四川省绵阳市南山中学2016届高三上学期10月月考数学试卷（理科）

2015-2016学年四川省绵阳市南山中学高三（上）10月月考数学

试卷（理科）

一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．A．

2．已知全集U为整数集Z，若集合A={x|y=

，x∈Z}，B={x|x2+2x＞0，x∈Z}，则A∩

=( ) B．

C．

D．

（?UB）=( )

A．{2} B．{1} C．[﹣2，0] D．{﹣2，﹣1，0}

3．已知命题p：?x∈R，sinx≤1，则￢p为( )

A．?x∈R，sinx≥1 B．?x∈R，sinx≥1 C．?x∈R，sinx＞1 D．?x∈R，sinx＞1

4．“a+b＞0”是“任意的x∈[0，1]，ax+b＞0恒成立”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

5．函数f（x）=（x2﹣2x）ex的图象大致是( )

A． B． C．

D．

6．设、、是单位向量，且A．﹣2 B．

﹣2

，则

?

的最小值为( )

C．﹣1 D．1﹣

7．若实数x、y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是( )

A．10

B．11 C．13 D．14

（a+b），则a2+b2

8．已知函数f（x）=ln的最小值为( )

A．8 B．9 C．12

，若f（）+f（）+…f（）=

D．18

9．函数g（x）=log2x（x＞）关于x的方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0恰有三个不同的实数解，则实数m的取值范围为( ) A．（﹣∞，4﹣2）∪（4+2，+∞） B．（4﹣2C．（﹣，﹣） D．（﹣，﹣]

10．对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为M函数： （i） 对任意的x∈[0，1]，恒有f（x）≥0；

（ii） 当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立． 则下列四个函数中不是M函数的个数是( ) ①f（x）=x2②f（x）=x2+1

③f（x）=ln（x2+1）④f（x）=2x﹣1． A．1 B．2 C．3 D．4

二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．函数

的定义域是__________．

，4+2

）

12．若log4（3a+4b）=log2 13．

，则a+b的最小值是__________．

对定义域内的任意实数x都有

（其中△x表示自变量的改变量），则a的取值范围是

__________．

14．已知钝角α满足

，则

=__________．

15．给出下列四个命题： ①函数y=

为奇函数；

m+3）4）②若非零向量=（1，和=（m，夹角为锐角，则实数m的取值范围是③函数

的值域是（0，+∞）；

；

④若函数f（2x）的定义域为[1，2]，则函数f（2x）的定义域为[1，2]；

⑤函数y=lg（﹣x2+2x）的单调递增区间是（0，1]． 其中正确命题的序号是__________．（填上所有正确命题的序号）

三.解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.） 16．已知等差数列{an}满足a3=2，前3项和S3=．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a15，求{bn}前n项和Tn．

17．已知p：x2﹣12x+20＜0，q：x2﹣2x+1﹣a2＞0（a＞0），若?p的充分不必要条件是?q，求a的取值范围．

18．如图，为对某失事客轮AB进行有效援助，现分别在河岸MN选择两处C、D用强光柱进

B、C、D在同一平面内．∠ADN=105°，∠BDM=30°，行辅助照明，其中A、现测得CD长为100米，

∠ACN=45°，∠BCM=60°． （1）求△BCD的面积； （2）求船AB的长．

19．函数f（x）=Asin（ωx+?）（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

的部分图象如图所示．

（Ⅱ）已知函数值．

，，求g（x）的最值及其对应的x

20．（13分）已知函数

，且f′（﹣1）=0

（Ⅰ）试用含a的代数式表示b； （Ⅱ）求f（x）的单调区间；

（Ⅲ）令a=﹣1，设函数f（x）在x1，x2（x1＜x2）处取得极值，记点M（x1，f（x1）），N（x2，f（x2）），证明：线段MN与曲线f（x）存在异于M、N的公共点．

21．（14分）已知函数

和g（x）=m（x﹣1），m∈R．

（Ⅰ）m=1时，求方程f（x）=g（x）的实根； （Ⅱ）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤g（x）恒成立，求m的取值范围； （Ⅲ）求证：

．

2015-2016学年四川省绵阳市南山中学高三（上）10月月

考数学试卷（理科）

一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．A．

=( ) B．

C．

D．

【考点】运用诱导公式化简求值． 【专题】三角函数的求值．

【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【解答】解：sin

π=sin（4π+π﹣

）=sin（π﹣

）=sin

=．

故选C

【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．

2．已知全集U为整数集Z，若集合A={x|y=（?UB）=( )

A．{2} B．{1} C．[﹣2，0] D．{﹣2，﹣1，0} 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】集合．

，x∈Z}，B={x|x2+2x＞0，x∈Z}，则A∩

【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可． 【解答】解：由集合A={x|y=

，x∈Z}={x|x≤1且x∈Z}，

由集合B={x|x2+2x＞0，x∈Z}={x|x＞0或x＜﹣2，x∈Z}， 则?UB={x|﹣2≤x≤0，x∈Z}， ∴A∩（?UB）={﹣2，﹣1，0}． 故选：D．

【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，是解决本题的关键..

3．已知命题p：?x∈R，sinx≤1，则￢p为( )

A．?x∈R，sinx≥1 B．?x∈R，sinx≥1 C．?x∈R，sinx＞1 D．?x∈R，sinx＞1 【考点】命题的否定． 【专题】简易逻辑．

【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得命题的否定为?x∈R，使得sinx＞1 【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题可得， 命题p：?x∈R，sinx≤1，的否定是?x∈R，使得sinx＞1 故选：C

【点评】本题主要考查了全称命题与特称命题的之间的关系的应用，属于基础试题

4．“a+b＞0”是“任意的x∈[0，1]，ax+b＞0恒成立”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】简易逻辑．

【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：若任意的x∈[0，1]，ax+b＞0恒成立”，

则设f（x）=ax+b，则满足，

即a+b＞0，b＞0，

则“a+b＞0”是“任意的x∈[0，1]，ax+b＞0恒成立”的必要不充分条件， 故选：C

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数关系是解决本题的关键．

5．函数f（x）=（x2﹣2x）ex的图象大致是( )

A． B． C．

D．

【考点】函数的图象与图象变化． 【专题】数形结合．

【分析】本题是选择题，可采用排除法进行逐一排除，根据f（0）=0可知图象经过原点，以及根据导函数大于0时原函数单调递增，求出单调增区间，从而可以进行判定． 【解答】解：因为f（0）=（02﹣2×0）e0=0，排除C； 因为f'（x）=（x2﹣2）ex，解f'（x）＞0， 所以或时f（x）单调递增，排除B，D． 故选A．

【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数的图象等基础知识，考查了排除法，属于基础题．

6．设、、是单位向量，且A．﹣2 B．

﹣2

，则

?的最小值为( )

C．﹣1 D．1﹣

【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】压轴题．

【分析】由题意可得

cos

=，故要求的式子即

=1﹣

cos

﹣（）?+=1﹣

，再由余弦函数的值域

求出它的最小值．

【解答】解：∵、、 是单位向量，∴cos=1﹣

cos

?

≥

．

=

﹣（

，∴）?+

，=．

=0﹣（）?+1=1﹣

故选项为D

【点评】考查向量的运算法则；交换律、分配律但注意不满足结合律．

7．若实数x、y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是( )

A．10 B．11 C．13

D．14

【考点】简单线性规划．

【专题】不等式的解法及应用．

【分析】由约束条件作出可行域，分类化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

当x≥0时，z=|x|+2y化为y=﹣x+z，表示的是斜率为﹣，截距为的平行直线系， 当过点（1，5）时，直线在y轴上的截距最大，z最大，zmax=1+2×5=11； 当x＜0时，z=|x|+2y化为

，表示斜率为，截距为，的平行直线系，

当直线过点（﹣4，5）时直线在y轴上的截距最大，z最大，zmax=4+2×5=14． ∴z=|x|+2y的最大值是14． 故选：D．

【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

8．已知函数f（x）=ln的最小值为( ) A．8 B．9 C．12

，若f（

）+f（

）+…f（

）=

（a+b），则a2+b2

D．18 【考点】对数的运算性质． 【专题】函数的性质及应用．

f【分析】由已知函数解析式可得（=ln）=lnf，则由（+f）（）

+…f（）=

（a+b）求得a+b=6，然后利用基本不等式求得a2+b2的最小值．

，

【解答】解：∵f（x）=ln

∴f（）=ln=ln；

∴f（=ln（

）+f（）+…f（）=ln+ln+…+ln（a+b），

）=lne2014=2014=

∴a+b=6． 则a2+b2=

上式当且仅当a=b时“=”成立．

∴a2+b2的最小值为18． 故选：D．

【点评】本题考查对数的运算性质，考查了数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．

9．函数g（x）=log2x（x＞）关于x的方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0恰有三个不同的实数解，则实数m的取值范围为( ) A．（﹣∞，4﹣2）∪（4+2，+∞） B．（4﹣2C．（﹣，﹣） D．（﹣，﹣] 【考点】根的存在性及根的个数判断．

．

，4+2）

【专题】计算题；函数的性质及应用．

|2+m|g|+2m+3=0在x＞内有三个不同实数解可化为t2+mt+2m+3=0【分析】由题意|g（x）（x）有两个根，分别在（0，1），[1，+∞）上或在（0，1），{0}上；从而分别讨论即可． 【解答】∵g（x）=log2x在x＞上单调递增， ∴g（x）＞﹣1，令t=|g（x）|

故|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0在x＞内有三个不同实数解可化为

t2+mt+2m+3=0有两个根，分别在（0，1），[1，+∞）上或在（0，1），{0}上； 当若在（0，1），{0}上，则2m+3=0，则m=﹣； 故t=0或t=＞1， 不成立；

若在（0，1），{1}上， 则1+m+2m+3=0， 故m=﹣；

故t2+mt+2m+3=0的解为t=或t=1，成立； 若在（0，1），（1，+∞）上， 则△=m2﹣4（2m+3）＞0， f（1）=2m+3+m+1＜0； f（0）=2m+3＞0， 解得﹣＜m＜﹣； 故答案为：（﹣，﹣]；

故答案为D

【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题．

10．对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为M函数： （i） 对任意的x∈[0，1]，恒有f（x）≥0；

（ii） 当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立． 则下列四个函数中不是M函数的个数是( ) ①f（x）=x2②f（x）=x2+1

③f（x）=ln（x2+1）④f（x）=2x﹣1． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】函数与方程的综合运用． 【专题】函数的性质及应用．

【分析】利用已知条件函数的新定义，对四个选项逐一验证两个条件，判断即可． 【解答】解：（i）在[0，1]上，四个函数都满足；（ii）x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1；

对于①，

，

∴①满足； 对于②，

=

2x1x2﹣1＜0，∴②不满足． 对于③，

=

而x1≥0，x2≥0，∴∴对于④，

，∴

，∴，∴ ，

，∴③满足；

=

，∴④满足；

故选：A．

【点评】本题通过函数的运算与不等式的比较，另外也可以利用函数在定义域内的变化率、

函数图象的基本形式来获得答案，本题对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求．

二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．函数

的定义域是（﹣2，1]．

【考点】函数的定义域及其求法．

【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用． 【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域． 【解答】解：要使函数有意义，则即﹣2＜x≤1，

即函数的定义域为（﹣2，1]， 故答案为：（﹣2，1]．

【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．

12．若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是7+4． 【考点】基本不等式．

≥0，

【专题】不等式的解法及应用． 【分析】log4（3a+4b）=log2a+b=a+

=

，可得3a+4b=ab，a，b＞0.

＞0，解得a＞4．于是

+7，再利用基本不等式的性质即可得出．

，

【解答】解：∵log4（3a+4b）=log2∴

=

，

∴，

∴3a+4b=ab，a，b＞0． ∴a+b=a+

＞0，解得a＞4． =

+7≥7+

=

，当且仅当a=4+2

时取等号．

∴a+b的最小值是7+4．

故答案为：7+4．

【点评】本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题． 13．

对定义域内的任意实数x都有

（其中△x表示自变量的改变量），则a的取值范围是

．

【考点】极限及其运算；导数的概念．

【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用．

【分析】根据导数定义得出函数在定义域上单调递增，再由分段函数单调的条件列式计算． 【解答】解：根据导数定义，f'（x）=

所以，f（x）在定义域为单调递增，则f（x）在各分段都为增函数， ①当x≥0时，f（x）=ax2+1，要使函数递增，则a＞0， ②当x＜0时，f（x）=（a2﹣1）eax，要使函数递增，则综合①②得，a＞1， 又

f（x）≥

f（x），即1≥a2﹣1，解得a≤

]，

，

或

（舍），

，

所以，实数a的取值范围为（1，

故答案为：（1，]．

【点评】本题主要考查了导数的定义，以及运用导数与单调性间的关系，分段函数单调性的求解，属于中档题．

14．已知钝角α满足

【考点】两角和与差的正切函数． 【专题】三角函数的求值．

，则=﹣．

【分析】由两角差的正弦函数公式化简已知等式可得sin（α﹣（α﹣

），由同角三角函数关系式即可求得tan（α﹣

，

）=，

）=，结合角的范围可求cos

）的值．

【解答】解：∵钝角α满足∴

sinα﹣cosα=，即sin（α﹣≈53°或是127°，

∴α﹣

∵α为钝角，前面一种假设显然不成立， ∴α﹣

≈127°，

）=﹣，

∴cos（α﹣

∴则==﹣．

故答案为：﹣．

【点评】本题主要考查了两角差的正弦函数公式，同角三角函数关系式的应用，属于基本知

识的考查．

15．给出下列四个命题： ①函数y=

为奇函数；

m+3）4）②若非零向量=（1，和=（m，夹角为锐角，则实数m的取值范围是③函数

的值域是（0，+∞）；

；

④若函数f（2x）的定义域为[1，2]，则函数f（2x）的定义域为[1，2]；

⑤函数y=lg（﹣x2+2x）的单调递增区间是（0，1]． 其中正确命题的序号是①④⑤．（填上所有正确命题的序号） 【考点】命题的真假判断与应用．

【专题】转化思想；数学模型法；简易逻辑．

【分析】①由，解得﹣1≤x≤1，且x≠0，其定义域关于原点对称，函数

y==，又f（﹣x）=﹣f（x），即可判断出奇偶性；

=m+4（m+3）＞0，且m（m+3）

m+3）4）②若非零向量=（1，和=（m，夹角为锐角，则

≠4，解得m范围，即可判断出正误； ③由≠0，可得

≠1，即可得出函数

的值域；

④由函数f（2x）的定义域为[1，2]，可得1≤x≤2，2≤2x≤4，可得2≤2x≤4，解得x范围即可得出函数f（2x）的定义域；

⑤由﹣x2+2x＞0，解得0＜x＜2．利用对数函数、二次函数的单调性、复合函数的单调性的判定方法即可得出即可得出函数y=lg（﹣x2+2x）=lg[﹣（x﹣1）2+3]的单调递增区间． 【解答】解：①由

，解得﹣1≤x≤1，且x≠0，其定义域{x|﹣1≤x≤1，且x≠0}关于

原点对称，∴函数y==，又f（﹣x）==﹣f（x）

∴函数y=为奇函数，正确；

=m+4（m+3）＞0，且m（m+3）

m+3）4）②若非零向量=（1，和=（m，夹角为锐角，则≠4，解得③∵≠0，∴

，且m≠1．因此不正确； ≠1，函数

的值域是（0，1）∪（1，+∞），因此不正确；

④若函数f（2x）的定义域为[1，2]，∴1≤x≤2，2≤2x≤4，∴2≤2x≤4，解得1≤x≤2，则函数f（2x）

的定义域为[1，2]，正确；

⑤由﹣x2+2x＞0，解得0＜x＜2．函数y=lg（﹣x2+2x）=lg[﹣（x﹣1）2+3]的单调递增区间是（0，1]，正确．

其中正确命题的序号是 ①④⑤． 故答案为：①④⑤．

【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的单调性与奇偶性、向量夹角公式与数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

三.解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.） 16．已知等差数列{an}满足a3=2，前3项和S3=．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a15，求{bn}前n项和Tn． 【考点】等差数列与等比数列的综合． 【专题】等差数列与等比数列．

【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案； （Ⅱ）求出

，再求出等比数列的公比，由等比数列的前n项和公

式求得{bn}前n项和Tn． 【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件得：

，解得

．

代入等差数列的通项公式得：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

； ．

设{bn}的公比为q，则

，从而q=2，

故{bn}的前n项和

．

【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和，是中档题．

17．已知p：x2﹣12x+20＜0，q：x2﹣2x+1﹣a2＞0（a＞0），若?p的充分不必要条件是?q，求a的取值范围．

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】转化思想；数学模型法；简易逻辑．

【分析】利用一元二次不等式的解法可得：p与q，由于?q是?p的充分不必要条件，可得p是q的充分不必要条件即，p?q，即可得出．

【解答】解：由x2﹣12x+20＜0，解得2＜x＜10，∴p：{x|2＜x＜10}，

由x2﹣2x+1﹣a2＞0，解得x＜1﹣a或x＞1+a，∴q：{x|x＜1﹣a，或x＞1+a}， ∵?q是?p的充分不必要条件，∴p是q的充分不必要条件即，p?q， ∴1+a≤2，∴0＜a≤1．

【点评】本题考查了充要条件的判定、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．如图，为对某失事客轮AB进行有效援助，现分别在河岸MN选择两处C、D用强光柱进

B、C、D在同一平面内．∠ADN=105°，∠BDM=30°，行辅助照明，其中A、现测得CD长为100米，

∠ACN=45°，∠BCM=60°． （1）求△BCD的面积； （2）求船AB的长．

【考点】解三角形的实际应用． 【专题】解三角形．

【分析】（1）根据题意求得∠CBD，进而求得BC，BD，进而根据三角形面积公式求得答案．

（2）利用正弦定理求得AD，进而利用余弦定理分别求得BD，AB． 【解答】解：（1）由题，∠BDM=30°，∠ACN=45°，∠BCM=60°， 得∠CBD=30°， 所以BC=BD=100，

所以

（2）由题，∠ADC=75°，∠ACD=45°，∠BDA=45°， 在△ACD中，所以

在△BCD中，

，

，即

=平方米．

，

，

在△ABD中，

=

=，

即船长为米．

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．解题的重要步骤就是建立数学模型．

19．函数f（x）=Asin（ωx+?）（Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）已知函数值．

，

，求g（x）的最值及其对应的x

的部分图象如图所示．

【考点】正弦函数的图象．

【专题】数形结合；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质． 【分析】（Ⅰ）由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，根据特殊点的坐标求出A，可得函数的解析式．

（Ⅱ）由条件利用三角恒等变换化简g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）的最值及其对应的x值．

【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）=Asin（ωx+?）象， 可得T=2（

﹣

）=

，∴ω=2．

．

）．

的部分图

由五点法作图可得2?再根据Asin（Ⅱ）

+φ=π，求得?=

=1，求得A=2，故f（x）=2sin（2x+

=

=∵

∴当x=0时

，∴

；当

时

=

?

+sin2x+，∴

． =

=

． ．

【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．还考查了三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．

20．（13分）已知函数

，且f′（﹣1）=0

（Ⅰ）试用含a的代数式表示b； （Ⅱ）求f（x）的单调区间；

（Ⅲ）令a=﹣1，设函数f（x）在x1，x2（x1＜x2）处取得极值，记点M（x1，f（x1）），N（x2，f（x2）），证明：线段MN与曲线f（x）存在异于M、N的公共点．

【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算；利用导数研究函数的极值． 【专题】计算题；压轴题；分类讨论；反证法． 【分析】（Ⅰ）：已知f′（﹣1）=0，根据求导数的方法先求出f′（x），把x=﹣1代入得到关于a和b的等式解出b即可； （Ⅱ）：令f′（x）=0求出稳定点时x的值1﹣2a和﹣1，根据1﹣2a和﹣1的大、小、相等分三种情况讨论函数的增减性即可； （Ⅲ）：利用反证法，假设线段MN与曲线f（x）不存在异于M、N的公共点．推出函数不单调矛盾．原结论正确．

【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x2+2ax+b依题意，得f′（﹣1）=1﹣2a+b=0 故b=2a﹣1． （Ⅱ）由（a）得

故f′（x）=x2+2ax+2a﹣1=（x+1）（x+2a﹣1） 令f′（x）=0，则x=﹣1或x=1﹣2a 分情况讨论得：

当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下表： （﹣∞，1﹣ （1﹣2a， （﹣1，+∞） x ﹣1）2a） f′（x） + + ﹣ f（x） 单调递增 单调递减 单调递增 （1）当a＞1时，1﹣2a＜﹣1由此得，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，1﹣2a）和（﹣1，+∞），单调减区间为（1﹣2a，﹣1）．

（2）当a=1时，1﹣2a=﹣1．此时f′（x）≥0恒成立，且仅在x=﹣1处f′（x）=0故函数f（x）的单调增区间为R．

（3）当a＜1时，1﹣2a＞﹣1同理可得函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（1﹣2a，+∞）单调减区间为（﹣1，1﹣2a）．

（Ⅲ）假设线段MN与曲线f（x）不存在异于M、N的公共点． 当a=﹣1时，由（a）的b=2a﹣1=﹣3．f（x）=

﹣x2﹣3x就不在区间内单调与a＜﹣1单

调减矛盾．

所以假设错误．故线段MN与曲线f（x）存在异于M、N的公共点．

【点评】此题考查学生利用导数研究函数单调的方法，以及反证法的运用．

21．（14分）已知函数

和g（x）=m（x﹣1），m∈R．

（Ⅰ）m=1时，求方程f（x）=g（x）的实根；

（Ⅱ）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤g（x）恒成立，求m的取值范围； （Ⅲ）求证：

【考点】函数恒成立问题；函数的值．

【专题】分类讨论；数学模型法；函数的性质及应用．

．

【分析】（Ⅰ）代入m=1时，f（x）=g（x）即=（x﹣1），整理方程得，利

用导函数判断函数的单调性为递减函数，故最多有一个零点，而h（1）=0，故方程f（x）=g（x）有惟一的实根x=1；

+∞）fx）≤g（Ⅱ）对于任意的x∈[1，，（（x）恒成立，通过构造函数设

，

利用导函数判断函数的单调性，判断是否符合题意； 由（Ⅱ）知，当x＞1时，

时，，

，通过讨论m，

成立．结合题型，构造不妨令

得出，利用累加可得结论；

【解答】（Ⅰ）m=1时，f（x）=g（x）即∵x＞0，所以方程即为令

，则

，

=（x﹣1），

，

∴h（x）单调递减，

而h（1）=0，故方程f（x）=g（x）有惟一的实根x=1…4' （Ⅱ）对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤g（x）恒成立， ∴lnx≤m（x﹣）， 设

，即?x∈[1，+∞），F（x）≤0，

①若m≤0，则F'（x）＞0，F（x）≥F（1）=0，这与题设F（x）≤0矛盾

②若m＞0，方程﹣mx2+x﹣m=0的判别式△=1﹣4m2， 当△≤0，即

时，F'（x）≤0，

∴F（x）在（1，+∞）上单调递减， ∴F（x）≤F（1）=0，即不等式成立 当

时，方程﹣mx2+x﹣m=0有两正实根，设两根为x1，x2，

当x∈（1，x2），F'（x）＞0，F（x）单调递增，F（x）＞F（1）=0与题设矛盾， 综上所述，

．

…9' 时，，

成立．

所以，实数m的取值范围是（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当x＞1时，不妨令

所以，

累加可得

（n∈N*）．

取n=1007，即得．

【点评】考查了零点与单调性，利用导数判断恒成立问题，利用已证结论，构造函数解决实际问题．属于难题．

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