中国石油大学高数(2-2)历年期末试题参考答案

2007—2008学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案

一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面?1:y?z?0与平面?2:x?y?0的夹角为

?3.

22z?x?y2. 函数在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2?3)的方向的方向导数为2223. 设f(x,y)是有界闭区域D:x?y?a上的连续函数，则当a?0时，

1?23.

1a?0?a2lim??f(x,y)dxdy?D222f(0,0) .

4. 区域?由圆锥面x?y?z及平面z?1围成，则将三重积分

????f(x2?y2)dv在柱面坐标系下

化为三次积分为

?2?0d??dr?f(r)rdz.

0r1123x?t,y?t,z?t5. 设?为由曲线上相应于t从0到1的有向曲线弧，P,Q,R是定义在?上的连续

三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：

??Pdx?Qdy?Rdz???(P1?4x?9y22?2xQ1?4x?9y22?3yR1?4x?9y22)ds.

6. 将函数f(x)?x?1(0?x??)展开成余弦级数为

x?1??2?1?4?(cosx?11cos3x?cos5x??)(0?x??)2235.

二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.

??(x,y)?K (常数)，则fy?(x,y)?（ D ） 7. 若z?f(x,y)有连续的二阶偏导数，且fxyK2(A) ； (B) Ky； (C) Ky??(x)； (D) Kx??(y).

28. 设f(x)是连续的奇函数，g(x)是连续的偶函数，区域D?{(x,y)0?x?1,?下列结论正确的是（ A ）. (A)

x?y?x}，则

??f(y)g(x)dxdy?0； (B) ??f(x)g(y)dxdy?0；

DD(C)

??[f(x)?g(y)]dxdy?0； (D) ??[f(y)?g(x)]dxdy?0.

DD 1

9. 已知空间三角形三顶点A(?1,2,3),B(1,1,1),C(0,0,5)，则?ABC的面积为（ A） (A)

9723； (B) ； (C) ； (D) . 23972z??dxdy在数值上等于( C ). ?10. 曲面积分

??22(A) 流速场v?zi穿过曲面Σ指定侧的流量；(B) 密度为??z的曲面片Σ的质量；

????22(C) 向量场F?zk穿过曲面Σ指定侧的通量；(D) 向量场F?zk沿Σ边界所做的功.

11．若级数

?c(x?2)nn?1?n在 x??4 处是收敛的，则此级数在 x?1 处 ( D )

(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定.

(?1)n?112.级数?的敛散性为 ( A ) 2pnn?111(A) 当p?时，绝对收敛； （B）当p?时，条件收敛；

2211(C) 当0?p?时，绝对收敛； （D）当0?p?时，发散.

22?三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过

程或演算步骤. 13. （本题满分6分）设x?y?z?e?(x?y?z)确定z?z(x,y)，求全微分dz.

.y ?(?1)?(dx?dy?dz) ， 整理得 dz??dx?d解：两边同取微分 dx?dy?dz?e?(x?y?z)?x2?y2?z2?3x?014. （本题满分8分）求曲线? 在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.

?2x?3y?5z?4?0?dy9dydz???dx2x?2y??2z??3?4(1,1,1)??dxdx解：两边同时关于x求导?，解得?，

7?2?3dy?5dz?0?dz????dx(1,1,1)dxdx?4?91x?1y?1z?1??所以切向量为：T?{1,,?}， 切线方程为： ；

1616169?1法平面方程为：16(x?1)?9(y?1)?(z?1)?0，即16x?9y?z?24?0.

15.（本题满分8分）求幂级数

?(2n?1)xn?0?n的和函数.

n解：求得此幂级数的收敛域为(?1,1)，

?(2n?1)xn?0n?1???2nx?nn?0??xn?0?n，

?2nxn?0?n?2x?nxn?1?x?n?1，设A(x)??n?nxn?1?，则

?

x01x?x???, A(x)dx???nxdx??x?,(?1?x?1);?A(x)???201?x(1?x)1?x??n?1n?1n?12

即

??2nxn?2xA(x)?n?0n?nn?0?2x， 2(1?x)??(2n?1)x??2nx?n?0?xn?n?0?2x11?x??,(?1?x?1). 22(1?x)1?x(1?x)216.（本题满分6分）计算I?的有限部分. 解：I???(x?y?z)dS，其中?为曲面y?z?5被柱面x??y2?25所截下

??(x?y?z)dS???(x?5)dS

?????xdS（?关于yoz平面对称，被积函数x是x的奇函数）?5??dS

???0?5??dS?52?x2?y2?25??dxdy?52?25??1252?.

17.（本题满分8分）计算积分I??L2(2x2?4xy)d?x(2x?2y)，d其y中L为曲线

355(x?)2?(y?)2?上从点A(1,1)到B(2,4)沿逆时针方向的一段有向弧.

222?Q?P解：，?积分与路径无关，选折线AC+CB为积分路径， ?4x??x?y?x?x,1?x?2?x?2,dx?0其中C(2,1)，AC:?,CB:?.

y?1,dy?0y?y,1?y?4???I??(2x2?4xy)dx?(2x2?y2)dy

L??(2x2?4xy)dx?(2x2?y2)dy??(2x2?4xy)dx?(2x2?y2)dy

ACCB??(2x?4x)dx??(8?y2)dy?1122418.（本题满分8分）计算I????41. 3yzdydz?y(x2?z2)dzdx?xydxdy，?是由曲面4?y?x2?z2

与平面y?0围成的有界闭区域?的表面外侧. 解：P?yz,Q?y(x?z),R?xy,22?P?Q?R???x2?z2,由高斯公式， ?x?y?z?I????yzdydz?y(x2?z2)dzdx?xydxdy????(x2?z2)dxdydz

?z?cos??2（利用柱面坐标变换?x?sin?,则?:0???2?,0?r?2,0?y?4?r.）

?y?y?

2?24?r232???d??rdr?r2dy?. 0003x2y2z219.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面2?2?2?1的切平面，使切平面与三个坐标面所围

abc成的四面体体积最小，求切点坐标.

解：设切点坐标为(x0,y0,z0)，则切平面的法向量为{2x02y02z0,2,2}， 2abc 3

x0y0z0x0xy0yz0z(x?x)?(y?y)?(z?z)?0?2?2?1， ，即 000a2b2c2a2bc1a2b2c2则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为 V??，

6x0y0z0切平面方程为

xyz令 L(x0,y0,z0,?)?lnx0?lny0?lnz0??(02?02?02?1)

abc?12?x0?x?a2?0?0?12?y0??2?0babc?y0解方程组?，得x0?，y0?，z0?，

333?1?2?z0?0?z0c2?2y02z02?x0?2?2?12?bc?aabc,,). 故切点坐标为(33320. (本题满分6分)设f(x),g(x)均在[a,b]上连续，试证明柯西不等式：

222[?f2(x)dx][?g2(x)dx]?[?f(x)g(x)dx]2.

aaabbb证：设D:a?x?b,a?y?b.则 [?baf(x)dx][?g2(x)dx]???f2(x)g2(y)dxdy（D关于y?x对称）???f2(y)g2(x)dxdy

2abDD11?[??f2(x)g2(y)dxdy???f2(y)g2(x)dxdy]???[f2(x)g2(y)?f2(y)g2(x)]dxdy 2D2DD1???[2f(x)g(x)?f(y)g(y)]dxdy???[f(x)g(x)?f(y)g(y)]dxdy 2DD??f(x)g(x)dx?f(y)g(y)dy?[?f(x)g(x)dx]2.

aaabbb2008—2009学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案

一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.

1. 设三向量a,b,c满足关系式a?b?a?c，则（ D ）. （A）必有a?0; （B）必有b?c?0;

（C）当a?0时，必有b?c; （D）必有a??(b?c) （?为常数）. 2. 直线

x?3y?4z??与平面4x?2y?2z?3的关系是（ A ）. ?2?73（A）平行，但直线不在平面上; （B）直线在平面上；

（C）垂直相交; （D）相交但不垂直.

4

?5xy,(x,y)?(0,0)223. 二元函数f(x,y)??在点（0，0）处（ A ） ?x?y?0,(x,y)?(0,0)?(A) 不连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在

(C) 连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在

(x?ay)dx?ydy为某二元函数的全微分，则a?（ D ）. 2(x?y)（A）?1; （B）0; （C）1; （D）2.

4. 已知

5. 设f(u)是连续函数，平面区域D:?1?x?1,0?y?1?x2.，则（A）（C）

??D（ C ）. f(x2?y2)dxdy??10dx?1?x20f(x?y)dy; （B）?dy?02211?y20f(x2?y2)dx;

??0d??f(r2)rdr; （D）?d??f(r2)dr.

0001?16. 设a为常数，则级数

an(?1)(1?cos)（ B ）. ?nn?1?（A）发散 ; （B）绝对收敛; （C）条件收敛; （D）收敛性与a的值有关.

二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.

x2y2z2??，向量n?{1,1,1}，点P0(1,2,3)， 1. 设函数u(x,y,z)?1?61218?u3?. 则

3?nP02. 若函数f(x,y)?2x2?ax?xy2?2y在点(1,?1)处取得极值，则常数a??53. L为圆x?y?1的一周，则

22.

?L(x2?y2)ds?0.

?an?1?2，级数?anx2n?1的收敛半径为4. 设limn??an?1n2. 25. 设f(x)??x21e?ydy，则?xf(x)dx?0211?1(e?1). 46. 设f(x)是以2为周期的周期函数，它在区间(?1,1]上的定义为f(x)??则f(x)的以2为周期的傅里叶级数在x?1处收敛于三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）. 1.（本小题6分）设f(u)是可微函数，z?f(解题过程是：令u??2,?1?x?0?x,0?x?13，

3. 2y?z?z)，求x?2y.

?x?yxyy?z1?z?z?zf?(u)，?x?2y?0. ，则??2f?(u)，??x?yx?xx?y2xy1?xy222. （本小题6分）计算二重积分??，其中dxdyD?{x,y)x?y?1,x?0}. 221?x?yDxyxyy是奇函数，?解题过程是：D关于x轴对称，被积函数关于dxdy?0， 22??1?x2?y21?x?yD

5

?2u ?2xf1?2xy(x2f11?f12)?(x2f21?f22)

?x?y ?2xf1?2x3yf11?(2xy?x2)f12?f22 2．求函数z?3xy线方向的方向导数.

01?x?xT?(1,2)解：曲线L:?在点(1,2)处的切向量，T?(1,2) 2y?x?15?2?x?y在曲线y?x2?1上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向x轴正向的切

co?s?12 ,cos??55?z?z|(1,2)?(3y2?1)|(1,2)?11,|(1,2)?(6xy?1)|(1,2)?13 ?x?y函数在点（1,2）沿T?(1,2)方向的方向导数为

?z?T|(1,2)?1113?237 ??5553．计算

222其中(x?y)dxdy,D?{(x,y)x?y?4}. ??D2?02解

2??(x?y)dxdy?Dx2?y2?422??(x?y)dxdy?x2?y2?4??2xydxdy ??d??r3dr?0 = 8?

04. 设立体?由锥面z?x2?y2及半球面z?1?1?x2?y2围成.已知?上任一点?x,y,z?处的

密度与该点到xoy平面的距离成正比（比例系数为K?0），试求立体?的质量. 解：由题意知密度函数?(x,y,z)?k|z|

?0???2??? 法1：?： 0????4??0?r?2cos? 质量M=

????(x,y,z)dxdydz????k|z|dxdydz

?? ?k?2?0?d??d??402cos?0rcos?r2sin?dr ?7?k . 6 11

?D:x2?y2?1,?法2：?:? 2222??x?y?z?1?1?x?y

M?????(x,y,z)dxdydz????k|z|dxdydz ?k???1222?0d??10dr?1?1?r2rzrdz?7?k . 6法3：M?2???k|z|dxdydz??z?zdz??z?(1?(z?1))dz??017?k. 65．计算曲线积分I?(x?y)dx?(y?x)dy22C，其中是曲线x?y?1沿逆时针方向一周. 22?x?yC解：I?(x?y)dx?(y?x)dy?Q?P ?(?)dxd?y??[1?(?1)]dxdy?2? . ???1?x?yCx2?y2?1x2?y2?12222?xyzdydz?xydxdz?zxdxdy，其中为球面x?y?z?1的外侧． ???6. 计算第二类曲面积分解：利用高斯公式，

??xyzdydz??xydxdz?(zx2)dxdy????(yz?x?x2)dxdydz

?

?2(yz?x)dxdydz?x??????dxdydz?0???1222(x?y?z)dxdydz ???3??112?44?. ??d??d??rsin?dr?0030157．求幂级数

1nx的和函数 . ?n?1n?1?解:幂级数的收敛半径R?1，收敛域为[?1,1)

?

x?0时，

x?1n?1?xnxS(x)??x=??0xdx??0?xndx

n?1n?1n?1n?1 ?x?01?xdx??x?ln(1?x)

xln(1?x)???1? x?0时，S(0)?0， ?S(x)??x?0?四．证明题（本题4分）

x?[?1,0)?(0,1)x?0

ey证明下列不等式成立：??xdxdy??De，其中D?{(x,y)|x2?y2?1}.

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eyex证明：因为积分区域关于直线y?x对称， ??xdxdy???ydxdy

DeDeey1eyex ???xdxdy?（ dxdy???ydxdy）??x2DeDeDe1eyex1=??(x?y）dxdy???2dxdy?? 2Dee2五．应用题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为xoy坐标面，其底部所占的区域为

D?{(x,y):x2?y2?xy?75},小山的高度函数为h(x,y)?75?x2?y2?xy.

（1）设M(x0,y0)为区域D上一点，问h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为g(x0,y0)，试写出g(x0,y0)的表达式。

（2）现欲利用此小山举行攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说要在D的边界线x2?y2?xy?75上找使（1）中的g(x,y)达到最大值的点，试确定攀登起点的位置。

解：（1）由梯度的性质知，h(x,y)在点M(x0,y0)处

??沿梯度gradh(x0,y0)?(y0?2x0)i?(x0?2y0)j方向的方向导数值最大，

最大值为g(x0,y0)?gradh(x0,y0)?22(y0?2x0)2?(x0?2y0)2?5x0?5y0?8x0y0.

（2）令f(x,y)?g2(x,y)?5x2?5y2?8xy，则模型为

22??maxf(x,y)?5x?5y?8xy ?22?75?x?y?xy?0?约束条件： 做Lagrange函数L(x,y)?5x2?5y2?8xy??(75?x2?y2?xy)，得

?Lx??10x?8y??(y?2x)?0,?(1)??L?y?10y?8x??(x?2y)?0,?(2) ???75?x2?y2?xy?0.?(3)?L?(1)、(2)式相加可得(x?y)(2??)?0,?y??x,或??2.

若??2，由（）1?y?x，再由（）3?x??53,y??53. 若y??x，由(3)?x??5,y?5.

得4个可能极值点：M1(5,?5),M2(?5,5),M3(53,53),M4(?53,?53).

由于f(M1)?f(M2)?450,f(M3)?f(M4)?150, 故M1(5,?5)或M2(?5,5)可作为攀登的起点.

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