人教版八年级数学下册教案集(精品)

第一十六章二次根式

教材分析：

1．本单元教学的主要内容：

二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．

学情分析：

新学期，根据八年级的实际，首先是先摸清底子，稳住学生，然后根据学生学情分布情况，重新划分学习小组，对新转班过来的学生，做好各方面的工作，使他们迅速适应新环境，然后，尽快帮他们找到新的学习榜样和新学伴，帮他们树立竞争意识和发展意识以及创新意识，鼓励大家在新学期，获得更大的进步，取得更大的发展。

教学目标：

1．知识与技能

（1）理解二次根式的概念．

（2

a≥0）是一个非负数，

2=a（a≥0）

（a≥0）．

（3

a≥0，b≥0）

；

a≥0，b>0）

（a≥0，b>0）．

（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．

2．过程与方法

（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算．

（3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．

3．情感、态度与价值观

通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．

教学重点

1

a≥0

（a≥0）是一个非负数；

2＝a（a≥0）

；

（a≥0）?及其运用．

2．二次根式乘除法的规定及其运用．

3．最简二次根式的概念．

4．二次根式的加减运算．

教学难点

1

a≥0

2＝a（a≥0

（a≥

0）的理解及应用．

2．二次根式的乘法、除法的条件限制．

3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．

教学关键

1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，?培养学生一丝不苟的科学精神．

单元课时划分

本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：

16．1 二次根式 3课时

16．2 二次根式的乘法 3课时

16．3 二次根式的加减 3课时

教学活动、习题课、小结 2课时

16．1 二次根式

教学内容

二次根式的概念及其运用

教学目标

知识与技能目标：

a≥0）的意义解答具体题目．

过程与方法目标：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．

情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．

教学重难点关键

1

a≥0）的式子叫做二次根式的概念；

2

a≥0）”解决具体问题．

教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；2、讲练结合法:在例题教学中，引导学生阅读，与平方根进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。

学法：1、类比的方法通过观察、类比，使学生感悟二次根式的模型，形成有效的学习策略。

2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。

3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。

4、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。

媒体设计：PPT课件，展台。

课时安排：1课时。

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：

问题1：已知反比例函数y=3

x

，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐标

是___________．

问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．

A

C

老师点评：

问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以

）．

问题2：由勾股定理得

二、探索新知

都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，

我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如（a≥0）?的式子叫做二次根式，

议一议：

1．-1有算术平方根吗？

2．0的算术平方根是多少？

3．当a<0

例1．下列式子，哪些是二次根式，

、

1

x

x>0）

、、

、

1

x y

+

（x≥0，y?≥0）．

分析

；第二，被开方数是正数或0．

x>0）

、

（x≥0，y≥0）；不是二次

1

x

1

x y

+

．

例2．当x

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，

才能有意义．

解：由3x-1≥0，得：x≥

1

3

当x≥

1

3

三、应用拓展

例3．当x

1

1

x+

在实数范围内有意义？

分析：

1

1

x+

在实数范围内有意义，

0和

1

1

x+

中的x+1≠0．

解：依题意，得

230

10

x

x

+≥

?

?

+≠

?

由①得：x≥-

3

2

由②得：x≠-1

当x≥-

3

2

且x≠-1

1

1

x+

在实数范围内有意义．

例4(1)已知

，求

x

y

的值．(答案:2)

(2)

，求a2004+b2004的值．(答案:

2

5

)

四、归纳小结

本节课要掌握：

1

a≥0）的式子叫做二次根式，

2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

五、布置作业

一、选择题

1．下列式子中，是二次根式的是（）

A．

B

D．x

2．下列式子中，不是二次根式的是（）

A

B

． D．

1

x

3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）

A．5 B

．

1

5

D．以上皆不对

二、填空题

1．形如________的式子叫做二次根式．

2．面积为a的正方形的边长为________．

3．负数________平方根．

三、综合提高题

1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，?底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？

2．当x

是多少时，

x

+x2在实数范围内有意义？

3

．

4.

x有（）个．

A．0 B．1 C．2 D．无数

5.已知a、b

=b+4，求a、b的值．

答案:

一、1．A 2．D 3．B二、1

a≥0） 2

．没有

三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：

2．依题意得：

230

x

x

+≥

?

?

≠

?

，

3

2

x

x

?

≥-

?

?

?≠

?

∴当x>-3

2

且x≠0

时，

x

＋x2在实数范围内没有意义．

3.1

3

4．B 5．a=5，b=-4

板书设计：

16.1 二次根式(2) 教学内容

1

a≥0）是一个非负数；

2

2=a（a≥0）．

教学目标

知识与技能目标：

a≥0

2=a（a≥0），并利用它们进行

计算和化简．

过程与方法目标：

a≥0）是一个非负

2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．

情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．

教学重难点关键

1

a≥0）是一个非负数；

2=a（a≥0）及其运用．

2

a≥0）是一个非负数；?用探究的方法导

2=a（a≥0）．

教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；2、讲练结合法:在例题教学中，引导学生阅读、类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。

学法：1、类比的方法

a≥0

2=a（a≥0），形成有效的学习策略。

2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。

3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。

4、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。

媒体设计：PPT课件，展台。

课时安排：1课时。

教学过程

一、复习引入

（学生活动）口答

1．什么叫二次根式？

2．当a ≥0

a<0

老师点评（略）．

二、探究新知

议一议：

a ≥0）是一个什么数呢？

老师点评：

做一做：根据算术平方根的意义填空：

2=_______；

2=_______；2=______

；2

=_______；

）2=______

；）2

=_______；

）2=_______．

是4是一个平方等于4

的）2

=4．

同理可得：

2=2，

2=9，2

=3，

）2=13，

）2=72，）2=0，所以

例1、 计算

1．

）2 2．（

2 3．

2 4．（2

）2 分析

2=a （a ≥0）的结论解题．

解：

）2

=32

，（2 =32

22=3225=45

，

2=56

，（2）2

=22724=．

三、巩固练习

计算下列各式的值：

2

）2

（4

）2

）2

（）2 22-

四、应用拓展例2、计算

1．

2（x≥0） 2．

2 3．

）2

4．

2

分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-222x23+32=（2x-3）2≥0．

所以上面的4

2=a（a≥0）的重要结论解题．

解：（1）因为x≥0，所以x+1>0

2=x+1

（2）∵a2≥0

2=a2

（3）∵a2+2a+1=（a+1）2

又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0

2+2a+1

（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-222x23+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0

∴4x2-12x+9≥0

2=4x2-12x+9

例3、在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 分析：(略)

五、归纳小结

本节课应掌握：

1

a≥0）是一个非负数；

2．

2=a（a≥0）;反之:a=

2（a≥0）．

六、布置作业一、选择题

1

、

，二次根式

的个数是（）．

A．4 B．3 C．2 D．1

2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）． A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0

二、填空题

1．（

2=________．

2

_______数．

三、综合提高题 1．计算

（1）

2（2）-

2（3）（

1

2

）2（4）（

）2

(5)

2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:

（1）5 （2）3.4 （3）1

6

（4）x（x≥0）

3

=0，求x y的值．

4．在实数范围内分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5

答案:一、1．B 2．C ；二、1．3 2．非负数；三、1．（1）

2=9 （2）-

2=-3 （3）（1

2

）2=

1

4

36=

3

2

；（4）（

）2=93

2

3

=6 (5)-6

2．（1）5=

2；（2）3.4=

2；（3）

1

6

=

2；（4）x=

）

2（x≥0）

3．

103

304

x y x

x y

-+==

??

??

-==

??

x y=34=81； 4.（1）x2-2=（

）（

）

（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（

）（

； (3)略

板书设计：

16.1 二次根式(3)

教学内容

a（a≥0）

教学目标

知识与技能目标：

（a≥0）并利用它进行计算和化简．

过程与方法目标：

（a≥0），并利用这个结论解决具体

问题．

情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．

教学重难点关键

1

a（a≥0）．

2．难点：探究结论．

3．关键：讲清a≥0

a才成立．

教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；2、讲练结合法:在例题教学中，引导学生阅读类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式

学法：1、类比的方法

a（a≥0），形成有效的学习策

略。

2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。

3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。

4、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。

媒体设计：PPT课件，展台。

课时安排：1课时。

教学过程:一、复习引入

1

a≥0）的式子叫做二次根式；

2

a≥0）是一个非负数；

3．

2＝a（a≥0）．

那么，我们猜想当a≥0

是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．

二、探究新知

填空：

；

=________

=________

．

（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：

1

10

=

2

3

；=0

=

3

7

．

例1

、化简

（1

（2

（3（4

分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42

，（3）25=52，

（4）（-3）2=32

（

a≥0）?去化简．

解：（1

（2

（3

（4

三、应用拓展

例2、

填空：当a≥0；当a<0

，?并根据这一性质回答下列问题．

（1

，则a可以是什么数？

（

2，则a可以是什么数？

（3

，则a可以是什么数？

分析

（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应

变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0-a≥0．（1）根据结论求条件；

（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）

│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．

解：（1

，所以a≥0；

（2，所以a≤0；

（3）因为当a≥0

，

，即使a>a所以a不存在；当a<0

，

，即使-a>a，a<0综上，a<0

例3、当x>2

分析：(略) 四、归纳小结

（a≥0）及其运用，同时理解当a<0

a的应用拓

展．

五、布置作业

一、选择题

1

）．

A．0 B．2

3

C．4

2

3

D．以上都不对

2．a≥0

比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）．

A

C

．

二、填空题

1．

=________．

2

m的最小值是________．

三、综合提高题

1．先化简再求值：当a=9时，求

的值，甲乙两人的解答如下：

甲的解答为：原式

=a+（1-a）=1；

乙的解答为：原式

（a-1）=2a-1=17．

两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．

2．若│1995-a│

，求a-19952的值．

（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a?的值是正数还是负数，去掉绝对值）

3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│

答案:一、1．C 2．A；二、1．-0．02 2．5；三、1．甲甲没有先判定1-a是正数还是

负数

2．由已知得a-?2000?≥0，?a?≥2000

所以

，a-2000=19952

， 所以a-19952

=2000．

3. 10-x

板书设计：

教学反思：

16．2 二次根式的乘除（1

）

教学内容：

a ≥0，

b ≥0）

a ≥0，

b ≥0）及其运用．

教学目标

知识与技能目标：

a

≥0，b ≥0）

（a ≥

0，b ≥0），并利用它们进行计算和化简

过程与方法目标：

a ≥0，

b ≥0）并运用它进行计算；?a ≥0，b ≥0）并运用它进行解题和化简．

情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．

教学重难点关键

a≥0，b≥0）

a≥0，b≥0）及它们的运

用．

a≥0，b≥0）．

关键：要讲

清（a<0,b<0）

=，

如

=

或

．

教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；2、讲练结合法:在例题教学中，引导学生阅读，与算术平方根的乘法进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。

学法：1、类比的方法通过观察、类比，使学生感悟二次根式的乘法法则，形成有效的学习策略。

2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。

3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。

4、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。

媒体设计：PPT课件，展台。

课时安排：1课时。

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学完成下列各题．

1．填空

（1

=______；

（2

=________．

（3

．

参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．

3

_____

，

3

_____

，

3

2．利用计算器计算填空

（1

，（2

（3

（4

（5

老师点评（纠正学生练习中的错误）

二、探索新知

（1）被开方数都是正数；

（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，?并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．

一般地，对二次根式的乘法规定为：

反过来

例1．计算

（1

（2

（3

（4

分析：

a≥0，

b≥0）计算即可．解：（1

（2

（

3

=

（4

例2 化简

（1

（2

（3

（4

（5

（a≥0，b≥0）直接化简即可．

解：（1

34=12

（2

39=36

（3

310=90

（4

（5

三、巩固练习

（1）计算：①

②

3

(2) 化简

四、应用拓展

例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（1

=

（2

=4

解：（1）不正确．

33=6

（2）不正确．

五、归纳小结：本节课应掌握：（1

（a≥0，b≥0）

（a≥0，b≥0）及其运用．

六、布置作业：一、选择题

1

，?那么此直角三角形斜边长是（）．

A．

cm B．

．9cm D．27cm

2．化简

）．

A

．

．

3

=）

A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1

4．下列各等式成立的是（）．

A．

．

C．

3

D．

3

二、填空题：1

．

2．自由落体的公式为S=1

2

gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高

度为720m，则下落的时间是_________．

三、综合提高题：1．一个底面为30cm330cm长方体玻璃容器中装满水，?现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？

2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．

（1）

验证：

=

==

（2）

验证：

==

同理可得：

=

=，……

通过上述探究你能猜测出：

（a>0）,并验证你的结论．

答案:一、1．B 2．C 3.A 4.D；二、1．

2．12s

三、1．设：底面正方形铁桶的底面边长为x，

则x2310=30330320，x2=3033032，

2．

验证：

=

=

板书设计：

16．2 二次根式的乘除（2）

教学内容

a≥0，b>0）

a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．

教学目标

知识与技能目标：

a≥

0，b>0（a≥0，b>0）及利用它们

进行运算．

过程与方法目标：利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．

情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．

教学重难点关键:1（a≥0，b>0）（a≥0，b>0）及利用

它们进行计算和化简．

2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．

教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；2、讲练结合法:在例题教学中，引导学生阅读，与商的平方根进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。

学法：1、类比的方法 通过观察、类比，使学生感悟二次根式的除法法则，形成有效的学习策略。

2、阅读的方法 让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。

3、分组讨论法 将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。

4、练习法 采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。

媒体设计：PPT 课件，展台。

课时安排：1课时。

教学过程： 一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题：

1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．

2．填空

（1

；（2

； （3

；（4

．

3．利用计算器计算填空:

（1

=_________，（2

=_________，（3

=______，（4

=________．

。 二、探索新知

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．

例1．计算：（1

（2

（3 （4

分析：上面4

（a≥0，b>0）便可直接得出答案．

解：（1

=2

（2

==

3

（3

=

=2

（4

例2．化简：

（1

（2

（3

（4

（a≥0，b>0）就可以达到化简之目的．

解：（1

8 =

（2

8 3

b

a =

（3

8y

=

（4

13y

=

三、应用拓展

例3．

=，且x为偶数，求（1+x

分析：

，只有a≥0，b>0时才能成立．

因此得到9-x≥0且x-6>0，即6

解：由题意得

90

60

x

x

-≥

?

?

->

?

，即

9

6

x

x

≤

?

?

>

?

∴6

∵x为偶数

∴x=8

∴原式=（1+x

=（1+x

=（1+x

∴当x=8时，原式的值

．

四、归纳小结

a≥0，b>0

（a≥0，b>0）及其运用．

五、布置作业

一、选择题

1

的结果是（）．

A．

2

7

．

2

7

C

D

．

7

2．阅读下列运算过程：

3

==

5

==

数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”

（）．

A．2 B．6 C．

1

3

D

二、填空题

1．分母有理化

2．已知x=3，y=4，z=5

_______．

三、综合提高题

1

．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为：1，?现用直径为

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