林永 毕业论文

闽南师范大学

毕业论文

浅谈数列在高中的教学与应用

姓 名： 林 永 学 号： 100401351 系 别： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2010级 指导老师: 黄韩亮 年 月 日

摘要

数列在数学史上占据着重要的地位，因为它在现实生活中有很强的实用性，也在数学的教学上有重要的作用。这是因为数列是特殊的函数，而且函数与方程、不等式、导数、解析几何等都有密切的联系。在新课标的背景下本文主要从数列的基本内容、数列在高考中的应用和数列的教学与建议三个方面进行阐述，使学生充分理解掌握数列，在数学的学习和考试中达到事半功倍的效果。

关键词：高考；数列；教学

Abstract

Keywords: The college entrance examination,A series of numbers arranged according to a certain rule, Teaching

I

目 录

摘要 ................................................................. I Abstract ............................................................................................................................... I 一、引言 .............................................................. 2

1.1问题的提出及意义 .............................................................................................. 2 二、中学数列内容概述 .................................................. 2

2.1在教材中的地位 .................................................................................................. 2 2.2数列的发展史 ...................................................................................................... 3

2.21等差数列的发展史 .................................................................................... 3 2.22等比数列的发展史 .................................................................................... 3 2.3数列的基本概念和表示方法 .............................................................................. 4

2.31数列的概念： ............................................................................................ 4 2.32数列的表示法： ........................................................................................ 4 2.4等差数列和等比数列性质的比较 ...................................................................... 4 三、高考中数列问题的解题策略 .......................................... 6

3.1数列概念的求解 .................................................................................................. 6 3.2求数列的通项公式 .............................................................................................. 7 3.3求数列的前项和 .................................................................................................. 7 3.4数列和函数的结合 .............................................................................................. 8 3.5.数列和不等关系的结合 ...................................................................................... 9 3.6数列和解析几何的结合 .................................................................................... 11 3.7数列和导数的综合 ............................................................................................ 12 四．高中数列的未来形势 ............................................... 13

4.1考察的主要思想 ................................................................................................ 13 4.2数列考察的重点 ................................................................................................ 13 4.3对数列教学的建议 ............................................................................................ 14

4.3.1.重视学生在数列学习中的体验 ............................................................. 14 4.3.2.注重数列部分基础知识的教学 ............................................................. 14 4.3.3.重视数列相关知识的形成过程 ............................................................. 14 4.3.4.重视数列知识在实际中的应用 ............................................................. 14 4.3.5.数列部分的教学可以采用多种教学设计 ............................................. 15 4.3.6.重视数列部分数学史知识的渗透 ......................................................... 15

五. 结束语 ........................................................... 15 参考文献: ............................................................ 16

致谢 ................................................................. 17

一、引言

1.1问题的提出及意义

著名的数学家H.F.Fehr说：“在未来十年中领导世界的国家将是科学知识、解释和运用领导作用的国家。整个科学的基础又是一个不断增加的数学知识系统。我们越来越多地用数学模型知道我们探索未知的世界。”并且荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔也指出“无论从历史的、发生的还是从系统的角度看，数的序列都是数学的基石。可以说，没有数的序列就没有数学。”所以数列在数学中有着极其重要的地位，我们更需要进一步了解数列。

在新课标的要求下，素质教育成为当今教学主要指导方式。但同时高考又是考查学生能否步入名牌大学的唯一依据。在高中的数学内容中数列一直都占有重要的地位，同时数列又是特殊的函数，所以在与方程、不等式和解析几何的内容中都有密切的联系，这更加体现了它是诸多知识的交汇点，这也更加符合高考命题者对题目要求知识全面，简化计算与充分体现通法的命题要求。同时，在这个经济高速发展的生活中，人们随处都能发现数列的踪影，比如数列和人口增长、储蓄、经济发展、分期付款等热门问题都紧密联系，所以能更好的发挥数学的使用性，并且能有效的培养学生的各种数学能力和数学思想。还有数列是离散知识在高中的具体表现，也是唯一贯穿中学和大学数学知识的主要通道，故学好数列有助于学生在继续学习大学数学知识做好基础，也能更好的应对通往象牙塔的考试[1]。还有新课标也指出“研究数列问题的文化背景，可以增加学生对数学科学与人类社会发展之间的相互作用的认识，让学生体会到数学的科学价值、应用价值、文化价值，开阔学生的视野，从而提高学生的文化素养，同时也能够激发学生的创新意识。”

二、中学数列内容概述

2.1在教材中的地位

在高中的数学课程安排上很多学生觉得是没有规律和顺序的，这是因为他们知识看到了表面现象，而很多知识点都是有内在互相贯穿和联系。在高中数学新课程标准指出，数学教材内容的编写是按照“螺旋上升”式原则编制的，因此人教版新课标数学必修五第二章《数列》的安排并不是突然的。由于在数列的概念和表示方法中提到“按照一定顺序排列的一组数称为数列”，我们可以知道其实在小学和初中的时候学生都已经接触过类似的题目，但是在这之前学生没有系统的学习这一类的知识，所以对它感觉相对比

较陌生，上了高中以后在数学的必修5第二章中数列以单独的形式体现出来可以看到它的重要性。还在选修的4-3中再次出现，更加说明他在中学教材的地位[2]。

在知识的结构上，数列是很多数学知识的交汇点，比如：数、不等式、函数和方程都与数列都有着紧密的联系；并且在数学思想方法方面，数列这部分内容中涉及到了函数与方程、等价转化、分类讨论、递推、归纳类比、整体代入、猜想、数学建模等重要的数学思想方法；在实际应用中，数列也扮演着非常重要的角色，如储蓄、分期付款、物品的堆放、人口增长等方面都有着重要的应用。另外，数列作为一种特殊的函数，是极限理论的基础，也是离散数学的范畴，学习数列可以为学生进一步学习高等数学打下基础。因此，在初等数学与高等数学的联系上，数列承担着承上启下的重要角色。

2.2数列的发展史

在数列发展的历史长河中等差数列和等比数列是最早上引起人们兴趣的两种数列，并且在新课标中占有重要地位的，这源于他的实用性和悠久的历史性。 2.21等差数列的发展史

在1858年苏格兰埃及学家莱茵得在埃及购买了一张时间属于公元前1650年的草纸。在纸上有记载着两个关于等差数列的问题，其中有一个问题是求等差数列的前n项和，并且在草纸的最后也给出了求和公式：Sn?na1??n－1??d，而另外一个问题是有2等差数列的前n项和求数列的通项公式an?a1??n－还在纸上给出了公差d的求法。1?d，所以相信这是在西方最早出现等差数列的出现的地方。

在中国早春秋与战国的时期的时候就出现了根据等差数列制成的铜环，并在约公元前2世纪的《周髀算经》书上也记载着“七衡图”也得出了等差数列的通项公式：

an?a1??n－1?d；同时经文献考究也在刘徽的“盈不足章”中也体现了等差数列的求和公式：Sn?n?a1?1?n－1?d?。 22.22等比数列的发展史

在数列的发展史上等比数列要比等差数列发现的早，因为在公元前3000年，巴比伦人就已经总结出等比数列2n－1的前10项和公式；在莱茵纸上同样也发现了等比数列

7n的求和公式Sn??1?sn－1??7的递推公式；在古希腊时期的欧几里得著作的《几何原本》

中确切的给出了等比数列a1，a2，a3，?，an且公比q?1的求和公式为：

列的通项公式与求和；（3）、数列的差分与高阶等差数列。接下来我们来分析一下这些内容的重要性，其中第三点是高中数学的选修内容，所以它的重要性远远没有前面两个知识点重要。接下是第一点，她主要涉及的是等差或等比数列的概念和性质，这在高考中是没有多少的立足点，因为高考中是将高中所有知识整合到一张只有21题试题的考卷上，而数列的概念和性质虽然是数列的基础，但是过于单调，所有没有什么可考性。最后我们来分析一下“数列的通项公式和求和”，在数列的综合应用题涉及面广，它常和函数，方程，不等式，解析几何等等知识进行融合（例如：2013福建卷第20题），并且可以进一步渗透到递归数列、迭代函数、数论之中，这使它的考点广泛，同时也很好的体现了新课标对学生的灵活性、多样性、全面性等方面的要求。故数列的通项公式与求和将会成为今后数列在高考中主要的考查重点。

4.3对数列教学的建议

对于新课标下的数列教学，我们不仅要满足最基本的课本知识的传输，更要让学生对这些知识产生兴趣，而不是机械般的接受教师强制给予，更要变成学生主动去获数列的知识。并且培养学生独立思考的能力和研究精神，这样有助于学生更好的学习。想要实现这一变化需要从几个方面对教学进行改变[10]： 4.3.1.重视学生在数列学习中的体验

鉴于学生在知识和能力方面存在着明显的个体差异，他们对数学学习的体验也有差异，所以我们要注意学生学习数列的体验。不同的方式对他们对所学知识的掌握是不一样的。对于不同的学生用不同的方式，更有助于他们的更好的掌握数列知识。 4.3.2.注重数列部分基础知识的教学

基础知识是数列教学的灵魂所在，让学生完全掌握数列的基础知识，有助于学生进一步提高解答数列能力。同时也可以更加充分的区分等差数列和等比数列之间的差异于联系，提高解题效率。

4.3.3.重视数列相关知识的形成过程

我们的数学课堂不是单纯的数学知识的传授，更要在传授知识的过程中培养学生相应的数学能力。我们只有了解数列知识的形成过程，才能使学生产生浓厚的兴趣，达到主动的学习数列，研究数列。 4.3.4.重视数列知识在实际中的应用

现在的学术比较注重实用性，最早的数列的猜想来源也是来自实际中的应用的，所以在学习数列时，我们应当用理论指导实践。适当的去体现它的实用性能让学生更容易去掌握和理解，并在和其他知识点的结合中，题目的背景多数也是来自于实际。

4.3.5.数列部分的教学可以采用多种教学设计

我们在学习新的知识的时候，经常用到类比的思想，比如在等比数列的教学中我们可以用等差数列的知识进行类比，同时可以达到让学生印象深刻，更可以起到区分等差与等比数列的作用。或者也可以根据学生的情况设计更好的教学方法。 4.3.6.重视数列部分数学史知识的渗透

要让学生保持良好的兴趣，最好的方法就是通过让他们了解数学的辉煌历史，这样有助于提高学生的文化底蕴，明白数列知识的发展史，提高数列的应用意识，也提高了他们解决数列实际问题的能力。

本章主要通过剖析在新课标下跟高考对数列主要的考查思想，从而分析数列所考查的重点，并且给出对数列的教学建议。让学生可以更加有目的性的去学习数列，使教师能从新课标的要求和命题者的角度去教授和传输数列的知识。

五.结束语

数列的应用在教学一直都是高中数学教学的重点内容。学好数列的关键要明确数列的基本概念、主要思想和主要的考察方式。在学习数列的时候，要注意一下四点：第一要彻底明白数列的概念意思及特征，分析它所包含的代数意义和几何意义；第二是学会如何正确设立参数，求通项公式及求和公式；第三检验求和公式和通项公式是否适用整体数列；第四点是学会归纳与总结数列与函数、不等式、导数和解析几何等数学知识的联系级相关性质。做到具有清晰的解题思路、数列知识和规范的步骤，为解数列题目做好充分的准备。由于数列是高中数学知识的一个交汇点，所以数列的应用广泛，切在高考中不仅在解答选择题、填空题中都占有一席之地，而且在解答题中也逐渐成为压轴题，故熟练掌握数列的知识可以在高考中起到事半功倍的效果。且数列也蕴含了丰富的数学思想，同时在近年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽视。因此我们应该重视数列的教学与应用。

参考文献:

[1].叶饶成．高中数学课程标准教师读本．[M]，武汉：华中师范大学出版社，2003：156，154，221，155，220．

[2].陈刚，尹光霞，新高考要求下数列教学之我见[J]，考试，2009，(7，8). [3].孟祖国．高中数列的有效教学研究[D]．武汉：华中师范大学，2011．

[4].张雄，李德虎．数学方法论与解题研究[M]．北京：高等教育出版社，2003：51． [5].李敬贤．高中数学教学中培养学生推理论证能力的研究[D]．武汉：华中师范大学，2008． [6].王新星，例谈高考数列中的不等式证明[J]．高中数学教与学，2009(4)：23． [7].陈子杏，浅谈数列中的几个问题[J]，新课程，2008，(8).

[8].孟祥亚，数列教学中数学思想方法的挖掘与渗透[J]，中学数学研究，2003. [9].韩相河，《数列》的教学设计[J]，中学数学杂志，2008，(7).

[10].林廷，对数学课堂教学有效性的几点思考[J]，数学通讯，2008，(13) .

致谢

在我论文的选题、开题到成文全过程，得到导师黄韩亮老师的悉心指导，特此感谢，同时也非常感谢闽南师范大学的全体任课教师给予我的支持和帮助。尤其感谢数学与信息科学系黄韩亮老师，为我的论文提供教学案例。

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