关于淋雨数学建模

淋雨数学建模

题目:来教室的时候天气晴朗均未带雨伞，而现在突降大雨。教室和家只相距

1km,你有急事课后必须冒雨跑步回家。试建立数学模型探讨是否跑得越快淋雨就越少？

摘要：本文通过对人在雨中直线行走时雨垂直降落、从前吹来、从后吹来这三

种情况的分析讨论，得到了在不同情况下淋雨总量与人的行走速度的数学模型。并发现，当雨垂直落下和迎面吹来时，跑的速度越快淋雨越少；而当雨从背面吹

c

来时，当人跑的速度大于等于雨速的水平分量的大小且此时夹角 满足tan

a

时，跑得越快淋雨越少，除此之外的其它情况下有当v usin 时，淋雨量最小。 1 问题重述

现有一人要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变。试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。 2 问题的分析

人在雨中行走时可能出现以下三种情形：

情形一：雨垂直下落，人以速度v前行，此时降雨淋遍全身（如图1所示）

图 1

情形二：雨迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，与人的正面夹角为 ，此时后背淋不到雨（如图2所示）

图2

情形三：雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，与人的背后夹角为α，此时正面淋不到雨（如图3所示）

图 3

我们知道当人在雨中前行的时候，人和雨相对地面都是运动的，故知人与雨是相对运动的。为此我们选择人作为参考系，再考虑雨的相对速度及其与人体方向（即与人体夹角 、α）对总淋雨量的影响。 3 合理的假设

3.1 将人体看成一个长方体； 3.2 雨速为常数且方向不变； 3.3 降雨量为一定值；

3.4 考虑雨的方向与人体前进的方向在同一平面内； 3.5 符号的假定:

a: 身高（颈部以下） b: 身宽 c: 身厚

d: 跑步距离 v: 跑步速度 vm: 跑步最大速度 w: 降雨量 u: 雨速 Q: 总淋雨量

: 雨迎面吹来与人的夹角 : 雨背面吹来与人的夹角 s：有效淋雨面积 v：以人为参考系时的相对雨速 4 模型的建立

我们先考虑如下情形，现有一块土地面积为s，雨垂直降落，雨速及方向不变，且降雨量为一常数w ，则有时间t内该土地的淋雨量为 Q stw。

若雨速发

生变化，则降雨量也会相对发生改变，设雨速从u变为u u，则降雨量相对变化为

u uu u

w，从而可求得此时的淋雨量为 Q stw。若雨速不变，降uu

雨的方向发生改变，设其与原方向的夹角为 ，那么此时的淋雨量为

Q stwcos 。类似我们可以求得在问题分析中出现的三种情况下人体的总淋雨

量如下：

4.1当雨垂直降落时

有效淋雨面积：s 2ab 2ac bc 淋雨时间：t

d

v

d

w （1） v

总淋雨量Q stw (2ab 2ac bc)4.2 当雨迎面吹来时

由假设3.4我们知道，当雨迎面吹来时，只有顶部和人体的迎面部分为有效淋雨面积，记顶部面积为s1，迎面部分面积为s2，则s1 bc,s2 ab，分别计算其淋雨量如下：

淋雨时间：t

d

v

雨速垂直分量：ucos

雨速水平分量：usin ，且方向与v相反，故相对雨速v=usin v 顶部淋雨量：Q1 s1twcos bc

d

wcos v

vdusin v

迎面淋雨量：Q2 s2tw abw

uvu

所以总的淋雨量为：

Q Q1 Q2

bcduw cos abdw (usin v)bdwcucos a(usin v)

（2）

uvuv

4.3当雨从背面吹来时

同理，当雨从背面吹来时，只有顶部和人体的背面部分为有效淋雨面积，记顶部面积为s3，背面部分面积为s4，则s3 bc,s4 ab，分别计算其淋雨量如下：

淋雨时间：t

d v

雨速垂直分量：ucos

雨速水平分量：usin ，方向与v相同，故相对雨速v=usin v 顶部淋雨量：Q3 s3twcos bcdw

cos

v

vabdw|usin v|

背面的淋雨量： Q4 s4tw

uuv

总淋雨量为：

Q Q3 Q4

bdwcucos a(usin v)bdwu(ccos asin ) av ,v usin a （3） uvuv

bdwcucos a(v usin ) bdwu(ccos asin ) av,v usin b vuv u

5 模型的求解

运用数学分析中求函数最值的知识，对于以上所建的模型我们求解得到不同情况下人的淋雨量Q与行走速度v的具体关系如下： 5.1当雨垂直降落时

d

由（1）式知总淋雨量Q stw (2ab 2ac bc)w，易知 v越大，Q值越

v小，故此时跑得越快，所淋到的雨量越少。即：当v vm时，Q最小； 5.2当雨迎面吹来时

对（2）式关于v求导可得：

Qbdwcucos ausin 0，故Ｑ关于 vuv2

v是单调递减函数，故此种情况下，当v vm时，Q最小； 5.3当雨从背面吹来时

对（3）式，分以下两种情况讨论如下：

1 v usin

此时对（a）式关于v求导可得

Qbdwcucos ausin 0 ，可知v2 vuv

越大，淋雨量Q越小，又因为v usin ，故知当v usin 时，Q最小； 2 v usin

当ccos asin 0，对（b）关于v求导

Qbdwu(ccos asin )

0， vuv2

故Ｑ关于v是单调递减函数，同样可得，当v vm时，Q最小； 当ccos asin 0，对（b）关于v求导

Qbdwu(ccos asin )

0，2 vuv

故Ｑ关于v是单调递增函数，又v usin ，故v usin 时，Q最小。 6 结果分析

由上面的求解过程我们可看出，当雨垂直落下和迎面吹来时，跑的速度越快淋雨越少；而当雨从背面吹来时，当人跑的速度大于等于雨速的水平分量的大小

c

且此时夹角 满足tan 时，跑得越快淋雨越少，除此之外的其它情况下有当

a

v usin 时，淋雨量最小。

7 模型的检验

现给出数据如下：

a 1.5m,b 0.5m,c 0.2m,d 1000m,vm 5s,u 4s,w 2h 7.1 当雨垂直降落时 Qmin (2ab 2ac bc)7.2 当雨迎面吹来时 0：Q

d

w 0.002L vm

bdwcucos0 a(usin0 vm)bdwcu avm

0.00116L

uvmuvmbdwcucos30 a(usin30 vm)

0.00155L

uvm

c

，故v usin 2s时，淋雨最少。 a

30 ：Q

7.3 当雨从背面吹来时 30 时，tan 此时：Q 0.00101L 8 优缺点分析

优点：在模型中我们考虑了雨从不同方向吹来，结合了风向等因素，考虑了三种情况下人的总淋雨量，并以人为参照物优化了模型。

缺点：此模型只是将人与雨的方向在同一平面内考虑的，如果在不同的平面内，则雨的方向应该在三维空间中考虑。

参考文献：

[1]姜启源，谢金星等 《数学模型》(M) 第三版 高等教育出版社 2003年

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ikfi.html