　　　　　　　　　　　I1?x211?lnx?x?c?I?x2?12?n(n?1)xn?1n?1n?2?2)　I0?ln1?x2n??I(n?x?c法二令x?tant　　dx?sec2tdt ?Isec2tdtsectn??tanntsect??tanntdt

5分

7分 10分3分

7分

10分3分

??dsecttann?1t?sectsec3ttann?1t??(n?1)tann?2tdtsectsec3t

?tann?1t??(n?1)tann?2tdt?(n?1)?secttanntdt

　?x2?1xn?1?(n?1)(In?2?In)?In?2??nx2?1n?1In?(n?1)xn?1?I??x2?12?n n(n?1)xn?1?n?1In?2(n?2)

I1?x211?ln

x?x?c

I0?ln1?x2?x?c.

六、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )

?的法向量为n?{111,,} ijkS1?12?1?{2,?1,0}l1的方向向量为

001

所求直线方向向量为

S?n?S1?{1,2,?3}

从而所求直线方程为

x?4y?2z1??32??3 10分

七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

原式?lim1?xsinx?cos22xx?0xtanx(1?xsinx?cos2x)

?1xsinxsin22x2lim(x?0xtanx?xtanx) ?12(1?4)?52

八、解答下列各题

( 本 大 题7分 )

5分

7分

10分3分 7分

3分 7分 10分

In??e1(lnx)ndxne1e1　?xlnx?n?(lnx)n?1dx ?e?nIn?1

4分

ne1

于是　In?e?ne?n(n?1)e???(?1)n!?dx

7分

?e?ne?n(n?1)e???(?1)n?1n(n?1)?2e?(?1)nn!(e?1)

所以　?(lnx)3dx?e?3e?6e?6(e?1)1e　　　?6?2e九、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )

10分

证明:反证设f?(x)在(a,b)内有界,即?M?0则?x?(a,b)有f?(x)?M

2分

取x0?(a,b)则对?x?(a,b),x?x0在以x0与x为端点的区间上f(x)满足拉格朗日中值定理的条件,则至少存在?介于x0与x之间,使　　f(x)?f(x0)?f?(?)(x?x0)

即f(x)?f(x0)?f?(?)(b?a)　　　?f(x0)?M(b?a)记为K

十、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )

5分

8分 10分

即f(x)在(a,b)内有界与题意矛盾,故假设不正确,即f?(x)在(a,b)内无界.由limf(u)?f(u0)u?u0任给??0，存在??0

使当u?u0??时，恒有f(u)?f(u0)?? 又lim?(x)?u0，取?1??，存在??0x?x04分

使当0?x?x0??时，?(x)?u0?? 8分

故当0?x?x0??时，就有f??(x)??f(u0)??成立因此limf??(x)??f(u0)x?x0

10分

十一、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )

设内接圆柱体的高为h,则圆柱体的底面半径r?R2?(h2)22h2其体积为　　　V??h(R?4)　　0?h?2R

　V???(R2?34h2)唯一驻点　h?233R 　　V????32?h?0

故h?233R时,圆柱体体积最大

十二、解答下列各题

( 本 大 题5分 )

按点O受力平衡，应有

?12?13f1?45f2?p(4分)??f1cos??f2cos??p?5?f(8分)1sin??f?f2sin??0，即 ?131?35f2?0

解得f?3956p,f2512?56p

(10分)

十三、解答下列各题

( 本 大 题6分 )

当　x?8时，t?4

1dx?3t2?3(米／秒)dt2t?4t?4

dydx ??18(米／秒)dt?(10?2x)?dt x?8 x(t)?3

答：质点的纵坐标在M(8，16)处的变化率为?18(米／秒)

十四、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )

解:(1)　　　x?y　x?2?y2　交点(11,).　　　S??10x2dx??212?x2dx　　　?13?(x22?x2?arcsinx22)1 1

?3?12???2?4

4分

8分 10分2分

4分

10分 3分

??1?,46

142015分

8分

(2)　Vx???xdx???(2?x2)dx??54222?(?)?.315

?2(2?1)???3(22?1) 10分

二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)

12

x_______ 1、y?xe的铅直渐近线是__________2、

3

2tan?xdx?__________.

、

设f(x)为以T为周期的连续周期函数，则f(x)在?a，a?T?(a?0)上的定积分与f(x)在?0，T?上的定积分的大小关系是______________

xy?2z?7??1354、直线与平面3x?y?9z?17?0的交点为

??????????????????? 。

三、解答下列各题

(本大题共2小题，总计12分) 1、(本小题6分) 2、(本小题6分)

写出f(x)?ln(1?x)?x?1?带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林展开式.

x2y2??z216指出锥面4被平行于zox平面的平面所截得的曲线的名称。

四、解答下列各题

(本大题共5小题，总计24分) 1、(本小题1分)

2、(本小题2分)

求　?xdx.4计算?(x?x)dx．03、(本小题5分)

求?lnxdx.x1?lnx

4、(本小题5分)

求?415、(本小题11分)

．x(1?x)

tanx2dx?设　y(x)?(2?x)五、解答下列各题

(本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分)

?01，(?x?1)求dy．2

试证：F(t)??ln(t2?2tcosx?1)dx为偶函数．2、(本小题7分)

试证：对角线向量是A??3,?4,?1?,B??2,3,?6?的平行四边形是菱形，并计算其边长。

六、解答下列各题

(本大题共3小题，总计20分) 1、(本小题6分) 2、(本小题6分)

在抛物线y?x2找出到直线3xk?4y?2的距离为最短的点

设曲线的方程为y?f(x).已知在曲线的任意点(x,y)处满足y???6x,且在曲线上的(0,?2)点处的曲线的切线的方程为2x?3y?6,求此曲线的方程.3、(本小题8分)

经济学上,均衡价格p0定义为供给曲线与需求曲线相交时的价格,消费者剩余定义为需求曲线与直线p?p0间的面积(右图区域?),生产者剩余定义为供曲线与直线p?p0间的面积(右图区域?).已知需求曲线方程p(x)?1000?0.4x2,供给曲线方程为p(x)?42x.求均衡点及消费者剩余和生产者剩余.

七、解答下列各题

(本大题共2小题，总计6分) 1、(本小题1分)

设f(x)在x?x0处连续，g(x)在x0处不连续，2、(本小题5分)

试判定F(x)?f(x)?g(x)在x0处的连续性．

若limf(x)??，limg(x)?A，试判定limf(x)?g(x)是否为无穷大？x?x0x?x0x?x0二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)

1、x?02、?tanx?x?c.3、= 10分4、(2,4,3) 三、解答下列各题

(本大题共2小题，总计12分) 1、(本小题6分)

(x)??x?x2x32?3???xnfn?Rn(x) R11n(x)??n?1?(1??)n?1xn?1,?介于0与x之间

2、(本小题6分)

??x2y20??z2??用y?y0所截得的曲线为??y4?y160 故y0?0时为一对相交直线

y0?0时为双曲线 四、解答下列各题

(本大题共5小题，总计24分) 1、(本小题1分)

?xdx?2x323?c.

2、(本小题2分)

3原式?(x22242?3x)0

?403 3、(本小题5分)

?lnxx1?lnxdx

??lnx1?lnxd(lnx)

??1?lnxd(1?lnx)??d(1?lnx)1?lnx

?23(1?lnx)32?21?lnx?c.

4、(本小题5分)

令　x?t

原式??22t1t2(1?t)dt

?2?21(1t?1t?1)dt

4分

分

7分 10分10分7分 10分3分 7分 10分4分 6分

10

2

?2?lnt?ln(t?1)?1

?2ln43 5、(本小题11分)

dy?y?(x)dx

?　?(2?x)tan2x????2sec2?x2ln(2?x)?12?xtan?x?2??dx

五、解答下列各题

(本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分)

F(?t)???0ln(t2?2tcosx?1)dx 令　x???u

F(?t)???0?ln(t2?2tcosu?1)du ?

??0lnt(2?2tcosx?1)dx

?F(t)

2、(本小题7分)

因为A?B?3?2?(?4)?3?(?1)?(?6)?0，故A?B

因此这个平行四边形的对角线是垂直的，于是它是菱形。 （6分）边长=?05.?|A|?2??05.?|B|?2

???1?2?32?(?4)2?(?1)2?1/2?2?????1?2?22?32?(?6)2?1/2?2?

?

?523 （10分）六、解答下列各题

(本大题共3小题，总计20分) 1、(本小题6分)

设抛物线上任点(x,x2),到直线的距离为 d?3x?4x2?2?19?165(4x2?3x?2)

d??15(8x?3)唯一驻点　x?38d???85?0

故当x?38时,d最小

8分 10分 2分

10分

2分

6分 8分 10分

4分

8分

即点??3?8，9?64??到直线3x?4y?2?0的距离最短

(注如用切线平行于已知直线解也可以)

2、(本小题6分)

?y???y??dx?3x2?c　　　　　　(1) 又由2x?3y?6得y?23x?2?y?(0,?2)?23　　　代入(1)得

y??3x2?23

?y??(3x2?23)dx?x3?23x?c

再将(0,?2)代入得c??2,?y?x3?23x?2.

3、(本小题8分)

??p?1000?0.4x2?p?42x, 解出x?20. 均衡点p?840.

消费者剩余?20?(1000?0.4x20)?840?dx　　　　?2133.33生产者剩余?200?840?42x?dx

?8400 七、解答下列各题

(本大题共2小题，总计6分) 1、(本小题1分)

F(x)?f(x)?g(x)在x0处必不连续

若F(x)在x0处连续，则g(x)?F(x)?f(x)在x0处也连续，矛盾！

2、(本小题5分)

答：不一定．若A?0，lim1x?xx)?1g(x)?00f(

?limx?xf(x)?g(x)??0 但若A?0则等式可能不成立

例如lim1x?1x?1??，xlim?x(x?1)2?0１

10分

3分

5分

10分

3分

6分 10分

4分

10分

4分 6分

但limx?11?(x?1)2?0??x?1

10分

二、填空题（将正确答案填在横线上）

(本大题分3小题, 每小题3分, 共9分)

1、2、

23(3?x)dx??_______________.

设f(x)??t(t?1)dt，则f(x)的单调减少的区间是__________0x3、对于?的值，讨论级数n?1（1）当??????时，级数收敛 （2）当??????时，级数发散 三、解答下列各题

(本大题共3小题，总计13分) 1、(本小题4分) 2、(本小题4分)

级数

?(nn?1)??

验证f(x)?x2在[2,4]上拉格朗日中值定理的正确性

?n?n?1?2 n?1是否收敛，是否绝对收敛？ 3、(本小题5分)

???1?n1010n

??3??x???,??22?时，f?x??x。设f?x?是以2?为周期的函数，当又设S?x?是f?x?的

以2?为周期的Fourier级数之和函数。试写出S?x?在???,??内的表达式。

四、解答下列各题

(本大题共5小题，总计23分) 1、(本小题2分)

2、(本小题2分) 3、(本小题4分)

x3?12x?16求极限　lim3x?22x?9x2?12x?4

求?(ex?1)3exdx.求?2 14、(本小题7分)

5、(本小题8分)

x2?1dx．x

求?x dx. 试将函数

五、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )

?y?1x2在点x0?0处展开成泰勒级数。

如果幂级数n?0?anxn在x??2处条件收敛，那么该

级数的收敛半径是多少? 试证之. 六、解答下列各题

(本大题共2小题，总计16分) 1、(本小题7分)

如图要围成三间长都为 y , 宽都为 x 的长方形屋围 , 其墙的总长度为a,问x,y各等于多少时 , 所围成的总面积最大?(墙的厚度不计)

2、(本小题9分) 七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

求由曲线y?e2x,x轴及该曲线过原点的切线所围成的平面图形的面积.

八、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

?chx，x?0，设　f(x)??,试讨论f(x)的可导性并在可导处求出f?(x)?ln(1?x)，x?0

x计算limx?0??02x0(at?bt)dtln(1?t)dt，(a?0，b.?0)．

九、解答下列各题

( 本 大 题12分 )

b设函数f(x)在?a，b?上有连续导数(a?0)，又设x?rcos?，f(x)?rsin?．试证明：2?f(x)dx??r2(?)d??bf(b)?af(a) ,a??其中??arctan

f(a)f(b)，??arctan．ab

C1(dm)v2211　　??dr?(?r)22r1　　??2rdr2L1　E???2rdr021　??2L24 因dE?二、填空题（将正确答案填在横线上）

(本大题分3小题, 每小题3分, 共9分)

?9x31、?97?27x5x5?x7?c.

2、

(0，1)　(答?0，1?不扣分)

3、???1时收敛

???1时发散

三、解答下列各题

(本大题共3小题，总计13分) 1、(本小题4分)

证明 : f(x)?x2在[2 , 3]上连续 , 在(2 , 3)可导 即f(x)在[2 , 3]上满足拉格朗日中值定理的条件

又f'(x)?2x令f'(?)?2??f(4)?f(2)4?2?6

得到(2 , 3)内有解??3 即存在??3 , 使f'(?)?f(4)?f(2)4?2

这就验证了拉格朗日中值定理对函数f(x)?x2在[2 , 3]上的正确性

2、(本小题4分)

un?n?1?n10n10n???1?2 记

10n?10n

un?1?1?n???由于 un10 ……6分

故原级数绝对收敛，从而收敛 ……10分 3、(本小题5分) 对

f?x??x,??2?x?3?2作周期为2?的延拓，f?x?在???,??内

的表达式为

??x?2?,???x???,f?x??????x,??2?x?0,?2?x,0?x??,?? (3分)

f?x?满足Fourier级数收敛的充分条件。 (5分)

故

10分 10分

4分

8分

10分

五、 五、 若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角

形。

解：设所给直角边为x,斜边与其之和为L，则

1x2x?L?x??x2?L2?2Lx22?LL?3x1?xs???L2?2Lx???22?L?2Lx?2L2?2LxL令s??0?x?这是唯一驻点，且最大值存在，故3L2??L?s???为最大面积，此时x边与斜边夹角为3 ?3?63??六、 六、 证明不等式：???,?e?????. s?lnx1?lnx则f?(x)??0(x?e)2xxln(?)ln(?)?f(x)在(a,??)上单减，f(?)?f(?),　　即　???证：令f(x)??ln(?)??ln(?)?ln???ln????????.

?2?limnf??.n???n? 七、 七、 y=f(x)与y=sin(x)在原点相切，求极限

?解：f(0)?sin(0)?0.f?(0)??sinx?x?0?cos0?1,?当x?0时f(x)与x是等价无穷小，2f?2/n??2?　　limnf???lim?2n??n??2/n?n?八、

证明：(1)至少有一点ξ∈(1/2,1)，使得f(ξ)= ξ; (2)???R ，存在??(0,?)，使得f’(?)-?[f(?)-?]=1 证：（1）令F(x)=f(x)-x,则f在[0,1]连续，在(0,1)可导， F（1/2）=f(1/2)-1/2>0

F(1)=f(1)-1=0-1<0,∴在(1/2,1)内至少有一点?，使F（? ）=0,即f (?)=?.。 (2) 证：

八、 设 f (x)在[0,1]上连续且在 (0,1 ) 内可导，且f (0) = f (1) = 0, f (1/2) = 1.

令G(x)?e??xF(x),G(?)?0,G(0)?0????0,??使得G?????0.??e???F(?)?e???F?????0得出F????＝?F(?)即f?(?)?1???f??????于是f???????f???????1lim(1?x)?1x一、 一、 选择题（每题4分，共16分）

1．x?0?limxsinx??

1?x（ D ）。

?1?1A、e； B、e； C、e?1； D、e?1

2．设f(x)?xlnx在x0处可导，且f?(x0)?2，则f(x0)?（ B ）。

A、0； B、e； C、1； D、e2。

3．若sin2x是f(x)的一个原函数，则?xf(x)dx?（ D ）。

A、xsin2x?cos2x?C； B、xsin2x?cos2x?C；

11C、xsin2x?2cos2x?C； D、xsin2x?2cos2x?C。 4．已知函数f(x)?x3?ax2?bx在x?1处取得极值?2，则（ B ）。

A、a??3,b?0且x?1为函数f(x)的极小值点；

B、a?0,b??3且x?1为函数f(x)的极小值点； C、a??3,b?0且x?1为函数f(x)的极大值点； D、a?0,b??3且x?1为函数f(x)的极大值点。 二、填空题（每题5分，共20分）

1． limx1x?0ex?e?x?2。 2．

?x21?x3dx?23329(1?x)?C。

?2(sinx?x?3．???2cos3x)dx?4213。 4．设?,?,?,?为向量，k为实数。若||?||?1,||?||?1，???，

??2???,??k???，???，则k??12。

三、计算下列各题（每题9分，共45分）

1．求极限xlim?0?xx。

1limlnxx?0?1xlimx?0?1xxlnxexlim?0?xlnx?ex解：

xlim?0?x?xlim?0?e??ex2?1

d2y2．函数y?y(x)由方程ex?ey?xy?0确定，求dx2|x?0。

ex?ey?xy?0?ex?eyy??y?xy??0解：

?ex?eyy???eyy?2?y??y??xy???0

d2y 又x?0,y?0，y??1，得dx2|x?0??2。

?11?x23．求定积分

22x2dx。

解

：

??x?sint1?x2?2222dx?cottdt?(csct?1)dt?1?2?2????x24 444．求过点(3,1,2)且与平面x?2z?1和y?3z?2平行的直线方程。

1ij?s?10k2?(?2,3,1)x?3y?1??z?23，?2。

解：

01?3?1?sinx, 0?x??f(x)??2x??(x)??f(t)dt?0, 其它05．设，求。

解：x?0，

?(x)??f(t)dt?00xx

1x1?(x)??f(t)dt??sintdt?(1?cosx)0202 0?x??， xx1??(x)??f(t)dt??sintdt??0dt?10?x??，20

四、（7分）长为l的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问

这两段铁丝各为多长时，正方形的面积与圆的面积之和最小？

解：设正方形的边长为x，则正方形的面积与圆的面积之和为

(l?4x2)S(x)?x?4?。 l?4xl4l4lS?(x)?2x?2?0x?,l??4??。所以两段铁丝分别为4??4??时，正方，

形的面积与圆的面积之和最小。

2五、解答下列各题（每小题4分，共12分）

221．设曲线y?1?x (0?x?1)，x轴以及y轴所围区域被曲线y?ax(a?0)分成面积相等的两部分，求a。

解：由

?1a?10(1?x?ax)dx??221a?10ax2dx??11a?1(1?x2)dx，a?3

x2x??f(t)dt?102．设函数f(x)在[0,1]上连续，且0?f(x)?1。判断方程在

(0,1)内有几个实根？并证明你的结论。

解：

F(F(?x)02?x?01xf(?t)dt1，F(x)在

[0,1]上连续，

d1?x()0，所以F(x)在(0,1)内有一个零点。又

F?(x)?2?f(x)?2?1?1?0，F(x)在[0,1]上是单调递增的，所以F(x)在(0,1)内有唯一零点，即

0?)?F1,??(?f1)x2x??f(t)dt?10x在(0,1)内有唯一实根。

120f(1)?2?xf(x)dx?03、设函数f(x)在[0,1]上可导，且，求证在(0,1)内至少存

在一点?，使得

f?(?)??f(?)?。

120f(1)?2?解：F(x)?xf(x)，F(x)在[0,1]上可导。由

1f(1)?2cf(c)?02使得，即f(1)?cf(c)。由Roll定理，存在??(c,1)?(0,1)，使

f(?)f?(?)???。 得F?(?)?0，即

1c?[0,]xf(x)dx?02，存在，

高等数学第一学期半期试题解答（05）

一． 1．

一． （共20分）试解下列各题：

x?1?x?1x?1?x?1,(x?1)求dy设y?y?12。

?11?x?1?x?1?????dx?2x?12x?1?

dydx。

解：2．

?x?1?x?1?2dy???设方程x?y?arctany?0确定了y?y(x),求1?y2y??y2

x3?ax2?x?4?A.。则a= 4 , A= -6 3．设limx?1x?114．函数y?x2x的极小值点?。

ln2x?cosx?2,x?05. 设f(x)??a?a?x(a?0) ?x,x?01cosx1a?a?x1解：f(0)?lim?lim?2x?0?x?22x?0?x2a y?1?y???021?y解：

故a?1时x?0是连续点，a?1时x?0是间断点。二． 二． （10分）若y?f(x)是奇函数且x=0在可导,

是什么类型的间断点？说明理由。

解：由f(x)是奇函数，且在x?0可导，知f(x)在x?0点连续，f(0)??f(0)故f(0)?0f(x)?f?0?limF(x)?lim?f??0?存在,故为第一类间断点?可去?。x?0x?0x?0三． 三． （共20分）求下列极限

F(x)?f(x)x在x=0

1

1x．

?1xx??limx21(3x?31x?1x?2)?1x；解

11：原式＝

3?3?2ln33?3lim?lim?x??x??211xx2?ln32x?limln3(3?3x)??ln3?2x??

2.x?0lim(1?2x)x22x?1?1?2x?2x??2ln?1?2x??；解：原式＝

lim?x?04x??1?2x?2x?2?2?4

?x?t?2?sintd2y设曲线方程为??y?t?cost,求此曲线在x=2 的点处的切线方程,及dx2。3．

1?sint11解：x?2时y?1,t?0y??y?t?0?切线方程：y?1??x?2?1?cost22

sint?cost?1y????1?cost?3四．

22四． （10分）证明：当x?0时，(x?1)lnx??x?1?。

11?x?1?证明：当x?1时，令f(x)?lnx在[1,x]上用拉氏中值定理有lnx??x?1???x?11?x?1?同乘以?x2?1?有?x2?1?lnx??x?1?2其中1???x即lnx?x?111?1?x? 当0?x?1时，令f(x)?lnx在[x,1]上用拉氏中值定理有?lnx??1?x???x?11?x?1?同乘以?x2?1?有?x2?1?lnx??x?1?2其中x???1即lnx?x?1当x?1时等式成立。x2五． 五． （10分）求内接于椭圆a三角形之面积的最大值。 解：

设底边方程为：y?t?b?t?0，t22a三角形面积A??b?t??2a1?2?bb设z??b?t?b2?t2222?y2b2?1，且底边与x轴平行的等腰

?b?t?2?b2?t2?2?z???2?b?t??b?t2?z的最大值点也是A的最大值点。??2t?b?t???2?b?t??b?2t?2令z??0得t?b（舍去）t??b2b?b?z???????b2?0即t??为唯一极大值点，2?2?33ab4亦即为所求面积之最大值点。最大值为A?

nn?1??x2?x?1在（0，1）上必有六． （10分）证明：方程x?xlimxn唯一的实根xn(n>2)，并求n??。 证：

六．

设f(x)?xn?xn?1???x2?x?1其在[0,1]上连续。f(0)??1,f(1)?n?1由n?2知函数在端点异号。由闭区间上连续函数零点定理知至少有一点??(0,1)使f(?)?0.又f??nxn?1???2x?1?0知函数f(x)单调增加，故在(0,1)上有唯一实根。由xn?xnxn?1n?1nn?1???xn?xn?1n22?xn?1???xn?1?xn?1?15?15?1因此0?xn??1故由极限存在准则知其有极限，设极限知?xn?是单调下降数列，而x2???22由方程有xnn1?xn1?x?1两边n??取极限x0?1解出x10?n1?x02七． 七． （10分）确定常数a、b,使极限lim1?acos2x?bcos4xx?0x4存在，

并求出其值。

解：要使极限存在，分子与分母应是极限过程中的同阶无穷小或高阶无穷小，于是有1＋a+b=0，用一次罗必达法则分子仍为无穷小，有a+4b=0 解出：a=-4/3 b=1/3 代入求得极限为8/3

八． 八． （10分）设f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可微，且 f (a) = f (b) =0,

证明：对???R,?c??a,b?，使得f??c???f?c?。

证明：构造函数F(x)=e-?x f (x) 则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可微F (a) = F (b) =0由罗尔定理???R,?c??a,b?，使得F??c??0,而F??x??e??xf??x???e??xf?x? 即有???R,?c??a,b?，使得f??c???f?c? 证毕。

设f(x)?xn?xn?1???x2?x?1其在[0,1]上连续。f(0)??1,f(1)?n?1由n?2知函数在端点异号。由闭区间上连续函数零点定理知至少有一点??(0,1)使f(?)?0.又f??nxn?1???2x?1?0知函数f(x)单调增加，故在(0,1)上有唯一实根。由xn?xnxn?1n?1nn?1???xn?xn?1n22?xn?1???xn?1?xn?1?15?15?1因此0?xn??1故由极限存在准则知其有极限，设极限知?xn?是单调下降数列，而x2???22由方程有xnn1?xn1?x?1两边n??取极限x0?1解出x10?n1?x02七． 七． （10分）确定常数a、b,使极限lim1?acos2x?bcos4xx?0x4存在，

并求出其值。

解：要使极限存在，分子与分母应是极限过程中的同阶无穷小或高阶无穷小，于是有1＋a+b=0，用一次罗必达法则分子仍为无穷小，有a+4b=0 解出：a=-4/3 b=1/3 代入求得极限为8/3

八． 八． （10分）设f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可微，且 f (a) = f (b) =0,

证明：对???R,?c??a,b?，使得f??c???f?c?。

证明：构造函数F(x)=e-?x f (x) 则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可微F (a) = F (b) =0由罗尔定理???R,?c??a,b?，使得F??c??0,而F??x??e??xf??x???e??xf?x? 即有???R,?c??a,b?，使得f??c???f?c? 证毕。

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