必修1第二章基本初等函数

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必修

1第二章 基本初等函数（指数与对数函数）

知识归纳 一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果a x n

=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *

． 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==)

0()0(||a a a a

a a n n

2．分数指数幂-----正数的分数指数幂的意义，

)1,,,0(*

>∈>=n N n m a a a

n m n

m ，)1,,,0(1

1*>∈>=

=

-

n N n m a a a

a

n

m

n

m n

m

3．实数指数幂的运算性质

（1）r a ·s r r a a +=；（2）rs s r a a =)(；（3）

s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>； （二）指数函数及其性质

1、指数函数：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x

且叫做指数函数，x 是自变量，定义域为R ． 2、指数函数的图象和性质

对应的几个结论：

（1）在[a ，b]上，)10()(≠>=a a a x f x 且值域是)](),([b f a f 或)](),([a f b f ； （2）若0x ≠，则1)(≠x f ；)(x f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数

)10()(≠>=a a a x f x 且，总有a f =)1(.

二、对数函数

（一）对数：N a x

=)1,0(≠>a a ，数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =

说明：①注意底数的限制0>a ，且1≠a ；②x N N a a x

=?=log ；N a

N

a =log

两个重要对数：①常用对数：以10为底的对数N lg ；②自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．

（二）对数的运算性质：如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ① M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；②=N

M

a

log M a log －N a log ； ③n

a M log n =M a log )(R n ∈．

注意：换底公式a

b

b c c a log log log =

（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．

利用换底公式推导下面的结论：（1）b m

n

b a n a m log log =；

（2）a b b a log 1log =． （二）对数函数

1、对数函数：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，x 是自变量，定义域（0，+∞）．

2、对数函数的性质：

对应的几个结论：

（1）在[a ，b]上，)10(log )(≠>=a a x x f a 且值域是)](),([b f a f 或)](),([a f b f ；

（2）若1≠x ，则0)(≠x f ；)(x f 取遍所有实数当且仅当),0(+∞∈x ；

（3）对于对数函数)10(log )(≠>=a a x x f a 且，总有0)1(=f ，1)(=a f .

必修1第二章 巩固练习

1．下列函数中是奇函数的有几个（ ） ①11x x a y a +=- ②2lg(1)33

x y x -=+- ③x y x = ④1log 1a x y x +=- A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

2．函数y x =3与y x =--3的图象关于下列那种图形对称( )

A ．x 轴

B ．y 轴

C ．直线y x =

D ．原点中心对称

3

．函数y = ）

A ．[1,)+∞

B ．2(,)3+∞

C ．2[,1]3

D ．2

(,1]3

4．三个数60.70.70.76log 6，

，的大小关系为（ ） A. 60.70.70.7log 66<< B. 60.70.70.76log 6<< C ．0.760.7log 660.7<< D. 60.70.7log 60.76<<

5．若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为

( )

A ．42

B ．22

C ．41

D ．2

1 6．若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(1,0)-和(0,1)，则( )

A ．2,2a b == B

．2a b =

= C ．2,1a b == D

．a b =

=7．函数lg y x = 是( )

A.偶函数，在区间(,0)-∞ 上单调递增

B.偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减

C.奇函数，在区间(0,)+∞ 上单调递增

D.奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减

8．已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f x

x x f 则若（ ）

A ．b

B ．b -

C ．b 1

D ．1b

- 9．函数()log 1a f x x =-在(0,1)上递减，那么()f x 在(1,)+∞上（ ）

A ．递增且无最大值

B ．递减且无最小值

C ．递增且有最大值

D ．递减且有最小值

10．函数]1,0[)1(log )(在++=x a x f a x 上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ ） A ．

41 B ．2

1 C ．

2 D ．4 11．已知log (2)a y ax =-在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是( ) A. （0，1） B. （1，2） C. （0，2）

D. ∞[2，+） 12．设函数1()()lg 1f x f x x =+，则(10)f 的值为（ ）

A ．1

B ．1-

C ．10

D ．10

1 13．已知1414log 7,log 5,a b ==则用,a b 表示35log 28= 。

14.

判断函数2lg(y x x =的奇偶性 。 15．若函数()11

x m f x a =+-是奇函数，则m 为__________。 16．函数()212

()log 25f x x x =-+的值域是__________.

17. 计算

(1)210232927()(96)()(15)48

..----++；

(2)7123552100257log log log log .-++。 18. 已知函数211()log 1x f x x x

+=

--,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性。 19．（1）求函数)5,0[,)31(42∈=-x y x x 的值域； （2）若函数3234+?-=x

x y 的值域为[1,7]时，求x 的取值范围。

20．已知()()110212x f x x x ??=+≠

?-??

， ⑴判断()f x 的奇偶性； ⑵证明()0f x >． 必修2第二章巩固练习答案

DDDD AABB ABBA 13.

2a a b

-+ 14.奇函数 15. 2 16. (],2-∞- 17. 原式921(1);(2)24

π- 18. 解：0x ≠且101x x

+>-，11x -<<且0x ≠，即定义域为(1,0)(0,1)-； 221111()log log ()11x x f x f x x x x x

-+-=-=-+=--+-为奇函数； 212()log (1)11f x x x

=-+-在(1,0)(0,1)-和上为减函数。 19. （1）令24,[0,5)u x x x =-∈，则45u -≤<，5411()(),33

y -<≤ 181243y <≤，即值域为1(,81]243。 （2）由已知得143237,x x

≤-?+≤

即43237,43231x x x x ?-?+≤??-?+≥??得(21)(24)0(21)(22)0x x x x ?+-≤??--≥?? 即021x

<≤，或224x ≤≤ ∴0x ≤，或12x ≤≤。

20. 解：（1）1121()()212221

x x x x f x x +=+=?-- 2121()()221221

x x x x x x f x f x --++-=-?=?=--，为偶函数 （2）21()221

x x x f x +=?-，当0x >，则210x ->，即()0f x >；

当0x <，则210x

-<，即()0f x >，∴()0f x >。

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