错解剖析得真知数学必修五错题集

错解剖析得真知（九）

3.3三角函数的恒等变换

一、知识导学

1.两角和、差、倍、半公式

（1） 两角和与差的三角函数公式

（2） 二倍角公式

（3） 半角公式

， ，

2.恒等变形主要是运用三角公式对式子进行等价变形，常见于化简求值和恒等式证明.恒等式证明就是利用公式消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，使左右相等，常用方法为：（1）从一边开始证得它等于另一边，一般由繁到简；（2）证明左右两边都等于同一个式子（或数值）.

二、疑难知识导析 1．两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函数的运算规律，常用于解决求值、化简和证明题.

2．倍角公式的内涵是揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律.如

成立的条件是“

“倍数”关系上.

是任意角，

的2倍角”，精髓体现在角的

3．公式使用过程中（1）要注意观察差异，寻找联系，实现转化，要熟悉公式的正用逆用和变形使用，也要注意公式成立的条件.例

、

、

4． 三角公式由角的拆、凑很灵活.如

等.

、

、

，等，注意到倍角的相对性.

5．化为三角函数式，常见的思路为化“三同”即同名、同角、同次，切割化弦、特殊值与特殊角的三角函数互化等.

6. 三角恒等式的证明包括无条件恒等式和有条件恒等式

(1)无条件恒等式证明,要认真分析等式两边三角函数的特点,角度和函数关系,找出差异寻找突破口.

(2)有条件的等式证明,常常四寻找条件与需证式的区别与联系,对条件或须证式进行变形.采用消去法或基本量法等求证.

三、典型例题导讲

[例1] 在?ABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA= A． B． C．错解：C

错因：求角C有两解后未代入检验. 正解：A

[例2] 已知tan? tan?是方程x+3 A． B．或-错解：B.

错因：未能准确限制角的范围. 正解：D. [例3] 若

2

，则?C的大小应为( ) D．

或

或

x+4=0的两根，若?，??(- C．-或

)，则?+?=（ ）

D．-

，则对任意实数的取值为（ ）

A. 1 B. 区间（0，1） C. D. 不能确定

错解：C

错因：此题极易认为答案A最不可能，怎么能会与无关呢？其实这是我们忽略了一个隐含条件

，导致了错选为C或D.

正解：解法一 设点，则此点满足

解得或

即

选A

解法二：用赋值法， 令 同样有

选A

[例4] △ABC中，已知cosA=，sinB=，则cosC的值为（ ）

A. B. C.或 D.

错解：C

错因：是忽略对题中隐含条件的挖掘. 正解：A

[例5] 已知，（），则（A、 B、 C、 D、

错解：A 错因：是忽略，而解不出

正解：C

[例6]求值：=_______________

解：答

）

解法一

原式

解法二

[例7] 已知是第三象限的角，若等于（A. B. C. D.

解：选A. 解析：

）

[例8] 分析：对三角函数式化简的目标是： （1）次数尽可能低； （2）角尽可能少；

（3）三角函数名称尽可能统一； （4）项数尽可能少.

观察欲化简的式子发现：

（1）次数为2（有降次的可能）；

（2）涉及的角有α、β、2α、2β，（需要把2α化为α，2β化为β）； （3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）；

（4）共有3项（需要减少），由于侧重角度不同，出发点不同，本题化简方法不止一种. 解法一：（复角→单角，从“角”入手）

原式

解法二： （从“名”入手，异名化同名）

解法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次）

解法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）

点评：在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法.

四、典型习题导练

1.已知集合M=，N=则MUN等于

（ ）

A．M B.N C.ф D.

2.若sinα+cosα=

,则tanα+cotα=( )

A.1 B.2 C.-1 D.-2

3.已知＜α＜л＜,sinα=,则cos的值为( )

A.或- B.- C. D.以上都不对

4.已知θ=,则= . 5.计算sinsin= . 6．已知tanA·tanB=tanA+tanB+1，则cos(A+B)的值是（ ）

A． B． C． D．

7．求值：__________

8.函数的最小值为（ ）

A.

B.

C. 0 D. 1

9．已知角A是△ABC的一个内角，且，则△ABC是（ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．形状不确定10.已知向量

（1）求

的值；

（2）若的值

）

3.4三角函数的图象与性质

一、知识导学

1.三角函数线.设角的终边与单位圆交于点，过点

，过点

做

轴于

做单位圆的切线，与角的终边或终边的反向延长线相交于

分别叫做角的正弦线，余弦线，正切线.

点，则有向线段 2.三角函数的图象 （1）

四种图象

（2）函数

①“五点作图法” ②图象变化规律

的图象

3.三角函数的定义域、值域及周期 4.三角函数的奇偶性和单调性

二、疑难知识导析

1.

+

中，

及，对正弦函数

图

象的影响，应记住图象变换是对自变量而言.

如：向右平移

个单位，应得，而不是

2.用“五点法”作图时，将看作整体，

取，来求相应的值及对应的值，再描点作图.

3.图形.而

的图象既是中心对称图形，又是轴对称

图象只是中心对称图形，掌握对称中心和对称轴的求法及位

的各个参数.

置特征，充分利用特征求出中

4.三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提.求定义域实质上是解简单

的三角不等式（组）.要考虑到分母不为零，偶次根式被开方数不小于零，对数的真数大于零、底数大于零且不等于1，同时还要考虑到函数本身的定义域.可用三角函数图象或三角函数线解不等式（组）. 5.求三角函数的值域是常见题型.一类是

型，这要变形成

；二是含有三角函数复合函数，可利用换元、配方等

方法转换成一元二次函数在定区间上的值域. 6.

单调性的确定，基本方法是将

看作整

体，如求增区间可由

系数为负数，通常先通过诱导公式处理.

解出的范围.若的

7.利用单调性比较函数值的大小.往往先利用对称型或周期性转化成同一单调区间上的两个同名函数.

三、典型例题导讲

[例1] 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）

A 向右平移错解：A

B 向右平移 C 向左平移 D向左平移

错因：审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误. 正解：B

[例2] 函数的最小正周期为( )

A B

错解：A

C D

错因：将函数解析式化为致出错. 正解：B

后得到周期,而忽视了定义域的限制,导

[例3]下列四个函数y=tan2x，y=cos2x，y=sin4x，y=cot(x+为中心对称的三角函数有（ ）个.

),其中以点(,0)

A．1 B．2 C．3 D．4 错解：B

错因：对三角函数图象的对称性和平移变换未能熟练掌握. 正解：D

[例4]函数为增函数的区间是 ( )

A. B. C. D.

错解：B

错因：不注意内函数的单调性. 正解： C [例5]函数

的最大值为__________.

解：

[例6] 函数的部分图象是（ ）

解：选D. 提示：显然

[例7] 当

A. 最大值为1，最小值为-1 B. 最大值为1，最小值为 C. 最大值为2，最小值为解：选D

D. 最大值为2，最小值为

解析：，而

[例8]已知定义在区间上的函数的图象关于直线

对称，当时，函数

，

其图象如图所示.

（1）求函数在的表达式；

（2）求方程的解.

解：（1）当观察图象易得：

时，函数

，即时，函数

，

，

由函数的图象关于直线对称得，时，

函数. ∴.

（2）当时，由得，

；

当时，由得，.

∴方程

的解集为

四、典型习题导练

1.函数的图象的一条对称轴方程是（ ）

A. B.

C.

D.

2.已知点

，

是函数上的两个不同点，且

试根据图象特征判定下列四个不等式的正确性：①

；③

；②

；④

是 .

.其中正确不等式的序号

3.

4.若常数α满足α的值.

＜1,求使函数f (x)=sin(x+α)+cos(x-α)为偶函数的

5．已知函数，

（1）当y取最大值时，求自变量x的集合； （2）该函数的图象可由y=sinx，得到？

的图象经过怎样的平移和伸缩变换

6.

求函数的最小值.

7．（06年高考浙江卷）如图，函数y=2sin(πx＋φ),x∈R,(其中0≤φ≤的图象与y轴交于点（0，1）.

)

(1)求φ的值；

(2)设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求

3.5解三角形及三角函数的应用

一、知识导学

1.解三角形的的常用定理: (1) 内角和定理:

结合诱导公式可减少角的个数.

(2) 正弦定理: （指△ABC外接圆的半径）

(3) 余弦定理: 及其变形.

(4) 勾股定理:

2.解三角形是指已知三角形中的部分元素运用边角的关系求得其他的边角的问题.

三角函数的应用是指用三角函数的理论解答生产、科研和日常生活中的实际应用问题.他的显著特点是（1）意义反映在三角形的边、角关系上，有直角三角形，也有斜三角形.（2）函数模型多种多样，有三角函数，有代数函数，有时一个问题中三角函数与代数函数并存.解三角函数应用题一般首先审题，三角函数应用题多以“文字语言，图形语言”并用的方式，要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路；其次，寻求变量之间

的关系，也即抽象出数学问题，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等方式来思考解决问题；再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到的是数学参数值；最后，按题目要求作出相应的部分问题的结论.

二、疑难知识导析

1.对各类定理的应用要注意使用其变形逆用.同时充分利用方程的思想知道其中的部分量可求出其他量.

2.三角函数的应用主要是图象和性质的应用.

3.三角形中元素关系的应用与实际问题中的应用关键是如何建立数模结构.

三、经典例题导讲

[例1]已知方程

（a为大于1的常数）的两根为

，

，

且、，则的值是_________________.

错解： 是方程的两个根

，

由===可得

错因：忽略了隐含限制导致错误.

是方程的两个负根，从而

正解： ，

是方程的两个负根

又 即

由

答案: -2 . [例2]在

===可得

中，已知，b，c是角A、B、C的对应边，则

①若，则在R上是增函数；

②若，则ABC是；

③的最小值为；

④若，则A=B；

⑤若，则，其中错误命题的序号是_____.

错解：③④⑤中未考虑错因：④中未检验. 正解：错误命题③⑤. ①

.

②.

③时最小值为.

显然.得不到最小值为.

④

或(舍) ，.

⑤

错误命题是③⑤.

[例3]函数f(x)=的值域为______________.

错解：

错因：令后忽视,从而

正解：

[例4] （06年高考江苏卷）

＝

【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值

解：

＝

＝

【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看”即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用. [例5] 在锐角△ABC中，A＜B＜C,且B=60°,

=,求证：a+

解：∵B=60° ∴A+C=120° cos(A+C)=-

又由已知= ∵锐角△ABC中，cosA＞0，cosC＞0，

∴cosAcosC= sinAsinC=

∴cos(C－A)= 即C－A=30°

∴A=45° B=60° C=75°

∴a+b=2R(sin45°+sin60°)=2·2R=2·2Rsin75°=2c

[例6]如图,在平面有点A、B、P、Q，其中APB与△PQB面积为S、T，求S2+T2的取值范围.

，设△

解：设∠BAP=α α∈[0,∠BQP=β,在△PAB,△PBQ中 由余弦定理cosβ=cosα-1

]

∴S2+T2＝(sinα)2+(sinβ)2

＝－(cos－)2+

∴当cosα=1时，S2+T2有最小值

当cosα=时，S+T有最大值

22

[例7]已知函数f(x)=sin(?x+?)，x?R，(其中?>0)的图象与x轴在原点右侧的第一个交点为N（6,0）,又f(2+x)=f(2－x),f(0)<0,求这个函数的解析式. 解：f(2+x)=f(2-x)

f(x)关于x=2对称，又x轴在原点右侧的第一个交点为N（6,0）

=6-2=4，即T=16，=.

将N（6,0）代入f(x)=sin(x+?)得：sin(+?)=0，

得：?=2k+或?=2k+(k?Z),

f(0)<0, ?=2k+(k?Z),满足条件的最小正数?=,

所求解析式f(x)=sin(x+).

[例8] 已知△ABC的周长为6，

（1）△ABC的面积S的最大值；

成等比数列，求

（2）的取值范围.

解 设依次为a，b，c，则a+b+c=6，b?=ac，

由余弦定理得,

故有，又从而

（1）所以，即

（2）所以

四、典型习题导练

，

1.在Rt△ABC中,C=90°,则sinAcos2(45°－)-sincos

A.有最大值和最小值0 B.有最大值但无最小值

C.即无最大值也无最小值 D.有最大值

但无最小值

2.要得到y=sin2x的图象,只需将y=cos(2x-)的图象 ( )

A.向右平移 B.向左平移 C.向右平移 D.向左平移

3．电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数

I=

是 安.

的图象如图所示，则当秒时，电流强度

4.在△ABC中,sin=,则△ABC的形状为 ．

5.直角三角形的周长为定值2l,则斜边的最小值是 .

6．如果方程x-4xcosθ+2=0与方程2x+4xsin2θ-1=0有一根，互为倒数求θ值， 其中0＜θ＜π.

2

2

7.已知一半径为1，圆心角为求该矩形的最大面积.

的扇形中，有一个一边在半经上的内接矩形ABCD，

8．在

求sinB的值.

错解剖析得真知（十一）

分别是角A、B、C的对边，设，

第四章 数列

§4.1等差数列的通项与求和

一、知识导学

1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.

2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，?，第n项，?.

3.通项公式：一般地，如果数列｛an｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列

6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.

7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．

8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝．我们把Ａ＝

叫做ａ和ｂ的等差中项．

二、疑难知识导析

1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，?，n｝)的函数.

2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.

3.数列｛an｝的前n项的和Sn与an之间的关系：an(n>2),则

不用分段形式表示，切不可不求a1而直接求an.

若a1适合

4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,

）均匀排列在一条直线上，由两点确定

一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.

5、对等差数列的前n项之和公式的理解：等差数列的前n项之和公式可变形为

，若令A＝，B＝a1－，则

＝An+Bn.

2

6、在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，

三、经典例题导讲

，n中任意三个，可求其余两个。

[例1]已知数列1，4，7，10，?，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+?+（3n－5）是该数列的前几项之和. 错解：（1）an=3n+7;

(2) 1+4+?+（3n－5）是该数列的前n项之和.

错因：误把最后一项（含n的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a1=10不是它的通项. 正解：（1）an=3n－2;

(2) 1+4+?+（3n－5）是该数列的前n－1项的和. [例2] 已知数列求数列错解： ① ②

的前n项之和为①

②

1,显然3n+7

的通项公式。

错因：在对数列概念的理解上，仅注意了an＝Sn－Sn-1与的关系，没注意a1=S1. 正解： ①当 当 经检验 ②当 当

时，时，

时 时，时，

也适合，

∴ [例3] 已知等差数列错解：S30= S10·2d.

的前n项之和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于 。

d＝30， S40= S30+d =100.

错因：将等差数列中Sm, S2m －Sm, S3m －S2m成等差数列误解为Sm, S2m, S3m成等差数列.

正解：由题意：得

代入得S40 ＝。

[例4]等差数列、的前n项和为Sn、Tn.若求；

错解：因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故由题意令an=7n+1;bn=4n+27.

错因：误认为

正解：

[例5]已知一个等差数列错解：由an0得n5

前5项为非负，从第6项起为负， Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n5)

的通项公式an=25－5n，求数列

的前n项和；

当n6时，Sn=｜a6｜+｜a7｜+｜a8｜+?+｜an｜＝

Sn=

错因：一、把n5理解为n=5，二、把“前n项和”误认为“从n6起”的和.

正解：

[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220， 由此可以确定求其前项和的公式吗？ 解：理由如下：由题设：

得：

∴

[例7]已知： （） （1） 问前多少项之和为

最 大？（2）前多少项之和的绝对值最小？

解：（1）

∴

（2） 当

近于0时其和绝对值最小

令： 即 1024+

得： ∵ [例8]项数是数列的和

∴

是方程

的两根，求证此的根。（

）

的等差数列，中间两项为是方程

证明：依题意

∵ ∵

∴

四、典型习题导练 1．已知

∴

∴

（获证）。

，求及。

2．设，求证：。

3.求和: 4.求和： 5.已知

依次成等差数列，求证：

中，

，则

依次成等差数列. （ ）。

6.在等差数列

A．72 B．60 C．48 D．36 7. 已知

是等差数列，且满足

，则

等于________。

8.已知数列

成等差数列，且，求的值。

§4.2等比数列的通项与求和

一、知识导学

1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于 同 一个 常 数，那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示．

2. 等比中项：若ａ，Ｇ，ｂ成等比数列，则称Ｇ 为ａ 和ｂ 的等比中项．

3.等比数列的前n项和公式：

二、疑难知识导析

1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不为0.

2.对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒. 3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从. 第2项或第3项起是一个等比数列.

n-1

4.在已知等比数列的a1和q的前提下，利用通项公式an=a1q,可求出等比数列中的任一项.

n-m

5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用an=amq可求等比数列中任意一项.

6.等比数列｛an｝的通项公式an=a1q可改写为

n-1

.当q>0，且q1时，y=q

x

是一个指数函数，而是一个不为0 的常数与指数函数的积，因此等比数列｛an｝

的图象是函数

的图象上的一群孤立的点.

，n中任意三个，可求其余两个。

7．在解决等比数列问题时，如已知，a1，an，d，

三、经典例题导讲 [例1] 已知数列A.等差数列 B.等比数列

C.既不是等差数列，也不是等比数列 D.既是等差数列，又是等比数列 错解：

的前n项之和Sn=aq（

n

为非零常数），则为（ ）。

（常数） 为等比数列，即B。

错因：忽略了

正解：当n＝1时，a1=S1＝aq; 当n>1时，

中隐含条件n＞1.

（常数）

但

既不是等差数列，也不是等比数列，选C。

[例2] 已知等比数列错解：S30= S10·q .

2

的前n项和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于. q ＝7，q＝

2

， S40= S30·q =.

错因：是将等比数列中Sm, S2m －Sm, S3m －S2m成等比数列误解为Sm, S2m, S3m成等比数列.

正解：由题意：得，

S40=

[例3] 求和：a+a+a+?+a.

2

3

n

.

错解： a+a+a+?+a＝

n

23n

.

错因：是（1）数列｛a｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n项和公式（2）用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1. 正解：当a＝0时，a+a+a+?+a＝0;

当a＝1时，a+a+a+?+a＝n;

2

3

n

2

3

n

当a1时， a+a+a+?+a＝

均为非零实数，

23n

.

，

。

[例4]设 求证：证明： 证法一：关于

∴ 则必有：

成等比数列且公比为

的二次方程

，∴

，即，

，∴非零实数代入

，即

，即

。

有实根，

成等比数列

设公比为，则 ∵证法二：∵

∴ ∴

，∴

，且

∵[例5]在等比数列 解： ∵

非零，∴

中，

。

，求该数列前7项之积。

，∴前七项之积

[例6]求数列前n项和

解： ①

②

两式相减：

[例7]从盛有质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg盐水，然后再加入1kg水，

问：(1)第5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg？

(2)经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的

质量分数为多少？

解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{an}，则：

a1= 0.2 （kg）, a2=×0.2（kg）, a3= ()×0.2（kg）

2

由此可见：an= (

)?×0.2（kg）, a5= (

n1)?×0.2= (

51

)×0.2=0.0125（kg）。

4

(2)由(1)得{an}是等比数列 a1=0.2 , q=

答：第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.0125kg；6次倒出后，一共倒出0.39375kg

盐，此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。

四、典型习题导练

1.求下列各等比数列的通项公式：

1) a1=?2, a3=?8

2) a1=5, 且2an+1=?3an

3) a1=5, 且

2.在等比数列

，已知

，

，求，

.

3.已知无穷数列

求证：（1）这个数列成等比数列

（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的，

（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。 4.设数列

为

求此数列前项的和。

5.已知数列{an}中，a1=?2且an+1=Sn，求an ,Sn

6.是否存在数列{an}，其前项和Sn组成的数列{Sn}也是等比数列，且公比相同？ 7.在等比数列

中，

，求的范围。

错解剖析得真知（十二）

§4.3数列的综合应用

一、知识导学

1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.

2. 应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（1）阅读理解材料，且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求Sn还是求an.一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公式．若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1就是公比q.

二、疑难知识导析

1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，

转化为解不等式解决；

2.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想；

3.等差数列中, am=an+ (n－m)d, 4.当m+n=p+q（m、n、p、q∈

; 等比数列中，an=amq;

n-m

）时，对等差数列｛an｝有：am+an=ap+aq；对等比数列

｛an｝有：aman=apaq；

5.若{an}、{bn}是等差数列，则{kan+bbn}(k、b是非零常数)是等差数列；若{an}、{bn}是等比数列，则｛kan｝、{anbn}等也是等比数列；

6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9?）仍是等差（或等比）数列；

7.对等差数列｛an｝,当项数为2n时，S偶-S奇＝nd；项数为2n－1时，S奇－S偶＝a中（n∈

）；

8.若一阶线性递推数列an=kan－1+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:

三、经典例题导讲 [例1]设

是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和.证明：

(n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式.

。

错解：欲证

只需证＞2

即证：＞

＜

由对数函数的单调性，只需证

－

＝－

＝

＜

原不等式成立.

错因：在利用等比数列前n项和公式时，忽视了q＝1的情况.

正解：欲证

只需证＞2

即证：＞

＜

由对数函数的单调性，只需证由已知数列

>0,若则若

, , －

＝

是由正数组成的等比数列， .

＝－＜0；

－＝

＝－

＜

原不等式成立.

[例2] 一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回至原高度的一半落下，当它第10次着地时，共经过了多少米？（精确到1米）

错解：因球 每次着地后又跳回至原高度的一半，从而每次着地之间经过的路程形

成了一公比为的等比数列，又第一次着地时经过了100米，故当它第10次着地时，

共经过的路程应为前10项之和.

即＝199（米）

错因：忽视了球落地一次的路程有往有返的情况.

正解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过

了＝100（米）?因此到球第10次着地时共经过的路程为

＝

答：共经过300米。

300（米）

[例3] 一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为多少？ 错解：

年利率不变，每年到期时的钱数形成一等比数列，那18年时取出的钱数应为以a

18

为首项，公比为1+r的等比数列的第19项，即a19=a(1+r).

错因：只考虑了孩子出生时存入的a元到18年时的本息，而题目要求是每年都要存入a元. 正解：不妨从每年存入的a元到18年时产生的本息入手考虑，出生时的a元到18年时变为

18

a(1+r)，

17

1岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)，

16

2岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)，

??

1

17岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)，

18171

a(1+r)+ a(1+r)+ ?+ a(1+r)

＝

＝

答：取出的钱的总数为。

[例4]求数列的前n项和。

解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则

当时，

当时，

[例5]求数列前n项和

解：设数列的通项为bn，则

[例6]设等差数列{an}的前n项和为Sn，且

求数列{an}的前n项和

，

解：取n =1，则

又由 可得：

[例7]大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设在第k层的临时会议室开会，问

k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长

相等）

解：设相邻两层楼梯长为a，则

当n为奇数时，取 S达到最小值

当n为偶数时，取

四、典型习题导练

S达到最大值 .

1．在［1000，2000］内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？

2．某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6 m，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m，求2000年底该城市人均住房面积为多少m？(精确到0.01)

2

2

2

3．已知数列中，是它的前项和，并且，

（1） 设，求证数列是等比数列；

（2） 设，求证数列是等差数列。

4.在△ABC中，三边成等差数列，也成等差数列，求证△ABC为正三角形。

5． 三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。 6. 已知

是一次函数，其图象过点

的值.

第五章 不等式

§5.1不等式的解法

一、知识导学

1. 一元一次不等式ax>b

，又

成等差数列，求

(1)当a>0时，解为

；

(2)当a＜0时，解为

；

(3)当a＝0，b≥0时无解；当a＝0，b＜0时，解为R．

2. 一元二次不等式：(如下表)其中a＞0，x1，x2是一元二次方程ax+bx+c=0的两实根，且x1＜x2 类型 解集 Δ＞0 2

ax+bx+c＞0 2ax+bx+c≥0 2ax+bx+c＜0 2ax+bx+c≤0 2{x｜x＜x1或x＞x2} {x｜x≤x1或x≥x2} {x｜x1＜x＜x2 ｛x｜x1≤x≤x2｝ Δ＝0 {x｜x≠-R} ，xR Ф ｛x｜x=-Φ ｝ Δ＜0 R R Φ 3.简单的一元高次不等式：可用区间法(或称根轴法)求解，其步骤是： ①将f(x)的最高次项的系数化为正数； ②将f(x)分解为若干个一次因式的积；

③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线； ④根据曲线显示出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集.

4.分式不等式：先整理成＞0或≥0的形式，转化为整式不等式求解，即：

＞0f(x)·g(x)＞0

≥0

然后用“根轴法”或化为不等式组求解. 二、疑难知识导析

1.不等式解法的基本思路

解不等式的过程，实质上是同解不等式逐步代换化简原不等式的过程，因而保持同解变形就成为解不等式应遵循的主要原则，实际上高中阶段所解的不等式最后都要转化为一元一次不等式或一元二次不等式，所以等价转化是解不等式的主要思路.代数化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路.为此，一要能熟练准确地解一元一次不等式和一元二次不等式，二要保证每步转化都要是等价变形.

2.不等式组的解集是本组各不等式解集的交集，所以在解不等式组时，先要解出本组内各不等式的解集，然后取其交集，在取交集时，一定要利用数轴，将本组内各不等式的解集在同一数轴上表示出来，注意同一不等式解的示意线要一样高，不要将一个不等式解集的两个或几个区间误看成是两个或几个不等式的解集.

3.集合的思想和方法在解不等式问题中有广泛的应用，其难点是区分何时取交集，何时取并集.解不等式的另一个难点是含字母系数的不等式求解—注意分类.

三、经典例题导讲

2

[例1] 如果kx+2kx－(k+2)<0恒成立，则实数k的取值范围是＿＿＿. A. －1≤k≤0 B. －1≤k<0 C. －1

错解：由题意：

解得：－1

2

错因：将kx+2kx－(k+2)<0看成了一定是一元二次不等式，忽略了k＝0的情况. 正解：当k＝0时，原不等式等价于－2＜0，显然恒成立， k＝0符合题意.

当k0时，由题意：

解得：－1

，故选C.

[例2] 命题＜3，命题＜0，若A是B的充分不必要条件，则的

取值范围是＿＿＿＿＿＿＿ A.

B.

C.

D.

错解：由｜x－1｜＜3得：－2＜x＜4，

又由（x＋2）(x＋a)=0得x=－2或x＝－a,

A是B的充分不必要条件,

x|－2＜x＜4－a>4故选D.

错因：忽略了a＝－4时，x|－2＜x＜4＝x|－2＜x＜－a，此时A是B的充要条件，不是充分不必要条件.

正解：由｜x－1｜＜3得：－2＜x＜4， 又由（x＋2）(x＋a)=0得x=－2或x＝－a,

A是B的充分不必要条件,

x|－2＜x＜4－a>4故选C.

[例3]已知f(x) = ax + ，若

求

的范围.

x|－2＜x＜－a x|－2＜x＜－a

错解： 由条件得

②×2－①

①×2－②得

+得

错因：采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数同时受是错误的.

，其值是

制约的.当取最大（小）值时，不一定取最大（小）值，因而整个解题思路

正解： 由题意有,

解得：

把

[例4] 解不等式（x+2）(x+3)(x－2)错解：

（x+2）

2

2

和的范围代入得

｝

原不等式可化为：(x+3)(x－2)

原不等式的解集为｛x| x －3或x

错因:忽视了“”的含义，机械的将等式的运算性质套用到不等式运算中. 正解：原不等式可化为：（x+2）(x+3)(x－2)

解①得：x=－3或x＝－2或x＝2 解②得：x＜ －3或x＞2

原不等式的解集为｛x| x －3或x

[例5] 解关于x的不等式解：将原不等式展开，整理得：

或x

｝

2

①或（x+2）(x+3)(x－2)

2

②，

讨论：当

当

时，时，若

≥0时

；若

<0时

当时，

点评：在解一次不等式时，要讨论一次项系数的符号.

[例6]关于x的不等式求关于x的不等式解：由题设知

，且

的解集为的解集． 是方程

的两根

∴，

从而 可以变形为

即： ∴

点评：二次不等式的解集与二次方程的根之间的联系是解本题的关健，这也体现了方程思想在解题中的简单应用.

[例7]（06年高考江苏卷）不等式

的解集为

解：∵，∴0＜，∴

∴解得

反思：在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和1比较大小；(2)找中间量,往往是1,在这些数中,有的比1大,有的比1小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法,画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等.

四、典型习题导练

1.解不等式2. 解不等式 3.解不等式 4. 解不等式

5.解不等式

6.k为何值时，下式恒成立：7. 解不等式8. 解不等式

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