欧式几何
更新时间:2024-03-03 22:57:01 阅读量: 综合文库 文档下载
欧式几何
932年,德国数学家希尔伯特终于出来宣布:“根据平行公理之外的公理来证明平行公理的尝试已经有两千多年(直到20世纪初),始终未获成功。双曲几何(非欧几何)模型的发现,揭露出这种证明的不可能性”(《直观几何》)。 一.第五公设,两千年来被公认的无法证明的公设。
欧几里得第五公设,也称为平行公设(parallel postulate),因是《几何原本》五条公设的第五条而得名。这是欧几里得几何一条与别不同的公理,比前四条复杂。公设是说: 如果一条直线与两条直线相交,在某一侧的内角和小于两直角,那么这两条直线在不断延伸后,会在内角和小于两直角的一侧相交。
其被称为不可证明。原因有二。
(一)。因为他与平行公设等价。任何与平行线有关的证明方法与他无关。
Playfair 公理。平行公设。给定一条直线,通过此直线外的任何一点,有且只有一条直线与之平行。于是很多我们熟悉的命题都对他无效。
如:三角形内角和为两直角。 所有三角形的内角和都相等。 存在一对相似但不全等的三角形。 所有三角形都有外接圆。. 若四边形三个内角是直角,那么第四个内角也是直角。 存在一对等距的直线。 若两条直线都平行于第三条,那么这两条直线也平行。 三角形内角和为180度。
总而言之,他对一切与平行有关的定理“免疫”
(二)。它是欧几里得几何的五条基本公设之一,十大公理之一。除了其余的九条,我们不能用其他的“几何”结论去证明此公设。 欧式几何的五条公设是:
1、任意两个点可以通过一条直线连接。 2、任意线段能无限延伸成一条直线。 3、给定任意线段,可以以其一个端点作为圆心,该线段作为半径作一个圆。 4、所有直角都全等。 5、若两条直线都与第三条直线相交,并且在同一边的内角之和小于两个直角,则这两条直线在这一边必定相交。
欧式几何的五条公理是:
1、等于同量的量彼此相等。 2、等量加等量,其和仍相等。 3、等量减等量,其差仍相等。 4、彼此能够重合的物体是全等的。 5、整体大于部分。 二.证明方法:
好了我们的限制条件已经很清楚了。不能用平行,不能用上层结论证明此公设。 那么,我们开始吧。
首先,我们做任意三角形⊿ABC。如图
图中。
三角形面积X。∠a=∠a′ ∠b=∠b′ ∠c=∠c′
直线L1的长度=(射线CA的长度+射线AC的长度-线段AC的长度) 直线L2的长度=(射线CB的长度+射线BC的长度-线段BC的长度) 直线L3的长度=(射线BA的长度+射线AB的长度-线段AB的长度)
1=(射线CA的长度+射线AC的长度-线段AC的长度)/(直线L1的长度) 1=(射线CB的长度+射线BC的长度-线段BC的长度)/(直线L2的长度) 1=(射线BA的长度+射线AB的长度-线段AB的长度)/(直线L3的长度)
1=(射线CA的长度+射线AC的长度)/(直线L1的长度)-(线段AC的长度)/(直线L1的长度)
1=(射线CB的长度+射线BC的长度)/(直线L2的长度)-(线段BC的长度)/(直线L2的长度)
1=(射线BA的长度+射线AB的长度)/(直线L3的长度)-(线段AB的长度)/(直线L3的长度)
(呵呵,大家是不是已经猜出来我要干什么了?)
由第二公设可知,线段是直线的一部分。线段为有限量。直线为无限量。(第二公设,任意线段能无限延伸成一条直线。) 由第五公理可知,直线大于线段。(第五公理,整体大于部分。)
当直线的长度趋近于无穷大时,射线的长度也趋近与无穷大,而线段的长度依然是有限值。则当直线趋近无穷大的时候,其中有限的一部分线段长度可以近似看作0。
(AB,BC,AC为线段,长度有限。L1,L2,L3为直线。长度无限。我们把L1,L2,L3无限拉长。则三角形的三条边线段AB,BC,AC作为直线的一部分,其在直线中所占的比例将被
无限缩小。)
直到当我们离平面无限远时,我们可以得到下图。
此时我们的⊿ABC的相对面积X近似于零,而⊿ABC的A,B,C三点近似聚焦变成了点O。
2∠a′+ 2∠ b′+ 2∠c′=360° ∠a′+ ∠ b′+ ∠c′=180° ∠a + ∠ b+ ∠c =180°
从而证明三角形内角和为180°
于是我们可以看到第五公设可以转化为。
在一个平面内,若两条直线都与第三条直线相交,并且在同一边的内角之和小于小于180°(两个直角),则这两条直线在这一边必定构成一个三角形(相交)。 证明完毕。
首先,我没有用任何有关平行的概念,其次我也没有用任何有关几何体系中的上层概念。突破点仅仅只是无限与有限的概念在几何中的一种运用。 如果非要说我的证明是错的,那我也无话可说。
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