上海市宝山区2015年中考数学一模试卷及解析

2015年上海市宝山区中考数学一模试卷

（满分150分，考试时间100分钟） 2015.01

一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）

【下列各题的每个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸上的相应位置】

1．如图，在直角△ABC中，?C?90?，BC?1，AC?2，下列判断正确的是（ ）

A． ?A?90? B． ?A?45? C．cotA?22 D． tanA? 22

2．如图，?ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，下列判断错误的是（ ） A．

ADAEADDEADAEADAE???? B． C． D． DBECDBBCABACABBC

3．如果在两个圆中有两条相等的弦，那么（ ） A． 这两条弦所对的圆心角相等 B． 这两条线弦所对的弧相等

C． 这两条弦都被与它垂直的半径平分 D． 这两条弦所对的弦心距相等

4．已知非零向量、、，下列命题中是假命题的是（ ）

A． 如果a?2b，那么a//b B． 如果a?-b，那么a//b C． 如果a?b，那么a//b D． 如果a?2b，b?c，那么a//c

5．已知⊙O半径为3，M为直线上AB一点，若MO?3，则直线AB与⊙O的位置关系为（ ）

A． 相切 B． 相交 C．相切或相离 D． 相切或相交

1BD），三角形边上的2动点E从点A出发，沿A?C?B的方向运动，到达点B时停止，设点E运动的路程为

6．如图，边长为3的等边?ABC中，D为AB的三等分点（AD?x，DE2?y，则y关于x的函数图象大致为（ ）

A． B． C． D．

二、填空题（每题4分，共48分）

7．已知线段b是线段a、c的比例中项，且a?1、b?2，那么c = ．

8．两个相似三角形的相似比为2:3 ,则它们的面积之比为 ． 9．已知两圆半径分别为3和7，圆心距为d，若两圆相离，则d的取值范围是 ．

10．已知△ABC的三边之比为2：3：4，若△DEF与△ABC相似，且△DEF的最大边长为20，则△DEF的周长为 ． 11．在△ABC中，cotA?33，cosB?，那么∠C = ． 3212．B在A北偏东30°方向（距A）2千米处，C在B的正东方向（距B）2千米处，则C和

A之间的距离为 千米．

13．抛物线y??(x?3)?4的对称轴是 ．

14．不经过第二象限的抛物线y?ax?bx?c的开口方向向 ． 15．已知点A(x1,y1)、B（x2,y2）为函数y??2(x?1)?3的图象上的两点，若

222x1?x2?1，则y1 y2．

16．如图，D为等边△ABC边BC上一点，?ADE?60?，交AC于E，若BD?2，CD?3，则CE= ．

17．如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于M，且M是半径OB的中点，CD?26，则直径AB的长为 ．

18．如图，直角梯形ABCD中，AD//BC，CD?2，AB?BC，AD?1，动点M、N分别在AB边和BC的延长线运动，而且AM?CN，联结AC交MN于E，MH?AC于H，则EH= ．

三、解答题（78分） 19．计算：

+cot30?﹣

．

20．如图，已知M、N分别是平行四边形ABCD边DC、BC的中点，射线AM和射线BC相交于E，设AB?a，AD?b，试用、表示AN，AE；（直接写出结果）

21．已知一个二次函数的图象经过点A?1,0?和点B?0，6?，C?4，6?，求这个抛物线的表达式以及该抛物线的顶点坐标．

22．如图，D为等边?ABC边BC上一点，DE?AB于E，若AE．

BD2?，DE?23，求CD1

23．如图，P为⊙O的直径MN上一点，过P作弦AC、BD使?APM??BPM，求证：PA?PB．

24．如图，正方形ABCD中，

（1）E为边BC的中点，AE的垂直平分线分别交AB、AE、CD于G、F、H，求（2）E的位置改动为边BC上一点，且

GF； FHBEGF?k，其他条件不变，求的值． ECFH

25．（1）数学小组的单思稿同学认为形如的抛物线y?ax2?bx?c，系数a、b、c一旦确定，抛物线的形状、大小、位置就不会变化，所以称数a、b、c为抛物线y?ax2?bx?c的特征数，记作?a,b,c?；请求出与y轴交于点C?0,3?的抛物线y?x2?2x?k在单同学眼中的特征数；

（2）同数学小组的尤恪星同学喜欢将抛物线设成y?a?x?m??k的顶点式，因此坚持称

2a、m、k为抛物线的特征数，记作?a,m,k?；请求出上述抛物线在尤同学眼中的特征数；

（3）同一个问题在上述两位同学眼中的特征数各不相同，为了让两人的研究保持一致，同组的董和谐将上述抛物线表述成：特征数为?u,v,w?的抛物线沿平行于某轴方向平移某单位后的图象，即此时的特征数?u,v,w?无论按单思稿同学还是按尤恪星同学的理解做出的结果是一样的，请你根据数学推理将董和谐的表述完整地写出来；

（4）在直角坐标系xoy中，上述（1）中的抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左边），请直接写出△ABC的重心坐标．

26．如图，在△ABC中，AB?BC??10，AC?45，D为边AB上一动点（D和A、B不重合），过D作DE//BC交AC于E，并以DE为边向BC一侧作正方形DEFG，设AD?x， （1）请用x的代数式表示正方形DEFG的面积，并求出当边FG落在BC边上时的x的值； （2）设正方形DEFG与△ABC重合部分的面积为y，求y关于x的函数及其定义域；

（3）点D在运动过程中，是否存在D、G、B三点中的两点落在以第三点为圆心的圆上的情况？若存在，请直接写出此时AD的值，若不存在，则请说明理由．

2015年上海市宝山区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每题4分，共24分）

1．D 2．B 3．C 4．C 5．D 6．B

二、填空题（每题4分，共48分）

7．4 8．4:9 9．0?d?4或d?10 10．45 11．90°

12．23 13．x?3 14．下． 15．? 16．

6 17．43 518．

5 2+cot30?﹣

．

三、解答题（78分） 19．计算：

32解答： 解：原式=2?3—

122?3（）2（23—2） ?23?3—（2?3）（2—3)=33—23?22 =3?22

20．解答： 解：四边形ABCD是平行四边形， ∴BC?AD?b，DC?AB?a

∵M、N分别是平行四边形ABCD边DC、BC的中点， ∴BN?1111BC?b，DM?DC?a

222211b，AM?AD?DM?b?a，

22∴AN?AB?BN?a?∵AB∥CD，M是CD中点，

∴△ECM∽△EBA，CM?11CD?AB， 22∴EM:EA=CM:AB=1:2， ∴AE?2AM?a?2b．

21．解答： 解：设抛物线的表达式为y?ax2?bx?c，

?a?b?c?0?A1，0）和点（B0，6），C（4，6）代入得?c?6把点（

?16a?4b?c?6，??a?2?解得?b??8，

?c?6?所以抛物线的表达式为y?2x2?8x?6?（2x?2）2?2，

（2，-2）． 所以顶点的坐标为

22．解答： 解：∵?ABC是等边三角形， ∴AB?BC，?B?60?， ∵DE?AB于E， ∴?DEB?90?， ∴?BDE?30?， ∴BD?2BE，

在Rt?BDE中，设BE?x，则BD?2x， ∵DE?23，

由勾股定理得：（2x）?x?（23），

解得：x?2，

所以BE?2，BD?4，

：CD?2：1， ∵BD∴CD?2，

∴BC?BD?CD?6， ∵AB?BC， ∴AB?6，

∵AE?AB?BE ∴AE?6?2?4． 23．

解答： 解：过O作OE?AC于E，OF?BD于F，连接OB、OA， ∵?APM??BPM， ∴OE?OF，

222

∴在Rt?AEO和Rt?BFO中，OF?OE，OA?OB，由勾股定理得：AE?BF， 在Rt?PEO和Rt?PFO中，OF?OE，OP?OP，由勾股定理得：PE?PF， ∴PA?PB．

24．解答： 解：（1）如图1，分别延长AE、DC交于点K； ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB?CK，?ABE∽?KCE，

AEBE?； EKCE∵E为边BC的中点， ∴BE?CE，AE?EK； ∵GH平分AE，

∴EK?AE?2AF，FK?3AF；

∴

∵AG?HK， ∴?AGF∽?KHF， ∴

GFAF1??． FHFK3（2）如图2，分别延长AE、DC交于点K； ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB?CK，?ABE∽?KCE，

AEBE??k； EKCE∴AE?kEK； ∵GH平分AE，

11k?2EK； ∴AF?EF?AE?kEK，FK?222∴

∵AG?HK， ∴?AGF∽?KHF， ∴

FGAFk??． FHFKk?2

（0，-3）代入抛物线解析式得：k??3， 25．解答： 解：（1）把C∴抛物线解析式为y?x2?2x?3，

则该抛物线在单同学眼中的特征数为?1，-2，-3?； （2）∵y?x2?2x?3?（x?1）2?4，

∴上述抛物线在尤同学眼中的特征数为?1，-1，-4?；

b2b2ax?）?c?， （3）y?ax?bx?c?（2a4a2要使单思稿同学和尤恪星同学的理解做出的结果是一样的，

b?b???2a必须满足?，即b?0， 2?c?c?b?4a?∵y?（x?1）?4可以看做y?x?4沿平行于x轴方向向右平移1个单位而成， ∴董和谐的表述为：特征数?1，， 0-4?的抛物线沿平行于x轴方向向右平移1个单位的图象；（4）对于抛物线解析式y?x?2x?3，

222（x?3）（x?1）?0， 令y?0，得到x?2x?3?0，即

A-1，）0，（B3，）0，C（0，-3）， 解得：x?3或x??1，即（2

∴线段AB中点坐标为（1，0），AB边的中线方程为y??3?0（x?1）?（3x?1）?3x?3； 0?1（-，-），AC边的中线方程为∵AC边中点坐标为

12323??0339y?2（x?3）?（x?3）?x?，

1777??32?y?3x?3?联立得：?39，

y?x??77?2??x?解得：?3，

??y??1（则?ABC的重心坐标为

26．解答： 解：（1）作AM?BC于M，作BH?AC于H，DE如图1所示：∵AB?BC?10，AC?45，BH?AC， ∴AH?2，-1）． 3DEx? 10101AC?25， 2∴BH2?AB2?AH2?102?(25)2?80， ∴BH?45,S?ABC?∴AM?11BC?AM?AC?BH， 22AC?BH45?45??8，

BC10∵DE?BC， ∴?ADE∽?ABC，

DEADDEx??， ，即BCAB1010∴DE?x，

∴

∴正方形DEFG的面积为DE?x；

当FG落在BC上时，如图2所示：设DE交AM于P， ∵?ADE∽?ABC， ∴

22DEADx8?x??，即， BCAB108

解得：x?40； 9

（2）由（1）得，DE?x， ①当FG在?ABC的内部时，

40）； 9②当FG与BC重合或在?ABC的外部时，设DG交BC于点N；如图3所示：

4在Rt?DBN中，DN?8?x，

54440?8?x）??x2?8（x?x＜10）； ∴y?DE?DN?x（559（3）①AD?5，G、B在以D为圆心（DB?DG为半径）的圆上；理由如下： 当G、B在以D为圆心的圆上时，DB?DG?DE?AD， ∴D为AB的中点， ∴AD?5；

80②当AD?时，D、G在以B为圆心（BD?BG为半径）的圆上；理由如下：

13当BD?BG时，M为DG的中点，

11∴DN?DG?x，

2214∴x?8?x， 258080解得：x?，即AD?；

131350③当AD?时，D、B在以G为圆心（GD?GB为半径）的圆上；理由如下：

13如图2所示：y?DE?x，（0＜x＜22根据题意得：GD?GB?DE?x，作GQ?AB于Q，如图4所示： 则Q为BD的中点，DQ?∴DQ?AP，即5-1xBD?5?，?DGQ≌ ?ADP， 22x4?x， 255050解得：x?；即AD?．

1313

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